Une formule intégrale reliée à la conjecture locale de Gross-Prasad
aa r X i v : . [ m a t h . R T ] F e b Une formule int´egrale reli´ee `a la conjecture locale deGross-Prasad
J.-L. Waldspurger10 f´evrier 2009
Introduction
Soit F un corps local non archim´edien de caract´eristique nulle. Soit V un espacevectoriel sur F , de dimension finie d , muni d’une forme quadratique non d´eg´en´er´ee q .On suppose donn´ee une d´ecomposition en somme directe de sous-espaces orthogonauxdeux `a deux V = W ⊕ D ⊕ Z . On suppose que D est une droite et que Z est munid’une base { v i ; i = ± , ..., ± r } telle que q ( v i , v j ) = δ i, − j pour tous i, j , o`u δ i, − j est lesymbole de Kronecker. On note G , resp. H , le groupe sp´ecial orthogonal de V , resp. W ,et U le radical unipotent du sous-groupe parabolique de G qui conserve le drapeau desous-espaces isotropes F v r ⊂ F v r ⊕ F v r − ⊂ ... ⊂ F v r ⊕ ... ⊕ F v . Fixons un ´el´ement non nul v ∈ D et un caract`ere continu non trivial ψ de F . D´efinissonsun caract`ere ξ de U ( F ) par la formule ξ ( u ) = ψ ( X i =0 ,...,r − q ( uv i , v − i − )) . Le groupe H est le sous-groupe des ´el´ements de G qui agissent par l’identit´e sur D ⊕ Z .Il normalise U et la conjugaison par H ( F ) conserve ξ ( ξ est essentiellement le caract`erede U ( F ) le plus r´egulier possible qui soit conserv´e par cette conjugaison). Soient π ,resp. σ , une repr´esentation admissible irr´eductible de G ( F ), resp. H ( F ), dans un espace(complexe) E π , resp. E σ . Notons Hom
H,ξ ( π, σ ) l’espace des applications lin´eaires ϕ : E π → E σ telles que ϕ ( π ( hu ) e ) = ξ ( u ) σ ( h ) ϕ ( e )pour tous u ∈ U ( F ), h ∈ H ( F ), e ∈ E π . D’apr`es [AGRS] th´eor`eme 1’ et [GGP] corollaire20.4, cet espace est de dimension 0 ou 1. On note m ( σ, π ) cette dimension.Supposons maintenant que G et H sont quasi-d´eploy´es sur F et affectons les donn´ees V , W , q , G et H d’un indice i (pour ”isotrope”). Dans cette introduction, supposonspour simplifier dim ( W i ) ≥
3. On sait qu’`a isomorphisme pr`es, il existe un unique espace V a ( a pour ”anisotrope”) de mˆeme dimension d que V i , muni d’une forme quadratique q a de mˆeme discriminant que q i mais qui n’est pas isomorphe `a q a (c’est-`a-dire d’indicede Witt oppos´e). Il existe de mˆeme un unique espace W a de mˆeme dimension que W i ,muni d’une forme quadratique de mˆeme discriminant que la restriction de q i `a W i , maisqui n’est pas isomorphe `a cette restriction. On v´erifie que V a est encore isomorphe `a la1omme directe orthogonale W a ⊕ D ⊕ Z , o`u les formes quadratiques sur D et Z sont lesmˆemes que pr´ec´edemment. On note G a , resp. H a , le groupe sp´ecial orthogonal de V a ,resp. W a . C’est une forme int´erieure de G i , resp. H i .La conjecture locale de Gross-Prasad suppose l’existence des L -paquets et certainesde leurs propri´et´es. On y reviendra ci-dessous. Gross et Prasad ´enoncent leur conjecturepour les L -paquets g´en´eriques. On se limite ici aux L -paquets temp´er´es. Soit Π i , resp. Σ i ,un L -paquet de repr´esentations temp´er´ees de G i ( F ), resp. H i ( F ). Il peut lui correspondreun L -paquet Π a , resp. Σ a , de repr´esentations temp´er´ees de G a ( F ), resp. H a ( F ). Ce L -paquet est alors unique. Ou bien, il n’y a pas de tel L -paquet Π a , resp. Σ a . Dans ce cas,on pose Π a = ∅ , resp. Σ a = ∅ . En tout cas, pour ( σ, π ) ∈ (Σ i × Π i ) ∪ (Σ a × Π a ), ladimension m ( σ, π ) est d´efinie. Conjecture (Gross-Prasad) . Il existe un unique couple ( σ, π ) ∈ (Σ i × Π i ) ∪ (Σ a × Π a ) tel que m ( σ, π ) = 1 . C’est une partie de la conjecture 6.9 de [GP]. D´ecrivons les propri´et´es des L -paquetstemp´er´es que nous admettrons (on les ´enonce pour le couple (Π i , Π a ), mais on admet lespropri´et´es similaires pour le couple (Σ i , Σ a )). Notons ♯ l’un des indices i ou a . Rappelonsqu’`a toute repr´esentation admissible irr´eductible π de G ♯ ( F ) est associ´e un caract`ere θ π que l’on peut consid´erer comme une distribution ou comme une fonction localementint´egrable sur G ♯ ( F ). Dans le cas du groupe G i , on sait d´efinir la notion de mod`ele deWhittaker de π . Plus exactement, il y a une notion de mod`ele de Whittaker relatif `a O pour chaque orbite nilpotente r´eguli`ere O ⊂ g i ( F ) (pour tout groupe r´eductif L , on note l son alg`ebre de Lie). On suppose(1) pour ♯ = i ou a , Π ♯ est un ensemble fini, non vide si ♯ = i , et la distribution θ Π ♯ = P π ∈ Π ♯ θ π sur G ♯ ( F ) est stable ;(2) le transfert `a G a ( F ) de la distribution θ Π i est ( − d θ Π a (en particulier est nul siΠ a = ∅ ) ;(3) pour toute orbite nilpotente r´eguli`ere O ⊂ g i ( F ), il existe un et un seul ´el´ementde Π i qui admet un mod`ele de Whittaker relatif `a O .On reviendra sur ces propri´et´es en 13.2. Notre r´esultat est le suivant. Th´eor`eme . Supposons v´erifi´ees les propri´et´es ci-dessus. Supposons de plus que Π i et Π a soient form´es uniquement de repr´esentations supercuspidales. Alors la conjectureci-dessus est v´erifi´ee. Ce th´eor`eme r´esulte d’une formule int´egrale qui calcule la dimension m ( σ, π ) `a l’aidedes caract`eres de σ et π , dans le cas o`u π est supercuspidale. Revenons aux notations dud´ebut en abandonnant les indices i et a . Consid´erons l’ensemble des sous-tores T ⊂ H pour lesquels il existe une d´ecomposition en somme directe orthogonale W = W ′ ⊕ W ′′ de sorte que- la dimension de W ′ est paire et les groupes sp´eciaux orthogonaux H ′′ de W ′′ et G ′′ de V ′′ = W ′′ ⊕ D ⊕ Z sont quasi-d´eploy´es sur F ;- le tore T est un sous-tore maximal du groupe sp´ecial orthogonal de W ′ et il necontient aucun sous-tore d´eploy´e non trivial.On fixe un ensemble de repr´esentants T des classes de conjugaison par H ( F ) danscet ensemble de tores. Soit T ∈ T . On lui associe des groupes H ′′ et G ′′ comme ci-dessus.2oit π une repr´esentation admissible irr´eductible de G ( F ). Harish-Chandra a d´ecrit lecomportement local du caract`ere θ π . Soit x un ´el´ement semi-simple de G ( F ). Notons G x la composante neutre du commutant de x dans G . Alors, pour toute orbite nilpotente O dans g x ( F ), il existe un coefficient c π, O ( x ) ∈ C de sorte que, pour toute fonction f ∈ C ∞ c ( g x ( F )) dont le support soit contenu dans un voisinage assez petit de 0, on aitl’´egalit´e (4) Z g x ( F ) θ π ( xexp ( X )) f ( X ) dX = X O c π, O ( x ) Z O ˆ f ( X ) dX. La somme porte sur les orbites nilpotentes dans g x ( F ) et le dernier terme est la trans-form´ee de Fourier de l’int´egrale orbitale sur O . Bien sˆur, les mesures et la transformationde Fourier doivent ˆetre d´efinies pr´ecis´ement. Supposons que x est un ´el´ement de T ( F )en position g´en´erale. Alors G x = T × G ′′ , en particulier les orbites nilpotentes de g x ( F )sont celles de g ′′ ( F ). Supposons d’abord d impair. Par hypoth`ese, G ′′ est quasi-d´eploy´e.En dimension impaire, cela implique qu’il est d´eploy´e. Son alg`ebre de Lie g ′′ ( F ) poss`edeune unique orbite nilpotente r´eguli`ere, on la note O reg et on pose c π ( x ) = c π, O reg ( x ). Sup-posons maintenant d pair. Alors g ′′ ( F ) poss`ede (en g´en´eral) plusieurs orbites nilpotentesr´eguli`eres. On peut les param´etrer par un sous-ensemble de F × /F × . Posons ν = q ( v ).On montre que ν appartient `a l’ensemble de param`etres, on lui associe une orbite O ν et on pose c π ( x ) = c π, O ν ( x ). On a ainsi d´efini une fonction c π sur un ouvert de Zariskide T ( F ). Soit σ une repr´esentation admissible irr´eductible de H ( F ). On d´efinit de fa¸consimilaire une fonction c σ sur un ouvert de Zariski de T ( F ). Posons(5) m geom ( σ, π ) = X T ∈T w ( T ) − Z T ( F ) c ˇ σ ( x ) c π ( x ) D H ( x )∆( x ) r dx. Les fonctions D H et ∆ sont des d´eterminants ´el´ementaires et w ( T ) est le nombre d’´el´ementsd’un certain normalisateur. La mesure sur T ( F ) est de masse totale 1. La repr´esentationˇ σ est la contragr´ediente de σ . Th´eor`eme . (i) Pour des repr´esentations admissibles irr´eductibles σ de H ( F ) et π de G ( F ) , l’expression ci-dessus est absolument convergente.(ii) Si π est supercuspidale, on a l’´egalit´e m ( σ, π ) = m geom ( σ, π ) . Ce th´eor`eme est, lui, ind´ependant de toute hypoth`ese sur les L -paquets. Indiquonscomment on d´eduit le premier th´eor`eme du second. R´etablissons les indices i et a , posons m (Σ i , Π i ) = X ( σ,π ) ∈ Σ i × Π i m ( σ, π )et d´efinissons de mˆeme m (Σ a , Π a ). A l’aide du second th´eor`eme, ces termes se calculentcomme des sommes index´ees par des ensembles de tores T i et T a . On peut regrouper cestores selon leur classe de conjugaison stable. Il y a une correspondance entre classes deconjugaison stable dans T a et classes de conjugaison stable dans T i . Cette correspondanceest en fait une injection du premier ensemble de classes dans le second et c’est presqu’unesurjection : l’unique classe dans T i qui n’est pas dans l’image est la classe r´eduite au tore T = { } ∈ T i . Les formules de transfert de caract`eres de L -paquets contiennent dessignes, dont le produit est −
1. On en d´eduit que, pour toute classe de conjugaison stable { T } a ⊂ T a , la contribution de cette classe `a m (Σ a , Π a ) est l’oppos´e de la contribution3a m (Σ i , Π i ) de la classe de conjugaison stable dans T i image de { T } a . Alors seul le tore { } ∈ T i contribue de fa¸con non nulle `a la somme m (Σ a , Π a ) + m (Σ i , Π i ). A l’aide d’unr´esultat de Rodier, cette contribution du tore { } s’interpr`ete comme le produit desnombres d’´el´ements de Σ i , resp. Π i qui admettent un mod`ele de Whittaker relatif `a unecertaine orbite nilpotente r´eguli`ere. D’apr`es (3), ces nombres sont ´egaux `a 1. On obtient m (Σ a , Π a ) + m (Σ i , Π i ) = 1d’o`u le premier th´eor`eme. Remarquons que l’apparition d’un signe n´egatif dans les for-mules de transfert, qui est cruciale pour le calcul ci-dessus, est probablement r´eminiscentede fait que le produit des L -groupes L H × L G a une repr´esentation naturelle qui est sym-plectique.La preuve du second th´eor`eme est plus compliqu´ee. Appelons quasi-caract`ere sur G ( F ) une fonction θ d´efinie presque partout sur G ( F ), invariante par conjugaison etposs´edant un d´eveloppement de la forme (4) au voisinage de tout point semi-simple.Pour une fonction f ∈ C ∞ c ( G ( F )), disons que f est tr`es cuspidale si, pour tout sous-groupe parabolique propre P = M U de G (avec des notations standard), et pour tout m ∈ M ( F ), on a l’´egalit´e Z U ( F ) f ( mu ) du = 0 . Pour tout entier N ∈ N , on d´efinit une fonction κ N sur G ( F ). C’est l’image r´eciproque dela fonction caract´eristique d’un sous-ensemble compact de H ( F ) U ( F ) \ G ( F ), qui devientde plus en plus grand quand N tend vers l’infini. Soient θ un quasi-caract`ere sur H ( F )et f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale. On pose I N ( θ, f ) = Z H ( F ) U ( F ) \ G ( F ) Z H ( F ) Z U ( F ) θ ( h ) f ( g − hug ) ξ ( u ) du dh κ N ( g ) dg. La plus grande partie de l’article consiste `a prouver que cette expression a une limitequand N tend vers l’infini et `a calculer cette limite. Celle-ci est, comme l’expression (5)ci-dessus, une somme sur les tores T ∈ T d’int´egrales sur T ( F ) de fonctions d´eduites de θ et f . Cf. 7.8 pour un ´enonc´e pr´ecis. L’expression I N ( θ, f ) ressemble beaucoup `a cellesqui interviennent dans la partie g´eom´etrique de la formule des traces locale d’Arthur([A3]). D’ailleurs, pour l’´etudier, on s’inspire largement des m´ethodes d’Arthur. Il y atoutefois une diff´erence importante entre les deux situations. Dans la formule des traceslocale, il n’y a pas de probl`eme de singularit´es. La formule finale ne fait intervenir que despoints r´eguliers du groupe. En particulier, si on se limite `a des fonctions dont le supportest form´e d’´el´ements elliptiques r´eguliers, la partie g´eom´etrique de la formule des traceslocale est essentiellement triviale. Ici, il y a des singularit´es. Pour un ´el´ement semi-simple x ∈ H ( F ), le groupe G x est en g´en´eral plus gros que H x et on peut dire que la singularit´edu probl`eme croˆıt en mˆeme temps que dim ( G x ) − dim ( H x ). L’´etude de I N ( θ, f ) passedonc par une ´etude locale. On commence par se ramener au cas o`u θ et f ont dessupports concentr´es dans des voisinages invariants par conjugaison d’un point semi-simple x ∈ H ( F ). Une m´ethode de descente imit´ee d’Harish-Chandra ram`ene alors leprobl`eme a un probl`eme similaire, o`u les fonctions θ et f vivent cette fois sur les alg`ebresde Lie h x ( F ) et g x ( F ). Parce que θ est un quasi-caract`ere, on peut ensuite exprimerl’avatar de I N ( θ, f ) en fonction de la transform´ee de Fourier de f . Il s’av`ere qu’apr`escette transformation, l’expression converge beaucoup mieux. On peut maintenant prouverl’existence d’une limite et calculer celle-ci par des m´ethodes similaires `a celles d’Arthur.4e second th´eor`eme ci-dessus s’en d´eduit en rempla¸cant θ par θ ˇ σ et f par un coefficientde π . On montre en effet facilement que m ( σ, π ) est essentiellement la limite de I N ( θ, f )quand N tend vers l’infini.Les trois premi`eres sections sont consacr´ees aux notations et `a divers rappels d’analyseharmonique. Les sections 4 `a 6 ´etablissent les propri´et´es qui nous seront utiles des quasi-caract`eres et des fonctions tr`es cuspidales. Les sections 7 `a 12 sont consacr´ees `a l’´etudede l’expression I N ( θ, f ) d´efinie ci-dessus et au calcul de sa limite. La preuve des deuxth´eor`emes est donn´ee dans la section 13. Soit F un corps local non archim´edien de caract´eristique nulle. On en fixe une clˆoturealg´ebrique ¯ F . On note val F et | . | F les valuation et valeur absolue usuelles de F et onnote de la mˆeme fa¸con leurs prolongements `a ¯ F . On note o F l’anneau des entiers de F , F q son corps r´esiduel et on fixe une uniformisante ̟ F .Tous les groupes alg´ebriques sont suppos´es d´efinis sur F . Soit G un groupe alg´ebriquer´eductif connexe. On note aussi G son groupe de points sur ¯ F , c’est-`a-dire G = G ( ¯ F ).On note A G le plus grand tore d´eploy´e central dans G , X ( G ) le groupe des caract`eresd´efinis sur F de G , A G = Hom ( X ( G ) , R ) et A ∗ = X ( G ) ⊗ Z R le dual de A . On d´efinitl’homomorphisme H G : G ( F ) → A G par H G ( g )( χ ) = log ( | χ ( g ) | F ) pour tous g ∈ G ( F )et χ ∈ X ( G ). On note g l’alg`ebre de Lie de G et G × g → g ( g, X ) gXg − l’action adjointe. On appelle L´evi de G un sous-groupe M tel qu’il existe un sous-groupeparabolique P de G (d´efini sur F ) de sorte que M soit une composante de L´evi de P . Pour un tel L´evi, on note P ( M ) l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G decomposante de L´evi M , L ( M ) celui des L´evi de G contenant M et F ( M ) celui dessous-groupes paraboliques de G contenant M . Pour Q ∈ F ( M ), on notera sans plus decommentaire Q = LU la d´ecomposition de Q en sa composante de L´evi L contenant M et son radical unipotent U . Il y a une d´ecomposition naturelle A M = A GM ⊕ A G . On note proj GM et proj G les projections sur chacun des facteurs. Le sous-espace A GM est engendr´epar l’ensemble ˇΣ M des coracines indivisibles. A un ´el´ement P de P ( M ) est associ´e unechambre positive A + P ⊂ A M et un sous-ensemble de coracines simples ˇ∆ P ⊂ ˇΣ M . Bruhatet Tits ont d´efini la notion de sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ). Si K est un telsous-groupe et M est un L´evi de G , on dit que K est en bonne position relativement `a M s’il existe un sous-tore d´eploy´e maximal A ⊂ M de sorte que K fixe un point sp´ecialde l’appartement associ´e `a A dans l’immeuble de G . Supposons qu’il en soit ainsi et soit P = M U ∈ P ( M ). On d´efinit la fonction H P : G ( F ) → A M par H P ( g ) = H M ( m ) pour g = muk ∈ G ( F ), avec m ∈ M ( F ), u ∈ U ( F ), k ∈ K . Suivant Harish-Chandra, on d´efinitune fonction hauteur || . || sur G ( F ), `a valeurs dans R ≥ = { x ∈ R ; x ≥ } et (en modifiantl´eg`erement la d´efinition d’Harish-Chandra) une fonction σ par σ ( g ) = sup (1 , log ( || g || )).On d´efinit une fonction sur g ( F ), ´egalement not´ee σ , de la fa¸con suivante. On fixe unebase de g ( F ) sur F . Pour X ∈ g ( F ), on pose σ ( X ) = sup (1 , sup {− val F ( X i ) } ), o`u les X i X . Le cas ´ech´eant, on ajoutera des exposants G aux notationsque l’on vient d’introduire pour pr´eciser le groupe ambiant.Soit G un groupe. On note Z G son centre. Soit A un ensemble muni d’une actionde G . Pour un sous-ensemble B ⊂ A , on note Z G ( B ) le centralisateur de B dans G et N orm G ( B ) le normalisateur. Si B = { x } , on note simplement Z G ( x ) = Z G ( { x } ). Quand A = G , on suppose implicitement que l’action de G est l’action par conjugaison. Demˆeme si G est un groupe alg´ebrique lin´eaire et A = g est son alg`ebre de Lie. Pour unefonction f sur A et pour g ∈ G , on note g f la fonction a f ( g − ( a )).Quand G est un groupe alg´ebrique lin´eaire, on note G sa composante neutre. Pour x ∈ G , resp. X ∈ g , on note G x = Z G ( x ) , resp. G X = Z G ( X ) , la composante neutredu centralisateur de x , resp. X .Soit G un groupe r´eductif connexe. On note G ss l’ensemble de ses ´el´ements semi-simples et G reg le sous-ensemble des ´el´ements semi-simples r´eguliers. On d´efinit de mˆeme g ss et g reg . Pour x ∈ G ss ( F ), l’op´erateur ad ( x ) − g ( F ) / g x ( F ),on pose : D G ( x ) = | det ( ad ( x ) − | g ( F ) / g x ( F ) ) | F . De mˆeme, pour X ∈ g ss ( F ), on pose : D G ( X ) = | det ( ad ( X ) | g ( F ) / g X ( F ) ) | F . Pour tout sous-ensemble Γ ⊂ G ( F ), on pose Γ G = { g − γg ; g ∈ G ( F ) , γ ∈ Γ } . On ditqu’un sous-ensemble Ω ⊂ G ( F ) est compact modulo conjugaison s’il existe un sous-ensemble compact Γ ⊂ G ( F ) tel que Ω ⊂ Γ G On fixe pour tout l’article un caract`ere continu et non trivial ψ : F → C × . Soit G un groupe r´eductif connexe. On munit g ( F ) d’une forme bilin´eaire sym´etrique nond´eg´en´er´ee < ., . > invariante par conjugaison par G ( F ). Pour tout ensemble topologique X totalement discontinu, on note C ∞ c ( X ) l’espace des fonctions sur X , `a valeurs dans C , localement constantes et `a support compact. On d´efinit la transformation de Fourier f ˆ f de C ∞ c ( g ( F )) dans lui-mˆeme parˆ f ( X ) = Z g ( F ) f ( Y ) ψ ( < X, Y > ) dY, o`u dY est la mesure de Haar autoduale, c’est-`a-dire telle que ˆˆ f ( X ) = f ( − X ). L’espace g ( F ) sera toujours muni de cette mesure. Si H est un sous-groupe r´eductif de G , le mˆemeproc´ed´e munit h ( F ) d’une mesure.On note N il ( g ) l’ensemble des orbites nilpotentes. Soit O une telle orbite. Pour X ∈ O , la forme bilin´eaire ( Y, Z ) < X, [ Y, Z ] > sur g ( F ) se descend en une formesymplectique sur g ( F ) / g X ( F ), c’est-`a-dire sur l’espace tangent `a O au point X . Ainsi, O est muni d’une structure de vari´et´e F -analytique symplectique et on en d´eduit unemesure ”autoduale” sur O . Cette mesure est invariante par conjugaison par G ( F ).Appelons G -domaine dans G ( F ), resp. g ( F ), un sous-ensemble de G ( F ), resp. g ( F ),qui est ouvert, ferm´e et invariant par conjugaison. On sait que l’on peut d´efinir uneapplication exponentielle exp : ω → Ω, o`u ω est un certain G -domaine dans g ( F ) conte-nant 0 et Ω un certain G -domaine dans G ( F ) contenant 1. Cette application est un6om´eomorphisme ´equivariant pour les actions de G ( F ). On a d´ej`a muni g ( F ) d’une me-sure et on munit G ( F ) de la mesure de Haar telle que le Jacobien de l’exponentielle soit´egal `a 1 au point 0 ∈ g ( F ). On d´efinit de mˆeme une mesure de Haar sur H ( F ) pourtout sous-groupe r´eductif H contenu dans G . Si K est un sous-groupe compact sp´ecialde G ( F ), on munit K de la mesure de Haar de masse totale 1. Soient M un L´evi de G et P = M U ∈ P ( M ). On doit munir U ( F ) d’une mesure de Haar. On sera toujoursdans l’une des situations suivantes. Ou bien le choix de la mesure sera sans importanceet on ne la pr´ecisera pas. Ou bien sera fix´e un sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F )en bonne position relativement `a M . Dans ce cas on choisira la mesure telle que, pourtoute f ∈ C ∞ c ( G ( F )), on ait l’´egalit´e : Z G ( F ) f ( g ) dg = Z K Z U ( F ) Z M ( F ) f ( muk ) dm du dk. Autrement dit, de sorte que l’on ait l’´egalit´e : mes ( K, dg ) = mes ( K ∩ M ( F ) , dm ) mes ( K ∩ U ( F ) , du ) , avec une notation ´evidente. En inversant le proc´ed´e ci-dessus, on munit aussi u ( F ) d’unemesure. Dans la situation ci-dessus, pour f ∈ C ∞ c ( G ( F )), on d´efinit f P ∈ C ∞ c ( M ( F ))par : f P ( m ) = δ P ( m ) / Z K Z U ( F ) f ( muk ) du dk, o`u δ P est le module usuel.Soit T un sous-tore de G . Le groupe T ( F ) est muni d’une mesure par la d´efinitionci-dessus, notons-la dt . Il y a une autre mesure de Haar qui intervient naturellementdans la th´eorie, que l’on note d c t , et qui est d´efinie de la fa¸con suivante. Si T est d´eploy´e,le sous-groupe compact maximal de T ( F ) est de volume 1 pour d c t . En g´en´eral, d c t est compatible avec la mesure que l’on vient de d´efinir sur A T ( F ) et avec la mesuresur T ( F ) /A T ( F ) de masse totale 1. Pour ´eviter les confusions, nous n’utiliserons que lamesure dt , mais il sera n´ecessaire d’introduire dans nos formules la constante ν ( T ) d´efiniepar d c t = ν ( T ) dt .Soit M un L´evi de G . On munit A GM de la mesure pour laquelle le quotient A GM /proj GM ( H M ( A M ( F )))est de volume 1. ( G, M ) -familles Un groupe r´eductif connexe G est fix´e pour toutes les sections 2 `a 6. On fixe aussiune forme bilin´eaire sur g ( F ) comme en 1.2. Soit M un L´evi de G . Arthur a introduitla notion de ( G, M )-famille : c’est une famille ( c P ) P ∈P ( M ) de fonctions C ∞ sur i A ∗ M (o`u i = √−
1) v´erifiant une certaine condition de compatibilit´e ([A1] p.36). Consid´erons unetelle (
G, M )-famille. On sait lui associer un nombre complexe c M ([A1] p.37). On a besoin7our cela d’une mesure sur A M : on l’a fix´ee dans la section pr´ec´edente. Soit L ∈ L ( M ).On d´eduit de notre ( G, M )-famille une (
G, L )-famille, on note c L le nombre qui lui estassoci´e. Soit Q ∈ P ( L ). On d´eduit aussi de la famille de d´epart une ( L, M )-famille donton note c QL le nombre associ´e.Soit ( Y P ) P ∈P ( M ) une famille d’´el´ements de A M . On dit qu’elle est ( G, M )-orthogonale,resp. et positive, si elle v´erifie la condition suivante. Soient P et P ′ deux ´el´ements ad-jacents de P ( M ). Il y a une unique coracine ˇ α telle que ˇ α ∈ ˇ∆ P et − ˇ α ∈ ˇ∆ P ′ . Ondemande que Y P − Y P ′ ∈ R ˇ α , resp. Y P − Y P ′ ∈ R ≥ ˇ α . Pour P ∈ P ( M ), d´efinissonsune fonction c P sur i A ∗ M par c P ( λ ) = e − λ ( Y P ) . Supposons que la famille ( Y P ) P ∈P ( M ) soit( G, M )-orthogonale. Alors la famille ( c P ) P ∈P ( M ) est une ( G, M )-famille. Soit L ∈ L ( M ).La ( G, L )-famille d´eduite de cette (
G, M )-famille est associ´ee `a la famille de points( Y Q ) Q ∈P ( L ) ainsi d´efinie : Y Q = proj L ( Y P ) pour n’importe quel P ∈ P ( M ) tel que P ⊂ Q .De mˆeme, soit Q ∈ P ( L ). Alors la ( L, M )-famille d´eduite de notre (
G, M )-famille estassoci´ee `a la famille de points ( Y P ′ ) P ′ ∈P L ( M ) ainsi d´efinie : Y P ′ = Y P , o`u P est l’unique´el´ement de P ( M ) tel que P ⊂ Q et P ∩ L = P ′ . Soient M un L´evi de G , ( c P ) P ∈P ( M ) et ( d P ) P ∈P ( M ) deux ( G, M )-familles. Pour P ∈P ( M ), posons ( cd ) P = c P d P . Alors (( cd ) P ) P ∈P ( M ) est encore une ( G, M )-famille. On aune ´egalit´e ([A2] corollaire 7.4) :(1) ( cd ) M = X L,L ′ ∈L ( M ) d GM ( L, L ′ ) c QM d Q ′ M . Le terme d GM ( L, L ′ ) est un r´eel positif ou nul, qui est non nul si et seulement si A GM = A GL ⊕ A GL ′ . On a d GM ( M, G ) = d GM ( G, M ) = 1. On doit fixer un param`etre auxiliaire ξ ∈ A GM ,en position g´en´erale. Pour L, L ′ v´erifiant la condition pr´ec´edente, notons ξ L et ξ L ′ lesprojections de ξ sur chacun des facteurs. Alors Q est l’unique ´el´ement de P ( L ) tel que ξ L ∈ A + Q et Q ′ est d´efini de fa¸con similaire.Supposons que ( d P ) P ∈P ( M ) est associ´ee `a une famille ( G, M )-orthogonale de points( Y P ) P ∈P ( M ) . Alors : (2) ( cd ) M = X Q ∈F ( M ) c QM u Q ( Y Q ) , o`u, pour Q = LU , u Q est une fonction sur A L , bien sˆur ind´ependante de nos ( G, M )-familles. La fonction u G est constante de valeur 1. La formule r´esulte de [A1] (6.3) etlemme 6.3.Pour une seule ( G, M )-famille ( c P ) P ∈P ( M ) et pour L ∈ L ( M ), on a aussi :(3) c L = X L ′ ∈L ( M ) d GM ( L, L ′ ) c Q ′ M , avec les mˆemes d´efinitions qu’en (1). 8 .3 Int´egrales orbitales pond´er´ees Soient M un L´evi de G et K et sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ) en bonne posi-tion relativement `a M . Pour g ∈ G ( F ), la famille de points ( H P ( g )) P ∈P ( M ) est ( G, M )-orthogonale et positive. On note ( v P ( g )) P ∈P ( M ) la ( G, M )-famille associ´ee et v M ( g ) lenombre associ´e `a cette ( G, M )-famille. La fonction g v M ( g ) est invariante `a gauchepar M ( F ) et `a droite par K .Soient f ∈ C ∞ c ( G ( F )) et x ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ). On d´efinit l’int´egrale orbitale pond´er´ee J M ( x, f ) = D G ( x ) / Z G x ( F ) \ G ( F ) f ( g − xg ) v M ( g ) dg. L’int´egrale a un sens puisque G x = M x ⊂ M . Lemme . (i) Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) . La fonction x J M ( x, f ) d´efinie sur M ( F ) ∩ G reg ( F ) est localement constante et invariante par conjugaison par M ( F ) . L’adh´erence dans M ( F ) de son support est compacte modulo conjugaison.(ii) Il existe un entier k ≥ et, pour toute f ∈ C ∞ c ( G ( F )) , il existe c > de sorteque l’on ait l’in´egalit´e : | J M ( x, f ) | ≤ c (1 + | log D G ( x ) | ) k pour tout x ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ) . Preuve. Le (i) est ´evident. Le (ii) est dˆu `a Arthur mais nous allons rappeler lad´emonstration car nous l’utiliserons plus loin. D’apr`es le (i), on peut fixer un sous-tore maximal T de M , un sous-ensemble compact ω ⊂ T ( F ) et se contenter de majorer | J M ( x, f ) | pour x ∈ ω . Fixons une norme sur A M . Il existe c > P ∈ P ( M ) et tout g ∈ G ( F ), on ait l’in´egalit´e | H P ( g ) | ≤ cσ ( g ). Par construction, v M ( g ) est polynomial en les H P ( g ), il y a donc un entier k ≥ c > v M ( g ) ≤ cσ ( g ) k . Posons σ T ( g ) = inf { σ ( tg ); t ∈ T ( F ) } . Puisque v M ( g ) est invariante`a gauche par T ( F ) ⊂ M ( F ), on a mˆeme v M ( g ) ≤ cσ T ( g ) k . Rappelons le lemme 4.2de [A3], qui pr´ecise un r´esultat de Harish-Chandra. Pour tous sous-ensembles compactsΩ ⊂ T ( F ) et Γ ⊂ G ( F ), il existe c > x ∈ Ω et tout g ∈ G ( F )tels que g − xg ∈ Γ, on ait l’in´egalit´e :(1) σ T ( g ) ≤ c (1 + | log D G ( x ) | ) . On applique cela `a Ω = ω et au support Γ de f . Alors pour x ∈ ω ∩ G reg ( F ), on peutmajorer le terme v M ( g ) intervenant dans la d´efinition de J M ( x, f ) par c (1+ | log D G ( x ) | ) k ,o`u c d´epend de f mais pas k . On obtient : | J M ( x, f ) | ≤ c (1 + | log D G ( x ) | ) k D G ( x ) / Z G x ( F ) \ G ( F ) | f ( g − xg ) | dg ≤ c (1 + | log D G ( x ) | ) k J G ( x, | f | ) . D’apr`es [HCvD] th´eor`eme 13, J G ( x, | f | ) est born´e sur ω ∩ G reg ( F ) et cela conclut. (cid:3) .4 Formule des traces locale Soient M min un L´evi minimal de G et K un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F )en bonne position relativement `a M min . Les d´efinitions du paragraphe pr´ec´edent se des-cendent `a l’alg`ebre de Lie : pour tous M ∈ L ( M min ), X ∈ m ( F ) ∩ g reg ( F ), f ∈ C ∞ c ( g ( F )),on d´efinit l’int´egrale orbitale pond´er´ee J M ( X, f ).Soient f, f ′ ∈ C ∞ c ( g ( F )). Pour M ∈ L ( M min ) et X ∈ m ( F ) ∩ g reg ( F ), posons : J M ( X, f, f ′ ) = X L,L ′ ∈L ( M ) d GM ( L, L ′ ) J LM ( X, f ¯ Q ) J L ′ M ( X, f ′ Q ′ )Les d´efinitions sont les mˆemes qu’en 2.2(1) ; ¯ Q est le sous-groupe parabolique oppos´e `a Q . On note W M = N orm M ( M min ) /M min , a M = dim ( A M ). Pour un sous-tore maximal T de M , on pose W ( M, T ) =
N orm M ( F ) ( T ) /T ( F ). On dit que T est elliptique dans M si A T = A M . On fixe un ensemble T ell ( M ) de repr´esentants des classes de conjugaison desous-tores maximaux de M , elliptiques dans M . Posons : J ( f, f ′ ) = X M ∈L ( M min ) | W M || W G | − ( − a G − a M X T ∈T ell ( M ) | W ( M, T ) | − ν ( T ) − Z t ( F ) J M ( X, f, f ′ ) dX. Cette expression est absolument convergente en vertu du lemme 2.3(ii) et du lemmesuivant.
Lemme . Soient V un espace vectoriel de dimension finie sur F et ( R i ) i =1 ,...,n une famillefinie de polynˆomes non nuls sur V . Alors la fonction v Q i =1 ,...,n log ( | R i ( v ) | F ) estlocalement int´egrable sur V . (cid:3) Th´eor`eme . Pour toutes f, f ′ ∈ C ∞ c ( g ( F )) , on a l’´egalit´e J ( ˆ f , f ′ ) = J ( f, ˆ f ′ ) . Cf. [W1] th´eor`eme 5.2, qui reprenait [A3]. Il n’y a pas de ν ( T ) dans [W1], ce quiest dˆu au fait que les mesures sur les tores n’y sont pas les mˆemes que les nˆotres (il ya d’ailleurs aussi dans cette r´ef´erence une erreur dans la d´efinition des mesures sur lesespaces A M ). On conserve les mˆemes hypoth`eses. Pour ϕ ∈ C ∞ c ( g ( F )), consid´erons la condition : (H) . pour tout M ∈ L ( M min ) , il existe ϕ M ∈ C ∞ c ( m ( F )) telle que ϕ P = ϕ M pour tout P ∈ P ( M ) . En vertu de l’´egalit´e ( ˆ ϕ ) P = ( ϕ P )ˆ, ϕ v´erifie (H) si et seulement ˆ ϕ v´erifie (H).En g´en´eral, pour tout sous-ensemble B d’un ensemble A , notons B la fonction ca-ract´eristique de B dans A . Si Ω est un G -domaine dans g ( F ) et si ϕ v´erifie (H), alors ϕ Ω v´erifie aussi (H) et on a ( ϕ Ω ) M = ϕ M Ω ∩ m ( F ) pour tout M .Pour tout sous-ensemble B ⊂ g ( F ), posons B K = { k − Xk ; k ∈ K, X ∈ B } . Posons :Ω = [ M ∈L ( M min ) [ T ∈T ell ( M ) ( t ( F ) ∩ g reg ( F )) K . g ( F ). Lemme . Soit ϕ ∈ C ∞ c ( g ( F )) .(i) Supposons Supp ( ϕ ) ⊂ Ω . Alors ϕ v´erifie (H).(ii) Supposons Supp ( ϕ ) ⊂ g reg ( F ) . Alors il existe une familles finie ( ϕ i ) i =1 ,...,n d’´el´ementsde C ∞ c ( g ( F )) et une famille finie ( g i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de G ( F ) telles que ϕ i v´erifie (H)pour tout i et ϕ = P i =1 ,...,n g i ϕ i . Preuve. Supposons
Supp ( ϕ ) ⊂ Ω. Soient P = M U ∈ F ( M min ) et X ∈ m ( F ) ∩ g reg ( F ).Par un calcul familier, on a l’´egalit´e : ϕ P ( X ) = D G ( X ) / D M ( X ) − / Z K Z U ( F ) ϕ ( k − u − Xuk ) du dk. Soit u ∈ U ( F ) pour lequel il existe k ∈ K tel que ϕ ( k − u − Xuk ) = 0. Alors u − Xu ∈ Ωet on peut fixer L ∈ L ( M min ), T ∈ T ell ( L ), Y ∈ t ( F ) ∩ g reg ( F ) et k ∈ K de sorte que u − Xu = kY k − . Posons g = uk . On a gY g − = X , donc gT g − est le commutant G X de X . Le plus grand tore d´eploy´e de gT g − est gA L g − . Celui de G X contient A M . Donc A M ⊂ gA L g − ⊂ gA M min g − . Puisque M est le commutant de A M , on a gA M min g − ⊂ M .Alors A M min et gA M min g − sont deux tores d´eploy´es maximaux de M , ils sont doncconjugu´es par un ´el´ement de M ( F ). Fixons m ∈ M ( F ) tel que mgA M min g − m − = A M min . D’apr`es Bruhat et Tits, le normalisateur N orm G ( F ) ( A M min ) est contenu dans M min ( F ) K . Donc mg ∈ M min ( F ) K , puis g ∈ M ( F ) K et enfin u ∈ M ( F ) K . Parce que K est en bonne position relativement `a M , cela entraˆıne u ∈ U ( F ) ∩ K . Donc : ϕ P ( X ) = D G ( X ) / D M ( X ) − / Z K Z U ( F ) ∩ K ϕ ( k − u − Xuk ) du dk. L’int´egrale sur U ( F ) ∩ K est absorb´ee par celle sur K , on obtient : ϕ P ( X ) = D G ( X ) / D M ( X ) − / ( mes ( U ( F ) ∩ K )) Z K ϕ ( k − Xk ) dk. Comme on l’a remarqu´e en 1.2, mes ( U ( F ) ∩ K ) ne d´epend pas du sous-groupe parabolique P ∈ P ( M ). L’expression ci-dessus n’en d´epend donc pas non plus et c’est la conditionpour que ϕ v´erifie (H).Supposons maintenant que Supp ( ϕ ) ⊂ g reg ( F ). Pour tout X ∈ Supp ( ϕ ), fixons g X ∈ G ( F ) tel que g − X Xg X ∈ [ M ∈L ( M min ) [ T ∈T ell ( M ) t ( F ) ∩ g reg ( F ) , puis un voisinage ω X de X tel que g − X ω X g X ⊂ Ω. Une partition de l’unit´e nous ram`eneau cas o`u
Supp ( ϕ ) est contenu dans un tel voisinage ω X . Dans ce cas, ϕ = g X ϕ ′ , o`u ϕ ′ = g − X ϕ . Mais Supp ( ϕ ′ ) ⊂ Ω, donc ϕ ′ v´erifie (H). (cid:3) Pour tout
O ∈
N il ( g ), on d´efinit l’int´egrale orbitale nilpotente J O ( f ) = Z O f ( X ) dX f ∈ C ∞ c ( g ( F )), et sa transform´ee de Fourierˆ J O ( f ) = J O ( ˆ f ) . Pour λ ∈ F × , d´efinissons f λ par f λ ( X ) = f ( λX ). Notons F × le groupe des carr´es dans F × . On a l’´egalit´e J O ( f λ ) = | λ | − dim ( O ) / F J O ( f )pour tout λ ∈ F × .On pose δ ( G ) = dim ( G ) − dim ( T ), o`u T est n’importe quel sous-tore maximal de G .On sait qu’il existe une unique fonction Γ O sur g reg ( F ), le germe de Shalika associ´e `a O ,v´erifiant les deux conditions suivantes :Γ O ( λX ) = | λ | ( δ ( G ) − dim ( O )) / F Γ O ( X )pour tous X ∈ g reg ( F ) et λ ∈ F × ;pour toute f ∈ C ∞ c ( g ( F )), il existe un voisinage ω de 0 dans g ( F ) tel que : J G ( X, f ) = X O∈ Nil ( g ) Γ O ( X ) J O ( f )pour tout X ∈ ω ∩ g reg ( F ).Remarquons que Γ O co¨ıncide sur tout compact avec une int´egrale orbitale, en parti-culier y est born´e.Il existe une unique fonction ˆ j sur g ( F ) × g ( F ), localement int´egrable, localementconstante sur g reg ( F ) × g reg ( F ), telle que, pour toute f ∈ C ∞ c ( g ( F )) et tout X ∈ g reg ( F ),on ait l’´egalit´e : J G ( X, ˆ f ) = Z g ( F ) f ( Y )ˆ j ( X, Y ) dY. De mˆeme, pour
O ∈
N il ( g ), il existe une unique fonction Y ˆ j ( O , Y ) sur g ( F ),localement int´egrable, localement constante sur g reg ( F ), telle que, pour toute fonction f ∈ C ∞ c ( g ( F )) , on ait l’´egalit´e :ˆ J O ( f ) = Z g ( F ) f ( Y )ˆ j ( O , Y ) dY. On a les ´egalit´es :(1) ˆ j ( λX, Y ) = | λ | δ ( G ) / F ˆ j ( X, λY ) , ˆ j ( O , λY ) = | λ | − dim ( O ) / F ˆ j ( O , Y )pour tous X, Y ∈ g reg ( F ), O ∈
N il ( g ) et λ ∈ F × .Soient ω et Ω deux G -domaines dans g ( F ) compacts modulo conjugaison. La conjec-ture de Howe entraˆıne l’existence d’une famille finie ( X i ) i =1 ,...,n d’´elements de Ω ∩ g reg ( F )et d’une famille finie ( f i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de C ∞ c ( ω ) v´erifiant la condition suivante. Pourtoute distribution invariante D dont la transform´ee de Fourier est `a support dans Ω ettoute f ∈ C ∞ c ( ω ), on a l’´egalit´e(2) D ( f ) = X i =1 ,...,n J G ( X i , ˆ f ) D ( f i ) .
12l en r´esulte que, pour X ∈ Ω ∩ g reg ( F ) et Y ∈ ω ∩ g reg ( F ), on a l’´egalit´e(3) ˆ j ( X, Y ) = X i =1 ,...,n ˆ j ( X i , Y ) J G ( X, ˆ f i ) . Au voisinage de 0, on a un r´esultat plus pr´ecis. Soit ω un G -domaine de g ( F ) compactmodulo conjugaison et contenant 0. Alors il existe un G -domaine Ω de g ( F ) compactmodulo conjugaison et contenant 0 tel que, pour X ∈ Ω ∩ g reg ( F ) et Y ∈ ω ∩ g reg ( F ),on ait l’´egalit´e (4) ˆ j ( X, Y ) = X O∈ Nil ( g ) Γ O ( X )ˆ j ( O , Y ) . Soient M un L´evi de G et X ∈ m ( F ) ∩ g reg ( F ). Pour Y ∈ g reg ( F ), fixons un ensemblede repr´esentants ( Y i ) i =1 ,...,r des classes de conjugaison par M ( F ) dans l’ensemble des´el´ements de m ( F ) qui sont conjugu´es `a Y par un ´el´ement de G ( F ). On v´erifie l’´egalit´e(5) ˆ j G ( X, Y ) D G ( Y ) / = X i =1 ,...,r ˆ j M ( X, Y i ) D M ( Y i ) / . On fixe pour toute la section un ´el´ement x ∈ G ss ( F ). On dira qu’un sous-ensemble ω ⊂ g x ( F ) est un bon voisinage de 0 s’il v´erifie les conditions (1) `a (7) ci-dessous.(1) L’ensemble ω est un G x -domaine compact modulo conjugaison, invariant par Z G ( x )( F ) et contenant 0.(2) L’exponentielle est d´efinie sur ω ; c’est un hom´eomorphisme ´equivariant pour laconjugaison par Z G ( x )( F ) de ω sur un G x -domaine exp ( ω ) de G x ( F ).(3) Pour tout λ ∈ F × tel que | λ | F ≤
1, on a λω ⊂ ω .(4) On a l’´egalit´e { g ∈ G ( F ); g − xexp ( ω ) g ∩ xexp ( ω ) = ∅} = Z G ( x )( F ) . (5) Pour tout sous-ensemble compact Γ ⊂ G ( F ), il existe un sous-ensemble compactΓ ′ ⊂ G ( F ) tel que l’on ait l’inclusion : { g ∈ G ( F ); g − xexp ( ω ) g ∩ Γ = ∅} ⊂ G x ( F )Γ ′ . Fixons un r´eel c F > c kF < | ( k + 1)! | F pour tout entier k ≥ T ⊂ G x , tout caract`ere alg´ebrique χ de T et tout´el´ement X ∈ t ( F ) ∩ ω , on a l’in´egalit´e | χ ( X ) | F < c F .Consid´erons un sous-espace propre W ⊂ g ( F ) pour l’op´erateur ad ( x ). Notons λ lavaleur propre. Soit X ∈ ω . Alors ad ( X ) conserve W . Soit W X un sous-espace proprede W pour l’op´erateur ad ( X ), de valeur propre µ . Alors W X est aussi un espace proprepour l’op´erateur ad ( xexp ( X )), de valeur propre λexp ( µ ).(7) Supposons λ = 1. Alors | λexp ( µ ) − | F = | λ − | F .13e bons voisinages de 0 existent, aussi petits que l’on veut en ce sens que, si ω est un voisinage de 0 dans g x ( F ), il existe un bon voisinage ω de 0 tel que ω ⊂ ω G x .Consid´erons un bon voisinage ω de 0. Les conditions (1) et (2) entraˆınent que l’ensembleΩ = ( xexp ( ω )) G est un G -domaine dans G ( F ), compact modulo conjugaison. La condi-tion (4) entraˆıne que, pour X ∈ ω , Z G ( xexp ( X ))( F ) ⊂ Z G ( x )( F ) et G xexp ( X ) = ( G x ) X ⊂ G x . On note simplement G x,X = ( G x ) X . La condition (6) entraˆıne que l’exponentiellede ω sur exp ( ω ) pr´eserve les mesures. Plus g´en´eralement, elle entraˆıne qu’un certainnombre de jacobiens qui interviendront plus tard sont ´egaux `a 1. Les conditions (6) et(7) entraˆınent que, pour tout X ∈ ω , on a l’´egalit´e D G ( xexp ( X )) = D G ( x ) D G x ( X ) . Une cons´equence de la propri´et´e (4) est que, pour toute fonction ϕ sur ω , invariantepar conjugaison par Z G ( x )( F ), il existe une unique fonction f sur G ( F ), invariante parconjugaison par G ( F ), `a support dans Ω et telle que f ( xexp ( X )) = ϕ ( X ) pour tout ϕ ∈ ω . Si ϕ est localement constante sur ω ∩ g reg ( F ), f est localement constante sur G reg ( F ).Le cas ´ech´eant, on peut renforcer les conditions impos´ees aux bons voisinages. Suppo-sons par exemple que G x se d´ecompose en le produit de deux groupes r´eductifs connexes G x = G ′ × G ′′ , conserv´es chacun par Z G ( x )( F ). On peut imposer(8) ω = ω ′ × ω ′′ , o`u ω ′ ⊂ g ′ ( F ) et ω ′′ ⊂ g ′′ ( F ) v´erifient des conditions analogues `a (1)et (2).Ou bien, supposons fix´ee une repr´esentation alg´ebrique ρ de G dans un espace vecto-riel V de dimension finie sur F . Les conditions pr´ec´edant (7) s’appliquent en rempla¸cant g ( F ) par V et les op´erateurs ad ( x ), ad ( X ) et ad ( xexp ( X )) par ρ ( x ), ρ ( X ), ρ ( xexp ( X )).On peut imposer une condition (7) ρ analogue `a (7) pour les ensembles de valeurs propresainsi d´efinis. Soit M un L´evi de G contenant x . On a l’´egalit´e M x = M ∩ G x et ce groupe est un L´evide G x : c’est le commutant de A M ⊂ G x . On a A M ⊂ A M x . Pour P = M U ∈ P ( M ), on ales ´egalit´es P x = P ∩ G x , U x = U ∩ G x , P x = M x U x et P x appartient `a P ( M x ) = P G x ( M x ).Inversement, soit R un L´evi de G x . Notons R le commutant de A R dans G . C’est unL´evi de G . On a :(1) x ∈ R ( F ), R x = M et A R = A R .Preuve. Puisque x commute `a A R , x appartient `a R ( F ). On sait d´ej`a que A R ⊂ A R x .Le groupe R commute `a A R , donc est inclus dans R , puis dans R ∩ G x = R x . Cela entraˆıne A R x ⊂ A R . Enfin, par construction de R , A R est inclus dans A R . Alors A R = A R x = A R ,ce qui entraˆıne les deux derni`eres assertions de (1) (cid:3) L’application R R est une bijection de l’ensemble des L´evi de G x sur celui desL´evi M de G contenant x et tels que A M = A M x . Fixons un L´evi minimal R min de G x , un sous-groupe compact sp´ecial K x de G x ( F )en bonne position relativement `a R min et un sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F )14n bonne position relativement `a R min . Remarquons que la bijection du paragraphepr´ec´edent se restreint en une bijection de L G x ( R min ) sur le sous-ensemble des M ∈L G ( R min ) tels que A M = A M x . Le L´evi R min n’a bien sˆur aucune raison d’ˆetre minimaldans G . Lemme . Soient R ∈ L ( R min ) , g ∈ G x ( F ) et y ∈ G ( F ) . On a l’´egalit´e : v R ( gy ) = X S ∈L ( R ) X Q ∈P ( S ) v Q x R ( g ) u Q ( H Q ( gy ) − H Q x ( g )) . Preuve. Pour P ∈ P ( R ) et λ ∈ i A R = i A R , posons c P ( g )( λ ) = v P x ( g )( λ ). D’apr`es[A4] p.233, la famille ( c P ( g )) P ∈P ( R ) est une ( G, R )-famille. D´efinissons la ( G, R )-famille( d P ( g, y )) P ∈P ( R ) par d P ( g, y ) = c P ( g ) − v P ( gy ). Elle est associ´ee `a la famille de points( H P ( gy ) − H P x ( g )) P ∈P ( R ) . On a v P ( gy ) = c P ( g ) d P ( g, y ). D’apr`es 2.2(2), v R ( gy ) = X Q = LU ∈F ( R ) c Q R ( g ) u Q ( H Q ( gy ) − proj L ( H Q x ( g ))) . Soit Q = LU ∈ F ( R ). D’apr`es [A4], lemme 4.1, c Q R ( g ) = X S ∈L ( R ) d LR ( R , S ) v Q S R ( g ) . Le groupe Q S appartient `a P ( S ) et est contenu dans Q x . La constante d LR ( R , S ) estsimilaire `a celle de 2.2. La condition d LR ( R , S ) = 0 impose A LR = A L R ⊕ A LS . Or A R = A R .Donc A S = A L . Mais alors L = S et Q S = Q x . On obtient : c Q R ( g ) = (cid:26) v Q x R ( g ) , si L = S pour un S ∈ P ( R ) , , sinon . Dans le cas o`u L = S pour un S ∈ P ( R ), on a H Q x ( g ) ∈ A S = A L , donc proj L ( H Q x ( g )) = H Q x ( g ). Toutes ces formules conduisent `a celle de l’´enonc´e. (cid:3) G ( F ) Soit θ une fonction d´efinie presque partout sur G ( F ) et invariante par conjugaison.On dit que c’est un quasi-caract`ere si et seulement si, pour tout x ∈ G ss ( F ), il existeun bon voisinage ω de 0 dans g x ( F ) et, pour tout O ∈
N il ( g x ), il existe c θ, O ( x ) ∈ C desorte que l’on ait l’´egalit´e(1) θ ( xexp ( X )) = X O∈ Nil ( g x ) c θ, O ( x )ˆ j ( O , X )presque partout pour X ∈ ω . Autrement dit, pour toute f ∈ C ∞ c ( g x ( F )) `a support dans ω , on a l’´egalit´e Z g x ( F ) θ ( xexp ( X )) f ( X ) dX = X O∈ Nil ( g x ) c θ, O ( x ) ˆ J O ( f ) . c θ, O ( x ) sont uniquement d´etermin´es.Soit θ un quasi-caract`ere. Alors θ est localement int´egrable sur G ( F ) et localementconstant sur G reg ( F ). Pour tout G -domaine Ω dans G ( F ), θ Ω est un quasi-caract`ere.Soient x ∈ G ss ( F ) et ω un bon voisinage de 0 dans g x ( F ). On dit que θ est d´eveloppabledans xexp ( ω ) si l’´egalit´e (1) est v´erifi´ee pour X ∈ ω ∩ g reg ( F ). g ( F ) La d´efinition pr´ec´edente s’adapte aux alg`ebres de Lie. Soit θ une fonction d´efiniepresque partout sur g ( F ). On dit que c’est un quasi-caract`ere si et seulement si, pourtout X ∈ g ss ( F ), il existe un G X -domaine ω dans g X ( F ), contenant 0, et, pour tout O ∈
N il ( g X ), il existe c θ, O ( X ) ∈ C de sorte que l’on ait l’´egalit´e(1) θ ( X + Y ) = X O∈ Nil ( g X ) c θ, O ( X )ˆ j ( O , Y )presque partout pour Y ∈ ω . Les quasi-caract`eres de g ( F ) ont des propri´et´es similaires`a celles des quasi-caract`eres de G ( F ).Soit θ un quasi-caract`ere. On note simplement c θ, O = c θ, O (0) les coefficients dud´eveloppement de θ au point 0. Soit λ ∈ F × . Alors θ λ est un quasi-caract`ere. Soient X ∈ g ss ( F ) et ω comme ci-dessus, tel que θ soit d´eveloppable dans X + ω . Alors θ λ estd´eveloppable dans λ − X + λ − ω . Remarquons que g λ − X = g X . Pour tout O ∈
N il ( g X ),on a l’´egalit´e (2) c θ λ , O ( λ − X ) = | λ | − dim ( O ) / F c θ, O ( X ) . Cela r´esulte imm´ediatement des formules de 2.6.
Th´eor`eme . Soit D une distribution sur g ( F ) , invariante par conjugaison et `a supportcompact modulo conjugaison. Alors sa transform´ee de Fourier est la distribution associ´ee`a une fonction localement int´egrable θ qui est un quasi-caract`ere. C’est un r´esultat d’Harish-Chandra. La premi`ere assertion r´esulte du th´eor`eme 4.4 de[HCDS]. La derni`ere n’est pas tr`es clairement ´enonc´ee dans cette r´ef´erence mais r´esultede la preuve du th´eor`eme 4.4, en particulier du th´eor`eme 5.11 et du corollaire 6.10.
On fixe un ´el´ement x ∈ G ss ( F ) et un bon voisinage ω de 0 dans g x ( F ). Soit θ unquasi-caract`ere de G ( F ). On d´efinit une fonction θ x,ω sur g x ( F ) par θ x,ω ( X ) = (cid:26) θ ( xexp ( X )) , si X ∈ ω, , sinon . Alors θ x,ω est un quasi-caract`ere de g x ( F ). On a les ´egalit´es c θ, O ( xexp ( X )) = c θ x,ω , O ( X )pour tout X ∈ ω ∩ g x,ss ( F ) et tout O ∈
N il ( g x,X ). En particulier c θ, O ( x ) = c θ x,ω , O pourtout O ∈
N il ( g x ).Inversement, soit θ un quasi-caract`ere de g x ( F ). Supposons que θ soit invariant parconjugaison par Z G ( x )( F ) et `a support dans ω . Soit θ la fonction sur G ( F ), invariante parconjugaison par G ( F ), `a support dans Ω = ( xexp ( ω )) G et telle que θ ( xexp ( X )) = θ ( X )pour X ∈ ω , cf. 3.1. Alors θ est un quasi-caract`ere sur G ( F ). On a l’´egalit´e θ x,ω = θ .16 Fonctions tr`es cuspidales
Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )). On dit que f est tr`es cuspidale si et seulement si, pour toutsous-groupe parabolique propre P = M U de G et pour tout x ∈ M ( F ), on a l’´egalit´e Z U ( F ) f ( xu ) du = 0 . Remarquons que l’int´egrale ci-dessus est localement constante en x . Sa nullit´e sur M ( F )´equivaut `a sa nullit´e sur M ( F ) ∩ G reg ( F ). Mais, pour x ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ), on a l’´egalit´e δ P ( x ) / Z U ( F ) f ( xu ) du = D G ( x ) / D M ( x ) − / Z U ( F ) f ( u − xu ) du. Alors f est tr`es cuspidale si et seulement si, pour tout sous-groupe parabolique propre P = M U de G et pour tout x ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ), on a l’´egalit´e Z U ( F ) f ( u − xu ) du = 0 . Disons qu’un ´el´ement x ∈ G reg ( F ) est elliptique si A G x = A G . Si le support de f est contenu dans l’ensemble des ´el´ements r´eguliers elliptiques de G ( F ), alors f est tr`escuspidale. Si Ω est un G -domaine dans G ( F ) et si f est tr`es cuspidale, alors f Ω est tr`escuspidale. Si f est tr`es cuspidale, g f l’est pour tout g ∈ G ( F ). Soient M un L´evi de G et K un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ) en bonneposition relativement `a M . Lemme . Soient f ∈ C ∞ c ( G ( F )) et x ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ) . On suppose f tr`es cuspidale.(i) L’int´egrale orbitale pond´er´ee J M ( x, f ) ne d´epend pas de K .(ii) Pour tout y ∈ G ( F ) , on a l’´egalit´e J M ( x, y f ) = J M ( x, f ) .(iii) Si A G x = A M , alors J M ( x, f ) = 0 . Preuve. Soit ˜ K un autre sous-groupe compact sp´ecial en bonne position relativement`a M . Soit g ∈ G ( F ). En utilisant K , on a d´efini la famille de points ( H P ( g )) P ∈P ( M ) et la ( G, M )-famille ( v P ( g )) P ∈P ( M ) . En utilisant ˜ K , on d´efinit de mˆeme une famille depoints ( ˜ H P ( g )) P ∈P ( M ) et une ( G, M )-famille (˜ v P ( g )) P ∈P ( M ) . On d´efinit la ( G, M )-famille( d P ) P ∈P ( M ) par d P ( g ) = v P ( g )˜ v P ( g ) − . Elle est associ´ee `a la famille de points ( H P ( g ) − ˜ H P ( g )) P ∈P ( M ) . On a v P ( g ) = ˜ v P ( g ) d P ( g ), d’o`u, d’apr`es 2.2(2) v M ( g ) = X Q ∈F ( M ) ˜ v QM ( g ) u Q ( H Q ( g ) − ˜ H Q ( g )) . Alors J M ( x, f ) = D G ( x ) / Z G x ( F ) \ G ( F ) f ( g − xg ) v M ( g ) dg D G ( x ) / X Q ∈F ( M ) Z G x ( F ) \ G ( F ) f ( g − xg )˜ v QM ( g ) u Q ( H Q ( g ) − ˜ H Q ( g )) dg = D G ( x ) / X Q = LU ∈F ( M ) Z L x ( F ) \ L ( F ) Z ˜ K Z U ( F ) f ( k − u − l − xluk )˜ v LM ( l ) u Q ( H Q ( k )) du dk dl. Si Q = G , l’int´egrale int´erieure sur U ( F ) est nulle puisque f est tr`es cuspidale. Le termepour Q = G est l’int´egrale orbitale pond´er´ee calcul´ee `a l’aide de ˜ K . Cela prouve (i).Par changement de variable J M ( x, y f ) = D G ( x ) / Z G x ( F ) \ G ( F ) f ( g − xg ) v M ( gy − ) dg. La relation 2.2(2) permet d’exprimer v M ( gy − ) `a l’aide des v QM ( g ) pour Q ∈ F ( M ).Comme ci-dessus, les termes index´es par Q = G ont une contribution nulle. Le termepour Q = G donne l’int´egrale J M ( x, f ). Cela prouve (ii).Soit M ( x ) le commutant de A G x dans G . C’est un L´evi de M . Quitte `a changer degroupe K , ce qui est loisible d’apr`es (i), on peut supposer que K est en bonne positionrelativement `a M ( x ). La formule 2.2(3) appliqu´ee aux poids conduit ais´ement `a l’´egalit´e J M ( x, f ) = X L ∈L ( M ( x )) d GM ( x ) ( M, L ) J LM ( x ) ( x, f Q ) . Supposons A G x = A M . Alors M ( x ) = M et tous les L´evi L intervenant dans cette sommesont diff´erents de G . Les fonctions correspondantes f Q sont nulles et on obtient l’assertion(iii). (cid:3) Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )). On suppose f tr`es cuspidale. Soit x ∈ G reg ( F ). Notons M ( x ) lecommutant de A G x dans G . C’est un L´evi de G . On pose θ f ( x ) = ( − a M ( x ) − a G ν ( G x ) − D G ( x ) − / J M ( x ) ( x, f ) , l’int´egrale orbitale pond´er´ee ´etant calcul´ee `a l’aide d’un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ) en bonne position relativement `a M ( x ). Cette d´efinition est loisible d’apr`es le (i)du lemme pr´ec´edent. Lemme . La fonction θ f est invariante par conjugaison, `a support compact moduloconjugaison, localement int´egrable sur G ( F ) et localement constante sur G reg ( F ) . Preuve. Soient y ∈ G ( F ) et x ∈ G reg ( F ). On a M ( yxy − ) = yM ( x ) y − . Par transportde structure, J M ( x ) ( x, f ) = J yM ( x ) y − ( yxy − , y f ) . Le second terme est ´egal `a J yM ( x ) y − ( yxy − , f ) d’apr`es le (ii) du lemme pr´ec´edent. Alors θ f ( x ) = θ f ( yxy − ), d’o`u la premi`ere assertion. Le support de θ f est contenu dans18 Supp ( f )) G , d’o`u la deuxi`eme assertion. Puisque θ f est invariante par conjugaison, lalocale int´egrabilit´e et la locale constance se testent sur les tores maximaux de G . Soit T un tel tore, notons M ( T ) le commutant de A T dans G . Pour x ∈ T ( F ) ∩ G reg ( F ),on a M ( x ) = M ( T ). Les assertions `a prouver r´esultent des assertions similaires pour lafonction x J M ( T ) ( x, f ) sur T ( F ) ∩ G reg ( F ). Celles-ci r´esultent du lemme 2.3. (cid:3) Soit x ∈ G ss ( F ). On suppose que G x est le produit de deux groupes r´eductifs connexes G x = G ′ × G ′′ , conserv´es chacun par Z G ( x )( F ). Tout ´el´ement X ∈ g x ( F ) se d´ecomposeen somme d’un ´el´ement de g ′ ( F ) et d’un ´el´ement de g ′′ ( F ). On notera sans plus de com-mentaire X = X ′ + X ′′ cette d´ecomposition. De mˆeme, tout L´evi R de G x se d´ecomposeen R = R ′ × R ′′ , o`u R ′ est un L´evi de G ′ et R ′′ un L´evi de G ′′ . On note f f ♯ la transfor-mation de Fourier partielle dans C ∞ c ( g x ( F )) relative `a la deuxi`eme variable. C’est-`a-direque, pour X = X ′ + X ′′ ∈ g x ( F ), f ♯ ( X ) = Z g ′′ ( F ) f ( X ′ + Y ′′ ) ψ ( < Y ′′ , X ′′ > ) dY ′′ . Si R est un L´evi de G x , on d´efinit de mˆeme une transformation de Fourier partielle f f ♯ dans C ∞ c ( r ( F )). Soit ω un bon voisinage de 0 dans g x ( F ), auquel on impose lacondition (8) de 3.1. Cette situation sera conserv´ee jusqu’en 5.8 inclus.Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )). Pour g ∈ G ( F ), on d´efinit g f x,ω ∈ C ∞ c ( g x ( F )) par g f x,ω ( X ) = (cid:26) , si X ω,f ( g − xexp ( X ) g ) , si X ∈ ω. On pose g f ♯x,ω = ( g f x,ω ) ♯ . Pour y ∈ Z G ( x )( F ) et X ∈ g x ( F ), on a les ´egalit´es(1) yg f x,ω ( X ) = g f x,ω ( y − Xy ) , yg f ♯x,ω ( X ) = g f ♯x,ω ( y − Xy ) . Soient M un L´evi de G tel que x ∈ M ( F ). On fixe un sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F ) en bonne position relativement `a M . Soit P = M U ∈ P ( M ). Pour f ∈ C ∞ c ( G ( F )), d´efinissons des fonctions ϕ [ P, f ], ϕ ♯ [ P, f ] et J ♯M,x,ω ( ., f ) sur m x ( F ) ∩ g x,reg ( F )par ϕ [ P, f ]( X ) = D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U ( F ) u f x,ω ( X ) du,ϕ ♯ [ P, f ]( X ) = D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U ( F ) u f ♯x,ω ( X ) du,J ♯M,x,ω ( X, f ) = D G x ( X ) / Z G x,X ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X ) v M ( g ) dg. Lemme . (i) Ces trois int´egrales sont absolument convergentes.(ii) Les fonctions ϕ [ P, f ] et ϕ ♯ [ P, f ] se prolongent en des ´el´ements de C ∞ c ( m x ( F )) eton a l’´egalit´e ϕ ♯ [ P, f ] = ( ϕ [ P, f ]) ♯ .(iii) La fonction X J ♯M,x,ω ( X, f ) est invariante par conjugaison par M x ( F ) . Sonsupport est compact modulo conjugaison. Elle est localement constante sur m x ( F ) ∩ x,reg ( F ) . Il existe c > et un entier k ≥ (d’ailleurs ind´ependant de f ) tels que l’onait l’in´egalit´e | J ♯M,x,ω ( X, f ) | ≤ c (1 + | log ( D G x ( X )) | ) k pour tout X ∈ m x ( F ) ∩ g x,reg ( F ) . Preuve. Ecrivons(2) ϕ [ P, f ]( X ) = Z U x ( F ) \ U ( F ) D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U x ( F ) uv f x,ω ( X ) du dv, (3) ϕ ♯ [ P, f ]( X ) = Z U x ( F ) \ U ( F ) D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U x ( F ) uv f ♯x,ω ( X ) du dv. D’apr`es 2.1(5), on peut fixer un sous-ensemble compact Γ de G ( F ) tel que g f x,ω = 0pour g ∈ G ( F ), g G x ( F )Γ. On a donc aussi g f ♯x,ω = 0 pour un tel g . On v´erifie quel’application U x ( F ) \ U ( F ) → G x ( F ) \ G ( F )est d’image ferm´ee et est un hom´eomorphisme de sa source sur son image. Il en r´esulteque les int´egrales en v ∈ U x ( F ) \ U ( F ) dans les ´egalit´es (2) et (3) sont `a support compact.Les expressions que l’on int`egre ´etant localement constantes, il suffit de fixer v ∈ U ( F ) etde prouver les assertions pour les expressions en question. Grˆace `a (1), celles-ci s’´ecrivent D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U x ( F ) v f x,ω ( u − Xu ) du,D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U x ( F ) v f ♯x,ω ( u − Xu ) du. Par un calcul familier, elles sont ´egales `a Z u x ( F ) v f x,ω ( X + N ) dN et Z u x ( F ) v f ♯x,ω ( X + N ) dN. Les assertions sont maintenant faciles `a prouver.De mˆeme, pour d´emontrer les assertions relatives `a la fonction J ♯M,x,ω ( ., f ), on peutfixer γ ∈ Γ et prouver les mˆemes assertions pour la fonction X D G x ( X ) / Z G x,X ( F ) \ G x ( F ) gγ f ♯x,ω ( X ) v M ( gγ ) dg, ou encore X D G x ( X ) / Z G x,X ( F ) \ G x ( F ) γ f ♯x,ω ( g − Xg ) v M ( gγ ) dg. Il suffit alors de reprendre la preuve du lemme 2.3. (cid:3) .5 Localisation pour une fonction tr`es cuspidale Les groupes M , P et K sont comme dans le paragraphe pr´ec´edent. Lemme . Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale.(i) Si P = G , les fonctions ϕ [ P, f ] et ϕ ♯ [ P, f ] sont nulles.(ii) La fonction J ♯M,x,ω ( ., f ) ne d´epend pas du choix de K . Elle s’annule aux points X ∈ m x ( F ) ∩ g x,reg ( F ) tels que A G x,X = A M . En particulier, elle est partout nulle si A M x = A M . Pour tous y ∈ G ( F ) et X ∈ m x ( F ) ∩ g x,reg ( F ) , on a l’´egalit´e J ♯M,x,ω ( X, f ) = J ♯M,x,ω ( X, y f ) . Preuve. Soit X ∈ m x ( F ) ∩ g x,reg ( F ). Par d´efinition, ϕ [ P, f ]( X ) = 0 si X ω . Suppo-sons X ∈ ω . Alors ϕ [ P, f ]( X ) = D G x ( X ) / D M x ( X ) − / Z U ( F ) f ( u − xexp ( X ) u ) du. On a xexp ( X ) ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ). Si P = G , cette int´egrale est nulle puisque f est tr`escuspidale. Donc ϕ [ P, f ] = 0. Puisque ϕ ♯ [ P, f ] = ( ϕ [ P, f ]) ♯ , on a aussi ϕ ♯ [ P, f ] = 0.On d´emontre (ii) en reprenant la preuve du lemme 5.2. On y avait utilis´e l’hypoth`esede forte cuspidalit´e de f pour annuler certaines int´egrales. Maintenant, les int´egralessimilaires s’annulent d’apr`es la nullit´e des fonctions ϕ ♯ [ Q, f ] pour tout Q ∈ F ( M ), Q = G . Cela conduit aux mˆemes r´esultats. (cid:3) Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale. On d´efinit une fonction θ f,x,ω sur g x,reg ( F ) par θ f,x,ω ( X ) = (cid:26) , si X ω,θ f ( xexp ( X )) , si X ∈ ω. Soit X ∈ g x,reg ( F ). Notons M ( X ) le commutant de A G x,X dans G . On pose θ ♯f,x,ω ( X ) = ( − a M ( X ) − a G ν ( G x,X ) − D G x ( X ) − / J ♯ M ( X ) ,x,ω ( X, f ) , le dernier terme ´etant calcul´e `a l’aide d’un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ) enbonne position relativement `a M ( X ). Cette d´efinition est loisible d’apr`es le (ii) du lemmepr´ec´edent. Lemme . Les fonctions θ f,x,ω et θ ♯f,x,ω sont invariantes par conjugaison par G x ( F ) , `asupport compact modulo conjugaison, localement int´egrables sur g x ( F ) et localementconstantes sur g x,reg ( F ) . Preuve. Pour la fonction θ f,x,ω , les assertions r´esultent du lemme 5.3. Pour la fonction θ ♯f,x,ω , elles se prouvent comme dans ce lemme, en utilisant les lemmes 5.4(iii) et 5.5(ii). (cid:3) .7 Descente des int´egrales orbitales pond´er´ees On fixe un L´evi minimal R min de G x et un sous-groupe compact sp´ecial K x de G x ( F )en bonne position relativement `a R min . Rappelons l’application R R de 3.2. On fixeun sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F ) en bonne position relativement `a R min . Lemme . Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale. Pour tout S ∈ L ( R min ) ,il existe une fonction f S ∈ C ∞ c ( s ( F )) , `a support dans ω ∩ s ( F ) , telle que, pour tout R ∈ L ( R min ) , on ait les ´egalit´es(i) J R ( xexp ( X ) , f ) = D G ( x ) / P S ∈L ( R ) J SR ( X, f S ) pour tout X ∈ r ( F ) ∩ g x,reg ( F ) ∩ ω ;(ii) J ♯ R ,x,ω ( X, f ) = P S ∈L ( R ) J SR ( X, f
S,♯ ) pour tout X ∈ r ( F ) ∩ g x,reg ( F ) , o`u f S,♯ =( f S ) ♯ . Preuve. Soient R ∈ L ( R min ) et X ∈ r ( F ) ∩ g x,reg ( F ) ∩ ω . On a les ´egalit´es J R ( xexp ( X ) , f ) = D G ( xexp ( X )) / Z G x,X ( F ) \ G ( F ) g f x,ω ( X ) v R ( g ) dg, (1) J R ( xexp ( X )) = D G ( x ) / D G x ( X ) / Z G x,X ( F ) \ G ( F ) g f x,ω ( X ) v R ( g ) dg. Fixons un sous-groupe ouvert compact K ′ de K tel que f soit invariante par conjugaisonpar K ′ . Soit ∆ un ensemble de repr´esentants de G x ( F ) \ G ( F ) /K ′ . On a l’´egalit´e Z G x,X ( F ) \ G ( F ) g f x,ω ( X ) v R ( g ) dg = X δ ∈ ∆ m ( δ ) Z G x,X ( F ) \ G x ( F ) gδ f x,ω ( X ) v R ( gδ ) dg, o`u m ( δ ) = mes ( K ′ ) mes ( G x ( F ) ∩ δK ′ δ − ) − . D’apr`es 3.1(5), on peut fixer un sous-ensemble fini ∆ ⊂ ∆ tel que gδ f x,ω = 0 pour tout g ∈ G x ( F ) et tout δ ∈ ∆ tel que δ ∆ . Le lemme 3.3 conduit `a l’´egalit´e suivante(2) J R ( xexp ( X ) , f ) = D G ( x ) / X S ∈L ( R ) X δ ∈ ∆ X Q ∈P ( S ) m ( δ ) c Q,δ ( X ) , o`u c Q,δ ( X ) = D G x ( X ) / Z G x,X ( F ) \ G x ( F ) δ f x,ω ( g − Xg ) v Q x R ( g ) u Q ( H Q ( gδ ) − H Q x ( g )) dg. Un calcul familier remplace cette expression par c Q,δ ( X ) = D S ( X ) / Z G ( x,X )( F ) \ S ( F ) Z K x Z u x ( F ) kδ f x,ω ( l − Xl + N ) v SR ( l ) u Q ( H Q ( kδ )) dN dk dl, o`u U x est le radical unipotent de Q x . D´efinissons une fonction f Q,δ sur s ( F ) par f Q,δ ( Y ) = Z K x Z u x ( F ) kδ f x,ω ( Y + N ) u Q ( H Q ( kδ )) dN dk. Cette fonction appartient `a C ∞ c ( s ( F )) et on a l’´egalit´e c Q,δ ( X ) = J SR ( X, f
Q,δ ) .
22n posant f S = X δ ∈ ∆ X Q ∈P ( S ) m ( δ ) f Q,δ , l’´egalit´e (2) devient celle du (i) de l’´enonc´e.Pour tout X ∈ r ( F ) ∩ g x,reg ( F ), le terme J ♯ R ,x,ω ( X, f ) s’exprime par une formuleanalogue `a (1) : il suffit de supprimer le facteur D G ( x ) / et de remplacer les fonctions g f x,ω par g f ♯x,ω . On peut refaire le calcul ci-dessus. Les fonctions f Q,δ sont remplac´ees parles fonctions Y Z K x Z u x ( F ) kδ f ♯x,ω ( Y + N ) u Q ( H Q ( kδ )) dn dk. On v´erifie ais´ement que ce sont les images f Q,δ,♯ de f Q,δ par transformation de Fourierpartielle. Le (ii) de l’´enonc´e s’ensuit. (cid:3)
Proposition . Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale. Alors la fonction θ ♯f,x,ω estla transform´ee de Fourier partielle de θ f,x,ω , c’est-`a-dire que, pour toute ϕ ∈ C ∞ c ( g x ( F )) ,on a l’´egalit´e Z g x ( F ) θ ♯f,x,ω ( X ) ϕ ( X ) dX = Z g x ( F ) θ f,x,ω ( X ) ϕ ♯ ( X ) dX. Preuve. Soit ϕ ∈ C ∞ c ( g x ( F )). Notons θ ♯ ( ϕ ) le membre de gauche de l’´egalit´e del’´enonc´e et θ ( ϕ ♯ ) celui de droite. D’apr`es la formule de Weyl, on a θ ( ϕ ♯ ) = X R ∈L ( R min ) | W R || W G x | − X T ∈T ell ( R ) | W ( R, T ) | − Z t ( F ) J G x ( X, ϕ ♯ ) θ f,x,ω ( X ) D G x ( X ) / dX. Soient R ∈ L ( R min ), T ∈ T ell ( R ) et X ∈ t ( F ) ∩ g x,reg ( F ). Supposons d’abord X ∈ ω .Alors θ f,x,ω ( X ) = ( − a M ( xexp ( X )) − a G ν ( T ) − D G ( xexp ( X )) − / J M ( xexp ( X )) ( xexp ( X ) , f ) . On a D G ( xexp ( X )) = D G ( x ) D G x ( X ). On a aussi M ( xexp ( X )) = R . Enfin J R ( xexp ( X ) , f )est calcul´e par le lemme 5.7 et on obtient : θ f,x,ω ( X ) = ( − a R − a G ν ( T ) − D G x ( X ) − / X S ∈L ( R ) J SR ( X, f S ) . Cette formule reste vraie pour X ω car ses deux membres sont nuls : par d´efinitionde θ f,x,ω pour celui de gauche ; parce que les fonctions f S sont `a support dans s ( F ) ∩ ω pour celui de droite. D’o`u l’´egalit´e θ ( ϕ ♯ ) = X S ∈L ( R ) | W S || W G x | − ( − a S − a G θ S ( ϕ ♯ , f S ) , o`u (1) θ S ( ϕ ♯ , f S ) = X R ∈L S ( R min ) | W R || W G x | − ( − a R − a S T ∈T ell ( R ) | W ( R, T ) | − ν ( T ) − Z t ( F ) J G x ( X, ϕ ♯ ) J SR ( X, f S ) dX. Soient S ∈ L ( R min ), α et β deux ´el´ements de C ∞ c ( s ( F )). Pour R ∈ L S ( R min ), T ∈ T ell ( R )et X ∈ t ( F ) ∩ g x,reg ( F ), posons(2) j SR ( X, α, β ) = X S ′′ ,S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) d S ′′ R ′′ ( S ′′ , S ′′ ) J S ′ × S ′′ S ′ × R ′′ ( X, α S ′ × ¯ Q ′′ ) J S ′ × S ′′ R ( X, β S ′ × Q ′′ ) . Les sous-groupes paraboliques Q ′′ et Q ′′ sont d´etermin´es par un param`etre auxiliaire ξ ′′ ∈ A S ′′ R ′′ . On pose j S ( α, β ) = X R ∈L S ( R min ) | W R || W S | − ( − a R − a S X T ∈T ell ( R ) | W ( R, T ) | − ν ( T ) − Z t ( F ) j SR ( X, α, β ) dX. Revenons `a la formule (2) et supposons que α v´erifie l’hypoth`ese (H) de 2.5. On peutalors remplacer α S ′ × ¯ Q ′′ par α S ′ × S ′′ . Soit S ′′ ∈ L S ′′ ( M ′′ ). Pour tout γ ∈ C ∞ c ( s ′ ( F ) × s ′′ ( F )),on a la formule de descente J S ′ × S ′′ S ′ × R ′′ ( X, γ ) = J R ′ × S ′′ R ( X, γ Q ′ × S ′′ )o`u Q ′ est un ´el´ement quelconque de P S ′ ( R ′ ). Appliqu´ee `a γ = α S ′ × S ′′ , cette formuledevient J S ′ × S ′′ S ′ × R ′′ ( X, α S ′ × S ′′ ) = J R ′ × S ′′ R ( X, α R ′ × S ′′ ) . Alors j SR ( X, α, β ) = X S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) J R ′ × S ′′ R ( X, α R ′ × S ′′ ) X S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) d S ′′ R ′′ ( S ′′ , S ′′ ) J S ′ × S ′′ R ( X, β S ′ × Q ′′ ) . Fixons S ′′ ∈ L S ′′ ( R ′′ ). L’application S S ′′ est une bijection de l’ensemble des S ∈ L S ( R ) tels que d SR ( R ′ × S ′′ , S ) = 0 sur l’ensemble des S ′′ ∈ L S ′′ ( R ′′ ) tels que d S ′′ R ′′ ( S ′′ , S ′′ ) = 0. La bijection r´eciproque est S ′′ S ′ × S ′′ . Fixons un param`etre auxi-liaire ξ ∈ A SR dont la seconde composante soit ξ ′′ . Pour S et S ′′ se correspondant parla bijection ci-dessus, on a d SR ( R ′ × S ′′ , S ) = d S ′′ R ′′ ( S ′′ , S ′′ ) et le parabolique Q associ´e `a R ′ × S ′′ , S et ξ n’est autre que S ′ × Q ′′ . Cela conduit `a l’´egalit´e j SR ( X, α, β ) = X S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) J R ′ × S ′′ R ( X, α R ′ × S ′′ ) X S ∈L S ( R ) d SR ( R ′ × S ′′ , S ) J S R ( X, β Q ) , ou encore, d’apr`es 2.2(3),(3) j SR ( X, α, β ) = X S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) J R ′ × S ′′ R ( X, α R ′ × S ′′ ) J SR ′ × S ′′ ( X, β ) . Supposons que la fonction ϕ v´erifie l’hypoth`ese (H). Une g´en´eralisation imm´ediate de ceque l’on a dit en 2.5 montre que ϕ ♯ v´erifie aussi cette hypoth`ese et que ( ϕ S ) ♯ = ( ϕ ♯ ) S .On peut noter sans ambig¨uit´e ϕ ♯S cette fonction. Elle v´erifie aussi (H) et j SR ( X, ϕ ♯S , f S )se calcule par la formule (3). Remarquons que le terme de cette formule index´e par24 ′′ = R ′′ est J RR ( X, ϕ ♯R ) J SR ( X, f S ), ´egal `a J G x ( X, ϕ ♯ ) J SR ( X, f S ), qui est pr´ecis´ement leterme intervenant dans (1). On en d´eduit j S ( ϕ ♯S , f S ) − θ S ( ϕ ♯ , f S ) = X R ∈L S ( R min ) | W R || W S | − ( − a R − a S X T ∈T ell ( R ) | W ( R, T ) | − ν ( T ) − Z t ( F ) X S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) ,S ′′ = R ′′ J R ′ × S ′′ R ( X, ϕ ♯R ′ × S ′′ ) J SR ′ × S ′′ ( X, f S ) dX. Posons j ( ϕ ♯ ) = X S ∈L ( R min ) | W S || W G x | − ( − a S − a G j S ( ϕ ♯S , f S ) . Alors j ( ϕ ♯ ) − θ ( ϕ ♯ ) = X S ∈L ( R min ) | W S || W G x | − ( − a S − a G ( j S ( ϕ ♯S , f S ) − θ S ( ϕ ♯ , f S )) ,j ( ϕ ♯ ) − θ ( ϕ ♯ ) = X R ∈L ( R min ) | W R || W G x | − ( − a R − a G X T ∈T ell ( R ) | W ( R, T ) | − ν ( T ) − Z t ( F ) X S ′′ ∈L G ′′ ( R ′′ ) ,S ′′ = R ′′ J R ′ × S ′′ R ( X, ϕ ♯R ′ × S ′′ ) X S ∈L Gx ( R ′ × S ′′ ) J SR ′ × S ′′ ( X, f S ) dX. D’apr`es le lemme 5.7, la derni`ere somme dans l’expression ci-dessus est D G ( x ) − / J S ( xexp ( X ) , f ) , o`u on a pos´e S = R ′ × S ′′ . Or xexp ( X ) ∈ R ( S puisque R ′′ ( S ′′ . D’apr`es le lemme5.2(iii), l’expression ci-dessus est nulle. D’o`u l’´egalit´e θ ( ϕ ♯ ) = j ( ϕ ♯ ) . D´efinissons j ♯ ( ϕ ) en rempla¸cant j S ( ϕ ♯S , f S ) par j S ( ϕ S , f S,♯ ) dans la formule (4). Le mˆemecalcul conduit `a l’´egalit´e θ ♯ ( ϕ ) = j ♯ ( ϕ ) . Il suffit en effet de remplacer l’usage du lemme 5.2(iii) par celui du lemme 5.5(ii).L’´egalit´e θ ( ϕ ♯ ) = θ ♯ ( ϕ ) que l’on veut prouver ´equivaut donc `a j ( ϕ ♯ ) = j ♯ ( ϕ ). Ilsuffit de fixer S ∈ L ( R min ) et de prouver l’´egalit´e j S ( ϕ ♯S , f S ) = j S ( ϕ S , f S,♯ ). On vaplus g´en´eralement prouver l’´egalit´e j S ( α ♯ , β ) = j L ( α, β ♯ ) pour toutes α, β ∈ C ∞ c ( s ( F )).Par lin´earit´e, on peut supposer α = α ′ ⊗ α ′′ , β = β ′ ⊗ β ′′ , o`u α ′ , β ′ ∈ C ∞ c ( s ′ ( F )), α ′′ , β ′′ ∈ C ∞ c ( s ′′ ( F )). Consid´erons l’expression (2). On a j SR ( X, α ♯ , β ) = J S ′ ( X ′ , α ′ ) J S ′ R ′ ( X ′ , β ′ ) X S ′′ ,S ′′ ∈L S ′′ ( R ′′ ) d S ′′ R ′′ ( S ′′ , S ′′ ) J S ′′ R ′′ ( X ′′ , ˆ α ′′ ¯ Q ′′ ) J S ′′ R ′′ ( X ′′ , β ′′ Q ′′ ) , puis j SR ( X, α ♯ , β ) = J S ′ ( X ′ , α ′ ) J S ′ R ′ ( X ′ , β ′ ) J S ′′ R ′′ ( X ′′ , ˆ α ′′ , β ′′ ) , avec la notation de 2.4. On en d´eduit ais´ement j S ( α ♯ , β ) = k S ′ ( α ′ , β ′ ) J S ′′ ( ˆ α ′′ , β ′′ ) , k S ′ ( α ′ , β ′ ) = X R ′ ∈L S ′ ( R ′ min ) | W R ′ || W S ′ | − ( − a R ′ − a S ′ X T ′ ∈T ell ( R ′ ) | W ( R ′ , T ′ ) | − ν ( T ′ ) − Z t ′ ( F ) J S ′ ( X ′ , α ′ ) J S ′ R ′ ( X ′ , β ′ ) dX ′ . De mˆeme j S ( α, β ♯ ) = k S ′ ( α ′ , β ′ ) J S ′′ ( α ′′ , ˆ β ′′ ) . On d´eduit alors l’´egalit´e cherch´ee j S ( α ♯ , β ) = j S ( α, β ♯ ) du th´eor`eme 2.4.Cela prouve l’´egalit´e de l’´enonc´e pour les fonctions ϕ v´erifiant l’hypoth`ese (H).Puisque les deux distributions ϕ θ ♯ ( ϕ ) et ϕ θ ( ϕ ♯ ) sont invariantes par conju-gaison par G x ( F ), le lemme 2.5(ii) g´en´eralise leur ´egalit´e `a toute fonction ϕ `a supportdans g x,reg ( F ). Pour obtenir l’´egalit´e pour toute ϕ , il suffit de prouver que les deux dis-tributions sont localement int´egrables. C’est vrai pour la premi`ere d’apr`es le lemme 5.6.Consid´erons la seconde. Fixons deux G -domaines Γ ′ ⊂ g ′ ( F ) et Γ ′′ ⊂ g ′′ ( F ), compactsmodulo conjugaison. D’apr`es la conjecture de Howe (cf. 2.6(2) ), on peut fixer une famillefinie ( X ′′ i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de ω ′′ ∩ g ′′ reg ( F ) et une famille finie ( β i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de C ∞ c (Γ ′′ ) de sorte que, pour tout X ′′ ∈ ω ′′ ∩ g ′′ reg ( F ) et toute β ∈ C ∞ c (Γ ′′ ), on ait l’´egalit´e J G ( X ′′ , ˆ β ) = X i =1 ,...,n J G ′′ ( X ′′ i , ˆ β ) J G ′′ ( X ′′ , ˆ β i ) . Soient α ∈ C ∞ c (Γ ′ ) et β ∈ C ∞ c (Γ ′′ ). Posons γ = α ⊗ ( β − X i =1 ,...,n J G ′′ ( X ′′ i , ˆ β ) β i ) . Alors J G x ( X, γ ♯ ) = 0 pour tout X ∈ ω ∩ g x,reg ( F ). Puisque θ f,x,ω est `a support dans ω ,il en r´esulte que θ ( γ ♯ ) = 0. Donc θ ( α ⊗ ˆ β ) = X i =1 ,...,n J G ′′ ( X ′′ i , ˆ β ) θ ( α ⊗ β i ) . La fonction θ f,x,ω est localement int´egrable. Il en r´esulte que la distribution α θ ( α ⊗ β i )l’est aussi. D’apr`es [HCvD] th´eor`emes 13 et 15, la distribution β J G ′′ ( X ′′ i , ˆ β ) est aussilocalement int´egrable. Donc la distribution α ⊗ β θ ( α ⊗ ˆ β ) est int´egrable sur Γ ′ × Γ ′′ .Cela ach`eve la d´emonstration. (cid:3) Corollaire . Soit f ∈ C ∞ c ( G ( F )) . Supposons f tr`es cuspidale. Alors la fonction θ f estun quasi-caract`ere. Preuve. Soit x ∈ G ss ( F ). On applique la proposition pr´ec´edente au cas G ′ = { } , G ′′ = G x . On obtient que la transform´ee de Fourier de θ f,x,ω est la fonction θ ♯f,x,ω ,que l’on peut d’ailleurs plutˆot noter ˆ θ f,x,ω . Le support de cette fonction est compactmodulo conjugaison. D’apr`es le th´eor`eme 4.2, θ f,x,ω est donc un quasi-caract`ere sur g x ( F ).Alors θ f co¨ıncide au voisinage de x avec un quasi-caract`ere. Cela ´etant vrai pour tout x ∈ G ss ( F ), la conclusion s’ensuit. (cid:3) Fonctions tr`es cuspidales sur les alg`ebres de Lie
La d´efinition des fonctions tr`es cuspidales s’adapte aux fonctions sur l’alg`ebre de Lie g ( F ). Soit f ∈ C ∞ c ( g ( F )). On dit qu’elle est tr`es cuspidale si et seulement si, pour toutsous-groupe parabolique propre P = M U de G et tout X ∈ m ( F ), on a l’´egalit´e(1) Z u ( F ) f ( X + N ) dN = 0 . Ou encore si et seulement si, pour tout sous-groupe parabolique propre P = M U de G et tout X ∈ m ( F ) ∩ g reg ( F ), on a l’´egalit´e Z U ( F ) f ( u − Xu ) du = 0 . Les propri´et´es ´enonc´ees en 5.1 et 5.2 restent vraies. Il y a une propri´et´e suppl´ementaire :si f est tr`es cuspidale, ˆ f l’est aussi. En effet, notons f U ( X ) l’int´egrale (1). On v´erifie que( ˆ f ) U = ( f U )ˆet l’assertion s’ensuit.Soit f ∈ C ∞ c ( g ( F )), supposons f tr`es cuspidale. On d´efinit une fonction θ f sur g reg ( F )par θ f ( X ) = ( − a M ( X ) − a G ν ( G X ) − D G ( X ) − / J M ( X ) ( X, f ) , o`u M ( X ) est le commutant de A G X dans G . Elle a des propri´et´es similaires `a celles´enonc´ees au lemme 5.3. Lemme . Soit f ∈ C ∞ c ( g ( F )) une fonction tr`es cuspidale.(i) La fonction θ ˆ f est la transform´ee de Fourier de θ f .(ii) La fonction θ f est un quasi-caract`ere. Preuve. La d´emonstration de la proposition 5.8 se simplifie grandement. En effet,fixons un L´evi minimal M de G et un sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F ) en bonneposition relativement `a M . Pour toute ϕ ∈ C ∞ c ( g ( F )), on a simplement(2) J ( ˆ ϕ, f ) = Z g ( F ) ˆ ϕ ( X ) θ f ( X ) dX. L’assertion (i) s’ensuit en appliquant le th´eor`eme 2.4. Pour prouver (2), soient M ∈L ( M ), T ∈ T ell ( M ) et X ∈ t ( F ) ∩ g reg ( F ). Parce que f Q = 0 pour tout sous-groupeparabolique propre Q de G , on a J M ( X, ˆ ϕ, f ) = J G ( X, ˆ ϕ ) J M ( X, f ) . Mais alors J ( ˆ ϕ, f ) co¨ıncide avec le membre de droite de (2) exprim´e `a l’aide de la formulede Weyl.L’assertion (ii) r´esulte de (i) et du th´eor`eme 4.2. (cid:3) .2 Rel`evement au groupe Lemme . Soient x ∈ G ss ( F ) , ω un bon voisinage de dans g x ( F ) et ϕ ∈ C ∞ c ( g x ( F )) .On suppose ϕ tr`es cuspidale et `a support dans ω . On suppose que θ ϕ est invariant par Z G ( x )( F ) et que x est elliptique, c’est-`a-dire que A G x = A G . Alors il existe f ∈ C ∞ c ( G ( F )) telle que f soit tr`es cuspidale et θ f,x,ω = θ ϕ . Preuve. Fixons un L´evi minimal R min de G x ( F ) et un sous-groupe compact sp´ecial K de G ( F ) en bonne position relativement `a R min . Fixons un sous-groupe ouvert compact K ′ de K tel que ϕ soit invariante par conjugaison par K ′ ∩ Z G ( x )( F ). Posons Σ = { k − xexp ( X ) k ; k ∈ K ′ , X ∈ ω } . C’est un sous-ensemble ouvert et ferm´e de G ( F ). Commeen 3.1, on peut d´efinir une fonction f sur G ( F ) par f ( g ) = (cid:26) , si g Σ ,ϕ ( X ) , si g = k − xexp ( X ) k, avec k ∈ K ′ , X ∈ ω. Montrons que f est tr`es cuspidale. Soient P = M U un sous-groupe parabolique proprede G et m ∈ M ( F ) ∩ G reg ( F ). Posons f ( U, m ) = Z U ( F ) f ( u − mu ) du. On veut prouver que f ( U, m ) = 0. C’est ´evident si { u − mu ; u ∈ U ( F ) } ∩ Σ = ∅ . Sup-posons cette intersection non vide. On peut fixer v ∈ U ( F ), k ∈ K ′ et X ∈ ω tels que v − mv = k − xexp ( X ) k . Posons g = vk − , P ′ = g − P g , M ′ = g − M g , U ′ = g − U g et m ′ = g − mg . Grˆace au changement de variable u uv et `a l’invariance de f par K ′ , ona l’´egalit´e f ( U, m ) = Z U ( F ) f ( kv − u − muvk − ) du, puis f ( U, m ) = Z U ( F ) f ( g − u − mug ) du = Z U ′ ( F ) f ( u ′ − m ′ u ′ ) du ′ = f ( U ′ , m ′ ) . Cela nous ram`ene `a la mˆeme question pour le sous-groupe parabolique P ′ et l’´el´ement m ′ de M ′ ( F ). Mais m ′ = xexp ( X ). En oubliant les donn´ees P ′ et m ′ , on peut doncsupposer que m = xexp ( X ), avec X ∈ ω . Dans ce cas, on a A M ⊂ G m ⊂ G x , donc x ∈ M ( F ). De plus, puisque P est propre, on a A G ( A M . Puisque x est elliptique, ona aussi A G x ( A M ⊂ A M x , donc P x = M x U x est un sous-groupe parabolique propre de G x . Ecrivons f ( U, m ) = Z U x ( F ) \ U ( F ) Z U x ( F ) f ( v − u − muv ) du dv. On peut fixer v ∈ U ( F ) et prouver que Z U x ( F ) f ( v − u − muv ) du = 0 . De nouveau, c’est ´evident si { v − u − muv ; u ∈ U x ( F ) } ∩ Σ = ∅ . Supposons cette in-tersection non vide. Alors il existe w ∈ U x ( F ) et k ∈ K ′ tels que v − w − mwv ∈ k − xexp ( ω ) k . Puisque m ∈ xexp ( ω ), la condition 3.1(4) entraˆıne que wvk − ∈ Z G ( x )( F ).28onc v ∈ Z G ( x )( F ) k . Ecrivons v = gk , avec g ∈ Z G ( x )( F ). Pour u ∈ U x ( F ), on a v − u − muv = k − xexp ( g − u − Xug ) k . Donc f ( v − u − muv ) = ϕ ( g − u − Xug ) = g ϕ ( u − Xu ) , avec une d´efinition ´evidente de g ϕ . L’int´egrale `a calculer est ´egale `a Z U x ( F ) g ϕ ( u − Xu ) du. Elle est nulle parce que g ϕ est tr`es cuspidale et P x est propre.Posons c = [ G x ( F ) \ Z G ( x )( F ) K ′ /K ′ ] mes ( K ′ ) mes ( G x ( F ) ∩ K ′ ) − . On va prouver que θ f,x,ω = cθ ϕ . En explicitant les d´efinitions, on voit qu’il s’agit deprouver l’assertion suivante. Soit X ∈ ω ∩ g x,reg ( F ). Notons R le commutant de A G x,X dans G x . Alors on a l’´egalit´e(1) J R ( xexp ( X ) , f ) = cD G ( x ) / J R ( X, ϕ ) . On peut supposer que R contient R min . Reprenons la preuve du lemme 5.7, o`u on prendpour K ′ le groupe introduit ci-dessus. Par un raisonnement fait plusieurs fois, g f x,ω = 0si g ∈ G ( F ) et g Z G ( x )( F ) K ′ . On peut prendre pour ensemble ∆ un ensemblede repr´esentants de G x ( F ) \ Z G ( x )( F ) K ′ /K ′ , inclus dans Z G ( x )( F ). Pour δ ∈ ∆ , on a δ f x,ω = δ ϕ . L’hypoth`ese que ϕ est tr`es cuspidale entraˆıne que pour S ∈ L ( R min ), S = G x ,la fonction f S est nulle. Pour S = G x , on a S = G parce que x est elliptique. Alors f G x = mes ( K ′ ) mes ( G x ( F ) ∩ K ′ ) − X δ ∈ ∆ δ ϕ. D’apr`es l’hypoth`ese d’invariance de θ ϕ par Z G ( x )( F ), on a J R ( X, δ ϕ ) = J R ( X, ϕ ) , pour tout δ ∈ ∆ , et l’´egalit´e (1) r´esulte du (i) du lemme 5.7. (cid:3) Lemme . (i) Soient θ un quasi-caract`ere de g ( F )) et ω un G -domaine dans g ( F ) compactmodulo conjugaison. On suppose la transform´ee de Fourier de θ `a support compactmodulo conjugaison. Alors il existe une famille finie ( X i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de g reg ( F ) etune famille finie ( c i ) i =1 ,...,n de nombres complexes telles que, pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ) ,on ait l’´egalit´e θ ( Y ) = X i =1 ,...,n c i ˆ j ( X i , Y ) . (ii) Soient X ∈ g reg ( F ) et ω un G -domaine dans g ( F ) compact modulo conjugaison.Alors il existe une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) telle que, pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ) , on ait l’´egalit´e θ f ( Y ) = ˆ j ( X, Y ) . iii) Soient ω un G -domaine dans g ( F ) compact modulo conjugaison et O ∈
N il ( g ) .Il existe une fonction f ∈ C ∞ c ( g ( F ) , tr`es cuspidale, telle que, pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ) ,on ait l’´egalit´e θ f ( Y ) = ˆ j ( O , Y ) . (iv) Pour tout Y ∈ g reg ( F ) , il existe une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) telleque θ f ( Y ) = 0 . Preuve. Soit θ comme en (i). Soit Ω un G -domaine de g ( F ), compact modulo conju-gaison et contenant le support de ˆ θ . Pour ϕ ∈ C ∞ c ( ω ), on a, avec les notations de 2.6(2), θ ( ϕ ) = X i =1 ,...,n J G ( X i , ˆ ϕ ) θ ( f i ) . Autrement dit Z g ( F ) θ ( Y ) ϕ ( Y ) dY = Z g ( F ) X i =1 ,...,n θ ( f i )ˆ j ( X i , Y ) ϕ ( Y ) dY. L’assertion (i) s’ensuit.Fixons un L´evi minimal M min de G . Soit f ′ ∈ C ∞ c ( g ( F )), supposons f ′ tr`es cuspidale.Pour toute ϕ ∈ g ( F ), on a l’´egalit´e : Z g ( F ) θ ˆ f ′ ( Y ) ϕ ( Y ) dY = Z g ( F ) θ f ′ ( X ) ˆ ϕ ( X ) dX (1) = X M ∈L ( M min ) | W M || W G | − X T ∈T ell ( M ) | W ( M, T ) | − Z t ( F ) θ f ′ ( X ) J G ( X, ˆ ϕ ) D G ( X ) / dX. Soient X et ω comme en (ii). On ne perd rien `a supposer qu’il existe M ∈ L ( M min ) et T ∈ T ell ( M ) de sorte que X ∈ t ( F ). La formule 2.6(3) montre qu’il existe un voisinage ω ′ X de X dans g ( F ) tel que, pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ), la fonction X ′ ˆ j ( X ′ , Y ) soitconstante dans ω ′ X . Supposons(2) il existe f ′ ∈ C ∞ c ( g ( F )), tr`es cuspidale, telle que θ f ′ ( X ) = 0.Fixons une telle fonction. On peut trouver un voisinage ω X de X dans t ( F ) tel que- ω X est ouvert et compact ;- la fonction X ′ θ f ′ ( X ′ ) D G ( X ′ ) / soit constante dans ω X ;- pour w ∈ N orm M ( F ) ( T ) tel que w T ( F ), w − ω X w ∩ ω X = ∅ .Rempla¸cons f ′ par son produit avec la fonction caract´eristique du G -domaine ω GX . Laformule (1) devient Z g ( F ) θ ˆ f ′ ( Y ) ϕ ( Y ) dY = θ f ′ ( X ) D G ( X ) / Z ω X J G ( X ′ , ˆ ϕ ) dX ′ = θ f ′ ( X ) D G ( X ) / Z ω X Z g ( F ) ˆ j ( X ′ , Y ) ϕ ( Y ) dY dX ′ . La double int´egrale est bien sˆur absolument convergente. On en d´eduit l’´egalit´e(3) θ ˆ f ′ ( Y ) = θ f ′ ( X ) D G ( X ) / Z ω X ˆ j ( X ′ , Y ) dX ′ Y ∈ g reg ( F ). Imposons de plus la condition ω X ⊂ ω ′ X . Alors l’´egalit´e (3)devient θ ˆ f ′ ( Y ) = θ f ′ ( X ) D G ( X ) / mes ( ω X )ˆ j ( X, Y )pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ). En posant f = θ f ′ ( X ) − D G ( X ) − / mes ( ω X ) − ˆ f ′ , on obtient (ii), sous l’hypoth`ese (2).Soit Y ∈ g reg ( F ). Appliquons 2.6(4) : on peut fixer un G -domaine Ω de g ( F ) tel que(4) ˆ j ( X, Y ) = X O∈ Nil ( g ) Γ O ( X )ˆ j ( O , Y )pour tout X ∈ Ω ∩ g reg ( F ). On peut ´evidemment supposer λ Ω ⊂ Ω pour tout λ ∈ F × tel que | λ | F ≤
1. Soit X ∈ Ω ∩ g reg ( F ) tel que X soit elliptique. Alors l’hypoth`ese (2) estv´erifi´ee car toute fonction `a support r´egulier elliptique est tr`es cuspidale. On peut donctrouver une fonction f X tr`es cuspidale telle que θ f X ( Y ) = ˆ j ( X, Y ). Soit λ ∈ F × tel que | λ | F ≤
1. Rempla¸cons X par λX . En utilisant (4) et les formules de 2.6, on a θ f λX ( Y ) = X O∈ Nil ( g ) | λ | ( δ ( G ) − dim ( O )) / F Γ O ( X )ˆ j ( O , Y ) . En prenant une combinaison lin´eaire convenable des fonctions f λX , on peut s´eparer lesorbites selon leurs dimensions. On peut en particulier isoler l’orbite { } et trouver unefonction f tr`es cuspidale telle que θ f ( Y ) = Γ { } ( X )ˆ j ( { } , Y ) . La fonction ˆ j ( { } , . ) est constante de valeur 1. D’apr`es Harish-Chandra ([HCDS] lemme9.6), le germe de Shalika Γ { } ne s’annule pas sur l’ensemble des points elliptiquesr´eguliers. Donc θ f ( Y ) = 0, ce qui d´emontre (iv).On peut maintenant achever la d´emonstration de (ii) : d’apr`es (iv), l’hypoth`ese (2)est v´erifi´ee pour tout point X ∈ g reg ( F ).Soit ω un G -domaine de g ( F ) compact modulo conjugaison. Choisissons Ω tel que(4) soit v´erifi´ee pour tous X ∈ Ω ∩ g reg ( F ), Y ∈ ω ∩ g reg ( F ). Grˆace `a (ii), pour tout X ∈ Ω ∩ g reg ( F ),on peut trouver une fonction f X tr`es cuspidale telle que θ f X ( Y ) =ˆ j ( X, Y ) pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ). On sait que les germes de Shalika sont lin´eairementind´ependants ([HCDS] lemme 9.5). Etant homog`enes, leurs restrictions `a Ω le sont aussi.En utilisant (4), on voit que, pour O ∈
N il ( g ), une combinaison lin´eaire convenable f de fonctions f X va v´erifier θ f ( Y ) = ˆ j ( O , Y ) pour tout Y ∈ ω ∩ g reg ( F ). Cela prouve (iii). (cid:3) Proposition . Soit θ un quasi-caract`ere de g ( F ) `a support compact modulo conjugaison.Alors il existe une fonction f ∈ C ∞ c ( g ( F )) tr`es cuspidale telle que θ = θ f . dim ( G ). On suppose qu’elle estvraie pour tout groupe de dimension strictement inf´erieure `a dim ( G ). Soit X ∈ g ss ( F ).On va prouver(1) il existe un G -domaine ω dans g ( F ) et une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F ))tels que X ∈ ω et θ ( Y ) = θ f ( Y ) pour tout Y ∈ ω .Autrement dit, il existe une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) telle que θ f ait lemˆeme d´eveloppement que θ au voisinage de X . Si X = 0, cela r´esulte du lemme 6.3(iii).Si X est central, cela r´esulte du cas X = 0 par translation. Supposons X non central,donc dim ( G X ) < dim ( G ). Supposons d’abord X elliptique. La notions de bon voisinages’adapte au cas de l’alg`ebre de Lie. Soit ω X un bon voisinage de 0 dans g X ( F ). Soit θ X lafonction sur g X ( F ) qui est nulle hors de X + ω X et qui co¨ıncide avec θ sur X + ω X . Alors θ X est un quasi-caract`ere de g X ( F ) `a support compact modulo conjugaison. Appliquantl’hypoth`ese de r´ecurrence, on peut fixer une fonction tr`es cuspidale f X ∈ C ∞ c ( g X ( F )) telleque θ f X = θ X . On peut reprendre la d´emonstration du lemme 6.2 et montrer qu’il existeune fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) telle que θ f co¨ıncide avec θ f X dans X + ω X (remarquons que la condition d’invariance par Z G ( x )( F ) impos´ee en 6.2 disparaˆıt carle commutant d’un ´el´ement semi-simple d’une alg`ebre de Lie est toujours connexe). Enposant ω = ( X + ω X ) G , f et ω satisfont (1). Supposons maintenant X non elliptique.Notons M le commutant de A G X dans G . On a X ∈ m ( F ) et G X ⊂ M . Soit ω X un bonvoisinage de 0 dans g X ( F ). Posons ω M = ( X + ω X ) M , ω G = ( X + ω X ) G . Les ensembles ω M et ω G ∩ m ( F ) sont des M -domaines dans m ( F ), compacts moduloconjugaison. Notons θ M la fonction sur m ( F ) qui est nulle hors de ω M et co¨ıncide avec θ sur ω M . C’est un quasi-caract`ere de m ( F ), `a support compact modulo conjugaison. Enappliquant l’hypoth`ese de r´ecurrence et le (i) du lemme 6.3, on peut fixer des famillesfinies ( X i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de m reg ( F ) et ( c i ) i =1 ,...,n de nombres complexes de sorte que θ M ( Y ) = X i =1 ,...,n c i ˆ j M ( X i , Y )pour tout Y ∈ ω G ∩ m reg ( F ). La preuve du (i) du lemme 6.3 montre que l’on peut aussibien remplacer chaque X i par tout ´el´ement suffisamment proche. On peut donc supposer X i ∈ g reg ( F ). La fonction Y D G ( Y ) / D M ( Y ) − / est constante sur X + ω X . Notons c sa valeur. Montrons que(2) θ ( Y ) = X i =1 ,...,n cc i ˆ j G ( X i , Y )pour tout Y ∈ ( X + ω X ) ∩ g reg ( F ). D’apr`es 2.6(5), le membre de droite ci-dessus est ´egal`a X Y ′ ∈Y X i =1 ,...,n cc i ˆ j M ( X i , Y ′ ) D G ( Y ) − / D M ( Y ′ ) / , o`u Y est un ensemble de repr´esentants des classes de conjugaison par M ( F ) dans l’en-semble des ´el´ements de m ( F ) conjugu´es `a Y par un ´el´ement de G ( F ). Cet ensemble Y est contenu dans ω G ∩ m ( F ). La somme ci-dessus vaut donc X Y ′ ∈Y cθ M ( Y ′ ) D G ( Y ) − / D M ( Y ′ ) / .
32n peut supposer Y ∈ Y et le terme index´e par Y est ´egal `a θ ( Y ). Soit Y ′ ∈ Y , Y ′ = Y .Soit g ∈ G ( F ) tel que gY g − = Y ′ . Cet ´el´ement n’appartient pas `a M ( F ). Si Y ′ ∈ ω M ,il existe m ∈ M ( F ) tel que mgY ( mg ) − ∈ X + ω X . Alors mg ∈ G X ( F ) puisque ω X est un bon voisinage de 0 dans g X ( F ). Puisque G X ⊂ M , on en d´eduit g ∈ M ( F ),contradiction. Donc Y ′ ω M et θ M ( Y ′ ) = 0. Cela d´emontre (2).D’apr`es le lemme 6.3(ii), il existe une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) telleque θ f ( Y ) co¨ıncide avec le membre de droite de (2) dans ω G . Alors θ f ( Y ) = θ ( Y ) pour Y ∈ ω G , ce qui ach`eve la preuve de (1).La preuve de la proposition est maintenant ´el´ementaire. Pour tout X ∈ g ss ( F ), onfixe ω et f v´erifiant (1) et on les note plutˆot ω X et f X . On fixe un sous-ensemble compactΓ ⊂ g ( F ) tel que Supp ( θ ) ⊂ Γ G . On aΓ ⊂ g ( F ) ⊂ [ X ∈ g ss ( F ) ω X . On peut donc choisir une famille finie ( X i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de g ss ( F ) telle queΓ ⊂ [ i =1 ,...n ω X i . Pour tout i , notons ∆ i le compl´ementaire dans g ( F ) de S j =1 ,...,i − ω X i , ϕ i la fonctioncaract´eristique de ω X i ∩ ∆ i et posons f i = f X i ϕ i . Alors f i est tr`es cuspidale et on al’´egalit´e θ = P i =1 ,...,n θ f i . (cid:3) Soit V un espace vectoriel sur F de dimension finie d , muni d’une forme bilin´eairesym´etrique et non d´eg´en´er´ee q (on dira parfois que V est un espace quadratique,la forme q ´etant sous-entendue). Pour v ∈ V , on pose q ( v ) = 12 q ( v, v ) . On appelle syst`eme hyperbolique dans V une famille ( v i ) i = ± ,..., ± n d’´el´ements de V telleque q ( v i , v j ) = δ i, − j pour tous i, j , o`u δ i, − j est le symbole de Kronecker. On dit que q est hyperbolique si et seulement s’il existe un syst`eme hyperbolique dans V qui soit unebase de V . On peut d´ecomposer V (de fa¸con non unique) en somme orthogonale de deuxsous-espaces V hyp et V an de sorte que la restriction de q `a V hyp soit hyperbolique et larestriction q an de q `a V an soit anisotrope. La classe d’´equivalence de q an est uniquementd´efinie, on l’appelle le noyau anisotrope de q et on note d an ( V ) son rang, c’est-`a-dire ladimension de V an . Evidemment, d an ( V ) ≡ d mod O ( V ) de ( V, q ) et son sous-groupe sp´ecial orthogo-nal SO ( V ). Notons-les ici G + et G , ainsi qu’on le fera souvent dans la suite. Le groupe G + ( F ) agit sur V , on note cette action ( g, v ) gv . Le groupe G est d´eploy´e sur F si d an ( V ) = 0 ou 1, quasi-d´eploy´e et non d´eploy´e si d an ( V ) = 2 et non quasi-d´eploy´e si d an ( V ) = 3 ou 4. On d´efinit la forme bilin´eaire sur g ( F ) < X, Y > = 12 trace ( XY ) ,
33a trace ´etant la forme lin´eaire usuelle sur
End ( V ). C’est cette forme que l’on utilise pournormaliser les constructions de 1.2.Si W est un sous-espace non d´eg´en´er´e de V , le groupe H = SO ( W ) se plonge natu-rellement dans G : un ´el´ement de H agit par l’identit´e sur l’orthogonal de W . De mˆeme, h se plonge dans g .Soient v ′ , v ′′ ∈ V . D´efinissons c v ′ ,v ′′ ∈ End ( V ) par c v ′ ,v ′′ ( v ) = q ( v, v ′ ) v ′′ − q ( v, v ′′ ) v ′ . On v´erifie que c v ′ ,v ′′ appartient `a g ( F ) et que cette alg`ebre est engendr´ee en tant qu’espacevectoriel par de tels ´el´ements.On peut classifier les orbites unipotentes r´eguli`eres de g ( F ). Il n’y en a pas si d an ( V ) ≥
3. Il y en a une seule si d an ( V ) = 1 ou si d ≤ O reg . Supposons d ≥ d an ( V ) = 0 ou 2. Introduisons le sous-ensemble N V suivant :- si d an ( V ) = 0, N V = F × /F × ;- si d an ( V ) = 2, N V est le sous-ensemble des ´el´ements de F × /F × qui sont repr´esent´espar q an .Soit ν ∈ N V , dont on fixe un rel`evement dans F × . On peut d´ecomposer V en sommeorthogonale V = D ⊕ W , o`u D est une droite et la restriction de q `a W a pour noyauanisotrope la forme x νx de dimension 1. Notons H = SO ( W ). Il y a une uniqueorbite nilpotente r´eguli`ere dans h ( F ). Soit N un ´el´ement de cette orbite, que l’on identifie`a un ´el´ement de g ( F ). On note O ν la G ( F )-orbite de N . Elle ne d´epend pas des choixet l’application ν
7→ O ν est une bijection de N V sur l’ensemble des orbites nilpotentesr´eguli`eres de g ( F ).Consid´erons une d´ecomposition orthogonale V = Z ⊕ V an . Supposons la restriction de q `a V an anisotrope et la restriction de q `a Z hyperbolique. Fixons une base hyperbolique( v i ) i = ± ,... ± n de Z . Si V an = { } , soit c ∈ Z tel qu’il existe v ∈ V an pour lequel val F ( q ( v )) = c . Si V an = { } , soit c un ´el´ement quelconque de Z . Notons R an l’ensemble des v ∈ V an telsque val F ( q ( v )) ≥ c . C’est un o F -r´eseau de V an . Notons R Z le o F -r´eseau de Z engendr´e parles ´el´ements v i pour i = 1 , ..., n et par les ̟ cF v − i pour i = 1 , ..., n . Posons R = R Z ⊕ R an .Quand on fait varier la d´ecomposition orthogonale, la base hyperbolique et l’entier c , ler´eseau R parcourt un certain ensemble de o F -r´eseaux de V . Par d´efinition, c’est l’ensembledes r´eseaux sp´eciaux. Pour un tel r´eseau R sp´ecial, notons K le stabilisateur de R dans G ( F ). C’est un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ). Inversement, si K est un sous-groupe compact sp´ecial de G ( F ), il est le stabilisateur d’un r´eseau sp´ecial R (qui n’estpas unique).Pour tout o F -r´eseau R de V , on d´efinit une fonction val R sur V , `a valeurs dans Z ∪ {∞} par val R ( v ) = sup { i ∈ Z ; v ∈ ̟ iF R } . On conserve les donn´ees et notations du paragraphe pr´ec´edent. Soit r ∈ N tel que2 r + 1 ≤ d . On suppose donn´ee une d´ecomposition orthogonale V = W ⊕ D ⊕ Z , o`u D estune droite et Z un espace hyperbolique de dimension 2 r . On note q W la restriction de q `a W et d W = d − r − W . On pose V = W ⊕ D . On note H , resp. G , legroupe sp´ecial orthogonal de W , resp. V , et H + le groupe orthogonal de W . On identifie H + `a un sous-groupe de G : un ´el´ement h ∈ H + s’identifie `a l’´el´ement de G qui agit par h sur W et par det ( h ) sur D ⊕ Z . On fixe une base v de D et un syst`eme hyperboliquemaximal ( v i ) i = ± ,..., ± r de Z . On note Z + , resp. Z − , le sous-espace de Z engendr´e par les34 i , i = 1 , ..., r , resp. par les v − i . On note A le sous-tore maximal de SO ( Z ) qui conservechaque droite F v i . Pour a ∈ A ( F ) et i = 1 , ..., r , on note a i ∈ F × la valeur propre de a sur v i , c’est-`a-dire que av i = a i v i . On note P le sous-groupe parabolique de G form´e des´el´ements qui conservent le drapeau F v r ⊂ F v r ⊕ F v r − ⊂ ... ⊂ F v r ⊕ ... ⊕ F v de V . On note U le radical unipotent de P et M sa composante de L´evi qui contient A .On a M = AG . Remarquons que A M = A , sauf dans le cas o`u V est hyperbolique dedimension 2, auquel cas A M = M . Fixons une famille ( ξ i ) i =0 ,...,r − d’´el´ements de F × . Ond´efinit une fonction ξ sur U ( F ) par ξ ( u ) = ψ ( X i =0 ,...,r − ξ i q ( uv i , v − i − )) . On v´erifie que c’est un caract`ere de U ( F ) invariant par conjugaison par le sous-groupe H + ( F ) de M ( F ).On fixe un r´eseau sp´ecial R de V . On peut choisir un r´eseau R Z de Z ayant une baseform´ee de vecteurs proportionnels aux v i , de sorte que le r´eseau R = R ⊕ R Z de V soitsp´ecial. On note K , resp. K , le stabilisateur de R dans G ( F ), resp. de R dans G ( F ).Ce sont des sous-groupes compacts sp´eciaux de G ( F ), resp. G ( F ). Le groupe K est enbonne position relativement `a M . On a K ∩ M ( F ) = ( K ∩ A ( F )) K et K ∩ A ( F ) est le plusgrand sous-groupe compact de A ( F ). Pour tout entier N ∈ N , on d´efinit une fonction κ N sur G ( F ) de la fa¸con suivante. Elle est invariante `a droite par K , `a gauche par U ( F ). Sarestriction `a M ( F ) est la fonction caract´eristique de l’ensemble des ag , avec a ∈ A ( F ), g ∈ G ( F ), tels que | val F ( a i ) | ≤ N pour tout i = 1 , ..., r et val R ( g − v ) ≥ − N . Lafonction κ N est invariante `a gauche par le sous-groupe ( K ∩ A ( F )) H + ( F ) de M ( F ).L’image de son support dans U ( F ) H ( F ) \ G ( F ) est compacte. Plus pr´ecis´ement(1) il existe c > N ≥ g ∈ G ( F ) pour lequel κ N ( g ) = 1, il existe g ′ ∈ G ( F ) tel que g ∈ U ( F ) H ( F ) g ′ et σ ( g ′ ) ≤ cN .On peut ´ecrire g = uag k , avec u ∈ U ( F ), a ∈ A ( F ), g ∈ G ( F ) et k ∈ K . Lesbornes sur les valuations des coordonn´ees de a entraˆınent σ ( a ) ≤ cN , pour c convenable.Un raisonnement analogue `a celui de la preuve du lemme III.5 de [W2] montre qu’il existe c ′ > N ≥ v ∈ ̟ − NF R tel que q ( v ) = ν = q ( v ), il existe y ∈ G ( F ) tel que y − v = v et σ ( y ) ≤ c ′ N . Appliquons cela `a v = g − v . Alors g y − appartient `a H ( F ). On a g = ug y − g ′ , avec g ′ = ayk et ce dernier ´el´ement satisfait lamajoration requise. On d´efinit une fonction ∆ sur H ss ( F ) par∆( t ) = | det ((1 − t ) | W/W ′′ ( t ) ) | F , o`u W ′′ ( t ) est le noyau de 1 − t agissant dans W .Notons T l’ensemble des sous-tores T de H , en g´en´eral non maximaux, pour lesquelsil existe une d´ecomposition orthogonale W = W ′ ⊕ W ′′ de sorte que les conditions (1) `a(4) ci-dessous soient v´erifi´ees. On note H ′ le groupe sp´ecial orthogonal de W ′ et on pose V ′′ = W ′′ ⊕ D ⊕ Z . 351) A T = { } .(2) dim ( W ′ ) est pair.(3) T est inclus dans H ′ et c’en est un sous-tore maximal.(4) Si d est pair, d an ( W ′′ ) = 1 ; si d est impair, d an ( V ′′ ) = 1.Evidemment, W ′ et W ′′ sont d´etermin´es par T : W ′′ est l’intersection des noyaux de t − W , pour t ∈ T .Pour T ∈ T , on pose W ( H, T ) =
N orm H ( F ) ( T ) /Z H ( F ) ( T ) . On note T ♮ le sous-ensemble des t ∈ T tels que les valeurs propres de l’action de t dans W ′ soient toutes distinctes. C’est un ouvert de Zariski, non vide. Notons H ′ = G ′ , resp. H ′′ , G ′′ , les groupes sp´eciaux orthogonaux de W ′ , resp. W ′′ , V ′′ et H ′ + le groupe orthogonalde W ′ . Pour t ∈ T ♮ , t est un ´el´ement semi-simple r´egulier dans H ′ et mˆeme dans H ′ + ence sens que son commutant dans H ′ + est r´eduit `a T . Alors Z H ( t ) = T H ′′ , Z G ( t ) = T G ′′ .En particulier, les orbites nilpotentes de h t ( F ), resp. g t ( F ) sont les mˆemes que celles de h ′′ ( F ), resp. g ′′ ( F ).Soient θ , resp. τ , un quasi-caract`ere de H ( F ), resp. G ( F ). Soit T ∈ T , pour lequelon adopte les notations ci-dessus. Soit t ∈ T ♮ ( F ). Supposons d pair. Alors dim ( W ′′ )est impair et l’hypoth`ese (4) dit que H ′′ est d´eploy´e. Donc h ′′ ( F ) poss`ede une uniqueorbite nilpotente r´eguli`ere O reg . On pose c θ ( t ) = c θ, O reg ( t ). La dimension dim ( V ′′ ) estpaire, n´ecessairement non nulle. Si elle est ´egale `a 2, g ′′ ( F ) poss`ede une unique orbitenilpotente r´eguli`ere O reg et on pose c τ ( t ) = c τ, O reg ( t ). Supposons dim ( V ′′ ) ≥
4. Notons q W ′′ ,an le noyau anisotrope de la restriction de q `a W ′′ et q D la restriction de q `a D .Notons aussi ν = q ( v ). La forme q W ′′ ,an est de rang 1. Par construction, la restrictionde q `a V ′′ a mˆeme noyau anisotrope que q W ′′ ,an ⊕ q D . Elle est donc de rang 0 ou 2 et G ′′ est quasi-d´eploy´e. Puisque q W ′′ ,an ⊕ q D repr´esente ν , on a ν ∈ N V ′′ et l’orbite O ν de g ′′ ( F ) est d´efinie. On pose c τ ( t ) = c τ, O ν ( t ). Supposons maintenant d impair. Alors dim ( V ′′ ) est impair et l’hypoth`ese (4) dit que G ′′ est d´eploy´e. De fa¸con analogue `a ci-dessus, on pose c τ ( t ) = c τ, O reg ( t ). La dimension de W ′′ est paire. Si elle est inf´erieure ou´egale `a 2, on pose encore c θ ( t ) = c θ, O reg ( t ). Supposons dim ( W ′′ ) ≥
4. Avec les mˆemesnotations que ci-dessus, la restriction de q `a V ′′ a encore mˆeme noyau anisotrope que q W ′′ ,an ⊕ q D . Si d an ( W ′′ ) ´etait ´egal `a 4, le noyau anisotrope de q W ′′ ,an ⊕ q D serait de rang3, contrairement `a (4). Donc d an ( W ′′ ) = 0 ou 2. On a − ν ∈ N W ′′ : c’est ´evident si d an ( W ′′ ) = 0 ; si d an ( W ′′ ) = 2, cela r´esulte du fait que q W ′′ ,an ⊕ q D n’est pas anisotropepuisque d an ( V ′′ ) = 1. Donc l’orbite O − ν de h ′′ ( F ) est d´efinie. On pose c θ ( t ) = c θ, O − ν ( t ) . Proposition . (i) Les fonctions c θ et c τ sont localement constantes sur T ♮ ( F ) .(ii) La fonction t c θ ( t ) c τ ( t ) D H ( t )∆( t ) r est localement int´egrable sur T ( F ) . La preuve est donn´ee dans les quatre paragraphes suivants. Le tore T ∈ T est fix´epour ces paragraphes. T Pour t ∈ T ( F ), notons E ′′ ( t ) le noyau de t − W ′ et E ′ ( t ) son orthogonal dans W ′ . On note J ′ ( t ), resp. J ′′ ( t ) le groupe sp´ecial orthogonal de E ′ ( t ), resp. E ′′ ( t ), J ′ ( t ) t la composante neutre du commutant de t dans J ′ ( t ) et z t le centre de l’alg`ebre de Lie36 ′ ( t ) t . Le groupe H ′ t pr´eserve n´ecessairement les espaces propres de t , donc est inclus dans J ′ ( t ) J ′′ ( t ). Puisque J ′′ ( t ) est ´evidemment inclus dans ce commutant H ′ t , on a l’´egalit´e H ′ t = J ′ ( t ) t J ′′ ( t ) . On aura besoin des r´esultats suivants.(1) z t est inclus dans le centre de h t et dans le centre de g t .(2) Il existe un voisinage ω de 0 dans t ( F ) sur lequel l’exponentielle est d´efinie et telque, pour X ∈ ω , on a z t ⊂ z texp ( X ) , avec ´egalit´e si et seulement si X ∈ z t ( F ).Preuve. Le noyau de t − W est E ′′ ( t ) ⊕ W ′′ et son orthogonal dans W est E ′ ( t ). On en d´eduit comme ci-dessus que H t est le produit de J ′ ( t ) t et du groupe sp´ecialorthogonal de E ′′ ( t ) ⊕ W ′′ .Donc le centre de h t est le produit de z t et du centre del’alg`ebre de Lie du second groupe. Cela prouve que z t est inclus dans le centre de h t . Unraisonnement analogue vaut en rempla¸cant h t par g t .Consid´erons un voisinage ω de 0 dans t ( F ) sur lequel l’exponentielle est d´efinie et telque H ′ texp ( X ) ⊂ H ′ t pour tout X ∈ ω . Soit X ∈ ω . Puisque X commute `a t , il pr´eserve lesespaces propres de t , donc pr´eserve E ′ ( t ) et E ′′ ( t ). Notons X ′ et X ′′ les restrictions de X `a chacun de ces deux espaces et posons ˜ t = texp ( X ). Le groupe H ′ ˜ t est le commutantde X dans H ′ t . Donc H ′ ˜ t est le produit du commutant J ′ ( t ) t,X ′ de X ′ dans J ′ ( t ) t et ducommutant J ′′ ( t ) X ′′ de X ′′ dans J ′′ ( t ). En choisissant ω assez petit, on peut imposer quetoutes les valeurs propres de ˜ t dans E ′ ( t ) soient diff´erentes de 1. Alors E ′′ (˜ t ) ⊂ E ′′ ( t ). Legroupe J ′ (˜ t ) ˜ t est le sous-groupe des ´el´ements de H ′ ˜ t qui agissent trivialement sur E ′′ (˜ t ).Ce sous-groupe contient certainement J ′ ( t ) t,X ′ et est donc le produit de ce groupe etd’un certain sous-groupe de J ′′ ( t ) X ′′ , que l’on note ˜ J . Donc z ˜ t est le produit du centrede j ′ ( t ) t,X ′ et du centre de ˜ j . L’alg`ebre j ′ ( t ) t,X ′ est le commutant dans j ′ ( t ) t de l’´el´ementsemi-simple X ′ de cette alg`ebre. Sur une extension de F , c’est donc une sous-alg`ebre deL´evi de j ′ ( t ) t et son centre contient le centre de cette alg`ebre, c’est-`a-dire contient z t .Cela d´emontre l’inclusion z t ⊂ z ˜ t . Supposons qu’il y a ´egalit´e. Une sous-alg`ebre de L´evi´etant le commutant de son centre, cela entraˆıne que j ′ ( t ) t,X ′ = j ′ ( t ) t . Donc X ′ ∈ z t . Deplus, il est clair que X ′′ appartient au centre de ˜ j , donc `a z ˜ t = z t . Mais tout ´el´ement de z t agit trivialement sur E ′′ ( t ), donc X ′′ = 0. Alors X = X ′ appartient `a z t . La r´eciproqueest ais´ee. Cela prouve (2). (cid:3) Pour un espace vectoriel E sur F , de dimension finie, et pour i ∈ Z , on note C i ( E )l’espace des fonctions ϕ : E → C telles que ϕ ( λe ) = | λ | iF ϕ ( e )pour tout e ∈ E et tout λ ∈ F × . On note C ≥ i ( E ) l’espace des combinaisons lin´eairesd’´el´ements C j ( E ) pour j ≥ i . Remarquons que, si E = { } , on a C ≥ i ( E ) = C si i ≤ C ≥ i ( E ) = { } si i > δ : T ( F ) → Z une fonction. On note C ≥ δ ( T ) l’espace des fonctions f d´efiniespresque partout sur T ( F ) v´erifiant la condition suivante. Soit t ∈ T ( F ). Alors il existe unvoisinage ω de 0 dans t ( F ), sur lequel l’exponentielle est d´efinie, et il existe une fonction ϕ ∈ C ≥ δ ( t ) ( t ( F ) / z t ( F )) tels que l’on ait l’´egalit´e f ( texp ( X )) = ϕ ( ¯ X )presque partout pour X ∈ ω , o`u ¯ X d´esigne la projection de X dans t ( F ) / z t ( F ).Il revientau mˆeme de demander qu’il existe un suppl´ementaire s de z dans t , une fonction ϕ ∈ ≥ δ ( t ) ( s ( F )) et des voisinages ω z de 0 dans z ( F ) et ω s de 0 dans s ( F ) de sorte que l’onait l’´egalit´e (3) f ( texp ( X z + X s )) = ϕ ( X s )presque partout pour X z ∈ ω z et X s ∈ ω s . Lemme . Supposons δ ( t ) = inf ( dim ( z t ) − dim ( t ) + 1 , pour tout t ∈ T ( F ) . Alors tout´el´ement de C ≥ δ ( T ) est localement int´egrable sur T ( F ) . Preuve. Pour tout n ∈ N , posons T n = { t ∈ T ; dim ( z t ) ≥ dim ( t ) − n } . Cet ensembleest un ouvert de Zariski. On va prouver par r´ecurrence(4) n tout ´el´ement de C ≥ δ ( T ) est localement int´egrable sur T n ( F ).Soit n ∈ N . Si n >
0, on suppose (4) n ′ vraie pour tout n ′ < n . Soit f ∈ C ≥ δ ( T ).Pour prouver (4) n , il suffit de fixer t ∈ T ( F ) tel que dim ( z t ) = dim ( t ) − n et de prouverque f est int´egrable dans un voisinage de t . Si n = 0, on a z t = t et f est localementconstante au voisinage de t . L’assertion s’ensuit. Supposons n >
0. Fixons comme avantl’´enonc´e un espace s , une fonction ϕ ∈ C ≥ δ ( t ) ( s ( F )) et des voisinages ω z et ω s de sorteque l’on ait l’´egalit´e (3). On suppose aussi que ω z et ω s sont ouverts et compacts et quele voisinage ω = ω z × ω s v´erifie (2). On suppose enfin que l’exponentielle de ω sur sonimage pr´eserve les mesures. Ecrivons ϕ = P i ≥ δ ( t ) ϕ i , o`u ϕ i ∈ C i ( s ( F )) et ϕ i = 0 saufpour un nombre fini d’indices. On peut choisir une base ( e j ) j =1 ,...,m de s ( F ) de sorte quele r´eseau engendr´e par cette base soit inclus dans ω s . On ne perd rien `a supposer que ω s est ´egal `a ce r´eseau.Pour i ≥ δ ( t ), d´efinissons une fonction f i sur T ( F ) de la fa¸con suivante. Elle estnulle hors de texp ( ω ). Pour X z ∈ ω z et X s ∈ ω s , on pose f i ( texp ( X z + X s )) = ϕ i ( X s ).Montrons que (5) f i ∈ C ≥ δ ( T ) . Pour λ ∈ F × tel que | λ | F ≤
1, d´efinissons une fonction f [ λ ] sur T ( F ) de la fa¸con sui-vante. Elle est nulle hors de texp ( ω ). Pour X ∈ ω , on pose f [ λ ]( texp ( X )) = f ( texp ( λX )).On a f [ λ ] = P i ≥ δ ( t ) | λ | iF f i . Par interpolation, chaque f i est combinaison lin´eaire de fonc-tions f [ λ ]. Il suffit donc de fixer λ et de prouver que f [ λ ] appartient `a C ≥ δ ( T ). Onfixe X ∈ ω , on pose t ′ = texp ( X ) et on doit ´etudier le comportement de la fonction Y f [ λ ]( t ′ exp ( Y )) au voisinage de 0. Posons t ′′ = texp ( λX ) et introduisons la fonction ϕ ′′ ∈ C ≥ δ ( t ′′ ) ( t ( F ) / z t ′′ ) telle que f ( t ′′ exp ( Y )) = ϕ ′′ ( ¯ Y ) pour Y assez proche de 0. On aalors (6) f [ λ ]( t ′ exp ( Y )) = ϕ ′′ ( λ ¯ Y ) = ϕ ′′ λ ( ¯ Y )pour Y assez proche de 0. La fonction ϕ ′′ λ appartient ´evidemment `a C ≥ δ ( t ′′ ) ( t ( F ) / z t ′′ ).De plus, la preuve de (2) montre que z t ′ = z t ′′ , d’o`u aussi δ ( t ′ ) = δ ( t ′′ ). Alors l’´egalit´e (6)est le d´eveloppement requis pour que f [ λ ] appartienne `a C ≥ δ ( T ). Cela prouve (5).Notons Ω s l’ensemble des ´el´ements de ω s dont les coordonn´ees ( λ j ) j =1 ,...,m dans labase ( e j ) j =1 ,...,m v´erifient la condition inf { val F ( λ j ); j = 1 , ..., m } = 0 ou 1. C’est unsous-ensemble ouvert et compact de s ( F ). L’ensemble ω est r´eunion disjointe de ω z ×{ } ,qui est de mesure nulle, et des ensembles ω z × ̟ kF Ω s , pour k ∈ N . Soit k ∈ N . PuisqueΩ s ne contient pas 0, tout ´el´ement X ∈ ω z × ̟ kF Ω s appartient `a ω mais pas `a z t ( F ).D’apr`es (2), on a donc z t ( z texp ( X ) . Il en r´esulte que texp ( X ) ∈ S n ′ 2. On a dim ( O t ) ≤ δ ( G t ). Puisque O est r´eguli`ere, on a dim ( O ) = δ ( G ′′ ). Si d est pair, ou si d est impair et E ′′ ( t ) = { } , le degr´e pr´ec´edentest sup´erieur ou ´egal `a δ G,T ( t ) et cela ach`eve la d´emonstration. Supposons d impair et E ′′ ( t ) = { } . Si O t n’est pas r´eguli`ere, on a dim ( O t ) ≤ δ ( G t ) − O t r´eguli`ere. Le tore T est un sous-tore maximal de H ′ t = J ′ ( t ) t J ′′ ( t ) etse d´ecompose donc en T = T ′ T ′′ , o`u T ′ est un sous-tore maximal de J ′ ( t ) t et T ′′ unsous-tore maximal de J ′′ ( t ). L’hypoth`ese A T = { } entraˆıne A T ′′ = { } et l’hypoth`ese E ′′ ( t ) = { } entraˆıne T ′′ = { } . Notons ˜ G le groupe sp´ecial orthogonal de E ′′ ( t ) ⊕ V ′′ .On a T ′′ ⊂ J ′′ ( t ) ⊂ ˜ G . Comme on l’a vu dans la preuve de 7.4(1), on a G t = J ′ ( t ) t ˜ G .L’orbite O t se d´ecompose en la somme d’une orbite nilpotente dans j ′ ( t ) t ( F ) et d’uneorbite nilpotente ˜ O dans ˜ g ( F ). Ces deux orbites sont r´eguli`eres. Cela entraˆıne que ˜ G estquasi-d´eploy´e. Or dim ( E ′′ ( t ) ⊕ V ′′ ) est impair, donc ˜ G est d´eploy´e. Donc ˜ g ( F ) poss`edeune unique orbite nilpotente r´eguli`ere, `a savoir ˜ O , qui est induite `a partir de l’orbite { } d’une sous-alg`ebre de L´evi minimale, c’est-`a-dire de l’alg`ebre de Lie d’un tore d´eploy´emaximal. Cela entraˆıne que la fonction ˆ j ( ˜ O , . ) est `a support dans l’ensemble des ´el´ementsqui appartiennent `a une sous-alg`ebre de Borel. Les propri´et´es de T ′′ montrent qu’un´el´ement de t ′′ ( F ) en position g´en´erale poss`ede un voisinage dans ˜ g ( F ) dont aucun ´el´ementn’appartient `a une telle alg`ebre. Donc ˆ j ( ˜ O , . ) s’annule au voisinage de presque tout´el´ement de t ′′ ( F ). Il en r´esulte que τ s’annule au voisinage de presque tout ´el´ement de t ( F ). A fortiori, la fonction c τ, O est nulle sur t ( F ). Cela ach`eve la d´emonstration. (cid:3) Evidemment, un lemme analogue au lemme 7.6 vaut si l’on remplace G par H et δ G,T par une fonction δ H,T d´efinie de fa¸con similaire (l’entier d W remplace d ). Il r´esulte toutd’abord de ces lemmes que les fonctions c θ et c τ sont localement constantes sur T ♮ ( F ).Evidemment, si δ i , i = 1 , , T ( F ) telles que δ + δ ≥ δ , on a40 f ∈ C ≥ δ ( T ) pour toutes f ∈ C ≥ δ ( T ) et f ∈ C ≥ δ ( T ). En vertu des lemmes 7.4, 7.5et 7.6, pour d´emontrer le (ii) de la proposition, il suffit de prouver que(1) δ ( t ) + δ G,T ( t ) + δ H,T ( t ) ≥ inf ( dim ( z t ) − dim ( t ) + 1 , t ∈ T ( F ). Posons e = dim ( E ′′ ( t )). Puisque d ou d W est impair, les d´efinitionsentraˆınent que le membre de gauche est ´egal `a ( δ ( G ′′ ) − δ ( G t ) − δ ( H ′′ ) + δ ( H t )) + re , si e = 0 ; ( δ ( G ′′ ) − δ ( G t ) − δ ( H ′′ ) + δ ( H t )) + 1 + re , si e > G t ´etait le produit de J ′ ( t ) t et du groupe sp´ecial orthogonal ˜ G de E ′′ ( t ) ⊕ V ′′ . De mˆeme, H t est le produit de J ′ ( t ) t et du groupe sp´ecial orthogonal ˜ H de E ′′ ( t ) ⊕ W ′′ . On peut remplacer − δ ( G t ) + δ ( H t ) par − δ ( ˜ G ) + δ ( ˜ H ) dans les formulespr´ec´edentes. Il est facile de calculer(2) δ ( G ) = (cid:26) d ( d − / , si d est pair , ( d − / , si d est impair . On calcule de mˆeme δ ( G ′′ ), δ ( H ′′ ), δ ( ˜ G ) et δ ( ˜ H ) en rempla¸cant d par d ′′ + 1 + 2 r , d ′′ , d ′′ + 1 + 2 r + e , d ′′ + e , o`u d ′′ = dim ( W ′′ ). On obtient que le membre de gauche de (1)est sup´erieur ou ´egal `a (cid:26) , si e = 0; − e/ , si e > . Dans le premier cas, il est clairement sup´erieur au membre de droite de (1). Supposons e > 0. L’alg`ebre z t est celle d’un sous-tore de J ′ ( t ), donc de dimension inf´erieure ou´egale `a dim ( E ′ ( t )) / 2, qui est ´egale `a dim ( t ) − e/ 2. Le membre de droite de (1) est doncinf´erieur ou ´egal `a − e/ (cid:3) Soient θ un quasi-caract`ere sur H ( F ) et f ∈ C ∞ c ( G ( F )) une fonction tr`es cuspidale.Pour T ∈ T , on d´efinit la fonction c θ f sur T ♮ ( F ) et on la note simplement c f . Fixons unensemble de repr´esentants T des classes de conjugaison par H ( F ) dans T . Posons I ( θ, f ) = X T ∈T | W ( H, T ) | − ν ( T ) Z T ( F ) c θ ( t ) c f ( t ) D H ( t )∆( t ) r dt. D’apr`es la proposition 7.3, cette expression est absolument convergente.Pour g ∈ G ( F ), on d´efinit une fonction g f ξ sur H ( F ) par g f ξ ( x ) = Z U ( F ) f ( g − xug ) ξ ( u ) du. Elle appartient `a C ∞ c ( H ( F )). On pose I ( θ, f, g ) = Z H ( F ) θ ( x ) g f ξ ( x ) dx, puis, pour un entier N ∈ N , I N ( θ, f ) = Z U ( F ) H ( F ) \ G ( F ) I ( θ, f, g ) κ N ( g ) dg. Th´eor`eme . Pour tout quasi-caract`ere θ sur H ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( G ( F )) , on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . Ce th´eor`eme sera d´emontr´e en 12.3. Contentons-nous ici de la remarque facile sui-vante. Supposons d W ≥ 1. Soit y ∈ H + ( F ) y H ( F ), que l’on identifie comme on l’adit en 7.2 `a un ´el´ement de G ( F ). Posons θ + = ( θ + y θ ) / 2. Par de simples changementsde variables, on v´erifie les ´egalit´es I ( θ + , f ) = I ( θ, f ) , I N ( θ + , f ) = I N ( θ, f ) . On peut donc remplacer θ par θ + pour d´emontrer le th´eor`eme. Autrement dit, on peutsupposer θ invariant par conjugaison par H + ( F ). Soient θ un quasi-caract`ere sur h ( F ) et f ∈ C ∞ c ( g ( F )). Les d´efinitions pos´ees pourles groupes dans les paragraphes pr´ec´edents se descendent aux alg`ebres de Lie. Ainsi, ona d´efini en 7.2 un caract`ere ξ de U ( F ). Il s’en d´eduit un caract`ere de u ( F ), d´efini par lamˆeme formule qu’en 7.2 et que l’on note encore ξ . On d´efinit une fonction f ξ sur h ( F )par f ξ ( Y ) = Z u ( F ) f ( Y + N ) ξ ( N ) dN. Pour g ∈ G ( F ), on pose I ( θ, f, g ) = Z h ( F ) θ ( Y ) g f ξ ( Y ) dY, puis, pour un entier N ∈ N , I N ( θ, f ) = Z U ( F ) H ( F ) \ G ( F ) I ( θ, f, g ) κ N ( g ) dg. On d´efinit la fonction ∆ sur h ( F ) par∆( Y ) = | det ( Y | W/W ′′ ( Y )) | F , o`u W ′′ ( Y ) est le noyau de Y agissant dans W . Pour T ∈ T , on note t ♮ le sous-ensembledes X ∈ t tels que les valeurs propres de l’action de X dans W ′ soient toutes distinctes, o`u W ′ est comme en 7.3. Supposons f tr`es cuspidale. On d´efinit les fonctions c θ et c f = c θ f sur t ♮ ( F ). On pose I ( θ, f ) = X T ∈T | W ( H, T ) | − ν ( T ) Z t ( F ) c θ ( Y ) c f ( Y ) D H ( Y )∆( Y ) r dY. Une analogue de la proposition 7.3 entraˆıne l’absolue convergence de cette expression.42 h´eor`eme . Pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) , on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . Ce th´eor`eme sera d´emontr´e en 12.3. On fixe pour toute la section un quasi-caract`ere θ sur H ( F ), invariant par conjugaisonpar H + ( F ), et une fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( G ( F )). Soit x ∈ G ss ( F ). Notons V ′′ le noyau de x − V . Supposons que x n’est conjugu´e `a aucun ´el´ementde H ( F ). Par le th´eor`eme de Witt, cette hypoth`ese ´equivaut `a dire que V ′′ ne contientaucun sous-espace non d´eg´en´er´e isomorphe (comme espace quadratique) `a D ⊕ Z . Soit ω un bon voisinage de 0 dans g x ( F ), v´erifiant la condition (7) ρ de 3.1, o`u ρ est larepr´esentation de G dans V . Pour X ∈ ω , le noyau de xexp ( X ) − V ′′ et v´erifie a fortiori la mˆeme condition que V ′′ . Donc xexp ( X ) n’est conjugu´e `a aucun´el´ement de H ( F ). Posons Ω = ( xexp ( ω )) G . Alors Ω ∩ H ( F ) = ∅ . Supposons f `a supportdans Ω. Pour tout t ∈ H ss ( F ), le compl´ementaire de Ω dans G ( F ) est un voisinage de t invariant par conjugaison par G ( F ) et sur lequel f est nulle. Donc θ f y est nul aussi etle d´eveloppement de θ f au voisinage de t est nul. Il en r´esulte que I ( θ, f ) = 0. D’autrepart, tout ´el´ement de U ( F ) H ( F ) a pour partie semi-simple un ´el´ement conjugu´e `a un´el´ement de H ( F ). Il en r´esulte que g f ξ = 0 pour tout g ∈ G ( F ), donc I N ( θ, f ) = 0. Alorsl’´egalit´e du th´eor`eme est triviale. I N ( θ, f ) Soit x ∈ H ss ( F ). On note W ′′ , resp. V ′′ , V ′′ , le noyau de x − W , resp. V , resp. V . On a V ′′ = W ′′ ⊕ D , V ′′ = W ′′ ⊕ D ⊕ Z . On note W ′ l’orthogonal de W ′′ dans W . On note H ′ = G ′ , resp. H ′′ , G ′′ , G ′′ , les groupes sp´eciaux orthogonaux de W ′ ,resp. W ′′ , V ′′ , V ′′ . On a les ´egalit´es H x = H ′ x H ′′ , G x = G ′ x G ′′ . On fixe un bon voisinage ω de 0 dans g x ( F ), auquel on impose la condition (8) de 3.1, c’est-`a-dire ω = ω ′ × ω ′′ ,o`u ω ′ ⊂ g ′ x ( F ), ω ′′ ⊂ g ′′ ( F ). On pose Ω = ( xexp ( ω )) G . On suppose Hypoth`ese . Le support de f est contenu dans Ω . La situation ci-dessus, les notations et cette hypoth`ese seront conserv´ees jusqu’en10.9.On d´efinit le quasi-caract`ere θ x,ω de g x ( F ), cf. 4.3, et, pour g ∈ G ( F ), la fonction g f x,ω sur g x ( F ), cf. 5.4. Pour g ∈ G ( F ), on d´efinit une fonction g f ξx,ω sur h x ( F ) par g f ξx,ω ( X ) = Z u x ( F ) g f x,ω ( X + N ) ξ ( N ) dN. x appartient `a M ( F ) et que l’on a l’inclusion h x ⊂ m x . Posons I x,ω ( θ, f, g ) = Z h x ( F ) θ x,ω ( X ) g f ξx,ω ( X ) dX, puis I x,ω,N ( θ, f ) = Z U x ( F ) H x ( F ) \ G ( F ) I x,ω ( θ, f, g ) κ N ( g ) dg. Cette int´egrale a un sens : la fonction g I x,ω ( θ, f, g ) est invariante `a gauche par U x ( F ) H x ( F ). Elle est `a support compact. En effet, d’apr`es 3.1(5), il existe un sous-ensemble compact Γ ⊂ G ( F ) tel que g f x,ω est nulle pour g ∈ G ( F ), g G x ( F )Γ. D’autrepart, on v´erifie que, pour tout γ ∈ G ( F ), la fonction g κ N ( gγ ) sur G x ( F ) a un supportd’image compacte dans U x ( F ) H x ( F ) \ G x ( F ). L’assertion en r´esulte.Posons C ( x ) = | H + ( F ) /H ( F ) || Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) | − ∆( x ) r . Lemme . On a l’´egalit´e I N ( θ, f ) = C ( x ) I x,ω,N ( θ, f ) . Preuve. Pour tout groupe r´eductif connexe L , fixons un ensemble de repr´esentants T ( L ) des classes de conjugaison par L ( F ) dans l’ensemble des sous-tores maximaux de L . Soit g ∈ G ( F ). D’apr`es la formule de Weyl, on a(1) I ( θ, f, g ) = X T ∈T ( H ) | W ( H, T ) | − Z T ( F ) θ ( t ) J H ( t, g f ξ ) D H ( t ) / dt. Pour deux sous-tores (pas forc´ement maximaux) T et T ′ de H , notons W + ( T, T ′ ) l’en-semble des isomorphismes de T sur T ′ induits par la conjugaison par un ´el´ement de H + ( F ). On va prouver les assertions suivantes.(2) Soient T ∈ T ( H ) et t ∈ T ( F ) ∩ H reg ( F ). Alors J H ( t, g f ξ ) = 0 si t n’appartientpas `a [ T ∈T ( H x ) [ w ∈ W + ( T ,T ) w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) . (3) Soit T ∈ T ( H ) et, pour i = 1 , 2, soient T i ∈ T ( H x ) et w i ∈ W + ( T i , T ). Alors lesensembles w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) sont disjoints ou confondus.(4) Soient T ∈ T ( H ), T ∈ T ( H x ) et w ∈ W + ( T , T ). Le nombre des couples ( T , w )tels que T ∈ T ( H x ), w ∈ W + ( T , T ) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) = w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) est´egal `a | W ( H x , T ) || Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) || Z H + ( T )( F ) /T ( F ) | − . Soient T et t comme en (2). Supposons J H ( t, g f ξ ) = 0. Alors il existe u ∈ U ( F ) telque la classe de conjugaison par G ( F ) de tu coupe le support de f . Elle coupe doncaussi xexp ( ω ). La partie semi-simple de tu est conjugu´ee `a t et la partie semi-simpled’un ´el´ement de xexp ( ω ) reste dans cet ensemble. Donc la classe de conjugaison par G ( F ) de t coupe xexp ( ω ). Soient X ∈ ω et y ∈ G ( F ) tels que yty − = xexp ( X ). Lenoyau de t − V contient D ⊕ Z . D’apr`es l’hypoth`ese (7) ρ de 3.1, celuide xexp ( X ) − W ′′ . Donc W ′′ contient y ( D ⊕ Z ). Mais il contientaussi D ⊕ Z . Ces deux espaces D ⊕ Z et y ( D ⊕ Z ) sont isomorphes et non d´eg´en´er´es, en44ant qu’espaces quadratiques. D’apr`es le th´eor`eme de Witt, on peut trouver y ′′ ∈ G ′′ ( F )tel que y ′′ y ( D ⊕ Z ) = D ⊕ Z . On a G ′′ ⊂ G x . Quitte `a remplacer y par y ′′ y et X par y ′′ Xy ′′ − , on est ramen´e au cas o`u y conserve D ⊕ Z . Dans ce cas, puisque t agittrivialement sur D ⊕ Z , xexp ( X ) agit trivialement lui aussi, donc X ∈ h x ( F ). Quitte `amultiplier encore y `a gauche par un ´el´ement de H x ( F ), on peut supposer que X ∈ t ( F )pour un ´el´ement T ∈ T ( H x ). L’´el´ement y conserve W . Notons h sa restriction `a cetespace. Alors h ∈ H + ( F ) et hth − = xexp ( X ). N´ecessairement, la conjugaison par h envoie le commutant de t dans H sur celui de xexp ( X ). Mais t est r´egulier dans H ,donc ces commutants sont T et T . Si on note w l’´el´ement de W + ( T , T ) induit par laconjugaison par y − , on a alors t ∈ w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) ce qui prouve (2).Passons `a la preuve de (3). Pour i = 1 , y i ∈ H + ( F ) tel que w i soit induitpar la conjugaison par y i . On identifie y i `a un ´el´ement de G ( F ). Posons y = y − y .Supposons que les ensembles w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) ne sont pasdisjoints. Alors y ( xexp ( ω )) y − ∩ ( xexp ( ω )) = ∅ . D’apr`es 3.1(4), y appartient `a Z G ( x )( F ).D’apr`es 3.1(1), la conjugaison par y conserve ω . D’autre part, d’apr`es la d´efinition de y ,cette conjugaison envoie T sur T , donc aussi t sur t . Elle envoie alors xexp ( t ( F ) ∩ ω )sur xexp ( t ( F ) ∩ ω ) et les ensembles w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) sontconfondus. Cela prouve (3).Soient T , T et w comme en (4). Posons Y = { y ∈ Z H + ( x )( F ); yT y − ∈ T ( H x ) } /Z H + ( T )( F ) . La preuve de (3) montre que l’application y ( T = yT y − , w = w ad ( y − )) estune surjection de Y sur l’ensemble des couples ( T , w ) dont on veut calculer le nombred’´el´ements. Cette application est aussi injective, le nombre `a calculer est donc |Y | . Onv´erifie que l’application naturelle Y → H x ( F ) \ Z H + ( x )( F ) /Z H + ( T )( F )est surjective et que toutes ses fibres ont pour nombre d’´el´ements | W ( H x , T ) | . Enfin,parce que H x ( F ) est un sous-groupe distingu´e de Z H + ( x )( F ) et que Z H + ( T ) ∩ H x = T ,on a | H x ( F ) \ Z H + ( x )( F ) /Z H + ( T )( F ) | = | Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) || Z H + ( T )( F ) /T ( F ) | − . Cela prouve (4).Ces trois propri´et´es permettent de transformer l’expression (1) de la fa¸con suivante I ( θ, f, g ) = X T ∈T ( H x ) X T ∈T ( H ) X w ∈ W + ( T ,T ) | W ( H, T ) | − w ( T ) Z t ( F ) ∩ ω θ ( w ( xexp ( X ))) J H ( w ( xexp ( X )) , g f ξ ) D H ( w ( xexp ( X ))) / dX, o`u w ( T ) = | W ( H x , T ) | − | Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) | − | Z H + ( T )( F ) /T ( F ) | . On a D H ( w ( xexp ( X ))) = D H ( xexp ( X )). On a θ ( w ( xexp ( X ))) = θ ( xexp ( X )) puis-qu’on a suppos´e θ invariant par H + ( F ). Si w ´etait induit par la conjugaison par un´el´ement de H ( F ), on aurait aussi J H ( w ( xexp ( X )) , g f ξ ) = J H ( xexp ( X ) , g f ξ ), et w dis-paraˆıtrait de la formule ci-dessus. En g´en´eral, on a seulement J H ( w ( xexp ( X )) , g f ξ ) =45 H ( xexp ( X ) , yg f ξ ), o`u y ∈ H + ( F ) d´epend de w . Mais ce terme y disparaˆıt par change-ment de variables quand on calcule I N ( θ, f ). Ces arguments conduisent `a l’´egalit´e(5) I N ( θ, f ) = Z U ( F ) H ( F ) \ G ( F ) X T ∈T ( H x ) w ′ ( T ) Z t ( F ) ∩ ω θ ( xexp ( X )) J H ( xexp ( X ) , g f ξ ) D H ( xexp ( X )) / dXκ N ( g ) dg, o`u w ′ ( T ) = w ( T ) X T ∈T ( H ) | W + ( T , T ) || W ( H, T ) | − . Soit T ∈ T ( H x ). Remarquons que W ( H, T ) a mˆeme nombre d’´el´ements que W ( H, T )pour tout T tel que W + ( T , T ) est non vide. On a donc w ′ ( T ) = w ( T ) | W ( H, T ) − ||Y T | , o`u Y T = { ( T, w ); T ∈ T ( H ) , w ∈ W + ( T , T ) } . Posons Y ′ T = { y ∈ H + ( F ) /Z H + ( T )( F ); yT y − ∈ T ( H ) } . L’application y ( T = yT y − , w = ad ( y )) est une bijection de Y ′ T sur Y T . L’applica-tion naturelle Y ′ T → H ( F ) \ H + ( F ) /Z H + ( T )( F )est surjective et toutes ses fibres ont pour nombre d’´el´ements | W ( H, T ) | . Enfin, parceque H est un sous-groupe distingu´e de H + et Z H + ( T ) ∩ H = T , on a l’´egalit´e | H ( F ) \ H + ( F ) /Z H + ( T )( F ) | = | H + ( F ) /H ( F ) || Z H + ( T )( F ) /T ( F ) | − . Cela conduit `a l’´egalit´e w ′ ( T ) = | H + ( F ) /H ( F ) || Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) | − | W ( H x , T ) | − . Pour X ∈ ω ∩ h x,reg ( F ) et g ∈ G ( F ), on a J H ( xexp ( X ) , g f ξ ) = D H ( xexp ( X )) / Z H x ( F ) \ H ( F ) Z T ( F ) \ H x ( F ) yg f ξ ( xexp ( h − Xh )) dh dy. D’autre part, on a D H ( xexp ( X )) = D H ( x ) D H x ( X ). Ces ´egalit´es transforment la formule(5) en (6) I N ( θ, f ) = C ′ ( x ) Z U ( F ) H x ( F ) \ G ( F ) Φ( g ) κ N ( g ) dg, o`u C ′ ( x ) = | H + ( F ) /H ( F ) || Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) | − D H ( x )etΦ( g ) = X T ∈T ( H x ) | W ( H x , T ) − Z t ( F ) ∩ ω θ ( xexp ( X )) Z T ( F ) \ H x ( F ) g f ξ ( xexp ( h − Xh )) dh D H x ( X ) dX. ϕ g sur h x ( F ) par ϕ g ( X ) = (cid:26) , si X ω,θ ( xexp ( X )) g f ξ ( xexp ( X )) , si X ∈ ω. D’apr`es la formule de Weyl, Φ( g ) = Z h x ( F ) ϕ g ( X ) dX. Soient X ∈ ω ∩ h x,reg ( F ) et g ∈ G ( F ). On a g f ξ ( xexp ( X )) = Z U ( F ) g f ( xexp ( X ) u ) ξ ( u ) du = Z U x ( F ) \ U ( F ) Z U x ( F ) g f ( xexp ( X ) uv ) ξ ( uv ) du dv. Pour u ∈ U x ( F ), l’application v ( xexp ( X ) u ) − v − xexp ( X ) uv est une bijection de U x ( F ) \ U ( F ) sur lui-mˆeme. Grˆace `a l’hypoth`ese (7) ρ de 3.1, son jacobien est ´egal `a lavaleur absolue du d´eterminant de 1 − ad ( x ) − agissant sur u ( F ) / u x ( F ). Remarquons que,avec les notations de 7.1 et 7.2, l’application W ′ ⊗ Z + → u ( F )( w ′ , z ) c w ′ ,z est une bijection de W ′ ⊗ Z + sur un suppl´ementaire de u x ( F ) dans u ( F ). Le jacobienci-dessus est donc ´egal `a ∆( x ) r . D’autre part, on a ξ (( xexp ( X ) u ) − v − xexp ( X ) uv ) = 1 . Cela conduit `a l’´egalit´e g f ξ ( xexp ( X )) = ∆( x ) r Z U x ( F ) \ U ( F ) Z U x ( F ) g f ( v − xexp ( X ) uv ) ξ ( u ) du dv = ∆( x ) r Z U x ( F ) \ U ( F ) Z U x ( F ) vg f ( xexp ( X ) u ) ξ ( u ) du dv. Grˆace `a la condition (6) de 3.1, l’application u x ( F ) → U x ( F ) N exp ( − X ) exp ( X + N )est bijective et pr´eserve les mesures. On a ξ ( exp ( − X ) exp ( X + N )) = ξ ( N ). On a doncaussi g f ξ ( xexp ( X )) = ∆( x ) r Z U x ( F ) \ U ( F ) Z u x ( F ) vg f ( xexp ( X + N )) ξ ( N ) dN dv. Remarquons que la partie semi-simple de X + N est conjugu´ee `a X par un ´el´ement de G x ( F ), donc X + N ∈ ω et vg f ( xexp ( X + N )) = vg f x,ω ( X + N ). Alors g f ξ ( xexp ( X )) = ∆( x ) r Z U x ( F ) \ U ( F ) vg f ξx,ω ( X ) dv. θ ( xexp ( X )) = θ x,ω ( X ). Donc ϕ g ( X ) = ∆( x ) r θ x,ω ( X ) Z U x ( F ) \ U ( F ) vg f ξx,ω ( X ) dv. Cette ´egalit´e reste vraie si X ω puisque les deux membres sont nuls. Alors on reconnaˆıtΦ( g ) = ∆( x ) r Z U x ( F ) \ U ( F ) I x,ω ( θ, f, vg ) dv. En remarquant que C ′ ( x )∆( x ) r = C ( x ), la formule (6) devient I N ( θ, f ) = C ( x ) Z U x ( F ) H x ( F ) \ G ( F ) I x,ω ( θ, f, g ) κ N ( g ) dg = C ( x ) I x,ω,N ( θ, f ) . (cid:3) I ( θ, f ) Modifions les notations de 7.3 : pour T ∈ T , on note maintenant W ′ T , W ′′ T et V ′′ T les espaces que l’on avait not´es W ′ , W ′′ et V ′′ dans ce paragraphe. On note T x le sous-ensemble des T ∈ T tels que T ⊂ H x et W ′ ⊂ W ′ T . Remarquons que ces conditionsimpliquent que T se d´ecompose en T ′ T ′′ o`u T ′ est un sous-tore maximal de H ′ et T ′′ est un sous-tore de H ′′ . On a x ∈ T ′ . Pour T ∈ T x , on a xexp ( X ) ∈ T ♮ ( F ) pour tout X ∈ t ♮ ( F ) ∩ ω . On d´efinit des fonctions c θ,x,ω et c f,x,ω presque partout sur t ( F ). Ellessont nulles hors de t ( F ) ∩ ω . Pour X ∈ t ♮ ( F ) ∩ ω , c θ,x,ω ( X ) = c θ ( xexp ( X )) , c f,x,ω ( X ) = c f ( xexp ( X )) . En fait, les fonctions θ x,ω et θ f,x,ω sont des quasi-caract`eres et les fonctions ci-dessus sontassoci´ees `a ces quasi-caract`eres comme en 7.9. On fixe un ensemble de repr´esentants T x des classes de conjugaison par H x ( F ) dans T x . Enfin, on d´efinit une fonction ∆ ′′ sur h x ( F ) par ∆ ′′ ( X ) = | det ( X | W ′′ /W ′′ ( X )) | F , o`u W ′′ ( X ) est le noyau de X agissant dans W ′′ . Posons I x,ω ( θ, f ) = X T ∈T x | W ( H x , T ) | − ν ( T ) Z t ( F ) c θ,x,ω ( X ) c f,x,ω ( X ) D H x ( X )∆ ′′ ( X ) r dX. On pourrait montrer que cette int´egrale est absolument convergente de la mˆeme fa¸conqu’en 7.3. Cela va aussi r´esulter de la preuve suivante. Lemme . On a l’´egalit´e I ( θ, f ) = C ( x ) I x,ω ( θ, f ) . Preuve. On a les propri´et´es suivantes.(1) Soient T ∈ T et t ∈ T ♮ ( F ). Alors c f ( t ) = 0 si t n’appartient pas `a [ T ∈T x [ w ∈ W + ( T ,T ) w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) . T ∈ T et, pour i = 1 , 2, soient T i ∈ T x et w i ∈ W + ( T i , T ). Alors les ensembles w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) sont disjoints ou confondus.(3) Soient T ∈ T , T ∈ T x et w ∈ W + ( T , T ). Le nombre des couples ( T , w ) telsque T ∈ T x , w ∈ W + ( T , T ) et w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) = w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )) est ´egal `a | W ( H x , T ) || Z H + ( x )( F ) /H x ( F ) || Z H + ( T )( F ) /Z H x ( T )( F ) | − . Soient T et t comme en (1). Supposons c f ( t ) = 0. Alors θ f n’est nulle dans aucunvoisinage de t . Le support de θ f est inclus dans la clˆoture de ( Supp ( f )) G , donc dans Ω.Donc t ∈ Ω et on peut fixer y ∈ G ( F ) et X ∈ ω tels que yty − = xexp ( X ). Puisque t ∈ T ♮ ( F ), le noyau de t − V est V ′′ T . Grˆace `a la condition (7) ρ de 3.1, lenoyau de xexp ( X ) − V ′′ . Donc y ( V ′′ T ) ⊂ V ′′ . Comme dans la preuve de8.2(2), on peut alors modifier y et X de telle sorte que y conserve D ⊕ Z . Cela entraˆıneque xexp ( X ) agit sur cet espace par l’identit´e, donc X ∈ h x ( F ). L’´el´ement y conserve W .Notons h sa restriction `a cet espace, qui appartient `a H + ( F ). Posons T = hT h − . Ona T ⊂ H t , donc T ⊂ H xexp ( X ) ⊂ H x . De plus, puisque y ( V ′′ T ) ⊂ V ′′ , on a W ′ ⊂ h ( W ′ T ).Mais alors le tore T appartient `a T x . Quitte `a multiplier h `a gauche par un ´el´ement de H x ( F ), on peut supposer T ∈ T x . En notant w ∈ W + ( T , T ) l’isomorphisme induit parla conjugaison par h − , on a t ∈ w ( xexp ( t ( F ) ∩ ω )), ce qui prouve (1).Les assertions (2) et (3) se prouvent comme (3) et (4) de 8.2. Remarquons toutefoisque le quotient Z H + ( T )( F ) /Z H x ( T )( F ) figurant dans (3) est fini car, puisque x ∈ T ( F ),le groupe Z H + ( T ) est contenu dans Z H + ( x ). On laisse les d´etails au lecteur.Les trois assertions pr´ec´edentes permettent d’´ecrire I ( θ, f ) = X T ∈T x X T ∈T X w ∈ W + ( T ,T ) w ( T ) | W ( H, T ) | − ν ( T ) Z t ( F ) ∩ ω c θ ( w ( xexp ( X ))) c f ( w ( xexp ( X ))) D H ( w ( xexp ( X )))∆( xexp ( X )) r dX, o`u w ( T ) est l’inverse du nombre de couples calcul´e en (3). Tous les termes conte-nant w sont invariants par H + ( F ) et le w disparaˆıt. On a aussi ν ( T ) = ν ( T ) et | W ( H, T ) | = | W ( H, T ) si W + ( T , T ) n’est pas vide. On a les ´egalit´es c θ ( xexp ( X )) = c θ,x,ω ( X ), c f ( xexp ( X )) = c f,x,ω ( X ) et, grˆace aux hypoth`eses (7) et (7) ρ de 3.1, D H ( xexp ( X ))∆( xexp ( X )) r = D H ( x ) D H x ( X )∆( x ) r ∆ ′′ ( X ) r . On obtient(4) I ( θ, f ) = D H ( x )∆( x ) r X T ∈T x w ′ ( T ) ν ( T ) Z t ( F ) c θ,x,ω ( X ) c f,x,ω ( X ) D H x ( X )∆ ′′ ( X ) r dX, o`u w ′ ( T ) = w ( T ) | W ( H, T ) | − |{ ( T, w ); T ∈ T , w ∈ W + ( T , T ) }| . On calcule ce terme comme dans la preuve du lemme 8.2. On obtient D H ( x )∆( x ) r w ′ ( T ) = C ( x ) | W ( H x , T ) | − . Alors la formule (4) devient celle de l’´enonc´e. (cid:3) Utilisation de la transformation de Fourier Comme on l’a dit, on conserve la situation de 8.2. Posons U ′′ = U ∩ G ′′ . Remarquonsque U ′′ = U x . Soient θ ′′ un quasi-caract`ere de h ′′ ( F ) et ϕ ∈ C ∞ c ( g ′′ ( F )). Appliquant lesd´efinitions de 7.9 o`u l’on remplace les espaces V et W par V ′′ et W ′′ , on d´efinit unefonction ϕ ξ sur h ′′ ( F ) et, pour g ∈ G ′′ ( F ), une int´egrale I ( θ ′′ , ϕ, g ). Remarquons que,si le support de ϕ est contenu dans ω ′′ , celui de ϕ ξ est contenu dans ω ′′ ∩ h ′′ ( F ). Soit S ∈ h ′′ ( F ). On suppose que S est r´egulier et que le noyau de S agissant dans W ′′ estde dimension au plus 1. On suppose que, pour toute φ ∈ C ∞ c ( h ′′ ( F )) `a support dans ω ′′ ∩ h ′′ ( F ), on a l’´egalit´e θ ′′ ( φ ) = J H ′′ ( S, ˆ φ ) . Soit enfin κ ′′ ∈ C ∞ c ( U ′′ ( F ) H ′′ ( F ) \ G ′′ ( F )). G´en´eralisant la d´efinition de 7.8, on pose I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) = Z U ′′ ( F ) H ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) I ( θ ′′ , ϕ, g ) κ ′′ ( g ) dg. Cette int´egrale est `a support compact. Le but de la section est d’exprimer I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) `al’aide de la transform´ee de Fourier ˆ ϕ de ϕ , quand ϕ est `a support dans ω ′′ . Soit Ξ l’´el´ement de g ′′ ( F ) qui annule W ′′ et v´erifie Ξ v i +1 = ξ i v i pour tout i =0 , ..., r − 1. Remarquons que l’on a Ξ v = − ν ξ e − , o`u ν = q ( v ), Ξ v − i = − ξ i v − i − pour i = 1 , ..., r − v − r = 0. On a aussi ξ ( N ) = < Ξ , N > pour tout N ∈ u ′′ ( F ).Posons Λ = { c ( v , v ); v ∈ W ′′ } . Cet espace est l’orthogonal de h ′′ ( F ) dans g ′′ ( F ).La forme bilin´eaire < ., . > est non d´eg´en´er´ee sur Λ . Posons Σ = a ( F ) ⊕ Λ ⊕ u ′′ ( F ).On munit les deux premiers espaces de la mesure autoduale. On a implicitement fix´eune mesure sur U ′′ ( F ) dans le paragraphe pr´ec´edent, dont le choix n’importe pas. On end´eduit une mesure sur u ′′ ( F ), puis sur Σ. Lemme . Pour tout ϕ ∈ C ∞ c ( g ′′ ( F )) et tout Y ∈ h ′′ ( F ) , on a l’´egalit´e ( ϕ ξ )ˆ( Y ) = Z Σ ˆ ϕ (Ξ + Y + X ) dX. Preuve. Introduisons le groupe unipotent ¯ u ′′ oppos´e `a u ′′ . Les espaces ¯ u ′′ ( F ) et u ′′ ( F )sont en dualit´e. La mesure sur le second espace se dualise en une mesure sur le premieret la transformation de Fourier ´echange C ∞ c ( u ′′ ( F )) et C ∞ c (¯ u ′′ ( F )). On a l’´egalit´e g ′′ = ¯ u ′′ ⊕ a ⊕ h ′′ ⊕ Λ ⊕ u ′′ . Par lin´earit´e, on peut supposer que ϕ = ϕ ¯ u ′′ ( F ) ⊗ ϕ a ( F ) ⊗ ϕ h ′′ ( F ) ⊗ ϕ Λ ⊗ ϕ u ′′ ( F ) , o`u, pour chaque espace E figurant en indice, ϕ E ∈ C ∞ c ( E ). On aˆ ϕ = ˆ ϕ u ′′ ( F ) ⊗ ˆ ϕ a ( F ) ⊗ ˆ ϕ h ′′ ( F ) ⊗ ˆ ϕ Λ ⊗ ˆ ϕ ¯ u ′′ ( F ) . Y ∈ h ′′ ( F ), on calcule ϕ ξ ( Y ) = ϕ ¯ u ′′ ( F ) (0) ϕ a ( F ) (0) ϕ h ′′ ( F ) ( Y ) ϕ Λ (0) ˆ ϕ u ′′ ( F ) (Ξ) , ( ϕ ξ )ˆ( Y ) = ϕ ¯ u ′′ ( F ) (0) ϕ a ( F ) (0) ˆ ϕ h ′′ ( F ) ( Y ) ϕ Λ (0) ˆ ϕ u ′′ ( F ) (Ξ) , Z Σ ˆ ϕ (Ξ + Y + X ) dX = ˆ ϕ u ′′ ( F ) (Ξ) ˆ ϕ h ′′ ( F ) ( Y ) Z Σ ˆ ϕ a ( F ) ⊗ ˆ ϕ Λ ⊗ ˆ ϕ ¯ u ′′ ( F ) ( X ) dX, = ˆ ϕ u ′′ ( F ) (Ξ) ˆ ϕ h ′′ ( F ) ( Y ) ϕ a ( F ) (0) ϕ Λ (0) ϕ ¯ u ′′ ( F ) (0) . Le lemme r´esulte de la comparaison des ´egalit´es ci-dessus. (cid:3) Ξ + S + Σ Notons Λ u ′′ le sous-espace de u ′′ ( F ) engendr´e par les ´el´ements c ( v i , v i +1 ) pour i =0 , ..., r − 1. Si d est impair ou si r = 0, on pose Λ = Λ ⊕ Λ u ′′ . Supposons d pair, donc dim ( W ′′ ) impair. Alors S , agissant dans W ′′ , a un noyau de dimension 1. On fixe un´el´ement non nul w S de ce noyau et on note W ′′ S son orthogonal dans W ′′ . Supposons deplus r > 0. On pose Λ ,S = { c ( v , v ); v ∈ W ′′ S } , Λ = Λ ,S ⊕ F c ( w S , v r ) ⊕ Λ u ′′ . Dans les deux cas, Λ est un sous-espace de Σ. Puisque Σ et Λ sont des espaces vectorielssur F ,on peut les consid´erer comme les ensembles de points sur F de vari´et´es sur ¯ F que,dans ce paragraphe, on note encore Σ et Λ. Lemme . L’espace affine Ξ + S + Σ est stable par conjugaison par U ′′ . L’application U ′′ × (Ξ + S + Λ) → Ξ + S + Σ( u, X ) u − Xu est un isomorphisme de vari´et´es alg´ebriques. Preuve. L’annulateur de Σ dans g ′′ est l’espace h ′′ ⊕ u ′′ . Pour prouver la premi`ereassertion, il suffit de prouver que, pour u ∈ U ′′ , X ∈ Σ et Y ∈ h ′′ ⊕ u ′′ , on a l’´egalit´e trace ( u (Ξ + S + X ) u − Y ) = trace ((Ξ + S ) Y ) , ou encore trace ((Ξ + S + X ) u − Y u ) = trace ((Ξ + S ) Y ) . Posons u − Y u = Y + N . On a N ∈ u ′′ et trace ( u (Ξ+ S + X ) u − Y ) = trace ((Ξ+ S ) Y )+ trace (Ξ N )+ trace ( XY )+ trace (( S + X ) N ) . Les deux derniers termes sont nuls : ce sont des traces d’´el´ements de u ′′ . Il faut montrerque trace (Ξ N ) = 0, ou encore ξ ( N ) = 0. Il suffit pour cela de prouver que q ( N v i , v − i − ) =0 pour i = 0 , ..., r − 1. Mais u − Y appartiennent `a l’alg`ebre de Lie du radical unipotentdu sous-groupe parabolique de GL ( V ′′ ) qui conserve le drapeau F v r ⊂ F v r ⊕ F v r − ⊂ ... ⊂ F v r ⊕ ... ⊕ F v . N v i appartient au sous-espace engendr´e par les v j pour j ≥ i +2. Donc q ( N v i , v − i − ) =0, ce qui prouve la premi`ere assertion de l’´enonc´e.Si r = 0, on a Λ = Σ, U ′′ = { } et la seconde assertion est tautologique. Supposons r > 0. Introduisons le sous-groupe parabolique P de G ′′ qui conserve le sous-espacetotalement isotrope Z + , sa composante de L´evi M qui conserve Z + et Z − et son radicalunipotent U . Le groupe M s’identifie `a GL ( Z + ) × G ′′ . Notons U le centre de U . Lesgroupes U et U /U sont ab´eliens. Par l’application ( v, v ′ ) exp ( c ( v, v ′ )), ils s’iden-tifient respectivement `a V ( Z + ) et Hom ( V ′′ , Z + ). Ce dernier espace se d´ecompose en Hom ( W ′′ , Z + ) ⊕ Hom ( D, Z + ). On note U le sous-groupe de U tel que U /U s’identifie`a Hom ( W ′′ , Z + ) et U D celui tel que U D /U s’identifie `a Hom ( D, Z + ). On pose U = U ′′ , U = { } . Remarquons que l’on a les inclusions U ⊂ U ′′ ⊂ P . On a donc la chaˆıne desous-groupes U ⊂ U ⊂ U ⊂ U ⊂ U , et chacun de ces sous-groupes est distingu´e dans U . Posons r = { c ( v − , v ); v ∈ Z + } .C’est un sous-espace de u ′′ . D´efinissons les espacesΣ = Σ = a ⊕ Λ ⊕ u ;Σ = Λ ⊕ r ⊕ u ;Σ = Λ ⊕ u ;Σ = (cid:26) Λ ⊕ u D , si d est impair , Λ ,S ⊕ ¯ F c ( w S , v r ) ⊕ u D , si d est pair;Σ = Λ . On a les inclusions Σ ⊂ Σ ⊂ Σ ⊂ Σ ⊂ Σ . Pour i = 2 , ..., 4, Σ i est l’ensemble des ´el´ements X ∈ Σ i − qui v´erifient les conditionssuivantes :(1) si i = 2, Xv j = 0 pour j = 2 , ..., r ;(2) si i = 3, Xv = 0 ;(3) si i = 4 et d est impair, X ( W ′′ ) ⊂ Z + ⊕ D ; si i = 4 et d est pair, X ( W ′′ S ) ⊂ Z + ⊕ D et X ( w S ) ∈ ¯ F v r .On a(4) pour i = 1 , , 3, les ensembles Σ i et S + Σ i sont stables par conjugaison par U ;pour i = 4 , 5, les ensembles Σ i et S + Σ i sont stables par conjugaison par U ; l’ensembleΣ est stable par conjugaison par U .Posons M ′′ = M ∩ G ′′ . En g´en´eral, si E est un sous-ensemble de m ′′ , E ⊕ u estinvariant par conjugaison par U . Si E est un sous-ensemble de g ′′ , E ⊕ u est stable parconjugaison par U . Si E est un sous-ensemble de g ′′ ⊕ u , E est stable par conjugaison par U . On en d´eduit que Σ , S + Σ , Σ et S + Σ sont stables par conjugaison par U , et Σ , S + Σ , Σ et S + Σ sont stables par conjugaison par U . On a Σ = Σ ⊕ r . L’ensembleΣ est stable par conjugaison par U . Pour prouver que Σ l’est aussi, il suffit de prouverque, pour u ∈ U et X ∈ r , on a u − Xu ∈ Σ . Il est clair que cet ´el´ement appartient`a u , donc `a Σ . On doit montrer qu’il v´erifie la condition (1). C’est clair puisque u conserve le sous-espace de base ( v j ) j =2 ,...,r tandis que X annule ce sous-espace. Le mˆemeraisonnement s’applique `a l’ensemble S + Σ . Soient u ∈ U et X ∈ Σ . Puisque Σ eststable par conjugaison par U , on u − Xu ∈ Σ . Pour prouver que cet ´el´ement appartient52a Σ , on doit montrer qu’il v´erifie (3). Soit w ∈ W ′′ . On a uw ∈ w + Z + , puis Xuw = Xw car X annule Z + . On a Xw ∈ Z + ⊕ D car X ∈ Σ . Or u − conserve cet espace, donc u − Xuw ∈ Z + ⊕ D . Si d est pair, on a Xw S ∈ ¯ F v r et u − conserve cette droite, doncaussi u − Xuw S ∈ ¯ F v r . Cela prouve (4).On va montrer(5) pour i = 1 , ..., 4, l’ensemble Ξ + S + Σ i est stable par conjugaison par U i .Pour i = 1, c’est la premi`ere assertion de l’´enonc´e. Supposons i ≥ 2. On sait d´ej`a par(4) que S + Σ i est stable par conjugaison par U i . On doit donc prouver que, pour u ∈ U i ,on a ( u − Ξ u − Ξ) ∈ Σ i . En raisonnant par r´ecurrence sur i , on peut supposer que l’on a entout cas ( u − Ξ u − Ξ) ∈ Σ i − (pour i = 2, cette hypoth`ese r´esulte de la premi`ere assertionde l’´enonc´e). On doit montrer que cet ´el´ement v´erifie les conditions (1), resp. (2), (3), si i = 2, resp. i = 3 , 4. Supposons i = 2. Soit j = 2 , ..., r . On a uv j = v j et u − v j − = v j − par d´efinition de U . On a aussi Ξ v j = ξ j − v j − et on d´eduit l’´egalit´e ( u − Ξ u − Ξ) v j = 0que l’on cherchait `a prouver. Supposons i = 3. On a uv = v , Ξ v = ξ v , u − v = v pard´efinition de U , d’o`u encore l’assertion. Supposons i = 4. Pour w ∈ W ′′ , on a uw = w et Ξ w = 0. Donc ( u − Ξ u − Ξ) w = 0 et u − Ξ u v´erifie la condition requise. Cela d´emontre(5).Grˆace `a (5), pour i = 1 , ..., 4, on peut former le quotient U i × U i +1 Σ i +1 de U i × Σ i +1 par la relation d’´equivalence ( u, X ) ≡ ( u ′ , X ′ ) si et seulement s’il existe v ∈ U i +1 tel que( u ′ , X ′ ) = ( uv, v − Xv ). On va montrer que(6) l’application U i × (Ξ + S + Σ i +1 ) → Ξ + S + Σ i ( u, X ) u − Xu se descend en un isomorphisme de U i × U i +1 Σ i +1 sur Ξ + S + Σ i .Supposons i = 1. Posons U B = U ∩ M . Ce groupe s’identifie au radical unipotentdu sous-groupe de Borel B de GL ( Z + ) qui conserve le drapeau F v r ⊂ F v r ⊕ F v r − ⊂ ... ⊂ F v r ⊕ ... ⊕ F v . L’application produit de U B × U sur U est un isomorphisme. Il suffit de prouver quel’application U B × (Ξ + S + Σ ) → Ξ + S + Σ ( u, X ) u − Xu est un isomorphisme. On a Σ = b ⊕ Σ , Σ = r ⊕ Σ et r est le sous-ensemble des ´el´ementsde b dont seuls les termes de la derni`ere colonne sont non nuls. D´efinissons Ξ ∈ g ′′ parΞ v j = ξ j − v j − pour j = 2 , ..., r , Ξ v = 0 et Ξ annule V ′′ . On a Ξ ∈ End ( Z + ) ⊂ m . Pour u ∈ U B , l’image de u − V ′′ engendr´e par les vecteurs v j pour j = 2 , ..., r et v − j pour j = 1 , ..., r − 1. L’´el´ement Ξ − Ξ annule cet espace. Sonimage est contenue dans le plan engendr´e par v et v − , lequel est annul´e par u − − u − Ξ u − Ξ = u − Ξ u − Ξ. On est ramen´e `a prouver que l’application U B × (Ξ + r ) → Ξ + b ( u, X ) u − Xu est un isomorphisme. Tout se passe dans End ( Z + ). L’assertion est bien connue et seprouve en filtrant U B de la fa¸con habituelle.Supposons i = 2. L’application Hom ( D, Z + ) × U → U ( Y, u ) exp ( Y ) u Hom ( D, Z + ) × (Ξ + S + Σ ) → Ξ + S + Σ ( Y, X ) exp ( − Y ) Xexp ( Y )est un isomorphisme. D’apr`es (4), S +Σ est stable par conjugaison par exp ( Y ) pour tout Y ∈ Hom ( D, Z + ). Cela nous ram`ene `a prouver que l’application de Hom ( D, Z + ) dans r = Σ / Σ qui, `a Y ∈ Hom ( D, Z + ), associe l’image dans Σ / Σ de exp ( − Y )Ξ exp ( Y ) − Ξ,est un isomorphisme. L’espace r s’identifie `a Z + par X Xv . Il s’agit donc de montrerque l’application Hom ( D, Z + ) → Z + Y ( exp ( − Y )Ξ exp ( Y ) − Ξ) v est un isomorphisme. On a exp ( Y ) v = v , Ξ v = ξ v , exp ( − Y ) v = − Y v + v . L’ap-plication est donc Y 7→ − Y v , qui est bien un isomorphisme.Supposons i = 3. L’application Hom ( W ′′ , Z + ) × U → U ( Y, u ) exp ( Y ) u est un isomorphisme. D’apr`es (4), l’ensemble Σ est invariant par conjugaison par U .Comme dans le cas i = 2, on est ramen´e `a prouver que l’application de Hom ( W ′′ , Z + )dans Σ / Σ qui, `a Y ∈ Hom ( W ′′ , Z + ) associe l’image dans Σ / Σ de exp ( − Y )(Ξ + S ) exp ( Y ) − Ξ − S , est un isomorphisme. Supposons d impair. Notons proj Z + la projectionde V ′′ sur Z + de noyau V ′′ ⊕ Z − . Alors Σ / Σ s’identifie `a Hom ( W ′′ , Z + ) par l’applicationqui `a X ∈ Σ associe la restriction `a W ′′ de proj Z + ◦ X . Soit w ∈ W ′′ . On a exp ( Y ) w = w + Y w , Sexp ( Y ) w = Sw , exp ( − Y ) Sexp ( Y ) w = Sw − Y Sw , Ξ w = 0, Ξ exp ( Y ) w = Ξ Y w .Ce dernier ´el´ement appartient `a l’espace Z + , de base ( v j ) j =0 ,...,r − . Puisque Y annule Z + , , on a exp ( − Y )Ξ Y w = Ξ Y w . Donc proj Z + (( exp ( − Y )(Ξ + S ) exp ( Y ) − Ξ − S ) w ) = proj Z + (Ξ Y w − Y Sw ) . On a introduit ci-dessus un ´el´ement Ξ. On a proj Z + ◦ Ξ = Ξ sur Z + . La formule ci-dessusdevient proj Z + (( exp ( − Y )(Ξ + S ) exp ( Y ) − Ξ − S ) w ) = (Ξ Y − Y S ) w, et on est ramen´e `a prouver que l’application Y Ξ Y − Y S de Hom ( W ′′ , Z + ) danslui-mˆeme est un isomorphisme. Pour k = 0 , ..., r , introduisons le sous-espace Z k + de Z + de base ( v j ) j =1 ,...,k . L’espace Hom ( W ′′ , Z + ) est filtr´e par les Hom ( W ′′ , Z k + ). L’applicationpr´ec´edente respecte cette filtration et l’application du gradu´e qui s’en d´eduit est la mˆemeque celle d´eduite de Y Y S . Cette derni`ere est un isomorphisme puisque les valeurspropres de S agissant dans W ′′ sont non nulles. Supposons maintenant d pair. Notons proj Z + , la projection de V ′′ sur Z + , de noyau F v r ⊕ W ′′ ⊕ Z − . Alors Σ / Σ s’identifie`a Hom ( W ′′ S , Z + ) ⊕ Hom ( ¯ F w S , Z + , ) par l’application qui, `a X ∈ Σ associe la sommede la restriction `a W ′′ S de proj Z + ◦ X et de la restriction `a F w S de proj Z + , ◦ X . Soit Y ∈ Hom ( W ′′ , Z + ), que l’on d´ecompose en Y = Y + Y avec Y ∈ Hom ( W ′′ S , Z + ) et Y ∈ Hom ( ¯ F w S , Z + ). On v´erifie comme ci-dessus que l’image de exp ( − Y )(Ξ+ S ) exp ( Y ) − Ξ − S dans Σ / Σ est la somme de la restriction `a W ′′ S de Ξ Y − Y S et de Ξ Y . Parce queles valeurs propres de S dans W ′′ S sont non nulles, l’application Y Ξ Y − Y est54n isomorphisme pour la mˆeme raison que ci-dessus. L’application Y Ξ Y est unisomorphisme car Ξ se restreint en un isomorphisme de Z + sur Z + , .Supposons i = 4. Grˆace `a (4), on est encore ramen´e `a prouver que l’application de u dans Σ / Σ qui, `a Y ∈ u , associe l’image de exp ( − Y )Ξ exp ( Y ) dans Σ / Σ , est unisomorphisme. L’espace u , resp. u D , Λ u ′′ , a pour base les c ( v j , v k ) pour 1 ≤ j < k ≤ r ,resp. pour 0 ≤ j < k ≤ r , pour 0 ≤ j < k = j + 1 ≤ r . L’injection de u D dans Σ se quotiente en un isomorphisme de u D / Λ u ′′ sur Σ / Σ . Un calcul simple montre quel’application qui nous int´eresse s’identifie `a l’application τ : u → u D / Λ u ′′ ainsi d´efinie :pour 1 ≤ j < k ≤ r , τ ( c ( v j , v k )) est l’image dans u D / Λ u ′′ de c ( v j , v k − ) − c ( v j − , v k ).Pour l ∈ { , ..., r } notons E l le sous-espace de u D engendr´e par les c ( v j , v k tels que0 ≤ j < k ≤ l + j ≤ r . L’espace u D / Λ u ′′ est filtr´e par les espaces E l /E . L’espace u estfiltr´e par les espaces E l − ∩ u . On v´erifie que τ est compatible avec ces filtrations et quel’application gradu´ee qui s’en d´eduit est un isomorphisme. Cela ach`eve la preuve de (6).En appliquant (6) successivement pour i = 1 , ..., 4, on obtient la seconde assertion del’´enonc´e. (cid:3) On introduit un syst`eme hyperbolique maximal ( w ± j ) j =1 ,...,m de W ′′ ⊗ F ¯ F form´e devecteurs propres pour S . On note s j la valeur propre de S sur w j , pour j > 0. Si d estimpair, resp. pair, ( w ± j ) j =1 ,...,m est une base de W ′′ ⊗ F ¯ F , resp. W ′′ S ⊗ F ¯ F . Si d est pair,on pose ν S = q ( w S ). On introduit des coordonn´ees sur Λ en ´ecrivant un ´el´ement X ∈ Λsous la forme suivante :- si d est impair, X = c ( v , X j = ± ,..., ± m z j w j ) + X i =0 ,...r − λ i c ( v i , v i +1 );-si d est pair et r > X = c ( v , X j = ± ,..., ± m z j w j ) + z c ( w S , v r ) + X i =0 ,...r − λ i c ( v i , v i +1 );- si d est pair et r = 0, X = c ( v , z w S + X j = ± ,..., ± m z j w j ) . Notons R S le polynˆome caract´eristique de S agissant dans W ′′ . On a donc R S ( T ) = (cid:26) Q j =1 ,...,m ( T − s j ) , si d est impair ,T Q j =1 ,...,m ( T − s j ) , si d est pair . Pour X ∈ g ′′ , on note P X le polynˆome caract´eristique de X agissant dans V ′′ . Lemme . Soit X ∈ Λ , auquel on associe des coordonn´ees comme ci-dessus. On a les´egalit´es suivantes :- si d est impair, P Ξ+ S + X ( T ) = T r +1 R S ( T ) + X j =1 ,...,m ν z j z − j R S ( T ) T r +1 T − s j X i =0 ,...,r − ( − i +1 ν R S ( T ) T r − − i λ i ξ i Y i ′ =0 ,...,i − ξ i ′ ; - si d est pair et r > , P Ξ+ S + X ( T ) = T r +1 R S ( T ) + X j =1 ,...,m ν z j z − j R S ( T ) T r +1 T − s j +( − r ν S ν z R S ( T ) T ( Y i =0 ,...,r − ξ i )+ X i =0 ,...,r − ( − i +1 ν R S ( T ) T r − − i λ i ξ i Y i ′ =0 ,...,i − ξ i ′ ; - si d est pair et r = 0 , P Ξ+ S + X ( T ) = T R S ( T ) + X j =1 ,...,m ν z j z − j R S ( T ) TT − s j + 4 ν S ν z R S ( T ) T . Preuve. On ´ecrit l’´el´ement Ξ + S + X comme une matrice. Les m´ethodes usuelles ded´eveloppement selon les lignes ou les colonnes permettent d’exprimer son d´eterminantcomme une somme de termes ais´es `a calculer et d’un d´eterminant analogue `a celui ded´epart mais associ´e `a des valeurs de r ou m strictement inf´erieures. En raisonnant parr´ecurrence, on obtient l’assertion. On renonce `a r´ediger davantage la preuve. Indiquonssimplement la forme de la matrice dans deux exemples.Supposons m = 2, r = 2 et d est impair. On choisit pour base ordonn´ee de V ′′ lafamille v , v , w , w , v , w − , w − , v − , v − . Dans cette base, la matrice de Ξ + S + X est λ ξ ν λ − λ s ν z s ν z ξ − z − − z − − z − z − λ 00 0 0 0 2 ν z − − s ν z − − s − ν ξ − ξ Supposons m = 2, r = 2 et d est pair. On choisit pour base ordonn´ee de V ′′ la famille v , v , w , w , w S , v , w − , w − , v − , v − . Dans cette base, la matrice de Ξ + S + X est ν S z λ ξ ν λ − λ s ν z s ν z − z ξ − z − − z − − z − z − λ 00 0 0 0 0 2 ν z − − s ν z − − s − ν ξ − ξ (cid:3) z j z − j , λ i et z dans le cas o`u d est pair sont d´etermin´espar P Ξ+ S + X . On a en particulier(1) z j z − j = P Ξ+ S + X ( s j )4 ν s rj R S,j ( s j )pour j = 1 , ...m , o`u R S,j ( T ) = R S ( T ) T − s j ,(2) z = ( P Ξ+ S + X (0)( − r ν S ν R S, (0) Q i =0 ,...,r − ξ i , si r > , P Ξ+ S + X (0)4 ν S ν R S, (0) , , si r = 0 , o`u R S, ( T ) = R S ( T ) T . Posons d ′′ = dim ( V ′′ ) et notons P ol d ′′ l’espace des polynˆomes dedegr´e d ′′ , `a coefficients dans F , de coefficient dominant ´egal `a 1 et ne contenant que despuissances de l’ind´etermin´ee T de mˆeme parit´e que d ′′ . C’est exactement l’espace despolynˆomes caract´eristiques des ´el´ements de g ′′ ( F ). Introduisons le sous-ensemble P ol Sd ′′ form´es des polynˆomes P tels que P est le polynˆome caract´eristique d’un ´el´ement de Y ∈ g ′′ reg ( F ) ; P ( s j ) = 0 pour tout j = 1 , ..., m et P (0) = 0 si d est pair.C’est un ouvert de Zariski non vide de P ol d ′′ . Notons Λ S le sous-ensemble des X ∈ Λtels que Ξ + S + X ∈ g ′′ reg ( F ), z j = 0 pour tout j ∈ {± , ..., ± m } et de plus, si d est pair, z = 0. C’est exactement l’image r´eciproque de P ol Sd ′′ dans Λ par l’application X P Ξ+ S + X . Donc Λ S est un ouvert de Zariski non vide de Λ. Les formules du lemmemontrent que l’application pr´ec´edente restreinte `a Λ S est une application F -analytiquesurjective et partout submersive de Λ S sur P ol Sd ′′ . Ξ + S + Λ Notons Σ S le sous-ensemble de Σ tel que l’image de U ′′ ( F ) × (Ξ + S + Λ S ) parl’isomorphisme du lemme 9.3 soit Ξ + S + Σ S Lemme . Le groupe H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) agit par conjugaison dans Ξ+ S +Σ S et cette action estlibre. Deux ´el´ements de Ξ + S + Σ S sont conjugu´es par un ´el´ement de G ′′ si et seulements’ils le sont par un ´el´ement de H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) . Preuve. Soient Y ∈ Ξ + S + Σ S et g ∈ H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) tels que g − Y g = Y . Pard´efinition de Σ S , on peut ´ecrire Y = u − Y ′ u , avec u ∈ U ′′ ( F ) et Y ′ ∈ Ξ + S + Λ S .Alors ug − u − Y ′ ugu − = Y ′ . Quitte `a remplacer Y par Y ′ et g par ugu − , on est ramen´eau cas o`u Y ∈ Ξ + S + Λ S . On peut ´ecrire g = tu , avec t ∈ H ′′ S ( F ) et u ∈ U ′′ ( F ). Laconjugaison par t fixe Ξ+ S et conserve Λ. Plus pr´ecis´ement, introduisons des coordonn´eessur Λ comme en 9.4. L’´el´ement t agit par homoth´etie sur chaque droite ¯ F w j , pour j = ± , ... ± m . Pour j > 0, on note t j la valeur propre associ´ee. Alors la conjugaisonpar t laisse inchang´ees les coordonn´ees λ i et z dans le cas o`u d est pair. Elle agit sur lescoordonn´ees restantes par(1) ( z r , ..., z , z − , ..., z − r ) ( t r z r , ..., t z , t − z − , ..., t − r z − r ) . Posons Y ′ = t − Y t . Alors Y et Y ′ sont deux ´el´ements de Ξ+ S +Λ qui sont conjugu´es parl’´el´ement u ∈ U ′′ ( F ). Le lemme 9.3 entraˆıne que u = 1 et Y = Y ′ . Ecrivons Y = Ξ+ S + X ,57vec X ∈ Λ S . Les coordonn´ees z j de X sont toutes non nulles et la formule ci-dessusmontre que X ne peut ˆetre fix´e par t que si tous les t j valent 1, autrement dit t = 1.Donc g = tu = 1 et cela d´emontre la premi`ere assertion de l’´enonc´e.Comme ci-dessus, on peut remplacer dans la seconde assertion l’ensemble Ξ + S + Σ S par Ξ + S + Λ S . Soient X, X ∈ Λ S , notons comme en 9.4 les coordonn´ees de X et notonspar des lettres soulign´ees celles de X . Supposons Ξ + S + X et Ξ + S + X conjugu´espar un ´el´ement de G ′′ . Alors P Ξ+ S + X = P Ξ+ S + X . D’apr`es les remarques du paragraphepr´ec´edent, on a z j z − j = z j z − j pour tout j = 1 , ..., m , λ i = λ i pour tout i = 0 , ..., r − z = z si d est pair. Supposons d’abord d impair. La formule (1) ci-dessus montrequ’il existe un unique t ∈ H ′′ S ( ¯ F ) tel que t − Xt = X . L’unicit´e de t et le fait que X et X sont tous deux d´efinis sur F entraˆınent que t ∈ H ′′ S ( F ). Alors Ξ + S + X et Ξ + S + X sont conjugu´es par un ´el´ement de H ′′ S ( F ), ce que l’on voulait d´emontrer. Supposonsmaintenant d pair. On trouve comme dans le cas d impair un unique ´el´ement t ∈ H ′′ S ( F )tel que t − Xt = X ou X ′ , ce dernier ´el´ement ayant les mˆemes coordonn´ees que X , `al’exception de z qui est chang´e en − z . On a alors soit t − (Ξ + S + X ) t = Ξ + S + X ,soit t − (Ξ + S + X ) t = Ξ + S + X ′ . Il suffit pour conclure de prouver que cette deuxi`emepossibilit´e ne se produit pas. Consid´erons l’´el´ement δ du groupe orthogonal G ′′ + ( F ) quiagit par multiplication par − F w S et qui fixe tout ´el´ement de l’orthogonalde cette droite. On v´erifie que δ − (Ξ + S + X ) δ = Ξ + S + X ′ . On sait par hypoth`eseque Ξ + S + X est conjugu´e `a Ξ + S + X par un ´el´ement de G ′′ . S’il ´etait conjugu´e par t `a Ξ + S + X ′ , les deux ´el´ements Ξ + S + X et Ξ + S + X ′ seraient conjugu´es par un´el´ement de G ′′ et l’ensemble δG ′′ couperait le centralisateur de Ξ + S + X dans G ′′ + .Or ce centralisateur est contenu dans G ′′ parce que Ξ + S + X est r´egulier et n’a pasde valeur propre nulle (cela parce que son polynˆome caract´eristique n’est pas nul en 0).Puisque δ G ′′ , on obtient une contradiction qui ach`eve la preuve. (cid:3) Consid´erons l’application g ′′ reg ( F ) → G T ∈T ( G ′′ ) ( t ( F ) ∩ g ′′ reg ( F )) /W ( G ′′ , T )qui, `a un ´el´ement de g ′′ reg ( F ), associe l’unique ´el´ement de l’ensemble d’arriv´ee qui lui estconjugu´e par un ´el´ement de G ′′ ( F ). Elle est analytique. Pour tout sous-tore maximal T de G ′′ , on note t ( F ) S le sous-ensemble des ´el´ements de t ( F ) qui sont conjugu´es `a un´el´ement de Ξ + S + Σ S par un ´el´ement de G ( F ). L’application pr´ec´edente se restreint enune application analytique(1) Ξ + S + Σ S → G T ∈T ( G ′′ ) t ( F ) S /W ( G ′′ , T ) . Elle est surjective. Si on note (Ξ + S + Σ S ) /H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) l’ensemble des classes deconjugaison par H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) dans Ξ + S + Σ S , le lemme pr´ec´edent montre qu’elle sequotiente en une bijection(2) (Ξ + S + Σ S ) /H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) → G T ∈T ( G ′′ ) t ( F ) S /W ( G ′′ , T ) . 58n munit l’ensemble de d´epart de la mesure quotient des mesures d´ej`a fix´ees sur Ξ+ S +Σ S et H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ). Les remarques de la fin du paragraphe 9.4 montrent que l’application(1) est partout submersive. La mesure sur l’ensemble de d´epart de (2) s’identifie donc `aune mesure r´eguli`ere sur l’ensemble d’arriv´ee. Pour tout T ∈ T ( G ′′ ), l’ensemble t ( F ) S est ainsi muni d’une mesure que l’on note d Σ Y . Rappelons que l’on note simplement dY la mesure autoduale. Lemme . Pour tout T ∈ T ( G ′′ ) , on a l’´egalit´e d Σ Y = D H ′′ ( S ) − / D G ′′ ( Y ) / dY en toutpoint Y ∈ t ( F ) S . Preuve. Fixons T ∈ T ( G ′′ ). Un objet tel que t ( F ) S ou t ( F ) S /W ( G ′′ , T ) n’a pas destructure alg´ebrique naturelle. Commen¸cons par alg´ebriser la situation. On consid`ere Σ S comme une vari´et´e alg´ebrique (un ouvert d’un espace vectoriel). Notons ¯ W ( G ′′ , T ) = N orm G ′′ ( T ) /T , introduisons l’ensemble t S des ´el´ements de t qui sont conjugu´es `a un´el´ement de Ξ + S + Σ S puis le quotient t / ¯ W ( G ′′ , T ). Ce sont des vari´et´es alg´ebriques. Ily a une application alg´ebrique(3) τ : Ξ + S + Σ S → t S / ¯ W ( G ′′ , T )qui se quotiente en un isomorphisme(4) (Ξ + S + Σ S ) /H ′′ S U ′′ → t S / ¯ W ( G ′′ , T ) . La structure alg´ebrique sur t S / ¯ W ( G ′′ , T ) d´etermine une structure analytique sur ( t S / ¯ W ( G ′′ , T ))( F ).Il y a une application naturelle ι : t ( F ) S → ( t S / ¯ W ( G ′′ , T ))( F ) , qui est localement un isomorphisme de vari´et´es analytiques. Cela va nous permettre deremplacer l’application (2) par son avatar alg´ebrique (4).Rappelons que, une fois le corps F muni de la mesure autoduale, pour toute vari´et´ealg´ebrique lisse X d´efinie sur F , une forme diff´erentielle δ sur X , d´efinie sur F et dedegr´e maximal, d´efinit une mesure | δ | F sur X ( F ). Plus g´en´eralement, ne supposons plus δ d´efinie sur F . Il existe une fonction alg´ebrique α sur X , non nulle et telle que αδ soitd´efinie sur F . Etendons la valeur absolue de F `a ¯ F . On d´efinit une mesure | δ | F sur X ( F )par | δ | F = | α | − F | αδ | F . Cela ne d´epend pas du choix de α .En particulier, soit E un sous- F -espace de g ′′ ( F ) surlequel la forme < ., . > est non d´eg´en´er´ee. Fixons une base ( e k ) k =1 ,...l de E sur F , notons Q la matrice l × l telle que Q k,k ′ = < e k , e k ′ > et ´ecrivons tout ´el´ement de E sous la forme e = P k =1 ,...,l x k e k . D´efinissons la forme diff´erentielle δ = V k =1 ,...,l dx k . On v´erifie que lamesure autoduale sur E est (5) | det ( Q ) | − / F | δ | F . Supposons maintenant que ( e k ) k =1 ,...,l est une base de E ⊗ F ¯ F . La forme diff´erentielle δ = V k =1 ,...,l dx k n’est pas, en g´en´eral, d´efinie sur F mais il existe α ∈ ¯ F × tel que αδ lesoit et on peut d´efinir | δ | F comme plus haut. Un simple calcul de changement de basesmontre que la mesure autoduale sur E est encore donn´ee par la formule (5).59hoisissons des formes lin´eaires Y y k , k = 1 , ..., l , sur t de sorte que, pour un´el´ement Y ∈ t en position g´en´erale, l’action de Y dans V ′′ ait pour valeurs propres nonnulles ( ± y k ) k =1 ,...,l . Avec des notations ´evidentes, on a l’´egalit´e < Y, Y ′ > = 12 trace ( Y Y ′ ) = X k =1 ,...,l y k y ′ k . D´efinissons la forme diff´erentielle δ t sur t par δ t = V k =1 ,...,l dy k . La formule (5) montreque la mesure autoduale sur t ( F ) est | δ t | F . Fixons un sous-ensemble positif de l’ensembledes racines de T dans g ′′ . Pour Y ∈ t , posons d G ′′ ( Y ) = Y α> α ( Y ) , le produit ´etant pris sur cet ensemble de racines. On v´erifie que la forme diff´erentielle d G ′′ δ t se descend en une forme diff´erentielle sur t / ¯ W ( G ′′ , T ), que l’on note δ t /W . Evidem-ment, la mesure autoduale sur t ( F ) est(6) dY = | d G ′′ ( Y ) | − F | ι ∗ ( δ t /W )( Y ) | F = D G ′′ ( Y ) − / | ι ∗ ( δ t /W )( Y ) | F . Introduisons comme en 9.4 un syst`eme hyperbolique maximal ( w ± j ) j =1 ,...,m de W ′′ ⊗ F ¯ F form´e de vecteurs propres pour S , donc aussi pour H ′′ S . Pour t ∈ H ′′ S et j = 1 , ..., m ,notons t j la valeur propre de t sur w j . D´efinissons δ H ′′ S = ( Q j =1 ,...,m t j ) − V j =1 ,...,m dt j .La formule (5), remont´ee au groupe par l’exponentielle, montre que | δ H ′′ S | F est la mesureque nous avons fix´ee sur H ′′ S ( F ). Fixons une base de u ′′ ( F ) sur F et prenons pour δ u ′′ leproduit, dans un ordre fix´e, des diff´erentielles des coordonn´ees relativement `a cette base.On a implicitement fix´e une mesure sur u ′′ ( F ), mais notre probl`eme est insensible au choixde cette mesure. On peut donc supposer que cette mesure est | δ u ′′ | F . Via l’exponentielle, δ u ′′ d´efinit une forme diff´erentielle δ U ′′ sur U ′′ et la mesure de Haar sur U ′′ ( F ) n’estautre que | δ U ′′ | F . Introduisons des coordonn´ees sur Λ (qui est vu ici comme une vari´et´ealg´ebrique sur F ) en ´ecrivant tout ´el´ement X de cet ensemble sous la forme- si d est impair, X = c ( v , P j = ± ,..., ± m z j w j ) ;- si d est pair, X = c ( v , z w S + P j = ± ,..., ± m z j w j ).Remarquons que l’´eventuel terme z n’est pas le mˆeme qu’en 9.4. Puisqu’on a ici´etendu les scalaires, on peut supposer q ( v ) = 1 et, si d est pair, q ( w S ) = − 1. On v´erifiealors que < X, X ′ > = 12 trace ( XX ′ ) = [ z z ′ ] − X ± ,..., ± m z j z ′− j , o`u, ici comme dans la suite, on indique symboliquement entre crochets les termes quin’existent que dans le cas d pair. On pose δ Λ = ^ j =[0] , ± ,..., ± m dz j . D’apr`es (5), | δ Λ | F est la mesure autoduale sur Λ . Notons ( a i ) i =1 ,...,r les valeurs propressur les vecteurs ( v i ) i =1 ,...,r d’un ´el´ement de a . D´efinissons δ a = V i =1 ,...,r da i . D’apr`es (5), | δ a | F est la mesure autoduale sur a F . Rappelons que Σ = a ⊕ Λ ⊕ u ′′ . On d´efinit laforme diff´erentielle δ sur Ξ + S + Σ S qui, via la translation par Ξ + S , correspond `a laforme diff´erentielle δ a ∧ δ Λ ∧ δ u ′′ sur Σ S . Alors | δ | F est la mesure que nous avons fix´ee60ur Ξ + S + Σ S . On v´erifie que δ est invariante par conjugaison par H ′′ S U ′′ . Il y a alorsune forme diff´erentielle ¯ δ sur le quotient (Ξ + S + Σ S ) /H ′′ S U ′′ de sorte que, via le choixde sections locales, on ait l’´egalit´e δ = δ H ′′ S ∧ δ U ′′ ∧ ¯ δ . Par (4), ¯ δ correspond `a une forme βδ t /W sur t / ¯ W ( G ′′ , T ), o`u β est une fonction alg´ebrique sur cette vari´et´e. Remontons β en une fonction sur t . En tenant compte de (6), on voit que l’on a l’´egalit´e(7) d Σ ( Y ) = D G ′′ ( Y ) / | β ( Y ) | F dY pour tout Y ∈ t ( F ) S .Il s’agit de calculer la fonction β . Supposons d’abord r = 0. Dans ce cas Ξ = 0 et U ′′ = { } . Introduisons le sous-ensemble Λ des ´el´ements X ∈ Λ ´ecrits comme plushaut, tels que z − j = 1 pour j = 1 , ..., m . L’action ( t, S + X ) S + X ′ = t ( S + X ) t − de H ′′ S sur S + Σ s’´ecrit, avec les syst`emes de coordonn´ees que l’on a introduits,(( t j ) j =1 ,...,m , ( z j ) j =[0] , ± ,..., ± m ) ( z ′ j ) j =[0] , ± ,..., ± m , o`u z ′ j = t j z j et z ′− j = t − j z − j pour j = 1 , ..., m , et z ′ = z dans le cas d pair. De cetteaction se d´eduit un isomorphisme de H ′′ S × S + Λ sur l’ensemble des S + X ∈ S + Λ donttoutes les coordonn´ees z − j sont non nulles, lequel contient S + Σ S . On peut identifier( S + Σ S ) /H ′′ S avec un ouvert dense de Λ et on v´erifie que, modulo cette identification,¯ δ = ∧ j =[0] , ,...,m dz j . Soient X ∈ Λ de coordonn´ees ( z j ) j =[0] , ,...,m et Y ∈ t de coordonn´ees( y k ) k =1 ,...,l . On suppose que l’image de S + X par (4) est l’image de Y dans t / ¯ W ( G ′′ , T ).Supposons pour fixer les id´ees d pair. On a l = m + 1 et P S + X ( T ) = P Y ( T ) = Y k =1 ,...,l ( T − y k ) . Les formules 9.4(1) et 9.4(2) deviennent z j = Q k =1 ,...,l ( s j − y k )2 s j Q j ′ =1 ,...,m ; j ′ = j ( s j − s j ′ )pour j = 0 et z = Q k =1 ,...,l y k Q k =1 ,...,m s j . Cette derni`ere relation signifie qu’il existe ǫ ∈ {± } tel que z = ǫ Q k =1 ,...,l y k Q k =1 ,...,m s j . En d´erivant de fa¸con usuelle, on obtient dz j = − s − j Y j ′ =1 ,...,m ; j ′ = j ( s j − s j ′ ) − X k =1 ,...,l A j,k dy k pour j = 0 et dz = ǫ Y k =1 ,...,m s − j X k =1 ,...,l A ,k dy k , o`u A j,k = (cid:26) y k Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( s j − y k ′ ) , si j = 0 , Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k y k ′ , si j = 0 . ^ j =0 ,...,m dz j = ( − m ǫ Y j =1 ,...,m s − j Y j,j ′ =1 ,...,m ; j = j ′ ( s j − s j ′ ) − det ( A ) ^ k =1 ,...,l dy k , o`u A est la matrice carr´ee de coefficients A j,k . Posons s = 0 et B j,k = Y k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( s j − y k ′ ) . On a A j,k = (cid:26) y k B j,k , si j = 0 , ( − m y k ( Q k ′ =1 ,...,l y − k ′ ) B ,k , si j = 0 . Donc det ( A ) = ( − m det ( B ). On laisse au lecteur le calcul ´el´ementaire du d´eterminantde B , qui vaut det ( B ) = ( − l ( l − / Y ≤ j 63e sorte que le diagrammeΞ + S + Σ S → t ( F ) S /W ( G ′′ , T ) տ ր t ( F ) S soit commutatif. Il existe une application Y γ Y de t ( F ) S dans T ( F ) \ G ′′ ( F ), localementanalytique, de sorte que Y Σ = γ − Y Y γ Y . Mais l’application G ′′ ( F ) → T ( F ) \ G ′′ ( F ) admetelle-mˆeme des sections localement analytiques. On peut donc supposer que l’application Y γ Y est localement analytique `a valeurs dans G ′′ ( F ).On va montrer(1) soit ω T un sous-ensemble compact de t ( F ) ; on peut choisir l’application Y Y Σ telle que l’image de t ( F ) S ∩ ω T soit contenue dans un sous-ensemble compact de Ξ+ S +Λ.D’apr`es le lemme 9.3, on peut supposer que Y Σ ∈ Ξ + S + Λ S pour tout Y ∈ t ( F ) S .Soit Y ∈ t ( F ) S ∩ ω T , posons Y Σ = Ξ+ S + X et introduisons les coordonn´ees de X commeen 9.4. Les coordonn´ees λ i sont lin´eaires en les coefficients du polynˆome caract´eristique P Y ( T ), et sont donc born´ees. De mˆeme, l’´eventuelle coordonn´ee z et les produits z j z − j ,pour j = 1 , ..., m , sont born´es. Montrons que l’on peut supposer chaque z ± j born´e.Consid´erons d’abord deux cas particuliers. Dans le premier, on suppose qu’il existe uneextension F de F de degr´e m et une extension quadratique F de F telle que H ′′ S ( F )soit le noyau de la norme de F × dans F × . Dans ce cas, on peut identifier W ′′ `a F etl’action de H ′′ S ( F ) sur W ′′ `a la multiplication. Posons w = P j = ± ,..., ± m z j w j ∈ W ′′ = F .En normalisant convenablement les vecteurs w j , les coordonn´ees z ± j sont les images de w par les diff´erents plongements de F dans ¯ F . Alors ces coordonn´ees ont toutes la mˆemevaleur absolue. Puisque les produits z j z − j sont born´es, chaque terme z ± j l’est aussi. Dansle deuxi`eme cas particulier, on consid`ere une extension F comme ci-dessus et on supposeque H S ( F ) = F × . Dans ce cas, on peut identifier W ′′ `a F ⊕ F et l’action de H ′′ S ( F )sur W ′′ `a l’application ( h, w + ⊕ w − ) hw + ⊕ h − w − . D´efinissons w comme ci-dessus.On peut supposer que ses deux composantes w + et w − sont respectivement ´egales `a P j =1 ,...,m z j w j et P j =1 ,...,m z − j w − j . Parce que X appartient `a Λ S , w − est un ´el´ement nonnul de F . Posons h = w − ∈ H ′′ S ( F ). On peut remplacer w par hw . Pour cet ´el´ement, lescoordonn´ees z − j sont toutes ´egales `a 1 et on conclut encore que les autres coordonn´ees z j sont born´ees. Dans le cas g´en´eral, on peut d´ecomposer W ′′ en somme directe desous-espaces et d´ecomposer conform´ement H ′′ S en produit de tores de sorte que chaquecomposante soit de l’un des deux cas particuliers que l’on vient de consid´erer. On end´eduit la propri´et´e requise.Supposons (1) v´erifi´ee. En appliquant 2.3(1), on voit que l’on peut choisir l’application Y γ Y de sorte qu’il existe c > σ ( γ Y ) ≤ c (1 + | log D G ′′ ( Y ) | )pour tout Y ∈ t ( F ) S ∩ ω T . I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) Revenons `a la situation de 9.1 et supposons que ϕ est `a support dans ω ′′ . Soit g ∈ G ′′ ( F ). D’apr`es l’hypoth`ese sur θ ′′ , on a I ( θ ′′ , ϕ, g ) = J H ′′ ( S, (( g ϕ ) ξ )ˆ) = D H ′′ ( S ) / Z H ′′ S ( F ) \ H ′′ ( F ) (( g ϕ ) ξ )ˆ( h − Sh ) dh. 64n utilisant le lemme 9.2, on obtient I ( θ ′′ , ϕ, g ) = D H ′′ ( S ) / Z H ′′ S ( F ) \ H ′′ ( F ) Z Σ ( g ϕ )ˆ(Ξ + h − Sh + X ) dX dh, puis (1) I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) = D H ′′ ( S ) / Z H ′′ ( F ) U ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) Z H ′′ S ( F ) \ H ′′ ( F ) Z Σ ( g ϕ )ˆ(Ξ + h − Sh + X ) dX dhκ ′′ ( g ) dg. Remarquons que cette expression est absolument convergente : les trois int´egrales sont`a support compact. On transforme cette expression en I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) = D H ′′ ( S ) / Z H ′′ ( F ) U ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) Z H ′′ S ( F ) \ H ′′ ( F ) Z Σ ( hg ϕ )ˆ(Ξ + S + X ) dX dhκ ′′ ( g ) dg = D H ′′ ( S ) / Z H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) Z Σ ( g ϕ )ˆ(Ξ + S + X ) dXκ ′′ ( g ) dg. Le lemme 9.6 nous permet de remplacer l’int´egrale int´erieure par X T ∈T ( G ′′ ) | W ( G ′′ , T ) | − Z H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) Z t ( F ) S ( g ϕ )ˆ( y − γ − Y Y γ Y y ) D H ′′ ( S ) − / D G ′′ ( Y ) / dY dy = X T ∈T ( G ′′ ) | W ( G ′′ , T ) | − Z H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ) Z t ( F ) S ( γ Y yg ϕ )ˆ( Y ) D H ′′ ( S ) − / D G ′′ ( Y ) / dY dy. Un simple changement de variables conduit alors `a l’´egalit´e I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) = X T ∈T ( G ′′ ) | W ( G ′′ , T ) | − Z t ( F ) S Z G ′′ ( F ) ˆ ϕ ( g − Y g ) κ ′′ ( γ − Y g ) dgD G ′′ ( Y ) / dY. Pour T ∈ T ( G ′′ ) et Y ∈ t ( F ) S , d´efinissons une fonction κ ′′ Y sur G ′′ ( F ) par κ ′′ Y ( g ) = ν ( A T ) Z A T ( F ) κ ′′ ( γ − Y ag ) da. Remarquons que cette expression ne d´epend pas du choix de l’application Y γ Y : toutautre choix remplace γ Y par γ Y y , avec y ∈ H ′′ S ( F ) U ′′ ( F ), mais κ ′′ est invariante `a gauchepar ce groupe. On obtient :(2) I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ) = X T ∈T ( G ′′ ) ν ( A T ) − | W ( G ′′ , T ) | − Z t ( F ) S Z A T ( F ) \ G ′′ ( F ) ˆ ϕ ( g − Y g ) κ ′′ Y ( g ) dgD G ′′ ( Y ) / dY. Les transformations que l’on a effectu´ees sont justifi´ees par la convergence absolue del’expression (1) de d´epart. 65 lim N →∞ I x,ω,N ( θ, f ) On se place dans la situation de 8.2. D’apr`es la proposition 6.4 et le lemme 6.3(i), onpeut fixer une famille finie ( Y i ) i =1 ,...,n d’´el´ements de h x,reg ( F ) et une famille finie ( c i ) i =1 ,...,n de nombres complexes de sorte que θ x,ω ( X ) = X i =1 ,...,n c i ˆ j H x ( Y i , X )pour tout X ∈ ω ∩ h x,reg ( F ). Formulons cette propri´et´e diff´eremment, en utilisant lesnotations introduites en 5.4 : pour X ∈ g x ( F ), on note X = X ′ + X ′′ la d´ecompositionde X en somme d’un ´el´ement X ′ ∈ g ′ x ( F ) et d’un ´el´ement X ′′ ∈ g ′′ ( F ). Il existe alorsune famille finie S d’´el´ements de h ′′ reg ( F ) et une famille finie (ˆ j S ) S ∈S de fonctions d´efiniespresque partout sur h ′ x ( F ) de sorte que θ x,ω ( X ) = X S ∈S ˆ j S ( X ′ )ˆ j H ′′ ( S, X ′′ )pour tout X ∈ ω ∩ h x,reg ( F ). Les ´el´ements S sont les diff´erentes projections Y ′′ i . La preuvedu lemme 6.3(i) nous autorise `a remplacer les Y i par des ´el´ements assez voisins. On peutdonc supposer que le noyau de chaque S agissant dans W ′′ est de dimension au plus 1.Les fonctions ˆ j S sont combinaisons lin´eaires de fonctions X ′ ˆ j H ′ x ( Y ′ i , X ′ ) et h´eritentdonc de leurs propri´et´es.Rappelons que, par construction, on a l’´egalit´e H ′ x = G ′ x . Pour g ∈ G ( F ), on a I x,ω ( θ, f, g ) = Z g ′ x ( F ) × h ′′ ( F ) θ x,ω ( X ) g f ξx,ω ( X ) dX. En utilisant la formule de Weyl pour l’int´egrale sur g ′ x ( F ), on obtient I x,ω ( θ, f, g ) = X S ∈S X T ′ ∈T ( G ′ x ) | W ( G ′ x , T ′ ) | − Z t ′ ( F ) ˆ j S ( X ′ ) D G ′ x ( X ′ ) Z T ′ ( F ) \ G ′ x ( F ) Z h ′′ ( F ) ˆ j H ′′ ( S, X ′′ ) g f ξx,ω ( g ′ − X ′ g ′ + X ′′ ) dX ′′ dg ′ dX ′ . D’o`u I x,ω,N ( θ, f ) = X S ∈S X T ′ ∈T ( G ′ x ) | W ( G ′ x , T ′ ) | − Z t ′ ( F ) ˆ j S ( X ′ ) D G ′ x ( X ′ ) Z T ′ ( F ) H ′′ ( F ) U x ( F ) \ G ( F ) Z h ′′ ( F ) ˆ j H ′′ ( S, X ′′ ) g f ξx,ω ( X ′ + X ′′ ) dX ′′ κ N ( g ) dg dX ′ . On peut ´ecrire les deux derni`eres int´egrales ci-dessus sous la forme Z T ′ ( F ) G ′′ ( F ) \ G ( F ) Z H ′′ ( F ) U x ( F ) \ G ′′ ( F ) Z h ′′ ( F ) ˆ j H ′′ ( S, X ′′ ) g ′′ g f ξx,ω ( X ′ + X ′′ ) dX ′′ κ N ( g ′′ g ) dg ′′ dg. I κ ′′ ( θ ′′ , ϕ ), o`u θ ′′ ( X ′′ ) = ˆ j H ′′ ( S, X ′′ ), ϕ ( X ′′ ) = g f x,ω ( X ′ + X ′′ ) et κ ′′ ( g ′′ ) = κ N ( g ′′ g ). Utilisons la formule 9.8(2) qui calcule cette expres-sion. La fonction ˆ ϕ qui y intervient est ´egale `a g f ♯x,ω , avec la notation de 5.4. Quelquesremises en ordre conduisent alors `a l’´egalit´e(1) I x,ω,N ( θ, f ) = X S ∈S X T ∈T ( G x ) ν ( A T ′′ ) − | W ( G x , T ) | − Z t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ˆ j S ( X ′ ) D G ′ x ( X ′ ) D G ′′ ( X ′′ ) / Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X ′ + X ′′ ) κ N,X ′′ ( g ) dg dX ′′ dX ′ , o`u κ N,X ′′ ( g ) = ν ( A T ′′ ) Z A T ′′ ( F ) κ N ( γ − X ′′ ag ) da. Ces manipulations formelles sont justifi´ees par le lemme ci-dessous. Pour tout S ∈ S et tout T ∈ T ( G x ), fixons une famille finie Q S,T de polynˆomes non nuls sur t ( F ). Pourtout ǫ > 0, notons t ( F )[ S ; ≤ ǫ ] l’ensemble des X ∈ t ( F ) pour lesquels il existe Q ∈ Q S,T tel que | Q ( X ) | F ≤ ǫ , et notons t ( F )[ S ; > ǫ ] l’ensemble des X ∈ t ( F ) pour lesquels | Q ( X ) | F > ǫ pour tout Q ∈ Q S,T . Notons I N, ≤ ǫ , resp. I N,>ǫ , l’expression obtenue `a partirde l’expression (1) en rempla¸cant les int´egrales sur t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S par les int´egrales sur( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ) ∩ t ( F )[ S ; ≤ ǫ ], resp. ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ) ∩ t ( F )[ S ; > ǫ ]. On a ´evidemmentl’´egalit´e I x,ω,N ( θ, f ) = I N, ≤ ǫ + I N,>ǫ . Notons enfin | I | x,ω,N ( θ, f ) et | I | N, ≤ ǫ les expressions obtenues en rempla¸cant dans I x,ω,N ( θ, f )(ou plus exactement dans l’expression (1)) et I N, ≤ ǫ toutes les fonctions par leurs valeursabsolues. Lemme . (i) Il existe k ∈ N et c > tel que | I | x,ω,N ( θ, f ) ≤ cN k pour tout N ≥ .(ii) Il existe un entier b ≥ et c > tel que | I | N, ≤ N − b ≤ cN − pour tout N ≥ . Preuve. Soit S ∈ S . Notons ( ± s j ) j =1 ,...,m les valeurs propres non nulles de l’action de S sur W ′′ . Pour X ′′ ∈ g ′′ ( F ), posons Q S ( X ′′ ) = (cid:26) Q j =1 ,...,m s − j P X ′′ ( s j ) , si d est impair Q j =1 ,...,m P X ′′ ( s j ) , si d est pair . Certainement, Q S est un polynˆome non nul sur l’alg`ebre de Lie de tout sous-tore maximalde G ′′ . Soient T ∈ T ( G x ) et ω T ′′ un sous-ensemble compact de t ′′ ( F ). On va montrer(2) il existe un entier k ∈ N et c > κ N,X ′′ ( g ) ≤ cN k σ ( g ) k (1 + | log | Q S ( X ′′ ) | F | ) k (1 + | log D G ′′ ( X ′′ ) | ) k pour tout X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S ∩ ω T ′′ , tout g ∈ G ( F ) et tout N ≥ S ∈ S et T ∈ T ( G x ) etconsid´erer l’int´egrale Z t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S | ˆ j S ( X ′ ) | D G ′ x ( X ′ ) D G ′′ ( X ′′ ) / T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) | g f ♯x,ω ( X ′ + X ′′ ) | κ N,X ′′ ( g ) dg dX ′′ dX ′ . Introduisons une notation impr´ecise mais commode. Soient deux nombres a et b d´ependantde variables, ici N , g , X ′ et X ′′ . On ´ecrit a << b pour dire qu’il existe c > a ≤ cb . D’apr`es la d´efinition de ˆ j S et un r´esultat deHarish-Chandra ([HCvD] th´eor`eme 13), on a | ˆ j S ( X ′ ) | << D G ′ x ( X ′ ) − / . D’apr`es 3.1(5),on peut fixer un sous-ensemble compact Γ ⊂ G ( F ) tel que g f ♯x,ω = 0 si g G x ( F )Γ.On peut donc fixer γ ∈ Γ et remplacer l’int´egrale sur T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) par celle sur T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G x ( F ) γ . On peut majorer | γ f ♯x,ω | par une combinaison lin´eaire de fonction f ′ ⊗ f ′′ o`u f ′ ∈ C ∞ c ( g ′ x ( F )), f ′′ ∈ C ∞ c ( g ′′ ( F )) et f ′ et f ′′ sont `a valeurs positives ou nulles.On est ramen´e `a majorer Z t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S D G ′ x ( X ′ ) / D G ′′ ( X ′′ ) / Z T ′ ( F ) \ G ′ x ( F ) Z A T ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) f ′ ( g ′ − X ′ g ′ ) f ′′ ( g ′′ − X ′′ g ′′ ) κ N,X ′′ ( g ′ g ′′ γ ) dg ′′ dg ′ dX ′′ dX ′ . On peut fixer un sous-ensemble compact ω T ′′ ⊂ t ′′ ( F ) tel que, pour tout g ′′ , la fonc-tion X ′′ f ′′ ( g ′′ − X ′′ g ′′ ) sur t ′′ ( F ) soit `a support dans ω T ′′ . Grˆace `a 2.3(1), on peutsupposer que les g ′′ intervenant dans l’int´egrale v´erifient σ ( g ′′ ) << | log D G ′′ ( X ′′ ) | .Puisque G ′ x = H ′ x ⊂ H , on a κ N,X ′′ ( g ′ g ′′ γ ) = κ N,X ′′ ( g ′′ γ ). En appliquant (2), on obtient κ N,X ′′ ( g ′ g ′′ γ ) << N k ϕ ( X ′′ ) o`u ϕ ( X ′′ ) = (1 + | log | Q S ( X ′′ ) | F | ) k (1 + | log D G ′′ ( X ′′ ) | ) k . L’expression `a majorer devient N k Z t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S D G ′ x ( X ′ ) / D G ′′ ( X ′′ ) / Z T ′ ( F ) \ G ′ x ( F ) Z A T ′′ ( F ) \ G ′′ ( F ) f ′ ( g ′ − X ′ g ′ ) f ′′ ( g ′′ − X ′′ g ′′ ) ϕ ( X ′′ ) dg ′′ dg ′ dX ′′ dX ′ . Elle est major´ee par N k Z t ( F ) J G x ( X ′ + X ′′ , f ′ ⊗ f ′′ ) ϕ ( X ′′ ) dX ′′ dX ′ . D’apr`es Harish-Chandra, l’int´egrale orbitale est born´ee. Elle est aussi `a support compact,ce qui nous conduit `a majorer N k Z ω T ϕ ( X ′′ ) dX ′′ dX ′ , o`u ω T est un sous-ensemble compact de t ( F ). Le lemme 2.4 nous dit que l’int´egrale estconvergente, ce qui entraˆıne la majoration du (i) de l’´enonc´e. Pour le (ii), on est de mˆemeconduit `a majorer N k Z ω T ∩ t ( F )[ S ; ≤ N − b ] ϕ ( X ′′ ) dX ′′ dX ′ . N k ( Z ω T ∩ t ( F )[ S ; ≤ N − b ] dX ) / ( Z ω T ϕ ( X ′′ ) dX ′′ dX ′ ) / . Le dernier terme se majore comme ci-dessus. Pour ǫ > 0, on a Z ω T ∩ t ( F )[ S ; ≤ ǫ ] dX ≤ X Q ∈Q S,T mes ( { X ∈ ω T ; | Q ( X ) | F ≤ ǫ } ) . D’apr`es [A5], lemme 7.1, il existe un r´eel r > << ǫ r .On en d´eduit une majoration | I | N, ≤ N − b << N k − rb/ . En prenant b > k + 1) /r , on obtient le (ii) de l’´enonc´e.Prouvons (2). Rempla¸cons V par V ′′ dans les d´efinitions de 7.2. On fixe un r´eseausp´ecial R ′′ de V ′′ de mˆeme que l’on a fix´e R , on note K ′′ son stabilisateur dans G ′′ ( F )et on d´efinit une fonction κ ′′ N sur G ′′ ( F ). Posons κ ′′ N,X ′′ (1) = ν ( A T ′′ ) Z A T ′′ ( F ) κ N ( γ − X ′′ a ) da. On va montrer(3) il existe un entier k ∈ N et c > κ ′′ N,X ′′ (1) ≤ cN k (1 + | log ( | Q S ( X ′′ ) | F ) | ) k (1 + | log D G ′′ ( X ′′ ) | ) k pour tout X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S ∩ ω T ′′ et tout N ≥ r > 0, posons κ ′′ r = κ ′′ N ( r ) , o`u N ( r ) est leplus petit entier sup´erieur ou ´egal `a r . On a(4) il existe c > κ N ( g ′′ g ) ≤ κ ′′ N + cσ ( g ) ( g ′′ ) pour tous g ∈ G ( F ), g ′′ ∈ G ′′ ( F ).Ecrivons g ′′ = m ′′ u ′′ k ′′ , avec m ′′ ∈ M ′′ ( F ), u ′′ ∈ U ′′ ( F ), k ′′ ∈ K ′′ , puis k ′′ g = muk , avec m ∈ M ( F ), u ∈ U ( F ), k ∈ K . On a κ N ( g ′′ g ) = κ N ( m ′′ m ). Supposons ceterme non nul (donc ´egal `a 1), d´ecomposons m ′′ et m en m ′′ = a ′′ g ′′ et m = ag , o`u a ′′ , a ∈ A ( F ), g ′′ ∈ G ′′ ( F ) et g ∈ G ( F ). Alors | val F ( a ′′ i a i ) | ≤ N pour tout i = 1 , ..., r et g − g ′′ − v ∈ ̟ − NF R . On a σ ( m ) << σ ( g ). Donc | val F ( a i ) | << σ ( g ) pour tout i = 1 , ..., r et σ ( g ) << σ ( g ). On en d´eduit d’abord qu’il existe c > | val F ( a ′′ i ) | ≤ N + c σ ( g )pour tout i = 1 , ..., r . Il existe c > g R ⊂ ̟ − N ( c σ ( g )) F R . Il existe c ∈ N tel que R ∩ V ′′ ⊂ ̟ − c F R ′′ . Alors g ′′ − v ∈ ̟ − N ′ F R ′′ , o`u N ′ ≤ N + c σ ( g ), pour c > c > c , c , on voit que g ′′ v´erifie les conditions requises pour que κ ′′ N + cσ ( g ) ( g ′′ ) = 1. Cela prouve (4).En utilisant (4), on a κ N,X ′′ ( g ) = ν ( A T ′′ ) Z A ( T ′′ )( F ) κ N ( γ − X ′′ ag ) da ≤ ν ( A T ′′ ) Z A ( T ′′ )( F ) κ ′′ N + cσ ( g ) ( γ − X ′′ a ) da ≤ κ ′′ N + cσ ( g ) ,X ′′ (1) . La majoration (3) entraˆıne alors (2). 69rouvons maintenant (3). On suppose v´erifi´ees les conditions (1) et (2) de 9.7 pourle compact ω T ′′ . Soit a ∈ A T ′′ ( F ) tel que κ ′′ N ( γ − X ′′ a ) = 1. Grˆace `a 7.2(1), on peut ´ecrire γ − X ′′ a = vhy , avec v ∈ U ′′ ( F ), h ∈ H ′′ ( F ), y ∈ G ′′ ( F ) et σ ( y ) ≤ cN . On a(5) yX ′′ y − = h − v − X ′′ Σ vh, o`u X ′′ Σ = γ − X ′′ X ′′ γ X ′′ . La condition impos´ee `a y implique que σ ( yX ′′ y − ) << N (cf.1.1 pour la d´efinition de la fonction σ sur g ′′ ( F )). On a h − v − X ′′ Σ vh ∈ Ξ + h − Sh +Σ et h − Sh ∈ h ′′ ( F ). Or h ′′ ( F ) et Σ sont en somme directe. Alors (5) entraˆıne que σ ( h − Sh ) << N . Donc il existe un entier k > σ ( h − ̟ kNF Sh ) << 1. Enappliquant 2.3(1), on peut ´ecrire h = tz , avec t ∈ H ′′ S ( F ), z ∈ H ′′ ( F ) et σ ( z ) << (1 + | log D H ′′ ( ̟ kNF S ) | ) << N. On peut r´ecrire vhy = tug , avec u ∈ U ′′ ( F ) et g = zy , donc σ ( g ) << N . L’´egalit´e (5) ser´ecrit gX ′′ g − = u − Y u , o`u Y = t − X ′′ Σ t . On a σ ( gX ′′ g − ) << N . D’apr`es la condition(1) de 9.7, Y appartient `a Ξ + S + Λ. Le lemme 9.3 nous dit que u et Y d´ependentalg´ebriquement de u − Y u . Donc σ ( u ) << N et σ ( Y ) << N . Posons X ′′ Σ = Ξ + S + X , Y = Ξ + S + X ∗ , introduisons les coordonn´ees de X et X ∗ comme en 9.4 (on affectecelles de X ∗ d’un exposant ∗ ) et, pour tout j = 1 , ..., m , notons t j la valeur propre de t sur w j . On a z ∗ j = t − j z j et z ∗− j = t j z − j pour tout j = 1 , ..., m . La condition (1) de 9.7 etcelle ci-dessus portant sur Y nous disent qu’il existe c > val F ( z ∗ j ) ≥ − cN, val F ( z ∗− j ) ≥ − cN, val F ( z j ) ≥ − c, val F ( z − j ) ≥ − c pour tout j . On en d´eduit | val F ( t j ) | ≤ c ( N + 1) + val F ( z j z − j ) ≤ c ( N + 2 m − 1) + val F ( Y j ′ =1 ,...,m z j ′ z − j ′ ) . La formule 9.4(1) montre qu’il existe c ′ > c ′ (1 + | log | Q S ( X ′′ ) | F | ). On en d´eduit σ ( t ) << N + | log | Q S ( X ′′ ) | F | . Alors σ ( γ − X ′′ a ) = σ ( tug ) << N + | log | Q S ( X ′′ ) | F | . En appliquant 9.7(2), on en d´eduit σ ( a ) << N + | log ( | Q S ( X ′′ ) | F ) | + | log D G ′′ ( X ′′ ) | . Le terme κ ′′ N,X ′′ (1) est born´e par la mesure de l’ensemble des a v´erifiant cette condition.Il est facile de montrer que, pour tout r´eel r ≥ mes ( { a ∈ A T ′′ ( F ); σ ( a ) ≤ r } ) << r k , o`u k = dim ( A T ′′ ). On en d´eduit κ ′′ N,X ′′ (1) << N k (1 + | log | Q S ( X ′′ ) | F | ) k (1 + | log D G ′′ ( X ′′ ) | ) k , ce qui prouve (3) et ach`eve la d´emonstration. (cid:3) Pour tout S ∈ S et tout T ∈ T ( G x ), on note Q S,T la famille des trois polynˆomes sur t ( F ) suivants X det ( ad ( X ′ ) | g ′ x / t ′ ) , X det ( ad ( X ′′ ) | g ′′ / t ′′ ) , X ′′ Q S ( X ′′ )70`u Q S a ´et´e d´efini ci-dessus. Appliqu´e `a ces donn´ees, le (ii) du lemme nous fournit unentier b que l’on fixe. On pose I ∗ x,ω,N ( θ, f ) = I N,>N − b . Le lemme entraˆıne que lim N →∞ ( I x,ω,N ( θ, f ) − I ∗ x,ω,N ( θ, f )) = 0 . On fixe T ∈ T ( G x ). Notons M ♮ le commutant de A T ′′ dans G . C’est un L´evi de G , quicontient G ′ . Notons V ′′ l’intersection des noyaux des actions de a dans V ′′ , pour a ∈ A T ′′ . Lemme . On a l’´egalit´e A T ′′ = A M ♮ sauf dans le cas o`u les conditions suivantes sontsatisfaites : d est pair, W ′ est hyperbolique et de dimension , V ′′ = { } . Dans ce cas,on a A M ♮ = T ′ A T ′′ . Preuve. Posons V = W ′ ⊕ V ′′ , notons V son orthogonal dans V et G , resp. G lesgroupes sp´eciaux orthogonaux de V , resp. V . L’espace V est l’intersection des noyauxdes actions de a dans V , pour a ∈ A T ′′ . Donc M ♮ conserve V . Par cons´equent, M ♮ conserve aussi V , donc M ♮ ⊂ G × G . Puisque A T ′′ agit trivialement dans V , on a A T ′′ ⊂ G . Donc M ♮ = G × M ,♮ , o`u M ,♮ est le commutant de A T ′′ dans G , puis A M ♮ = A G × A M ,♮ . On a V ⊂ V ′′ , donc G ⊂ G ′′ . D’autre part T ′′ commute `a A T ′′ ,donc T ′′ ⊂ M ♮ , donc A M ♮ commute `a T ′′ . Alors A M ,♮ est contenu dans le commutantde T ′′ dans G ′′ . Puisque T ′′ est un sous-tore maximal de G ′′ , ce commutant est ´egal `a T ′′ . Donc A M ,♮ ⊂ T ′′ , ce qui entraˆıne A M ,♮ ⊂ A T ′′ . L’inclusion oppos´ee est imm´ediatepuisque A T ′′ est ´evidemment un tore d´eploy´e central dans M ,♮ . Donc A M ,♮ = A T ′′ .On a A G = { } sauf dans le cas o`u V est hyperbolique de dimension 2. Supposonscette condition v´erifi´ee. Puisque G contient un sous-tore A T ′′ qui agit sans point fixenon nul dans V , dim ( V ) est paire et d aussi. Si W ′ = { } , on a G = G ′′ et T ′′ estun tore maximal de G . Le mˆeme raisonnement que ci-dessus montre que A M ♮ ⊂ A T ′′ contrairement `a l’hypoth`ese A G = { } . Donc W ′ = { } . Puisque dim ( W ′ ) est paireet V = W ′ ⊕ V ′′ , on a W ′ = V et V ′′ = { } . Inversement, si W ′ est hyperbolique dedimension 2 et V ′′ = { } , on a G = G ′ et ce groupe est un tore d´eploy´e. Puisque T ′ estun sous-tore maximal de G ′ , on a T ′ = G ′ = A G et la conclusion du lemme s’ensuit. (cid:3) Appelons cas exceptionnel celui de l’´enonc´e pr´ec´edent. Supposons tout d’abord quel’on n’est pas dans ce cas et rappelons quelques d´efinitions d’Arthur. Soit Y = ( Y P ♮ ) P ♮ ∈P ( M ♮ ) une famille d’´el´ements de A M ♮ , ( G, M ♮ )-orthogonale et positive. Pour Q = LU Q ∈ F ( M ♮ ),on note ζ σ QM ♮ ( ζ , Y ) la fonction caract´eristique dans A M ♮ de la somme de A L et de l’en-veloppe convexe de la famille ( Y P ♮ ) P ♮ ∈P ( M ♮ ); P ♮ ⊂ Q . On note τ Q la fonction caract´eristiquedans A M ♮ de la somme A LM ♮ + A + Q . Rappelons que A + Q est la chambre positive ouverte de A L associ´ee `a Q . On a 711) la fonction ζ σ QM ♮ ( ζ , Y ) τ Q ( ζ − Y Q )sur A M ♮ est la fonction caract´eristique de la somme de A + Q et de l’enveloppe convexe dela famille ( Y P ♮ ) P ♮ ∈P ( M ♮ ); P ♮ ⊂ Q ;(2) X Q ∈F ( M ♮ ) σ QM ♮ ( ζ , Y ) τ Q ( ζ − Y Q ) = 1pour tout ζ ∈ A M ♮ .L’assertion (1) est imm´ediate et (2) est l’assertion 3.9 de [A3].Consid´erons maintenant le cas exceptionnel. Alors A M ♮ = A T ′ ⊕ A T ′′ et A T ′ estune droite. Conform´ement `a cette d´ecomposition, on d´efinit la projection ζ ζ T ′′ de A M ♮ sur A T ′′ . On note ˜ F ( M ♮ ) l’ensemble des Q ∈ F ( M ♮ ) tels que A + Q ∩ A T ′′ = ∅ . Onnote ˜ P ( M ♮ ) = P ( M ♮ ) ∩ ˜ F ( M ♮ ). Pour Q = LU Q ∈ ˜ F ( M ♮ ), on note ζ ˜ σ QM ♮ ( ζ , Y ) lafonction caract´eristique dans A T ′′ de la somme de A L ∩ A T ′′ et de l’enveloppe convexede la famille ( Y P ♮ ,T ′′ ) P ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ); P ♮ ⊂ Q . On note ˜ τ Q la fonction caract´eristique dans A T ′′ de lasomme ( A T ′′ ∩ A LM ♮ ) + ( A T ′′ ∩ A + Q ). On a encore(3) la fonction ζ ˜ σ QM ♮ ( ζ , Y )˜ τ Q ( ζ − Y Q,T ′′ )sur A T ′′ est la fonction caract´eristique de la somme de A T ′′ ∩A + Q et de l’enveloppe convexede la famille ( Y P ♮ ,T ′′ ) P ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ); P ♮ ⊂ Q ;(4) X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) ˜ σ QM ♮ ( ζ , Y )˜ τ Q ( ζ − Y Q,T ′′ ) = 1pour tout ζ ∈ A T ′′ .Pour d´emontrer ces propri´et´es et `a des fins ult´erieures, introduisons un espace ˜ V somme directe de V ′′ et d’une droite ˜ D , muni de la somme orthogonale ˜ q de la restrictionde q `a V ′′ et d’une forme quadratique non d´eg´en´er´ee sur ˜ D . On note ˜ G son groupe sp´ecialorthogonal. Le tore T ′′ est inclus dans G ′′ , donc dans ˜ G . Notons ˜ M son commutant dans˜ G . Le lemme 10.2 s’applique `a ˜ G et montre que A T ′′ = A ˜ M . Lemme . (i) Il existe une unique bijection Q = LU Q ˜ Q = ˜ LU ˜ Q de ˜ F ( M ♮ ) sur F ( ˜ M ) telle que, pour tout Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) , on ait A T ′′ ∩ A LM ♮ = A ˜ L ˜ M , A T ′′ ∩ A L = A ˜ L et A T ′′ ∩ A + Q = A +˜ Q . Cette bijection conserve la relation d’inclusion et envoie ˜ P ( M ♮ ) sur P ( ˜ M ) .(ii) Pour Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) , posons Y ˜ Q = Y Q,T ′′ . La famille ˜ Y = ( Y ˜ P ) ˜ P ∈P ( ˜ M ) est ( ˜ G, ˜ M ) -orthogonale et positive. Pour tout ˜ Q ∈ F ( ˜ M ) , Y ˜ Q est associ´e `a cette famille comme en2.1.(iii) Pour tout Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) et tout ζ ∈ A T ′′ = A ˜ M , on a les ´egalit´es ˜ σ QM ♮ ( ζ , Y ) = σ ˜ Q ˜ M ( ζ , ˜ Y ) et ˜ τ Q ( ζ ) = τ ˜ Q ( ζ ) . Preuve. Les conditions impos´ees `a A T ′′ impliquent que V ′′ est hyperbolique et qu’ilexiste un syst`eme hyperbolique maximal ( e k ) k = ± ,..., ± d/ dans V ′′ et une suite d’entiers( d i ) i =2 ,...,l v´erifiant les propri´et´es suivantes. On a d i ≥ i et 1+ d + ... + d l = d/ ǫ = ± i = 2 , ..., l , notons E ǫi le sous-espace de V ′′ engendr´e par les e ǫk pour72 + d + ... + d i − < k ≤ d + ... + d i . Alors A T ′′ est le sous-groupe des ´el´ements de G ′′ qui conservent chaque E ± i et y agissent par homoth´etie. Fixons une base hyperbolique { e , e − } de W ′ . Notons E ± la droite port´ee par e ± . Posons I = {± , ..., ± l } . Alors A M ♮ est le sous-groupe des ´el´ements de G qui conservent chaque E i pour i ∈ I et y agissentpar homoth´etie. L’espace A M ♮ est celui des familles ζ = ( ζ i ) i ∈ I de nombres r´eels tellesque ζ − i = − ζ i pour tout i . L’espace A T ′′ est le sous-espace des ζ tels que ζ = ζ − = 0, ouencore, en posant ˜ I = {± , ..., ± l } , A T ′′ est l’espace des familles ζ = ( ζ i ) i ∈ ˜ I de nombresr´eels telles que ζ − i = − ζ i pour tout i .On d´ecrit l’ensemble F ( ˜ M ) de la fa¸con habituelle suivante. Notons Φ( ˜ M ) l’ensembledes applications ϕ : ˜ I → { , ± , ..., ± j ϕ } , o`u j ϕ est un ´el´ement quelconque de N , tellesque ϕ ( − i ) = − ϕ ( i ) pour tout i et ϕ − ( j ) = ∅ pour tout j = ± , ..., ± j ϕ . Pour une telle ϕ et pour j ∈ { , ..., j ϕ } , on pose E ϕ,j = ⊕ ϕ − ( j ) E i . On note ˜ Q ϕ = ˜ L ϕ ˜ U ϕ le sous-groupeparabolique de ˜ G form´e des ´el´ements qui conservent le drapeau E ϕ,j ϕ ⊂ E ϕ,j ϕ ⊕ E ϕ,j ϕ − ⊂ ... ⊂ E ϕ,j ϕ ⊕ ... ⊕ E ϕ, . Alors ϕ ˜ Q ϕ est une bijection de Φ( ˜ M ) sur F ( ˜ M ). L’espace A ˜ L ϕ ˜ M est form´e des ζ =( ζ i ) i ∈ ˜ I tels que, pour tout j ∈ {± , ..., ± j max } , P i ∈ ϕ − ( j ) ζ i = 0. L’espace A ˜ L ϕ est form´edes ζ = ( ζ i ) i ∈ ˜ I tels que, pour tout j ∈ { , ± , ..., ± j max } , ζ i est constant pour i ∈ ϕ − ( j ).Notons ζ ϕ,j cette valeur constante. Alors A +˜ Q ϕ est form´e des ζ ∈ A ˜ L ϕ tels que ζ ϕ,j ϕ > ... > ζ ϕ, > . On d´ecrit l’ensemble F ( M ♮ ) de fa¸con analogue. On d´efinit Φ( M ♮ ) en rempla¸cant ˜ I par I dans la d´efinition de Φ( ˜ M ). Pour ϕ ∈ Φ( M ♮ ), on d´efinit de mˆeme un sous-groupeparabolique Q ϕ = L ϕ U ϕ de G . L’application ϕ Q ϕ est une surjection de Φ( M ♮ ) sur F ( M ♮ ). Les fibres ont 1 ou 3 ´el´ements. Une fibre a 3 ´el´ements si et seulement si ellecontient un ´el´ement ϕ pour lequel ϕ − (0) a deux ´el´ements { i h , − i h } et dim ( E i h ) = 1.Alors les deux autres ´el´ements de la fibre sont les applications ϕ et ϕ − ainsi d´efinies.Pour ǫ = ± ϕ ǫ ( i h ) = ǫ , ϕ ǫ ( − i h ) = − ǫ . Pour i ∈ I \ { i h , − i h } , si ϕ ( i ) = ± j , avec j ∈ { , ..., j ϕ } , on a ϕ ǫ ( i ) = ± ( j + 1). Si ϕ appartient `a une fibre `a 1 ´el´ement, les espaces A L ϕ M ♮ , A L ϕ et l’ensemble A + Q ϕ se d´ecrivent comme ci-dessus, en rempla¸cant ˜ I par I . Si ϕ est l’un des ´el´ements ϕ ± d’une fibre `a 3 ´el´ements, les espaces A L ϕ M ♮ et A L ϕ se d´ecriventde mˆeme. L’ensemble A + Q ϕ est form´e des ζ ∈ A ˜ L ϕ tels que ζ ϕ,j ϕ > ... > ζ ϕ, , ζ ϕ, + ζ ϕ, > , ζ ϕ, − ζ ϕ, > . Le sous-groupe parabolique Q ϕ appartient `a ˜ F ( M ♮ ) si et seulement si l’ensemble A + Q ϕ contient un ´el´ement de A T ′′ , c’est-`a-dire un ´el´ement ζ pour lequel ζ = ζ − = 0. Ladescription ci-dessus montre que, si ϕ appartient `a une fibre `a 1 ´el´ement, cette condition´equivaut `a ϕ (1) = ϕ ( − 1) = 0. Si ϕ est un ´el´ement ϕ ± d’une fibre `a 3 ´el´ements, elle´equivaut `a ϕ (1) , ϕ ( − ∈ {± } . Il revient au mˆeme de dire que, si ϕ est l’´el´ement ϕ d’une fibre `a 3 ´el´ements, la condition ´equivaut `a ϕ (1) = ϕ ( − 1) = 0. Notons ˜Φ( M ♮ )le sous-ensemble des ϕ ∈ Φ( M ♮ ) tels que ϕ (1) = ϕ ( − 1) = 0. Alors l’application ϕ Q ϕ se restreint en une bijection de ˜Φ( M ♮ ) sur ˜ F ( M ♮ ). L’application qui `a ϕ associe sarestriction `a ˜ I est une bijection de ˜Φ( M ♮ ) sur Φ( ˜ M ). Elle param`etre une bijection de˜ F ( M ♮ ) sur F ( ˜ M ). En utilisant les descriptions ci-dessus, on v´erifie qu’elle poss`ede toutesles propri´et´es indiqu´ees dans l’´enonc´e et c’est bien sˆur la seule possible. (cid:3) G . Dans le cas non exceptionnel, on pourra affecter d’un˜les notations afin de les unifieravec celles du cas exceptionnel. Par exemple, on notera ˜ F ( M ♮ ) = F ( M ♮ ) et, pour un´el´ement Q de cet ensemble, on notera ˜ τ Q = τ Q . De mˆeme, on notera dans ce cas ζ ζ T ′′ l’application identit´e de A M ♮ . On fixe S ∈ S et T ∈ T ( G x ). On utilise les notations de 10.2 et 10.3. Fixons un L´eviminimal M min de G contenu dans M ♮ et contenant A M ♮ . On fixe un sous-groupe compactsp´ecial K min de G ( F ) en bonne position relativement `a M min . Il nous sert `a d´efinir lesfonctions H Q sur G ( F ) pour Q ∈ F ( M min ). Fixons P min = M min U min ∈ P ( M min ) etnotons ∆ min l’ensemble des racines simples de A M min dans u min . Soit Y P min ∈ A + P min .Pour tout P ′ ∈ P ( M min ), il y a un unique w ∈ W ( G, M min ) tel que wP min w − = P ′ .On pose Y P ′ = wY P min . La famille ( Y P ′ ) P ′ ∈P ( M min ) est ( G, M min )-orthogonale et positive.Pour g ∈ G ( F ), d´efinissons la famille Y ( g ) = ( Y ( g ) Q ) Q ∈P ( M ♮ ) par Y ( g ) Q = Y Q − H ¯ Q ( g ) . Il est clair qu’il existe c > g ∈ G ( F ) tel que σ ( g ) < c inf { α ( Y P min ); α ∈ ∆ min } , la famille Y ( g )est ( G, M ♮ )-orthogonale et positive ; de plus Y ( g ) Q ∈ A + Q pour tout Q ∈ F ( M ♮ ).On fixe un tel c . Remarquons que, pour m ∈ M ♮ ( F ), la famille Y ( mg ) se d´eduit de Y ( g ) par translations. Il en r´esulte que la famille Y ( g ) est ( G, M ♮ )-orthogonale et positivepour tout g ∈ M ♮ ( F ) { g ′ ∈ G ( F ); σ ( g ′ ) < c inf { α ( Y P min ); α ∈ ∆ min }} . Pour un tel g , on pose˜ v ( g ) = ν ( A T ′′ ) Z A T ′′ ( F ) ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g )) da. On a d´efini en 2.3 la fonction σ T . Montrons que(2) il existe c > ω T de t ( F ) tels que les propri´et´essuivantes soient v´erifi´ees ; soient g ∈ G ( F ) et X ∈ t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ) telsque g f ♯x,ω ( X ) = 0 ; alors X ∈ ω T et σ T ( g ) < c log ( N ).Preuve. Il suffit de reprendre la preuve du lemme 10.1. Les ´el´ements X ′ et X ′′ restentdans des sous-ensembles compacts de t ′ ( F ) et t ′′ ( F ), ces sous-ensembles compacts, ainsique les suivants ´etant bien sˆur ind´ependants de X et g . On peut ´ecrire g = g ′ g ′′ γ , o`u γ appartient `a un sous-ensemble compact de G ( F ), g ′ ∈ G ′ x ( F ) et g ′′ ∈ G ′′ ( F ) sont tels que g ′ − X ′ g ′ et g ′′ − X ′′ g ′′ appartiennent `a des sous-ensembles compacts de g ′ x ( F ) et g ′′ ( F ).D’apr`es 2.3(1), quitte `a multiplier g `a gauche par un ´el´ement de T ( F ), on a σ ( g ) << (1 + | log D G ′ x ( X ′ ) | )(1 + | log D G ′′ ( X ′′ ) | ) . Pour X ∈ t ( F )[ S ; > N − b ], on a | log D G ′ x ( X ′ ) | << log ( N ) , | log D G ′′ ( X ′′ ) | << log ( N ) . σ ( g ) << log ( N ) et l’assertion s’ensuit. (cid:3) On fixe de tels ω T et c et on suppose d´esormais c log ( N ) < c inf { α ( Y P min ); α ∈ ∆ min } . Puisque T ⊂ M ♮ , ˜ v ( g ) est d´efini pour tout g satisfaisant la condition de (2). Le membrede droite de l’´egalit´e de la proposition ci-dessous est donc bien d´efini. Proposition . Il existe c > et un entier N ≥ tels que, si N ≥ N et clog ( N ) < inf { α ( Y P min ); α ∈ ∆ min } , on ait l’´egalit´e Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( g ) dg = Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X )˜ v ( g ) dg pour tout X ∈ t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ) . Preuve. Soit Z P min ∈ A + P min . En rempla¸cant Y P min par cet ´el´ement, on construit unefamille Z ( g ) pour tout g ∈ G ( F ). On impose(3) c log ( N ) < c inf { α ( Z P min ); α ∈ ∆ min } . Soit g ∈ G ( F ) tel que σ T ( g ) < c log ( N ). Pour a ∈ A T ′′ , on a l’´egalit´e X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) ˜ σ QM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g ))˜ τ Q ( H M ♮ ( a ) − Z ( g ) Q,T ′′ ) = 1 , cf. 10.3(4). En se rappelant la d´efinition ci-dessus de ˜ v ( g ), on peut ´ecrire˜ v ( g ) = ν ( A T ′′ ) X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) ˜ v ( Q, g ) , o`u ˜ v ( Q, g ) = Z A T ′′ ( F ) ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g ))˜ σ QM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g ))˜ τ Q ( H M ♮ ( a ) − Z ( g ) Q,T ′′ ) da. De mˆeme, soit X ∈ t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S . On a κ N,X ′′ ( g ) = ν ( A T ′′ ) X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) κ N,X ′′ ( Q, g ) , o`u κ N,X ′′ ( Q, g ) = Z A T ′′ ( F ) κ ( γ − X ′′ ag )˜ σ QM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g ))˜ τ Q ( H M ♮ ( a ) − Z ( g ) Q,T ′′ ) da. On a(4) les fonctions g ˜ v ( Q, g ) et g κ N,X ′′ ( Q, g ) sont invariantes `a gauche par T ′ ( F ) A T ′′ ( F ). 75oit t ∈ T ′ ( F ) A T ′′ ( F ). On a H P ′ ( tg ) = H M ♮ ( t )+ H P ′ ( g ) pour tout P ′ ∈ P ( M ♮ ). Suppo-sons t ∈ A T ′′ ( F ). Alors remplacer g par tg dans la d´efinition de ˜ v ( Q, g ) ou de κ N,X ′′ ( Q, g )revient `a changer la variable d’int´egration a en at . Cela ne change pas l’int´egrale. Soitmaintenant t ∈ T ′ ( F ). On a T ′ ⊂ H , donc κ ( γ − X ′′ atg ) = κ ( γ − X ′′ ag ) pour tout a . On a T ′ ⊂ G ⊂ M ♮ , avec la notation de la preuve du lemme 10.2. Si l’on n’est pas dans le casexceptionnel, G est semi-simple et H M ♮ ( t ) = 0. On ne change donc rien en rempla¸cant g par tg . Si l’on est dans le cas exceptionnel, ce ne sont pas les termes H P ′ ( g ) qui inter-viennent dans les d´efinitions, mais leurs projections H P ′ ( g ) T ′′ . Or H M ♮ ( t ) T ′′ = 0 et, denouveau, remplacer g par tg ne change rien. Cela prouve (4).Soit X ∈ t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S . Grˆace `a (4), on peut ´ecrire(5) Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( g ) dg = ν ( A T ′′ ) X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) I ( Q, X ) , (6) Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X )˜ v ( g ) dg = ν ( A T ′′ ) X Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) J ( Q, X ) , o`u I ( Q, X ) = Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( Q, g ) dg,J ( Q, X ) = Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ G ( F ) g f ♯x,ω ( X )˜ v ( Q, g ) dg. Consid´erons d’abord les termes index´es par Q = G . Supposons(7) sup { α ( Z min ); α ∈ ∆ min } ≤ (cid:26) inf { α ( Y min ); α ∈ ∆ min } ,log ( N ) . Fixons un sous-ensemble compact ω T ′′ de t ′′ ( F ) tel que X ′′ ∈ ω T ′′ pour tout X ∈ ω T .L’ensemble t ( F )[ S ; > N − b ] a ´et´e d´efini comme celui des X ∈ t ( F ) tels que X ′ et X ′′ satisfassent certaines minorations. On d´efinit t ′′ ( F ) S [ > N − b ] comme celui des X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S v´erifiant celles de ces minorations qui portent sur X ′′ . On a(8) il existe un entier N ≥ N ≥ N , pour tout g ∈ G ( F ) telque σ T ( g ) ≤ c log ( N ) et tout X ′′ ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S [ > N − b ], on ait l’´egalit´e κ N,X ′′ ( G, g ) =˜ v ( G, g ).Il suffit de prouver que pour tout a ∈ A T ′′ ( F ) tel que ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g )) = 1, ona l’´egalit´e ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g )) = κ N ( γ − X ′′ ag ). La premi`ere in´egalit´e de (5) entraˆıne quel’enveloppe convexe de la famille ( Z ( g ) P ′ ,T ′′ ) P ′ ∈ ˜ P ( M ♮ ) est incluse dans celle de la famille( Y ( g ) P ′ ,T ′′ ) P ′ ∈ ˜ P ( M ♮ ) . Alors l’hypoth`ese ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g )) = 1 entraˆıne ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g )) =1. Munissons A M ♮ d’une norme | . | . La deuxi`eme in´egalit´e de (5) et l’hypoth`ese sur g entraˆınent une majoration | Z ( g ) P ′ | << log ( N ) pour tout P ′ ∈ P ( M ♮ ). L’hypoth`ese˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g )) = 1 entraˆıne alors σ ( a ) << log ( N ) . D’apr`es 9.7(2), on a σ ( γ X ′′ ) << | log D G ′′ ( X ′′ ) | . Puisque X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S [ > N − b ], cela entraˆıne σ ( γ X ′′ ) << log ( N ).D’o`u σ ( γ − X ′′ ag ) << log ( N ) . Mais on voit facilement qu’il existe c > g ′ ∈ G ( F ) tel que σ ( g ′ ) < c N , on a κ N ( g ′ ) = 1. Si N est assez grand, on a σ ( γ − X ′′ ag ) < c N , donc κ N ( γ − X ′′ ag ) = 1. Cela prouve (8).De (2) et (8) r´esulte l’´egalit´e(9) I ( G, X ) = J ( G, X )76our tout N ≥ N et tout X ∈ t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ).Soit maintenant Q = LU Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) avec Q = G . On d´ecompose les int´egrales I ( Q, X ) = Z K min Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ L ( F ) Z U ¯ Q ( F ) ¯ ulk f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( Q, ¯ ulk ) d ¯ uδ Q ( l ) dl dk,J ( Q, X ) = Z K min Z T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ L ( F ) Z U ¯ Q ( F ) ¯ ulk f ♯x,ω ( X )˜ v ( Q, ¯ ulk ) d ¯ uδ Q ( l ) dl dk. Nous montrerons aux paragraphes 10.5 et 10.8 les propri´et´es suivantes.(10) Soient g ∈ G ( F ) et ¯ u ∈ U ¯ Q ( F ) tels que σ ( g ) , σ (¯ ug ) < c inf { α ( Z P min ); α ∈ ∆ min } . Alors on a l’´egalit´e ˜ v ( Q, ¯ ug ) = ˜ v ( Q, g ).(11) Soit c > 0. Il existe c > c log ( N ) < inf { α ( Z P min ); α ∈ ∆ min } ,les conditions suivantes soient v´erifi´ees. Soient X ′′ ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S [ > N − b ], g ∈ G ( F ) et¯ u ∈ U ¯ Q ( F ). Supposons σ ( g ) , σ (¯ u ) , σ (¯ ug ) < c log ( N ). Alors on a l’´egalit´e κ N,X ′′ ( Q, ¯ ug ) = κ N,X ′′ ( Q, g ) ;Admettons ces propri´et´es. Montrons(12) il existe c > c log ( N ) < inf { α ( Z P min ); α ∈ ∆ min } , on a les ´egalit´es I ( Q, X ) = J ( Q, X ) = 0 pour tout X ∈ t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ).Grˆace `a (2), on peut supposer X ∈ ω T . Consid´erons l’int´egrale I ( Q, X ). D’apr`es (2),on peut limiter l’int´egrale sur T ′ ( F ) A T ′′ ( F ) \ L ( F ) aux ´el´ements l pour lesquels il existe¯ u ∈ U ¯ Q ( F ) et k ∈ K min tels que σ T (¯ ulk ) < c log ( N ). Un tel l est repr´esent´e par un´el´ement de L ( F ) tel que σ ( l ) < c log ( N ), pour une constante c convenable. Il existe c > l v´erifiant l’in´egalit´e pr´ec´edente, pour k ∈ K min et pour ¯ u ∈ U ¯ Q ( F ),l’in´egalit´e σ (¯ ulk ) < c log ( N ) entraˆıne σ (¯ u ) < c log ( N ). Soit c = c + c et prenons pour c le nombre issu de (11). Fixons k ∈ K min et l ∈ L ( F ) tel que σ ( l ) < c log ( N ). On aalors ¯ ulk f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( Q, ¯ ulk ) = ¯ ulk f ♯x,ω ( X ) κ N,X ′′ ( Q, lk )pour tout ¯ u ∈ U ¯ Q ( F ). En effet, si σ (¯ ulk ) ≥ c log ( N ), les deux termes sont nuls d’apr`es(2). Si σ (¯ ulk ) < c log ( N ), on a aussi σ (¯ u ) < c log ( N ), puis σ ( lk ) < c log ( N ). La relation(11) s’applique `a g = lk et u . Donc κ N,X ′′ ( Q, ¯ ulk ) = κ N,X ′′ ( Q, lk ) et l’´egalit´e affirm´ees’ensuit. Il r´esulte de cette ´egalit´e que, dans I ( Q, X ), l’int´egrale int´erieure est simplement Z U ¯ Q ( F ) ¯ ulk f ♯x,ω ( X ) d ¯ u. Or cette int´egrale est nulle d’apr`es le lemme 5.5(i), puisque Q = G . Donc I ( Q, X ) = 0.On prouve de mˆeme que J ( Q, X ) = 0.Le terme Z P min est un terme auxiliaire. Il est clair qu’il existe c > N ≥ N ≥ N et clog ( N ) < inf { α ( Y P min ); α ∈ ∆ min } , on peut choisir Z P min satisfaisant les hypoth`eses (3) et (7) et celle de la relation (12). Sion suppose de plus N ≥ N , les conclusions de (9) et (12) s’appliquent. Alors les ´egalit´es(5) et (6) entraˆınent la conclusion de l’´enonc´e. (cid:3) Soient g et ¯ u comme dans cette relation. Rappelons que˜ v ( Q, g ) = Z A T ′′ ( F ) ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g ))˜ σ QM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g ))˜ τ Q ( H M ♮ ( a ) − Z ( g ) Q,T ′′ ) da. Les fonctions ζ ˜ σ QM ♮ ( ζ , Y ( g )) et ζ ˜ τ Q ( ζ − Z ( g ) Q,T ′′ ) ne d´ependent de g que parl’interm´ediaire des termes H ¯ P ′ ( g ) pour des sous-groupes paraboliques P ′ ∈ ˜ F ( M ♮ ) telsque P ′ ⊂ Q . Elles ne changent donc pas quand on remplace g par ¯ ug . On peut alors fixer a ∈ A T ′′ ( F ) tel que ˜ σ QM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Z ( g ))˜ τ Q ( H M ♮ ( a ) − Z ( g ) Q,T ′′ ) = 0et prouver que (1) ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y ( g )) = ˜ σ GM ♮ ( H M ♮ ( a ) , Y (¯ ug )) . Supposons que l’on n’est pas dans le cas exceptionnel. Tout sous-groupe parabolique P ′ ∈ P ( M ♮ ) tel que P ′ ⊂ Q d´etermine une chambre A L, + P ′ dans A L . Posons ζ = H M ♮ ( a ),fixons un tel P ′ de sorte que proj LM ♮ ( ζ ) ∈ Cl ( A L, + P ′ ), o`u, pour tout sous-ensemble E de A M ♮ , Cl ( E ) d´esigne sa clˆoture. Montrons que(2) ζ ∈ Cl ( A + P ′ ).D’apr`es 10.3(1), l’hypoth`ese sur a signifie que ζ est la somme d’un ´el´ement ζ ′ ∈ A + Q etd’un ´el´ement ζ ′′ dans l’enveloppe convexe des Z ( g ) P ′′ , pour P ′′ ∈ P ( M ♮ ) tel que P ′′ ⊂ Q .Soit α une racine de A M ♮ dans g , positive pour P ′ . Si α intervient dans u Q , α est positivepour tous les P ′′ ci-dessus. Or Z ( g ) P ′′ ∈ A + P ′′ d’apr`es 10.4(1), donc α ( Z ( g ) P ′′ ) > 0. Il enr´esulte que α ( ζ ′′ ) > 0. On a aussi α ( ζ ′ ) > 0, donc α ( ζ ) > 0. Si maintenant α intervientdans u P ′ ∩ l , on a α ( ζ ) = α ( proj LM ♮ ( ζ )) ≥ P ′ . Cela prouve (2).D’apr`es [A3] lemme 3.1, pour ζ ∈ Cl ( A + P ′ ), la condition ˜ σ GM ♮ ( ζ , Y ( g )) = 1 ´equivaut`a certaines in´egalit´es portant sur ζ − Y ( g ) P ′ . Cette condition ne d´epend de g que parl’interm´ediaire de H ¯ P ′ ( g ). Comme ci-dessus, elle est donc insensible au changement de g en ¯ ug . Cela d´emontre (1).Dans le cas exceptionnel, on utilise le lemme 10.3 pour interpr´eter nos fonctionscomme leurs analogues pour le groupe ˜ G . dans ce groupe, on peut faire le mˆeme raison-nement que ci-dessus et on obtient la mˆeme conclusion. (cid:3) On aura besoin du lemme ci-dessous. Soient F un corps alg´ebriquement clos, l unentier tel que l ≥ R = R ( T ) un polynˆome en une indetermin´ee, `a coefficientsdans F , de degr´e l − l + 1ind´etermin´ees Q = Q ( T, S , ..., S l ) = Y j =1 ,...,l ( T − S j ) , et la fraction rationnelle P = P ( T, S , ..., S l ) = 1 + X j =1 ,...,l ( T + S j ) R ( S j )( T − S j ) Q j ′ =1 ,...,l ; j ′ = j ( S j − S j ′ ) . emme . On a l’´egalit´e P ( T, S , ..., S l ) = 2 T R ( T ) Q ( T, S , ..., S l ) . Preuve. Introduisons le polynˆome∆ = ∆( S , ..., S l ) = Y j,j ′ =1 ,...,l ; j 1, le lemme est v´erifi´e pour E = F .En effet, pour toute extension finie F ′ de F , le r´eseau R F ′ est compatible avec R . Si d an ( V ) ≤ R F ′ est sp´ecial, d’o`u (4).A l’aide de ces deux propri´et´es, un raisonnement par r´ecurrence descendante sur d an ( V ) montre qu’il suffit de prouver l’assertion suivante(5) si d an ( V ) ≥ 2, il existe une extension finie F ′ de F et un r´eseau sp´ecial R ′ de V F ′ tels que d an ( V F ′ ) < d an ( V ) et R ′ soit compatible avec R .On choisit comme en 7.1 une d´ecomposition orthogonale V = Z ⊕ V an , un en-tier c tel qu’il existe v ∈ V an de sorte que val F ( q ( v )) = c , et une base hyperbolique( v i ) i = ± ,..., ± n de sorte que R soit la somme du r´eseau R an form´e des ´el´ements v ∈ V an telsque val F ( q ( v )) ≥ c et du r´eseau R Z engendr´e par les v i et les ̟ cF v − i pour i = 1 , ..., n .Supposons d an ( V ) = 2. Il existe une extension quadratique E de F et un ´el´ement λ ∈ F × tel que val F ( λ ) = c , de sorte que l’on puisse identifier V an `a E et la restriction q an de q `a V an `a la forme quadratique ( v, v ′ ) λT race E/F ( τ ( v ) v ′ ), o`u τ l’´el´ement non trivial de Gal ( E/F ). L’espace V an,E s’identifie `a un espace de dimension 2 sur E , muni d’une base( w + , w − ), et q an,E `a la forme( x + w + + x − w − , y + w + + y − w − ) = λ ( x + y − + x − y + ) . L’espace V an est form´e des x + w + + x − w − ∈ V an,E tels que x − = τ ( x + ). Posons v n +1 = w + , v − n − = λ − w − . Alors ( v i ) i = ± ,..., ± ( n +1) est une base hyperbolique de V E . Notons R ′ le o E -r´eseau de V E engendr´e par les v i et les ̟ cF v − i pour i = 1 , ..., n + 1. Il est sp´ecial.Montrons que R ′ est compatible avec R . Remarquons que R ′ est la somme de R Z,E et dur´eseau R ′ an engendr´e par w + et w − . Pour prouver que R ′ ∩ V = R , il suffit de prouver que R ′ an ∩ V an = R an . Le r´eseau R ′ an ∩ V an , resp. R an , est form´e des xw + + τ ( x ) w − , avec x ∈ E ,tels que x ∈ o E , resp. val F ( xτ ( x )) ≥ 0. Ces deux derni`eres conditions sont ´equivalentes,d’o`u l’assertion. Montrons que K ⊂ K ′ . Soit k ∈ K . Il suffit de prouver que, pour tout´el´ement v de la base de R ′ , on a kv ∈ R ′ . Si v = v i ou ̟ cF v − i avec i = 1 , ..., n , on a v ∈ R , donc kv ∈ R ⊂ R ′ . On peut remplacer les deux ´el´ements de base restants par w + et w − . Ecrivons kw + = x + w + + x − w − + X i =1 ,...,n ( x i v i + ̟ cF x − i v − i ) , w + = y + w + + y − w − + X i =1 ,...,n ( y i v i + ̟ cF y − i v − i ) . Soit i = 1 , ..., n . On a ̟ cF x − i = q E ( kw + , v i ) = q E ( w + , k − v i ). On a d´ej`a prouv´e que k − v i appartenait `a R ′ , donc q E ( w + , k − v i ) ∈ ̟ cF o E , puis x − i ∈ o E . De mˆeme x i , y − i et y i appartiennent `a o E . On a q E ( w + ) = 0, donc q E ( kw + ) = 0, ce qui s’´ecrit λx + x − + X i =1 ,...,n ̟ cF x i x − i = 0 . D’apr`es ce que l’on vient de d´emontrer, cela entraˆıne x + x − ∈ o E . De mˆeme, y + y − ∈ o E .L’automorphisme galoisien τ de E induit un automorphisme antilin´eaire de V E que l’onnote aussi τ . On a τ ( v ± i ) = v ± i pour i = 1 , ..., n , τ ( w + ) = w − et τ ( w − ) = w + . Puisque k ∈ G ( F ), il commute `a τ , donc kw − = τ ( kw + ), d’o`u y − = τ ( x + ) et y + = τ ( x − ). On a q E ( w + , w − ) = λ , donc q E ( kw + , kw − ) = λ , ce qui s’´ecrit λ ( x + τ ( x + ) + x − τ ( x − )) + ̟ cF X i =1 ,...,n ( x i y − i + x − i y − ) = λ. Cela entraˆıne x + τ ( x + ) + x − τ ( x − ) ∈ o E . Si par exemple x + o E , cette relation impliqueque x − n’appartient pas non plus `a o E . Alors, la relation x + x − ∈ o E n’est pas v´erifi´ee,contrairement `a ce que l’on a d´ej`a prouv´e. Cette contradiction prouve que x + ∈ o E . Demˆeme, x − , y + et y − appartiennent `a o E . Alors kw + et kw − appartiennent `a R ′ commeon le voulait. Cela prouve (4) sous l’hypoth`ese d an ( V ) = 2.Supposons d an ( V ) = 3. Soit E l’extension quadratique non ramifi´ee de F et τ l’´el´ement non trivial de Gal ( E/F ). On peut identifier V an `a E ⊕ F et q an `a une forme( w ⊕ z, w ′ ⊕ z ′ ) λµT race E/F ( τ ( w ) w ′ ) + 2 λνzz ′ , o`u λ, µ, ν ∈ F × , val F ( λ ) = c et, ou bien µ = 1 et val F ( ν ) = 1, ou bien ν = 1 et val F ( µ ) = 1. Le r´eseau R an s’identifie `a o E ⊕ o F . L’espace V an,E s’identifie `a un espacede dimension 3 sur E muni d’une base ( w + , w − , w ) de sorte que la forme q an,E s’´ecrive q ( x + w + + x − w − + x w , y + w + + y − w − + y w ) = λµ ( x + y − + x − y + ) + 2 λνx y . Parce que E est non ramifi´ee sur F , R an,E s’identifie au o E -r´eseau engendr´e par les´el´ements de base. Posons v n +1 = w + , v − n − = λ − µ − w − . La famille ( v i ) i = ± ,..., ± ( n +1) estun syst`eme hyperbolique maximal de V E et w est une base de son orthogonal. Le r´eseau R E est engendr´e sur o E par les v i et les ̟ cF v − i pour i = 1 , ..., n , les ´el´ements v n +1 et w et l’´el´ement ̟ cF v − n − , resp. ̟ c +1 F v − n − , si µ = 1, resp. ν = 1. Il est compatible avec R mais n’est pas sp´ecial (dans le cas o`u µ = 1, la droite F w ne repr´esente aucun ´el´ementde valuation c ). N´eanmoins, grˆace `a (3), il suffit de trouver une extension F ′ de E et unr´eseau sp´ecial R ′ de V F ′ qui soit compatible `a R E . Introduisons une racine carr´ee z de µν , soit F ′ = E ( z ) et R ′ le r´eseau de V F ′ engendr´e par les v i et les ̟ cF v − i pour i = 1 , ..., n et par- v n +1 , ̟ cF v − n − et z − w si µ = 1 ;- z − v n +1 , ̟ cF zv − n − et w si ν = 1.Ce r´eseau est sp´ecial. Il est clair que R ′ ∩ V E = R E . Notons K E le stabilisateur de R E dans G ( E ) et K ′ celui de R ′ dans G ( F ′ ). Il reste `a prouver que K E ⊂ K ′ . Introduisons ler´eseau R F ′ , qui est aussi ´egal `a ( R E ) F ′ , et son dual R ∗ F ′ = { v ∈ V F ′ ; ∀ w ∈ R F ′ , q F ′ ( v, w ) ∈ o F ′ } . On v´erifie que R ′ = z − R F ′ ∩ ̟ cF R ∗ F ′ ∩ { v ∈ V F ′ ; val F ′ ( q F ′ ( v )) ≥ val F ′ ( λ ) } . 81n ´el´ement de K E stabilise forc´ement R F ′ , donc aussi son dual, et il stabilise aussi ledernier ensemble ci-dessus. Donc il stabilise R ′ et appartient `a K ′ . Cela prouve (4) sousl’hypoth`ese d an ( V ) = 3.Supposons enfin d an ( V ) = 4. Avec les mˆemes notations que dans le cas pr´ec´edent, onpeut identifier V an `a E ⊕ E et q an `a la forme( w ⊕ w , w ′ ⊕ w ′ ) = λT race E/F ( τ ( w ) w ′ ) + ̟ F λT race E/F ( τ ( w ) w ′ ) . Introduisons une racine carr´ee z de ̟ F , posons F ′ = E ( z ). On v´erifie comme dans le caspr´ec´edent que le r´eseau R ′ = z − R F ′ ∩ λR ∗ F ′ de V F ′ satisfait les conditions de (4). Celaach`eve la preuve. (cid:3) Revenons au r´eseau R que l’on a fix´e en 7.2. On lui a impos´e d’ˆetre somme d’unr´eseau de V et d’un r´eseau de Z engendr´e par des ´el´ements proportionnels aux ´el´ements v i pour i = ± , ..., ± r . La preuve du lemme montre que l’on peut imposer aux r´eseaux R ′ de l’´enonc´e de v´erifier les mˆemes conditions. On va ´elargir les hypoth`eses sur la fonction X ′′ γ X ′′ . Celles que l’on impose dansce paragraphe sont(1) il existe un sous-ensemble compact Ω de Ξ + S + Σ tel que X ′′ Σ = γ − X ′′ X ′′ γ X ′′ ∈ Ωpour tout X ′′ ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S ;(2) il existe c > σ ( γ X ′′ ) < c log ( N ) pour tout X ′′ ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S [ > N − b ].La fonction que nous avons utilis´ee jusque-l`a v´erifie ces hypoth`eses : (1) r´esulte de9.7(1) et on a vu dans la preuve de 10.4(8) que 9.7(2) entraˆınait (2).Soit Q = LU Q ∈ ˜ F ( M ♮ ). On note Σ + Q l’ensemble des racines de A M ♮ dans u Q . Lemme . Soit c > . Il existe c ′ > tel que la propri´et´e suivante soit v´erifi´ee. Soient a ∈ A T ′′ ( F ) , g ∈ G ( F ) , ¯ u ∈ U ¯ Q ( F ) et X ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S [ > N − b ] . On suppose σ ( g ) , σ (¯ u ) , σ (¯ ug ) 83n a d’autre part l’´egalit´e q ( γ − X ′′ ǫ k , γ − X ′′ ǫ − k ) = 1. Les formules pr´ec´edentes traduisentcette ´egalit´e par Y Y ′ P ( X ′′ ) = 2 ν , o`u P ( X ′′ ) = 1 − [4 ν ν S z x k ] − ν X j =1 ,...,m z j z − j ( 1( x k − s j ) + 1( x k + s j ) ) . En utilisant les ´egalit´es 9.4(1) et (2), on obtient P ( X ′′ ) = 1 + [ Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k x k ′ Q j =1 ,...,m s j ] − X j =1 ,...,m ( x k + s j ) Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( s j − x k ′ )( s j − x k )[ s j ] Q j ′ =1 ,...,m ; j ′ = j ( s j − s j ′ ) . Cette expression est calcul´ee par le lemme 10.6. En effet, si d est impair, on a l = m . Onprend pour polynˆome R ( T ) = Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( T − x k ′ ) et on remplace les ind´etermin´ees T , S , ..., S l de 10.6 par x k , s ,..., s m . Si d est pair, on a l = m + 1. On prend le mˆemepolynˆome R ( T ) et on remplace les ind´etermin´ees par x k , 0, s ,..., s m . Le lemme 10.6conduit ainsi `a l’´egalit´e (3) Y Y ′ = 2 ν R ( X ′′ ) R ( X ′′ ) , o`u (4) R ( X ′′ ) = Y j =1 ,...,m ( s j − x k ) ,R ( X ′′ ) = (cid:26) − x k Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( x k ′ − x k ) , si d est impair,2 Q k ′ =1 ,...,l ; k ′ = k ( x k ′ − x k ) , si d est pair.Rappelons que Q S ( X ′′ ) = Y j =1 ,...,m ; k ′ =1 ,...,l ( s j − x k ′ ) . On peut donc aussi ´ecrire Y Y ′ Q ( X ′′ ) = Q S ( X ′′ ), o`u Q est un polynˆome sur t ′′ ( F ).Puisque X ′′ reste dans un compact, val F ( Q ( X ′′ )) est minor´e, donc val F ( Y Y ′ ) < 1, disons dans une base de R , sontminor´es par − c log ( N ), pour une constante c convenable. On en d´eduit que les valua-tions des coeffients de a ¯ ua − − − c log ( N ) + inf { α ( H M ♮ ( a )); α ∈ Σ + Q } .L’assertion s’ensuit.La constante c ′ ´etant maintenant fix´ee, soient a , g , ¯ u et X ′′ comme dans l’´enonc´e. Si a E N , on a κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) = κ N ( γ − X ′′ ag ) = 0. Supposons a ∈ E N . D’apr`es la d´efinition de κ N , pour prouver l’´egalit´e κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) = κ N ( γ − X ′′ ag ), il suffit de prouver que val R ( v ) ≥− N , o`u v = g − ¯ u − a − γ X ′′ v − g − a − γ X ′′ v . On pose v = gv , v = av , v = γ X ′′ v . On a v = a ¯ u − a − v − v et val R ( v ) = val R ( v ) − val R ( v ) + val R ( v ) − val R ( v ) + val R ( v ) − val R ( v ) + val R ( v ) . Les minorations (6) et (7) entraˆınent la minoration val R ( v ) ≥ − N cherch´ee.Passons au cas g´en´eral o`u on ne suppose plus r = 0. On peut fixer un ´el´ement P ♮ = M ♮ U ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ) et se borner `a consid´erer des a ∈ A T ′′ ( F ) tels que H M ♮ ( a ) ∈ Cl ( A + P ♮ ).Si P ♮ n’est pas inclus dans Q , l’assertion `a prouver est vide car il n’y a pas de tels a pourlesquels α ( H M ♮ ( a )) > α ∈ Σ + Q . On suppose donc P ♮ ⊂ Q . Montrons que(8) il existe δ ∈ G ′′ ( F ) tel que δP ♮ δ − ⊂ ¯ P et A ⊂ δA T ′′ δ − .Puisque A ⊂ G ′′ et A T ′′ = T ′′ est un sous-tore maximal de G ′′ , on peut en tout castrouver δ ∈ G ′′ ( F ) tel que δ − Aδ ⊂ A T ′′ . On a alors δ − ¯ P δ ∈ F ( M ♮ ). Supposons que l’onn’est pas dans le cas exceptionnel. Fixons un ´el´ement P ′ ∈ P ( M ♮ ) tel que P ′ ⊂ δ − ¯ P δ .Le L´evi M ♮ a une forme particuli`ere : il est produit d’un groupe sp´ecial orthogonal et degroupes GL (1). On sait qu’alors deux ´el´ements de P ( M ♮ ) sont conjugu´es par un ´el´ementde N orm G ( F ) ( M ♮ ). Si d est impair ou si W ′ = { } , l’application naturelle N orm G ′′ ( F ) ( A T ′′ ) → N orm G ( F ) ( M ♮ ) /M ♮ ( F )est surjective. Donc P ♮ et P ′ sont conjugu´es par un ´el´ement de N orm G ′′ ( F ) ( A T ′′ ). Quitte`a multiplier δ `a droite par un ´el´ement de cet ensemble, on peut supposer P ′ = P ♮ et laconclusion de (6) est v´erifi´ee. Supposons d pair et W ′ = { } . Fixons w ′ ∈ W ′ tel que q ( w ′ ) = 0. Identifions G ′′ + `a un sous-groupe de G en faisant agir un ´el´ement g ∈ G ′′ + det ( g ) sur F w ′ et par l’identit´e sur l’orthogonal de w ′ dans W ′ . Alors l’applicationnaturelle N orm G ′′ + ( F ) ( A T ′′ ) → N orm G ( F ) ( M ♮ ) /M ♮ ( F )est surjective, donc P ♮ = g − P ′ g pour un ´el´ement g ∈ N orm G ′′ + ( F ) ( A T ′′ ). Si g ∈ G ′′ ( F ),on conclut comme ci-dessus. Sinon, on remarque que A n’est pas un sous-tore maximalde G ′′ , car A fixe le vecteur v ∈ V ′′ . L’inclusion δ − Aδ ⊂ A T ′′ est stricte et on voit qu’ilexiste un ´el´ement y ∈ N orm G ′′ + ( F ) ( A T ′′ ) tel que det ( y ) = − y fixetout point de δ − Aδ . Cette conjugaison conserve donc P ′ et on peut remplacer g par yg ,ce qui nous ram`ene au cas pr´ec´edent.Dans le cas exceptionnel, on v´erifie que δ − ¯ P δ appartient `a ˜ F ( M ♮ ). On remplace dansla preuve ci-dessus les ensembles P ( M ♮ ) et N orm G ( F ) ( M ♮ ) par ˜ P ( M ♮ ) et N orm G ( F ) ( A T ′′ ).En utilisant le lemme 10.3, on voit que le raisonnement reste valable. Cela prouve (8).Soient δ v´erifiant (8) et a , g , ¯ u et X ′′ comme dans l’´enonc´e. On a κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) = κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) , o`u X ′′ = δX ′′ δ − , γ X ′′ = δγ X ′′ , a = δaδ − , ¯ u = δ ¯ uδ − , g = δg . On remarque que cestermes v´erifient les mˆemes hypoth`eses que les termes de d´epart (avec une autre constante c ), mais avec le tore T ′′ et le sous-groupe parabolique P ♮ remplac´es par δT ′′ δ − et δP ♮ δ − .Cela nous ram`ene `a d´emontrer le lemme pour ces nouveaux termes.On va plutˆot oublier ces constructions, mais supposer que nos objets de d´epartv´erifient les mˆemes hypoth`eses que ceux que l’on vient de construire. C’est-`a-dire quel’on suppose d´esormais P ♮ ⊂ ¯ P et A ⊂ A T ′′ . Le tore T ′′ se d´ecompose en T ′′ = AT ′′ ,o`u T ′′ est un sous-tore maximal de G ′′ . En travaillant dans ce groupe G ′′ , on d´efinitl’ensemble t ′′ ( F ) S et une fonction X ′′ γ ,X ′′ ∈ G ′′ ( F ) sur cet ensemble, v´erifiant lesanalogues de (1) et (2). Pour X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S , ´ecrivons X ′′ = X ′′ a + X ′′ , avec X ′′ a ∈ a ( F ) et X ′′ ∈ t ′′ ( F ). On v´erifie que X ′′ ∈ t ′′ ( F ) S . Posons X ′′ Σ = Ξ + X ′′ a + γ − ,X ′′ X ′′ γ ,X ′′ . On a X ′′ Σ ∈ Ξ + S + Σ et, comme dans la preuve du lemme 9.6, on montre que X ′′ Σ est conjugu´e`a X ′′ par un ´el´ement de G ′′ ( F ). D’autre part, consid´erons l’´el´ement γ ,X ′′ Ξ γ − ,X ′′ . Il ap-partient `a ¯ u ( F ). Puisque X ′′ est un ´el´ement r´egulier de m ′′ ( F ), il existe v X ′′ ∈ ¯ U ( F ) telque γ ,X ′′ Ξ γ − ,X ′′ = v − X ′′ X ′′ v X ′′ . Cet ´el´ement v X ′′ est unique. Ainsi qu’il est bien connu,ses coefficients sont des fractions rationnelles en les coefficients de γ ,X ′′ Ξ γ − ,X ′′ et X ′′ et les d´enominateurs de ces fractions rationnelles divisent le polynˆome det ( X ′′ | g ′′ / t ′′ ).Pour X ′′ ∈ ω T ′′ ∩ t ′′ ( F ) S [ > N − b ], on a donc une majoration σ ( v X ′′ ) << log ( N ). Po-sons γ X ′′ = v X ′′ γ ,X ′′ . On a alors γ − X ′′ X ′′ γ X ′′ = X ′′ Σ et on voit que l’application X ′′ γ X ′′ v´erifie les propri´et´es (1) et (2). On peut travailler avec cette application. On a v X ′′ ∈ U ♮ ( F ). D´ecomposons cet ´el´ement en v X ′′ = n X ′′ ν X ′′ , avec n X ′′ ∈ U ♮ ( F ) ∩ L ( F ) et ν X ′′ ∈ U Q ( F ). Soient a , X ′′ , g et ¯ u comme dans l’´enonc´e. On a γ − X ′′ a ¯ ug = γ − ,X ′′ a ¯ u ′ g ′ k ),o`u ¯ u ′ = ( a − n X ′′ a ) − ¯ u ( a − n X ′′ a ), g ′ = a − n − X ′′ ag , k = g − ¯ u − a − ν X ′′ a ¯ ug . Puisque ν X ′′ ∈ U Q ( F ) et ainsi qu’on l’a vu au cours de la preuve du cas r = 0, on peut fixer c > inf { α ( H M ♮ ( a )); α ∈ Σ + Q } > c log ( N ) entraˆıne que les valuationsdes coefficients de k − >> log ( N ). On impose cette condition sur a . Alors k ∈ K . La conjugaison par a − contracte U ♮ ( F ), donc σ ( a − n X ′′ a ) << log ( N ) et aussi σ (¯ u ′ ) << log ( N ), σ ( g ′ ) << log ( N ). On a donc κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) = κ N ( γ − ,X ′′ a ¯ u ′ g ′ ) et de mˆeme κ N ( γ − X ′′ ag ) = κ N ( γ − ,X ′′ ag ′ ), o`u les ´el´ements ¯ u ′ et g ′ v´erifient des conditions analogues `acelles de d´epart. Soient ¯ u ∈ U ¯ Q ( F ) ∩ G ( F ) tel que ¯ u ′ ∈ ( U ¯ Q ( F ) ∩ U ( F ))¯ u , y ′ ∈ A ( F ) et86 ∈ G ( F ) tels que g ′ ∈ U ( F ) y ′ g K et enfin y ∈ A ( F ) et a ∈ A T ′′ ( F ) tels que a = ya .Alors γ − ,X ′′ a ¯ u ′ g ′ ∈ U ( F ) yy ′ γ − ,X ′′ a ¯ u g K , donc κ N ( γ − X ′′ a ¯ ug ) = κ N ( γ − ,X ′′ a ¯ u ′ g ′ ) = κ N ( yy ′ γ − ,X ′′ a ¯ u g ) . De mˆeme κ N ( γ − X ′′ ag ) = κ N ( γ − ,X ′′ ag ′ ) = κ N ( yy ′ γ − ,X ′′ a g ) . Par d´efinition de κ N , ces expressions se r´ecrivent κ A,N ( yy ′ ) κ ,N ( γ − ,X ′′ a ¯ u g ), resp. κ A,N ( yy ′ ) κ ,N ( γ − ,X ′′ a g ) , o`u κ A,N est une certaine fonction sur A ( F ) et κ ,N est l’analogue de κ N pour le groupe G . Mais les donn´ees affect´ees d’un indice 0 v´erifient des conditions similaires `a celles ded´epart. Cela nous ram`ene au cas du groupe G , autrement dit au cas r = 0 que nousavons d´ej`a trait´e. Cela ach`eve la d´emonstration. (cid:3) D´emontrons 10.4(11). Soit c > 0. On impose `a Z P min la minoration c log ( N ) 88n v´erifie que ν ( T ) mes ( T ( F ) /T ′ ( F ) A T ′′ ( F )) = ν ( T ′ ) ν ( A T ′′ ) et la formule (1) devientcelle de l’´enonc´e.Supposons maintenant que l’on est dans le cas exceptionnel. Alors T ′ = G ′ est untore d´eploy´e de dimension 1 et on peut supposer T ′ ⊂ M min . Il faut remarquer que lesfonctions d’Arthur que nous avons utilis´ees ci-dessus ne d´ependent de g et Y P min quepar l’interm´ediaire des familles de points ( H P ♮ ( g )) P ♮ ∈P ( M ♮ ) et ( Y P ♮ ) P ♮ ∈P ( M ♮ ) . On peut enfait associer de telles fonctions `a deux familles ( G, M ♮ )-orthogonales de points de A M ♮ ,la seconde ´etant ”assez positive”. Introduisons le groupe ˜ G de 10.3 et rappelons que lelemme de ce paragraphe nous permet d’identifier ˜ P ( M ♮ ) et ˜ F ( M ♮ ) `a P ( ˜ M ) et F ( ˜ M ).En rempla¸cant G par ˜ G , M ♮ par ˜ M , la famille ( H P ♮ ( g )) P ♮ ∈P ( M ♮ ) par ( H P ♮ ( g ) T ′′ ) P ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ) et la famille ( Y P ♮ ) P ♮ ∈P ( M ♮ ) par ( Y P ♮ ,T ′′ ) P ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ) , on remplace la fonction v M ♮ (1 , g, Y P min )utilis´ee ci-dessus par une autre fonction, notons-la v ˜ M (1 , g, Y P min ). Elle est ´egale `a notrefonction ˜ v ( g, Y P min ). Les calculs d’Arthur restent valables pour cette fonction ainsi queles arguments ci-dessus. On obtient la formule (1) modifi´ee de la fa¸con suivante : lasomme est limit´ee aux Q ∈ ˜ F ( M ♮ ) ; les fonctions v QM ♮ ( g ) sont remplac´ees par des fonc-tions, notons-les v ˜ Q ˜ M ( g ) Ce terme est la constante associ´ee `a la ( ˜ G, ˜ M )-famille de points( H P ♮ ( g ) T ′′ ) P ♮ ∈ ˜ P ( M ♮ ); P ♮ ⊂ Q . Le sous-espace A T ′′ de A M ♮ v´erifie les conditions de [A2] para-graphe 7. Pour Q = LU Q ∈ ˜ F ( M ♮ ), on peut appliquer le corollaire 7.2 de [A2] et onobtient une ´egalit´e v ˜ Q ˜ M ( g ) = X L ′ ∈F L ( M ♮ ) d ( L ′ ) v Q ′ M ♮ ( g ) . Comme en 2.2(3), Q ′ est un ´el´ement de P ( L ′ ). La constante d ( L ′ ) est non nulle si etseulement si on a l’´egalit´e A LM ♮ = proj LM ♮ ( A T ′′ ) ⊕ A LL ′ . Les L ′ qui interviennent sont tous diff´erents de G : c’est ´evident si Q = G puisque L ′ ⊂ L ; si Q = G , cela r´esulte de l’´egalit´e ci-dessus et du fait que A T ′′ est strictementinclus dans A M ♮ . Le mˆeme argument que dans le cas non exceptionnel montre alors quetous les termes de la formule (1) sont nuls. (cid:3) Si A G ′ x = { } , posons(1) J x,ω ( θ, f ) = X S ∈S X T = T ′ T ′′ ∈T ell ( G ′ x ) ×T ( G ′′ ) ν ( T ′ ) | W ( G x , T ) | − Z t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ˆ j S ( X ′ ) D G ′ x ( X ′ ) D G ′′ ( X ′′ ) / θ ♯f,x,ω ( X ) dX. Si A G ′ x = { } , posons J x,ω ( θ, f ) = 0 . Proposition . (i) L’expression (1) est absolument convergente.(ii) On a l’´egalit´e lim N →∞ I x,ω,N ( θ, f ) = J x,ω ( θ, f ) . D G x ( X ) / | θ ♯f,x,ω ( X ) | << (1 + | log ( D G x ( X )) | ) k . D’apr`es [HCvD] th´eor`eme 13, la fonction X ′ D G ′ x ( X ′ ) / | ˆ j S ( X ′ ) | est born´ee. Le lemme 2.4 entraˆıne le (i) de l’´enonc´e.Pour le (ii), on utilise la derni`ere formule de 10.1 qui nous ram`ene `a prouver que lim N →∞ I ∗ x,ω,N ( θ, f ) = J x,ω ( θ, f ). Le terme I ∗ x,ω,N ( θ, f ) est d´efini par la formule 10.4(1)o`u on limite les int´egrales en X aux ensembles t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ). Pour N assez grand, la proposition pr´ec´edente nous permet de remplacer les int´egrales int´erieuresde cette expression par (cid:26) A T ′ = { } ; ν ( T ′ ) ν ( A T ′′ ) θ ♯f,x,ω ( X ) si A T ′ = { } . Si A G ′ x = { } , il n’y a aucun T ′ tel que A T ′ = { } donc I ∗ x,ω,N ( θ, f ) = 0. Supposons A G ′ x = { } . Alors I ∗ x,ω,N ( θ, f ) est ´egale `a l’expression obtenue `a partir de (1) ci-dessus enlimitant les int´egrales aux ensembles t ( F )[ S ; > N − b ] ∩ ( t ′ ( F ) × t ′′ ( F ) S ). Quand N tendvers l’infini, cette expression tend vers J x,ω ( θ, f ). (cid:3) 11 Etude au voisinage de l’origine Consid´erons l’hypoth`ese Hypoth`ese . Pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) dont le support ne contient aucun ´el´ement nilpotent, on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . Le but de la section est de prouver l’assertion suivante. Proposition . Sous cette hypoth`ese, on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) . lim N →∞ I N ( θ, f ) Soient θ un quasi-caract`ere sur h ( F ) et f ∈ C ∞ c ( g ( F )) une fonction tr`es cuspidale.On peut fixer un ensemble fini S d’´el´ements de h reg ( F ) et une famille finie ( c S ) S ∈S denombres complexes de sorte que θ ( Y ) = X S ∈S c S ˆ j H ( S, Y )pour tout Y ∈ Supp ( f ) G ∩ h ( F ). On peut supposer que le noyau de l’action de chaque S agissant sur W est de dimension au plus 1. Pour tout T ∈ T ( G ), on d´efinit l’ensemble t ( F ) S en appliquant la d´efinition de 9.6 au cas o`u V ′′ = V . On pose J ( θ, f ) = X S ∈S X T ∈T ( G ) c S | W ( G, T ) | − Z t ( F ) S D G ( X ) / ˆ θ f ( X ) dX. On a not´e ˆ θ f la transform´ee de Fourier de θ f , cf. lemme 6.1. A priori, J ( θ, f ) d´epend deschoix des familles S et ( c S ) S ∈S . Le lemme suivant montre que ce n’est pas le cas. Lemme . (i) Cette expression est absolument convergente.(ii) On a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = J ( θ, f ) . Preuve. Cet ´enonc´e n’est qu’une version relative aux alg`ebres de Lie de la proposition10.10 . On peut arguer qu’une d´emonstration analogue `a celle de cette proposition s’ap-plique. Comme nous aurons besoin plus loin de la construction qui suit, expliquons plutˆotcomment on peut d´eduire le lemme de cette proposition. Soit ω ⊂ g ( F ) un bon voisinagede 0 (au sens de 3.1 appliqu´e au cas x = 1). Supposons d’abord Supp ( f ) ⊂ ω . Posons θ ω = θ ω ∩ h ( F ) . On a I N ( θ, f ) = I N ( θ ω , f ). Par l’exponentielle, on rel`eve θ ω et f en desfonctions θ ω sur H ( F ) et f sur G ( F ), `a support dans exp ( ω ∩ h ( F )), resp. exp ( ω ). On al’´egalit´e I N ( θ ω , f ) = I N ( θ, f ). On peut appliquer la proposition 10.10 aux fonctions θ et f et au point x = 1. Donc lim N →∞ I N ( θ, f ) = J ,ω ( θ ω , f ). Dans cette derni`ere expressionfigure une fonction θ ♯ f ,x,ω qui n’est autre que ˆ θ f . En effet, d’apr`es la proposition 5.8, θ ♯ f ,x,ω est la transform´ee de Fourier partielle de θ f ,x,ω = θ f . Mais, pour x = 1, on a V ′′ = V et la transformation de Fourier partielle est simplement la transform´ee de Fourier. Alors J ,ω ( θ ω , f ) co¨ıncide avec J ( θ, f ), ce qui prouve le lemme sous l’hypoth`ese Supp ( f ) ⊂ ω .En g´en´eral, rappelons-nous que l’on a fix´e au d´epart une famille ( ξ i ) i =0 ,...,r − d’´el´ementsde F × , dont d´ependent le caract`ere ξ et nos constructions. Soit λ ∈ F × . A la famille( λξ i ) i =0 ,...,r − est associ´ee un caract`ere ξ ′ . Il convient d’affecter d’indices ξ , resp. ξ ′ , lesobjets construits `a l’aide du caract`ere ξ , resp. ξ ′ . Posons θ ′ = θ λ et f ′ = f λ . Compa-rons les termes I ξ,N ( θ, f ) et J ξ ( θ, f ) avec leurs analogues I ξ ′ ,N ( θ ′ , f ′ ) et J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ). Pour Y ∈ h ( F ), on a f ′ ξ ′ ( Y ) = | λ | − dim ( U ) F f ξ ( λY ) . On en d´eduit (1) I ξ ′ ,N ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − dim ( U ) − dim ( H ) F I ξ,N ( θ, f ) . Grˆace `a 2.6(1), on a θ ′ ( Y ) = X S ∈S c S ˆ j H ( S, λY ) = X S ∈S | λ | − δ ( H ) / F c S ˆ j H ( λS, Y )91our tout Y ∈ Supp ( f ′ ) G ∩ h ( F ). Pour d´efinir J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ), on peut donc prendre pourfamille S ′ la famille ( λS ) S ∈S et pour constantes les c λS = | λ | − δ ( H ) / F c S . Soient T ∈ T ( G )et S ∈ S . On v´erifie que, quand on remplace ξ par ξ ′ et S par λS , l’ensemble t ( F ) S estremplac´e par λ t ( F ) S . Donc J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ) = X S ∈S X T ∈T ( G ) c S | λ | − δ ( H ) / F | W ( G, T ) | − Z λ t ( F ) S D G ( X ) / ˆ θ f ′ ( X ) dX. On a ˆ f ′ ( X ) = | λ | − dim ( G ) F ˆ f ( λ − X ), donc ˆ θ f ′ ( X ) = | λ | − dim ( G ) F ˆ θ f ( λ − X ) grˆace au lemme6.1. On a aussi D G ( λX ) / = | λ | δ ( G ) / F D G ( X ) / . Par changement de variable, on obtient(2) J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − dim ( G )+ dim ( T )+ δ ( G ) / − δ ( H ) / J ξ ( θ, f ) . On a − dim ( G ) + dim ( T ) + δ ( G ) / − δ ( G ) / − dim ( U ) − δ ( G ) / . A l’aide de 7.7(2), on v´erifie que δ ( G ) + δ ( H ) = 2 dim ( H ) et l’´egalit´e pr´ec´edente devient J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − dim ( U ) − dim ( H ) F J ξ ( θ, f ) . En comparant avec (1), on voit que la relation lim N →∞ I ξ,N ( θ, f ) = J ξ ( θ, f ) est ´equivalente`a lim N →∞ I ξ ′ ,N ( θ ′ , f ′ ) = J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ). Prenons λ tel que Supp ( f ′ ) ⊂ ω . Alors la deuxi`emerelation a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee (la d´emonstration est insensible au changement de ξ en ξ ′ ). La premi`ere s’en d´eduit, ce qui ach`eve la preuve. (cid:3) Dans ce paragraphe, on suppose v´erifi´ee l’hypoth`ese du paragraphe 11.1. Consid´eronsl’application( θ, f ) E ( θ, f ) = lim N →∞ I N ( θ, f ) − I ( θ, f ) = J ( θ, f ) − I ( θ, f ) , d´efinie sur l’espace des couples ( θ, f ) form´es d’un quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et d’unefonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )). Elle est bilin´eaire. Lemme . L’application E est combinaison lin´eaire des applications ( θ, f ) c θ, O H c θ f , O ,o`u O H , resp. O , parcourt l’ensemble des orbites nilpotentes r´eguli`eres de h ( F ) , resp. g ( F ) . Preuve. On commence par prouver(1) on a E ( θ, f ) = 0 si c θ, O H = 0 pour tout O H ∈ N il ( h ( F )) ou si c θ f , O = 0 pourtout O ∈ N il ( g ( F )).Supposons c θ f , O = 0 pour tout O ∈ N il ( g ( F )). On peut alors fixer un G -domaine ω dans g ( F ), compact modulo conjugaison et contenant 0, tel que θ f ( X ) = 0 pour tout X ∈ ω . Posons f ′ = f ω et f ′′ = f − f ′ . Ces fonctions sont tr`es cuspidales. Le supportde f ′′ ne contient pas de nilpotent donc E ( θ, f ′′ ) = 0 d’apr`es l’hypoth`ese de 11.1. On a θ f ′ = 0 donc aussi ˆ θ f ′ = 0. Des d´efinitions r´esultent les ´egalit´es J ( θ, f ′ ) = 0 = I ( θ, f ′ ).D’o`u E ( θ, f ′ ) = 0, puis E ( θ, f ) = 0. Supposons maintenant c θ, O H = 0 pour tout O H ∈ N il ( h ( F )). On peut fixer un G -domaine ω dans g ( F ), compact modulo conjugaison etcontenant 0, tel que θ ( X ) = 0 pour tout X ∈ ω ∩ h ( F ). D´efinissons f ′ et f ′′ comme92r´ec´edemment. Puisque θ est nul sur Supp ( f ′ ) G ∩ h ( F ), il r´esulte des d´efinitions que J ( θ, f ′ ) = 0 = I ( θ, f ′ ). On conclut comme pr´ec´edemment. Cela prouve (1).Soit λ ∈ F × , posons θ ′ = θ λ , f ′ = f λ . On a θ f ′ = ( θ f ) λ . Pour O H ∈ N il ( h ( F )) et O ∈ N il ( g ( F )), on a l’´egalit´e(2) c θ ′ , O H c θ f ′ , O = | λ | − dim ( O H ) / − dim ( O ) / c θ, O H c θ f , O d’apr`es 4.2(2).Montrons que(3) E ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − δ ( G ) / − δ ( H ) / F E ( θ, f ).Reportons-nous `a l’´egalit´e 11.2(2). Il y figure un terme J ξ ′ ( θ ′ , f ′ ). En fait, il est ´egal`a J ξ ( θ ′ , f ′ ). En effet, ce terme ne d´epend de ξ que par la d´efinition des ensembles t ( F ) S ,pour T ∈ T ( G ) et S ∈ S ′ (l’ensemble associ´e `a θ ′ ). Cet ensemble est celui des ´el´ements de t ( F ) v´erifiant certaines conditions de r´egularit´e et conjugu´es `a un ´el´ement de Ξ + S + Σ,si le caract`ere utilis´e est ξ , `a un ´el´ement de λ Ξ + S + Σ, si le caract`ere utilis´e est ξ ′ . Or,soit a ∈ A ( F ) tel que a i = λ − i pour tout i = 1 , ..., r . Alors a (Ξ + S + Σ) a − = λ Ξ + S + Σ.Donc l’ensemble t ( F ) S est insensible au changement de ξ en ξ ′ . L’´egalit´e 11.2(2) nousdit alors que (4) J ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − δ ( G ) / − δ ( H ) / F J ( θ, f ) . Soit T ∈ T . Introduisons comme en 7.3 la d´ecomposition W = W ′ ⊕ W ′′ relative `a T et les notations aff´erentes. Soit X ∈ t ♮ ( F ). D’apr`es 4.2(2), on a les ´egalit´es c θ ′ ( X ) = | λ | − δ ( H ′′ ) / F c θ ( λX ) , c f ′ ( X ) = | λ | − δ ( G ′′ ) / F c f ( λX ) . On calcule comme en 7.5 D H ( λ − X ) = | λ | δ ( H ′′ ) − δ ( H ) F D H ( X ) , ∆( λ − X ) = | λ | − dim ( W ′ ) F ∆( X ) . Par changement de variable, on obtient Z t ( F ) c θ ′ ( X ) c f ′ ( X ) D H ( X )∆( X ) r dX = | λ | bF Z t ( F ) c θ ( X ) c f ( X ) D H ( X )∆( X ) r dX, o`u b = − δ ( G ′′ ) / − dim ( T ) + δ ( H ′′ ) / − δ ( H ) − rdim ( W ′ ) . En utilisant 7.7(2), on v´erifie que b = − δ ( G ) / − δ ( H ) / 2. De l’´egalit´e pr´ec´edente r´esultealors l’´egalit´e I ( θ ′ , f ′ ) = | λ | − δ ( G ) / − δ ( H ) / I ( θ, f ) . Jointe `a (4), cette ´egalit´e d´emontre (3).La relation (1) entraˆıne que la forme bilin´eaire E est combinaison lin´eaire des ap-plications ( θ, f ) c θ, O H c θ f , O , o`u O H , resp. O , parcourt N il ( h ( F )), resp. N il ( g ( F )).Les relations (2) et (3) nous disent que E , ainsi que toutes ces applications, sont ho-mog`enes pour la transformation ( θ, f ) ( θ λ , f λ ). Il en r´esulte que E est combinaisonlin´eaire de celles des applications ci-dessus qui sont de mˆeme degr´e que E . On a toujours dim ( O H ) ≤ δ ( H ), dim ( O ) ≤ δ ( G ). L’´egalit´e dim ( O H ) + dim ( O ) = δ ( H ) + δ ( G ) est donc´equivalente `a la r´eunion des deux ´egalit´es dim ( O H ) = δ ( H ) et dim ( O ) = δ ( G ). Celles-cisont v´erifi´ees si et seulement si O H et O sont r´eguli`eres. (cid:3) Dans ce paragraphe, on suppose G quasi-d´eploy´e. Soient B un sous-groupe de Borelde G et T qd un sous-tore maximal de B . Soit X qd un ´el´ement de t qd ( F ) ∩ g reg ( F ).Supposons d pair et d ≥ 4. Pour toute extension quadratique E de F , notons τ E l’´el´ement non trivial de Gal ( E/F ) et χ E le caract`ere quadratique de F × associ´e `a E .Si d an ( V ) = 0 (ou encore, si G est d´eploy´e), on note χ V le caract`ere trivial de F × eton pose η = 1. Si d an ( V ) = 2, il y a une extension quadratique E de F et un ´el´ement η ∈ F × tel que le noyau anisotrope de q soit la forme ηN orm E/F . L’´el´ement η n’est pasunique, on le fixe. On pose χ V = χ E . Soient F et F deux extensions quadratiques de F telles que χ F χ F = χ V . Pour i = 1 , 2, soient a i ∈ F × i tel que τ F i ( a i ) = − a i . On suppose a = ± a . Soit c ∈ F × tel que χ V ( ηcN orm F /F ( a )) = 1. On peut identifier V , commeespace quadratique, `a la somme orthogonale F ⊕ F ⊕ ˜ Z , o`u F est muni de la forme cN orm F /F , F est muni de la forme − cN orm F /F et ˜ Z est un espace hyperbolique dedimension d − 4. Fixons une telle identification et un sous-tore d´eploy´e maximal ˜ T dugroupe sp´ecial orthogonal de ˜ Z . Pour ˜ S ∈ ˜ t ( F ), consid´erons l’´el´ement X F ∈ g ( F ) quiagit par multiplication par a , resp. a , sur F , resp. F , et par ˜ S sur ˜ Z . Les ´el´ements a et a ´etant fix´es, on peut choisir ˜ S tel que X F soit r´egulier. On fixe un tel ˜ S . Les´el´ements a , a et ˜ S ´etant fix´es, on peut faire varier c . La classe de conjugaison de X F ne d´epend que de χ F ( c ). On note X + F l’´el´ement correspondant `a un c = c + tel que χ F ( c + ) = χ F ( η ) χ F ( N orm F /F ( a ) − N orm F /F ( a )) et X − F celui qui correspond `a un c = c − tel que χ F ( c − ) = − χ F ( c + ).On se rappelle que l’on a classifi´e les orbites nilpotentes r´eguli`eres en 7.1. Lemme . Soit O ∈ N il ( g ( F )) .(i) On a les ´egalit´es Γ O ( X qd ) = (cid:26) , si O n’est pas r´eguli`ere ; , si O est r´eguli`ere.(ii) Supposons d pair et d ≥ . On a les ´egalit´es Γ O ( X + F ) − Γ O ( X − F ) = (cid:26) , si O n ′ est pas r´eguli`ere; χ F ( νη ) , si O = O ν avec ν ∈ N V . Preuve. Le tore T qd est un L´evi de G et la distribution f J G ( X qd , f ) est induite dela distribution f f ( X qd ) sur t qd ( F ). On a ´evidemment Γ T qd { } ( X qd ) = 1. Alors Γ O ( X qd )est non nul si et seulement si O intervient dans l’orbite induite de l’orbite { } de t qd ( F ).Cette condition ´equivaut `a ce que O soit r´eguli`ere. On en d´eduit la premi`ere ´egalit´e de(i). Supposons d pair et d ≥ G le groupe sp´ecial orthogonal de F ⊕ ˜ Z et G celui de F . Ils sont quasi-d´eploy´es. Pour i = 1 , 2, on fixe un sous-tore maximal T i,qd de G i inclus dans un sous-groupe de Borel (on a T ,qd = G ). Le groupe G × G est un groupe endoscopique de G .La distribution f J G ( X + F , f ) − J G ( X − F , f )est le transfert endoscopique d’une distribution( f , f ) J G ( X , f ) J G ( X , f )94ur g ( F ) × g ( F ), o`u, pour i = 1 , X j est un certain ´el´ement de t j,qd ( F ). Il en r´esulteque le d´eveloppement en germes de la premi`ere distribution s’obtient en transf´erant celuide la seconde distribution. Comme on vient de le voir, ce dernier ne contient que desorbites nilpotentes r´eguli`eres de g ( F ) × g ( F ). Le transfert endoscopique d’une int´egralenilpotente r´eguli`ere est combinaison lin´eaire de telles int´egrales. On en d´eduit la premi`ere´egalit´e de (ii).Il ne reste plus qu’`a calculer des germes relatifs `a des orbites nilpotentes r´eguli`eres.Ceux-ci ont ´et´e calcul´es par Shelstad ([S]). Il faut d’abord voir que les mesures utilis´eespar Shelstad sont compatibles avec les nˆotres. Shelstad suppose les mesures sur les toresmaximaux ”alg´ebiques” au sens suivant. On fixe une forme diff´erentielle δ T qd de degr´emaximal sur T qd , invariante par translations, et un r´eel λ > 0. Pour sous-tore maximal T de G , l’isomorphisme T ≃ T qd sur ¯ F permet de transf´erer δ T qd en une forme diff´erentielle δ T sur T . On prend alors pour mesure sur T ( F ) la mesure λ | δ T | F , cf. 9.6 pour la notation.Mais on a vu dans la preuve du lemme 9.6 que nos mesures autoduales s’obtenaient par ceproc´ed´e, pour δ T qd et λ convenables. Soit O une orbite nilpotente r´eguli`ere. La mesure sur O utilis´ee par Shelstad est d´efinie de la fa¸con suivante. Soit N ∈ O . Consid´erons une suite( Y j ) j ∈ N d’´el´ements de g reg ( F ) telle que lim j →∞ Y j = N . Alors, l’espace tangent T ang Y j en Y j `a la classe de conjugaison de Y j tend, en un sens que l’on va pr´eciser, vers l’espacetangent T ang N en N `a O . Notons T j = G Y j . L’espace T ang Y j est ´egal `a g ( F ) / t j ( F ), surlequel on a une mesure m j . Alors les mesures D G ( Y j ) / m j tendent vers une mesure m N sur T ang N . La mesure sur O est celle qui, en N , co¨ıncide infinit´esimalement avec m N .Fixons un suppl´ementaire r du noyau de ad ( N ) dans g ( F ). Pour j assez grand, r est encoreun suppl´ementaire de t j ( F ) dans g ( F ) et on peut identifier T ang Y j = T ang N = r . Soit l j l’orthogonal de t j dans g . On a aussi T ang Y j ≃ l j ( F ). Modulo cette identification, lamesure m j est la mesure autoduale associ´ee `a la forme quadratique ( Y, Z ) trace ( Y Z )sur l j ( F ). Mais le jacobien de ad ( Y j ) agissant dans l ( F ) est D G ( Y j ). Donc D G ( Y j ) / m j est aussi la mesure associ´ee `a la forme symplectique ( Y, Z ) trace ([ Y j , Y ] Z ) sur l j ( F ).La mˆeme formule d´efinit une forme antisym´etrique sur tout g ( F ), de noyau t j ( F ). Onpeut donc remplacer l j ( F ) par r et la mesure D G ( Y j ) / m j est la mesure associ´ee `a laforme symplectique ( Y, Z ) trace ([ Y j , Y ] Z ) sur r . Quand Y j tend vers N , cette formetend vers ( Y, Z ) trace ([ N, Y ] Z ) et D G ( Y j ) / m j tend vers la mesure associ´ee `a cetteforme. Mais c’est pr´ecis´ement la fa¸con dont nous avons d´efini notre mesure sur O en 1.2.Cela ´etant, Shelstad montre qu’un germe Γ O ( S ) associ´e `a une orbite nilpotenter´eguli`ere O vaut 1 ou 0, selon qu’un certain invariant est ´egal ou non `a 1. Pour l’´el´ement X qd , il est facile de voir que l’invariant est 1 et on en d´eduit la seconde ´egalit´e de (i).Consid´erons la situation de (ii). Pour un signe ζ = ± , notons T ζ le sous-tore maxi-mal de G tel que X ζF ∈ t ζ ( F ). Soient ν ∈ N V et N ∈ O ν . Shelstad note l’invariant inv ( X ζF ) inv ( T ζ ) /inv T ζ ( N ). Tous ces ´el´ements appartiennent au groupe de cohomologie H ( T ζ ) = H ( Gal ( ¯ F /F ) , T ζ ). On a ici H ( T ζ ) = {± }×{± } . Les invariants d´ependentdu choix d’un ´epinglage. On effectue ce choix comme en [W3] X.3 en prenant pour ´el´ement η de cette r´ef´erence notre ´el´ement η multipli´e par 2( − d/ − . Dans le lemme X.7 de [W3],nous avons calcul´e le produit inv ( X ζF ) inv ( T ζ ). On a(1) inv ( X ζF ) inv ( T ζ ) =( χ F (2( − d/ − η ( c ζ ) − a − P ′ ( a )) , χ F (2( − d/ η ( c ζ ) − a − P ′ ( a ))) , o`u P est le polynˆome caract´eristique de X F agissant dans V et P ′ est le polynˆome d´eriv´e.Notons ( ± ˜ s j ) j =3 ,...,d/ les valeurs propres de l’action de ˜ S dans ˜ Z . Elles appartiennent `a95 × puisque ˜ T est d´eploy´e. On a P ( T ) = ( T + N orm F /F ( a ))( T + N orm F /F ( a )) Y j =3 ,...,d/ ( T − ˜ s j ) . Donc a − P ′ ( a ) = 2( − N orm F /F ( a ) + N orm F /F ( a )) Y j =3 ,...,d/ ( − N orm F /F ( a ) − ˜ s j )= 2( − d/ − ( N orm F /F ( a ) − N orm F /F ( a )) Y j =3 ,...,d/ ( N orm F /F ( a ) + ˜ s j ) . On a ˜ s j + N orm F /F ( a ) = N orm F /F (˜ s j + a ), donc χ F (˜ s j + N orm F /F ( a )) = 1. Uncalcul similaire vaut en ´echangeant les rˆoles de F et F . La formule (1) se simplifie en inv ( X ζF ) inv ( T ζ ) =( χ F ( η ( c ζ ) − ( N orm F /F ( a ) − N orm F /F ( a ))) , χ F ( η ( c ζ ) − ( N orm F /F ( a ) − N orm F /F ( a ))) . D’apr`es la d´efinition de c ζ , on obtient inv ( X ζF ) inv ( T ζ ) = ( ζ , ζ ) , o`u on identifie ζ `a un ´el´ement de {± } . L’´epinglage d´etermine un ´el´ement nilpotentr´egulier N ∗ : avec les notations de [W3] page 313, N ∗ = P j =1 ,...,d/ X α j . Notons ν ∗ l’´el´ement de N V tel que N ∗ ∈ O ν ∗ . On d´efinit un cocycle d N de Gal ( ¯ F /F ) dans T ζ dela fa¸con suivante. Si ν = ν ∗ , d N = 1. Si ν = ν ∗ , on pose E N = F ( p ν/ν ∗ ). Alors, pour σ ∈ Gal ( ¯ F /F ), on a d N ( σ ) = 1 si σ ∈ Gal ( ¯ F /E N ) et d N ( σ ) = − inv T ζ ( N ) est l’image dans H ( T ) du cocycle d N . On calcule cette image inv T ζ ( N ) = ( χ F ( ν/ν ∗ ) , χ F ( ν/ν ∗ )) . En fait, on a forc´ement χ V ( ν/ν ∗ ) = 1, donc inv T ζ ( N ) = χ F ( ν/ν ∗ ) , χ F ( ν/ν ∗ )) . L’´el´ement N ∗ laisse stable l’hyperplan engendr´e par e , ..., e d/ − , e d/ + e d/ , e d/ , ..., e d ,avec les notations de [W]. Le noyau anisotrope de la restriction de la forme q `a cet hy-perplan est la restriction de q `a la droite port´ee par e d/ + e d/ . Or q ( e d/ + e d/ ) = η ,donc ν ∗ = η . Finalement inv ( X ζF ) inv ( T ζ ) /inv T ζ ( N ) = ( ζ χ F ( νη ) , ζ χ F ( νη )) . D’apr`es Shelstad, on a doncΓ O ν ( X ζF ) = (cid:26) , si χ F ( νη ) = ζ , , si χ F ( νη ) = − ζ . Cela entraˆıne la seconde ´egalit´e du (ii) de l’´enonc´e. (cid:3) d impair On suppose v´erifi´ee l’hypoth`ese du paragraphe 11.1 et on suppose d impair. On veutprouver E ( θ, f ) = 0 pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )). Si G n’est pas d´eploy´e ou si H n’est pas quasi-d´eploy´e, l’une des alg`ebresde Lie de ces groupes n’a pas d’´el´ement nilpotent r´egulier et la conclusion r´esulte dulemme 11.3. Supposons G d´eploy´e et H quasi-d´eploy´e. Le mˆeme lemme nous dit que, si d W ≤ 2, resp. d W ≥ 4, il existe un nombre complexe c reg , resp. une famille de nombrescomplexes ( c ν ) ν ∈N W , de sorte que E ( θ, f ) = (cid:26) c reg c θ, O Hreg c θ f , O reg , si d W ≤ , P ν ∈N W c ν c θ, O Hν c θ f , O reg , si d W ≥ , pour tous θ , f (on a introduit des exposants H pour pr´eciser la notation). Les constantessont uniquement d´etermin´ees d’apr`es le lemme 6.3(iii).Soient T ∈ T ( G ) et X ∈ t ( F ) ∩ g reg ( F ). D’apr`es 6.3(3), on peut construire unvoisinage ω X de X dans t ( F ) et une fonction tr`es cuspidale f [ X ] ∈ C ∞ c ( g ( F )) v´erifiantles propri´et´es suivantes :(1) pour T ′ ∈ T ( G ) et T ′ = T , la restriction de ˆ θ f [ X ] `a t ′ ( F ) est nulle ;(2) pour toute fonction localement int´egrable ϕ sur t ( F ), invariante par W ( G, T d ), Z t ( F ) ϕ ( X ′ ) D G ( X ′ ) / ˆ θ f [ X ] ( X ′ ) dX ′ = mes ( ω X ) − Z ω X ϕ ( X ′ ) dX ′ ;(3) pour tout Y ∈ g reg ( F ), θ f [ X ] ( Y ) = mes ( ω X ) − Z ω X ˆ j G ( X ′ , Y ) dX ′ (avec les notations de 6.3(3), f [ X ] = θ f ′ ( X ) − D G ( X ) − / mes ( ω X ) − ˆ f ′ ). Au voisinage de0, l’´egalit´e (3) se simplifie en θ f [ X ] ( Y ) = ˆ j G ( X, Y ) = X O∈ Nil ( g ) Γ O ( X )ˆ j G ( O , Y ) . Donc (4) c θ f [ X ] , O = Γ O ( X )pour tout O ∈ N il ( g ). Notons T d l’unique tore d´eploy´e dans T ( G ) et fixons X d ∈ t d ( F ) ∩ g reg ( F ). On fixe ω X d et f [ X d ] comme ci-dessus et on pose f = f [ X d ]. Grˆace `a(4) et au lemme 11.4(i), on a c θ f , O reg = 1. Fixons un G -domaine ω dans g ( F ), compactmodulo conjugaison, contenant 0 et Supp ( f ). Soit S ∈ h reg ( F ). On suppose que l’actionde S dans W est de noyau nul. D’apr`es le lemme 6.3(ii), on peut choisir un quasi-caract`ere θ [ S ] sur h ( F ) tel que θ [ S ]( Y ) = ˆ j H ( S, Y ) pour tout Y ∈ ω . Comme ci-dessus,on a c θ [ S ] , O H = Γ O H ( S ) pour tout O H ∈ N il ( h ). Rempla¸cons G et V par H et W dansles d´efinitions de 11.4. On d´efinit dans h ( F ) un ´el´ement X qd et, si d W ≥ 4, des ´el´ements X ± F .Si d W ≤ 2, posons θ = θ [ X qd ]. On pose aussi S = { X qd } et c X qd = 1. On a c θ, O Hreg = 1,donc c reg = E ( θ, f ).Supposons d W ≥ ν ∈ N W . Si H est d´eploy´e, notons F V l’ensemble desextensions quadratiques de F . Si H n’est pas d´eploy´e, soient E et η comme en 11.4. Les97xtensions quadratiques de F distinctes de E vont par paire : `a F est associ´e F tel que χ F χ F = χ E . On fixe un sous-ensemble F V qui contient un ´el´ement de chaque paire.Remarquons que, dans les deux cas, on a l’´egalit´e |N V | = 1 + |F V | . Posons θ = |N V | − ( θ [ X qd ] + X F ∈F V χ F ( νη )( θ [ X + F ] − θ [ X − F ])) . On note S l’ensemble des ´el´ements S tels que θ [ S ] intervienne dans ces formules et,pour S ∈ S , c S le coefficient dont θ [ S ] y est affect´e. Le lemme 11.4 entraˆıne que, pour ν ′ ∈ N W , on a l’´egalit´e c θ, O Hν ′ = δ ν,ν ′ , o`u ce dernier terme est le symbole de Kronecker. Donc c ν = E ( θ, f ).Pour X ∈ ω X d , la distribution ϕ J G ( X, ˆ ϕ ) est induite d’une distribution sur t d ( F ). Cela entraˆıne que la fonction Y ˆ j G ( X, Y ) est `a support dans l’ensemble des´el´ements appartenant `a une sous-alg`ebre de Borel de G . D’apr`es (3), c’est aussi le casde la fonction θ f . Comme dans la preuve du lemme 7.6, cela entraˆıne que, si T est un´el´ement de T diff´erent du tore { } , la fonction c f est nulle sur t ( F ). Donc I ( θ, f ) se r´eduit`a la contribution de l’unique tore T = { } ∈ T . Par d´efinition, celle-ci est c θ, O Hreg c θ f , O reg si d W ≤ c θ, O H − ν c θ f , O reg si d W ≥ 4. Avec les calculs ci-dessus, on obtient I ( θ, f ) = (cid:26) , si d W ≤ ,δ ν, − ν , si d W ≥ . L’ensemble S et la famille ( c S ) S ∈S permettent de calculer J ( θ, f ), cf. 5.2. Pour tout S ∈ S , posons m ( S ) = mes ( ω X ) − mes ( ω X ∩ t d ( F ) S ) . En utilisant les propri´et´es (1) et (2), on obtient(5) J ( θ, f ) = X S ∈S c S m ( S ) . Soit S ∈ S . On utilise les d´efinitions et notations de 9.4, appliqu´ees au cas V ′′ = V . Soit X ∈ t d ( F ) ∩ g reg ( F ). On a(6) X ∈ t d ( F ) S si et seulement s’il existe une famille ( z ± j ) j =1 ,...,d W / d’´el´ements de¯ F × telle que ( z j z − j = P X ( s j )4 ν s rj R S,j ( s j ) pour tout j = 1 , ..., d W / P j = ± ,... ± d W / z j w j ∈ W. En effet, X appartient `a t d ( F ) S si et seulement s’il est conjugu´e par un ´el´ement de G ( F ) `a un ´el´ement de Ξ + S + Λ S . Il n’y a pas d’indiscernabilit´e pour le tore d´eploy´e T d . La condition ´equivaut donc `a ce qu’il existe Y ∈ Ξ + S + Λ S tel que l’on ait l’´egalit´edes polynˆomes caract´eristiques P X = P Y . Cela ´equivaut `a ce qu’il existe une famille( λ i ) i =0 ,...,r − d’´el´ements de F et une famille ( z ± j ) j =1 ,...,d W / d’´el´ements de ¯ F × telles que,d’une part, le polynˆome P X soit ´egal `a celui figurant dans l’´enonc´e du lemme 9.4, d’autrepart, l’´el´ement P j = ± ,... ± d W / z j w j appartienne `a W . D’apr`es 9.4(1), les conditions sur les z j sont celles de (6). Les λ i sont ensuite d´etermin´es par un syst`eme inversible d’´equationslin´eaires `a coefficients dans F . Cela prouve (6).98a condition (6) impose que P X ( s j ) = 0 pour tout j . On suppose cette conditionv´erifi´ee. Il existe- une d´ecomposition de W en somme directe ⊕ j =1 ,...,h F j ⊕ ˜ Z, o`u h ≤ F j sont des extensions quadratiques de F ;- des ´el´ements c j ∈ F × , pour j = 1 , ..., h , de sorte que q W soit la somme directeorthogonale des formes c j N orm F j /F sur F j et d’une forme hyperbolique sur ˜ Z ;- des ´el´ements a j ∈ F × j , pour j = 1 , ..., h tels que τ F j ( a j ) = − a j et un ´el´ement˜ S appartenant `a l’alg`ebre de Lie d’un sous-tore d´eploy´e maximal du groupe sp´ecialorthogonal de ˜ Z , de sorte que S agisse par multiplication par a j dans F j et par ˜ S dans˜ Z . Pour j = 1 , ..., h , soit ( e j , e − j ) la base de F j ⊗ F ¯ F telle que tout ´el´ement x ∈ F j soit ´egal `a xe j + τ F j ( x ) e − j . Elle est d´efinie sur F j et on a l’´egalit´e τ F j ( e j ) = e − j . Ona l’´egalit´e q ( e j , e − j ) = c j . On peut donc supposer que w j = e j , w − j = c − j e − j pour j = 1 , ..., h et ( w j ) j = ± ( h +1) ,..., ± d W / est une base hyperbolique de ˜ Z . On a s j = a j pour j ≤ h . La condition (6) se d´ecompose en d/ j portant sur les couples( z j , z − j ). Pour j > h , on satisfait (6) j en prenant z − j = 1 et z j ´egal au membre de droitede la premi`ere relation de (6). Pour j ≤ h , la seconde relation de (6) ´equivaut `a z j ∈ F × j et τ F j ( z j ) = c − j z − j . La condition (6) j ´equivaut donc `a χ F j ( P X ( a j ) c j ν a rj R S,j ( a j ) ) = 1 . On a R S,j ( a j ) = Y j ′ =1 ,...,d W / j ′ = j ( a j − s j ′ ) = ( − d W / − ( Y j ′ =1 ,...,h ; j ′ = j ( N orm F j /F ( a j ) − N orm F j ′ /F ( a j ′ ))) Y j ′ = h +1 ,...,d W / ( s j ′ − a j ) . Notons ( ± x k ) k =1 ,..., ( d − / les valeurs propres non nulles de X . On a P X ( a j ) = a j Y k =1 ,..., ( d − / ( a j − x k ) = ( − ( d − / a j Y k =1 ,..., ( d − / ( x k − a j ) . Pour j ′ = h + 1 , ..., d W / s j ′ appartient `a F × , donc s j ′ − a j est la norme d’un ´el´ement de F × j . De mˆeme, pour tout k = 1 , ..., ( d − / x k − a j est une norme. Enfin ( − r a rj estaussi une norme. Ces termes disparaissent de notre calcul et la condition (6) j ´equivaut `a(7) χ F j ( − c j ν Y j ′ =1 ,...,h ; j ′ = j ( N orm F j /F ( a j ) − N orm F j ′ /F ( a j ′ ))) = 1 . Cette relation est ind´ependante de X . On a impos´e `a X des conditions de non nullit´e quisont v´erifi´ees sur un ouvert dont le compl´ementaire est de mesure nulle. Cela d´emontreque m ( S ) = 1 si la condition (7) est v´erifi´ee pour tout j = 1 , ..., h , m ( S ) = 0 sinon.Supposons H d´eploy´e et S = X qd . Alors h = 0, donc m ( S ) = 1. Supposons H nond´eploy´e et S = X qd . Alors h = 1, F = E et c = η avec les notations de 11.4 appliqu´ees`a W . Le noyau anisotrope de q est le mˆeme que celui de la forme quadratique sur E ⊕ De ⊕ xv ηN orm E/F ( e ) + ν x . G d´eploy´e, cette forme n’est pas anisotrope donc − ην est la normed’un ´el´ement de E × . La condition (7) est v´erifi´ee et m ( S ) = 1. Supposons maintenant d W ≥ S = X ζF , o`u ζ = ± , F ∈ F V . Alors h = 2, et les termes F , F , a et a co¨ıncident avec ceux de 11.4. On a c = c ζ et c = − c ζ . D’apr`es la d´efinition de cestermes, la condition (7) ´equivaut `a χ F ( − ην ) = ζ pour j = 1, resp. χ F ( − ην ) = ζ pour j = 2. Mais le calcul ci-dessus montre que χ V ( − ην ) = 1. Les conditions pour j = 1 et j = 2 sont donc ´equivalentes. On obtient que m ( S ) = 1 si χ F ( − ην ) = ζ , m ( S ) = 0sinon. Reportons ces valeurs de m ( S ) dans l’´egalit´e (5). Dans le cas d W ≤ 2, on obtientimm´ediatement la formule ci-dessous. Dans le cas d W ≥ 4, celle-ci r´esulte d’une inversionde Fourier sur le groupe F × /F × si H est d´eploy´e, sur le groupe N orm E/F ( E × ) /F × sinon. La formule est J ( θ, f ) = (cid:26) , si d W ≤ ,δ ν, − ν , si d W ≥ . Alors J ( θ, f ) = I ( θ, f ) et E ( θ, f ) = 0. Donc c reg = 0 dans le cas d W ≤ c ν = 0 dansle cas d W ≥ 4. Mais alors l’application bilin´eaire E est identiquement nulle, ce que l’onvoulait d´emontrer. d pair On suppose v´erifi´ee l’hypoth`ese du paragraphe 11.1 et on suppose d pair. Eliminonsle cas d = 2. Dans ce cas, G est un tore de dimension 1. Il r´esulte des d´efinitions que J ( θ, f ) = θ (0) Z g ( F ) ˆ f ( X ) dX et I ( θ, f ) = θ (0) f (0) . Ces deux expressions sont ´egales par inversion de Fourier. On suppose maintenant d ≥ G quasi-d´eploy´eet H d´eploy´e. Il existe une unique famille de nombres complexes ( c ν ) ν ∈N V de sorte que E ( θ, f ) = X ν ∈N V c ν c θ, O Hreg c θ f , O ν pour tous θ , f . Fixons ν ∈ N V . On introduit des ´el´ements X qd et X ± F de g ( F ) comme en11.4. Soit X un de ces ´el´ements. On peut supposer qu’il appartient `a un tore appartenant`a T ( G ), que l’on note T X . On introduit un voisinage ω X de X dans t X ( F ) et une fonction f [ X ] v´erifiant les conditions (1), (2) et (3) de 11.5. On pose f = |N V | − ( f [ X qd ] + X F ∈F V χ F ( νη )( f [ X + F ] − f [ X − F ])) . Les notations sont celles introduites dans le paragraphe 11.5, l’extension E ´etant main-tenant associ´ee `a V et non plus `a W . On note X l’ensemble des ´el´ements X tels que f [ X ]apparaisse dans ces formules et, pour X ∈ X , c X le coefficient dont il est affect´e. Onfixe un G -domaine ω dans g ( F ), compact modulo conjugaison, contenant 0 et Supp ( f ).Notons T d l’unique tore d´eploy´e dans T ( H )et fixons un ´el´ement S ∈ t d ( F ) ∩ h reg ( F ). Onchoisit un quasi-caract`ere θ sur h ( F ) tel que θ ( Y ) = ˆ j H ( S, Y ) pour tout Y ∈ ω ∩ h reg ( F ).100our T ∈ T , T = { } , la fonction c f est nulle hors de ω tandis que c θ est nulle sur t ( F ) ∩ ω pour la mˆeme raison que c f l’´etait en 11.5. Donc c θ c f est nulle sur t ( F ). Commeen 11.5, on calcule alors I ( θ, f ) = δ ν,ν . Pour X ∈ X , on pose m ( X ) = mes ( ω X ) − mes ( ω X ∩ t X ( F ) S ) . On a (1) J ( θ, f ) = X X ∈X c X m ( X ) , et on est ramen´e `a calculer ces termes m ( X ).On utilise les d´efinitions et notations de 9.4 appliq´ees au cas W ′′ = W . Puisque T d est d´eploy´e, on peut supposer que les vecteurs w ± j appartiennent `a W . Soit X ∈ g reg ( F ).Supposons P X ( s j ) = 0 pour tout j = 1 , ..., m et P X (0) = 0. Soit X , ..., X l un ensemblede repr´esentants des classes de conjugaison par G ( F ) dans la classe de conjugaison stablede X . Montrons que(2) il existe un unique i ∈ { , ..., l } tel que X i soit conjugu´e `a un ´el´ement de Ξ+ S +Σ S par un ´el´ement de G ( F ).La forme bilin´eaire ( v, v ′ ) q ( v, Xv ′ ) est symplectique. Son d´eterminant est doncun carr´e dans F × . Ce d´eterminant est det ( q ) det ( X ). On a det ( X ) = P X (0) et det ( q ) =( − d/ − ν ν S . On a R S, (0) = ( − m Q j =1 ,...,m s j et m = ( d W − / 2. On en d´eduit que(3) P X (0)( − r ν S ν R S, (0) ∈ F × . On peut choisir des coordonn´ees ( λ i ) i =1 ,...,r , ( z ± j ) j =1 ,...,m et z , avec λ i ∈ F et z j ∈ F × pour j = 0 , ± , ..., ± m , de sorte que P X soit le polynˆome du lemme 3.4. En effet, onpose z − j = 1 pour j = 1 , ..., m et, grˆace `a (3), on peut choisir les z j , pour j = 0 , ..., m ,de sorte que les ´egalit´es 9.4(1) et 9.4(2) soient v´erifi´ees. Ensuite, les λ i sont d´etermin´espar un syst`eme inversible d’´equations lin´eaires `a coefficients dans F . Cela montre qu’ilexiste Y ∈ Ξ + S + Λ S tel que P Y = P X . Un tel Y est conjugu´e `a X par un ´el´ement de G + . Comme on l’a dit dans la preuve du lemme 9.5, quitte `a changer z en − z , on peutassurer que Y est conjugu´e `a X par un ´el´ement de G . Donc Y appartient `a la classe deconjugaison stable de X et est conjugu´e `a l’un des X i par un ´el´ement de G ( F ). L’unicit´ede cet ´el´ement X i est assur´ee par le lemme 9.5 : deux ´el´ements de Ξ + S + Σ S ne peuventˆetre conjugu´es par un ´el´ement de G que s’ils le sont par un ´el´ement de G ( F ). D’o`u (2).On a choisi un ´el´ement S . On peut supposer que les hypoth`eses de non-nullit´e im-pos´ees ci-dessus `a X sont v´erifi´ees pour tout ´el´ement de S X ∈X ω X . Pour X ∈ ω X qd , laclasse de conjugaison stable de X se r´eduit `a sa classe de conjugaison par G ( F ). Donc X ∈ t X qd ( F ) S , puis m ( X qd ) = 1. Soit F ∈ F V . Pour ζ = ± , posons X ζ = X ζF . Alors X + et X − sont stablement conjugu´es et ces deux ´el´ements sont un ensemble de repr´esentantsdes classes de conjugaison par G ( F ) dans leur classe de conjugaison stable. L’assertion(3) nous dit qu’il y a un unique ζ tel que X ζ appartienne `a t X ζ ( F ) S . Notons ζ cet ζ . Onva le d´eterminer. Dans ce qui suit, on fixe F et ζ = ± , on pose X = X ζ . Comme dansle paragraphe pr´ec´edent (en changeant W en V ), on d´ecompose V en somme directeorthogonale V = F ⊕ F ⊕ ˜ Z j = 1 , 2, on introduit la base ( e j , e − j ) de F j .Supposons d’abord d W ≥ r = 0. Pour j = 1 , 2, posons ǫ j = e j et ǫ − j = c − j e − j .Choisissons une base hyperbolique ( ǫ ± k ) k =3 ,...,d/ de ˜ Z . Supposons ζ = ζ et choisissonsun ´el´ement γ ∈ G ( F ) tel que γ − Xγ ∈ S + Λ S . Pour k = 1 , ..., d/ 2, on a ´etudi´e dans lapreuve de 10.8 les coordonn´ees de γ − ǫ ± k dans la base { v , w S , w ± , ..., w ± m } de V . Ennotant Y ± k sa coordonn´ee sur v , les formules 10.8(3) et 10.8(4) nous disent que Y k Y − k = ν Q j =1 ,...,m ( s j − x k ) Q k ′ =1 ,...,d/ k ′ = k ( x k ′ − x k ) . Appliquons cela `a k = 1. On a τ F ( ǫ ) = c ζ ǫ − , donc aussi τ F ( γ − ǫ ) = c ζ γ − ǫ − puis τ F ( Y ) = c ζ Y − . Alors χ F ( c ζ Y Y − ) = 1. On a x = a et on d´ej`a utilis´e plusieurs foisque y − a ´etait la norme d’un ´el´ement de F − pour tout y ∈ F . On d´eduit de la formuleci-dessus que χ F ( Y Y − ) = χ F ( ν ( x − x )) = χ F ( ν ( N orm F /F ( a ) − N orm F /F ( a ))) . D’apr`es la d´efinition de c ζ , on en d´eduit ζ = χ F ( ην ).Passons au cas d W ≥ r > 0. On peut supposer que Z ⊂ ˜ Z et que ǫ ± k = v ± ( k + r − d/ pour k = d/ − r, ..., d/ 2. On peut ´ecrire X = X + X a , avec X ∈ g ( F ) et X a ∈ a ( F ).L’´el´ement X v´erifie les mˆemes conditions que X , relativement `a l’espace V . Supposons ζ = χ F ( ην ). On vient de voir que X est conjugu´e `a un ´el´ement de S + Σ ,♭ par un´el´ement de G ( F ). Par un argument que l’on a d´ej`a utilis´e plusieurs fois, X est conjugu´e`a un ´el´ement de Ξ + S + Σ S par un ´el´ement de G ( F ). Donc ζ = ζ = χ F ( ην ).Consid´erons enfin le cas d W = 1. Dans ce cas, S = 0, Ξ est un ´el´ement nilpotentr´egulier et Ξ+Λ est une section de Kostant relative `a cet ´el´ement. D’apr`es [Kot] th´eor`eme5.1, si X est conjugu´e `a un ´el´ement de Ξ + Λ par un ´el´ement de G ( F ), on a l’´egalit´e inv ( X ) inv ( T X ) = inv T (Ξ) , avec les notations de 11.4. L’´el´ement Ξ laisse stable l’hyperplan D ⊕ Z . Le noyau aniso-trope de la restriction de q `a cet hyperplan est la restriction de q `a D . Donc Ξ ∈ O ν .L’´egalit´e ci-dessus jointe `a 11.4(2) entraˆıne ζ = χ F ( ην ).Le raisonnement ci-dessus s’´etend `a tout ´el´ement de ω X + ∪ ω X − . En effet, tout ´el´ementde cet ensemble est du mˆeme type que X ± , avec des valeurs propres diff´erentes. Onobtient alors m ( X ζ ) = (cid:26) , si ζ = χ F ( ην ) , , si ζ = − χ F ( ην ) . En reportant ces valeurs dans l’´egalit´e (1), on obtient J ( θ, f ) = δ ν,ν . Donc J ( θ, f ) = I ( θ, f ) et E ( θ, f ) = 0. Comme dans le paragraphe pr´ec´edent, cela implique que E estidentiquement nulle. (cid:3) 12 Preuve des th´eor`emes 7.8 et 7.9 Consid´erons les assertions suivantes 102 th ) G . Pour tout quasi-caract`ere θ sur H ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( G ( F )) , on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . ( th ′ ) G . Pour tout quasi-caract`ere θ sur H ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( G ( F )) , dont le support ne contient pas d’´el´ement unipotent, on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . ( th ) g . Pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) ,on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . ( th ′ ) g . Pour tout quasi-caract`ere θ sur h ( F ) et toute fonction tr`es cuspidale f ∈ C ∞ c ( g ( F )) ,dont le support ne contient pas d’´el´ement nilpotent, on a l’´egalit´e lim N →∞ I N ( θ, f ) = I ( θ, f ) . Lemme . L’assertion ( th ) G entraˆıne ( th ) g . L’assertion ( th ′ ) G entraˆıne ( th ′ ) g . Preuve. Supposons v´erifi´ee ( th ) G . Soient θ un quasi-caract`ere sur h ( F ) et f ∈ C ∞ c ( g ( F ))une fonction tr`es cuspidale. On veut montrer que E ( θ, f ) = 0, avec la notation de 11.3.Dans la preuve de ce paragraphe, on a vu que E ´etait homog`ene pour la transformation( θ, f ) ( θ λ , f λ ). Cela permet de supposer que le support de f est contenu dans unbon voisinage ω de 0 dans g ( F ). Comme dans la preuve du lemme 11.2, on introduit unquasi-caract`ere θ ω sur H ( F ) et une fonction f ∈ C ∞ c ( G ( F )) tr`es cuspidale. On v´erifieque J ( θ, f ) = J ,ω ( θ ω , f ) et I ( θ, f ) = I ,ω ( θ ω , f ). D’apr`es les lemmes 8.2 et 8.3 et la pro-position 10.9, on a J ,ω ( θ ω , f ) = lim N →∞ I N ( θ ω , f ), I ,ω ( θ ω , f ) = I ( θ ω , f ). D’apr`es ( th ) G ,ces deux termes sont ´egaux. La conclusion E ( θ, f ) = 0 s’ensuit.La preuve de la seconde assertion est identique : si le support de f ne contient pasd’´el´ement nilpotent, celui de f ne contient pas d’´el´ement unipotent. (cid:3) On va raisonner par r´ecurrence sur d . Consid´erons des donn´ees V ′′ , W ′′ , d ′′ analogues`a V , W , d (avec le mˆeme r ). Pour ces donn´ees, il y a une assertion ( th ) G ′′ analogue `a( th ) G . Consid´erons l’assertion( th ) 13 Un cas de la version faible de la conjecture localede Gross-Prasad Soit G un groupe r´eductif connexe d´efini sur F . Une repr´esentation de G ( F ) estun couple ( π, E π ), o`u E π est l’espace de la repr´esentation (pour nous, un espace vecto-riel complexe), et π un homomorphisme de G ( F ) dans GL C ( E π ). On oubliera souventl’un des termes en la notant simplement π ou E π . On notera aussi une classe d’iso-morphie de repr´esentations comme une repr´esentation dans cette classe. On note ˇ π larepr´esentation contragr´ediente de π . On note Irr ( G ) l’ensemble des classes d’isomor-phie de repr´esentations admissibles irr´eductibles de G ( F ) et T emp ( G ) le sous-ensembledes repr´esentations qui sont aussi temp´er´ees. A tout ´el´ement π ∈ Irr ( G ) est associ´eun caract`ere θ π , que l’on peut consid´erer comme une distribution sur G ( F ) ou commeune fonction d´efinie presque partout. Dans cette derni`ere interpr´etation, θ π est un quasi-caract`ere sur G ( F ) d’apr`es un th´eor`eme de Harish-Chandra ([HCDS] th´eor`eme 16.2).Consid´erons la situation de 7.2, soient ( π, E π ) ∈ Irr ( G ) et ( σ, E σ ) ∈ Irr ( H ). Notons Hom H,ξ ( π, σ ) l’espace des applications lin´eaires ϕ : E π → E σ telles que ϕ ( π ( hu ) e ) = ξ ( u ) σ ( h ) ϕ ( e )pour tous h ∈ H ( F ), u ∈ U ( F ), e ∈ E π . Cet espace d´epend des constantes ξ i qui nousont permis de d´efinir ξ , mais de fa¸con inessentielle. En effet, si on associe un caract`ere ξ ′ `a d’autres constantes, on v´erifie qu’il existe a ∈ A ( F ) tel que l’application ϕ ϕ ◦ π ( a )soit un isomorphisme de Hom H,ξ ( π, σ ) sur Hom H,ξ ′ ( π, σ ). Tout ce qui suit est doncessentiellement ind´ependant des constantes ξ i .On a (1) dim C ( Hom H,ξ ( π, σ )) ≤ . Si r = 0, c’est le th´eor`eme 1’ de [AGRS]. Ce r´esultat est g´en´eralis´e `a tout r dans [GGP]corollaire 20.4 (pour les groupes unitaires, mais la preuve est la mˆeme pour les groupes105p´eciaux orthogonaux). On pose m ( σ, π ) = dim C ( Hom H,ξ ( π, σ )) . Soit T ∈ T . En appliquant les d´efinitions de 7.3 aux quasi-caract`eres θ = θ ˇ σ et τ = θ π ,on d´efinit les fonctions c θ ˇ σ et c θ π sur T ( F ), que l’on note simplement c ˇ σ et c π . On pose m geom ( σ, π ) = X T ∈T | W ( H, T ) | − ν ( T ) Z T ( F ) c ˇ σ ( t ) c π ( t ) D H ( t )∆( t ) r dt. Cette expression est absolument convergente d’apr`es la proposition 7.3. Proposition . Supposons π ∈ Irr ( G ) , σ ∈ Irr ( H ) et π supercuspidale. Alors on al’´egalit´e m ( σ, π ) = m geom ( σ, π ) . Preuve. Si V est hyperbolique de dimension 2, on v´erifie directement que les deuxtermes de l’´egalit´e valent 1. On exclut ce cas. Introduisons les repr´esentations de G ( F ) : ρ = Ind G ( F ) H ( F ) U ( F ) ( σ ⊗ ¯ ξ ) et ρ = ind G ( F ) H ( F ) U ( F ) (ˇ σ ⊗ ξ ). La premi`ere est l’induite lisse de larepr´esentation σ ⊗ ¯ ξ de H ( F ) U ( F ), o`u ¯ ξ est le conjugu´e complexe de ξ , la seconde estl’induite `a supports compacts de la repr´esentation ˇ σ ⊗ ξ . Par r´eciprocit´e de Frobeniuspour la premi`ere ´egalit´e et d’apr`es un r´esultat standard pour la seconde, on a Hom H, ¯ ξ ( π, σ ) = Hom G ( F ) ( π, ρ ) = Hom G ( F ) ( ρ, ˇ π ) . Puisque ˇ π est supercuspidale et le centre de G ( F ) est fini, la th´eorie de Bernstein nousdit que ρ se d´ecompose en somme d’une repr´esentation τ dont aucun sous-quotient n’estisomorphe `a ˇ π et d’un certain nombre de facteurs tous isomorphes `a ˇ π . Le nombre deces facteurs est pr´ecis´ement m ( σ, π ). Soit f un coefficient de π . On a l’´egalit´e trace (ˇ π ( f ) | E ˇ π ) = f (1) d ( π ) − o`u d ( π ) est le degr´e formel de π . L’op´erateur τ ( f ) est nul. Donc ρ ( f ) est de rang fini et(2) trace ( ρ ( f )) = m ( σ, π ) f (1) d ( π ) − . Montrons que, si N est un entier assez grand,(3) trace ( ρ ( f )) = I N ( θ ˇ σ , f ) . Fixons un sous-groupe ouvert compact K ′ ⊂ K tel que f soit biinvariante par K ′ .Notons Ω N le support de la fonction κ N et E ρ,N le sous-espace de E ρ form´e des fonctions`a support dans Ω N . Selon l’usage, notons E K ′ ρ,N le sous-espace des ´el´ements invariants parl’action de K ′ . Puisque l’image de ρ ( f ) est de dimension finie, elle est contenue dans E K ′ ρ,N si N est assez grand. Alors trace ( ρ ( f )) est la trace de la restriction de ρ ( f ) `a E K ′ ρ,N .Fixons un ensemble de repr´esentants Γ N des doubles classes H ( F ) U ( F ) \ Ω N /K ′ . NotonsΓ ′ N le sous-ensemble des γ ∈ Γ N tels que ξ soit trivial sur γK ′ γ − ∩ U ( F ). Pour γ ∈ Γ N ,posons K H [ γ ] = γK ′ γ − ∩ H ( F ) et fixons une base B [ γ ] de l’espace E K H [ γ ] σ . Notons { ˇ b ; b ∈ B [ γ ] } la base duale de E K H [ γ ]ˇ σ . Pour γ ∈ Γ ′ N et b ∈ B [ γ ], il existe un unique´el´ement ϕ [ b, γ ] ∈ E ρ , `a support dans H ( F ) U ( F ) γK ′ , invariant `a droite par K ′ et tel106ue ϕ [ b, γ ]( γ ) = ˇ b . L’ensemble { ϕ [ b, γ ]; γ ∈ Γ ′ N , b ∈ B [ γ ] } est une base de E K ′ ρ,N . Alors, latrace de ρ ( f ) agissant dans E K ′ ρ,N est X γ ∈ Γ ′ N ,b ∈B [ γ ] < ( ρ ( f ) ϕ [ b, γ ])( γ ) , b > . On a < ( ρ ( f ) ϕ [ b, γ ])( γ ) , b > = Z G ( F ) < ϕ [ b, γ ]( γg ) , b > f ( g ) dg = mes ( H ( F ) U ( F ) \ H ( F ) U ( F ) γK ′ ) Z H ( F ) U ( F ) < ˇ σ ( h )ˇ b, b > ξ ( u ) f ( γ − huγ ) du dh = mes ( H ( F ) U ( F ) \ H ( F ) U ( F ) γK ′ ) Z H ( F ) < ˇ σ ( h )ˇ b, b > γ f ξ ( h ) dh. La somme sur b ∈ B [ γ ] de cette int´egrale est trace (ˇ σ ( γ f ξ )), ou encore I ( θ ˇ σ , f, γ ). Onv´erifie que ce terme est nul pour γ ∈ Γ N , γ Γ ′ N et on obtient trace ( ρ ( f )) = X γ ∈ Γ N mes ( H ( F ) U ( F ) \ H ( F ) U ( F ) γK ′ ) I ( θ ˇ σ , f, γ )= Z H ( F ) U ( F ) \ G ( F ) I ( θ ˇ σ , f, g ) κ N ( g ) dg, d’o`u (3).La fonction f est tr`es cuspidale. On calcule son quasi-caract`ere associ´e(4) θ f = f (1) d ( π ) − θ π . En effet, cela r´esulte de notre d´efinition 5.3 de θ f et de [A6] th´eor`eme p.3 (il y a unprobl`eme de passage `a la contragr´ediente dans ce th´eor`eme).Grˆace `a (3) et au th´eor`eme 7.8, on a trace ( ρ ( f )) = I ( θ ˇ σ , f ). Grˆace `a (4), I ( θ ˇ σ , f ) = f (1) d ( π ) − m geom ( σ, π ). Alors la proposition r´esulte de (2). (cid:3) L -paquets Consid´erons de nouveau la situation de 7.2. On suppose d´esormais que G et H sontquasi-d´eploy´es, autrement dit que d an ( V ) ≤ d an ( W ) ≤ 2. On affecte les notations d’unindice i : V i , W i , G i , H i etc...A ´equivalence pr`es, il existe au plus un couple ( V ′ , q ′ ) analogue `a ( V i , q i ), tel que dim ( V ′ ) = d , le discriminant de q ′ soit ´egal `a celui de q i , mais ( V ′ , q ′ ) ne soit pas´equivalent `a ( V i , q i ). Un tel couple v´erifie d an ( V ′ ) + d an ( V i ) = 4. Le couple ( V ′ , q ′ ) existesi et seulement si d + d an ( V i ) ≥ 4. S’il existe, on le note ( V a , q a ) et on introduit pour cecouple les mˆemes objets que pour ( V i , q i ), affect´es d’un indice a . On introduit de mˆemeun couple ( W a , q W a ), s’il existe, c’est-`a-dire si d W i + d an ( W i ) ≥ 4. Quand ces deux couplesexistent, on a l’´egalit´e V a = W a ⊕ D et q a est la somme orthogonale de q W a et de la formed´ej`a fix´ee sur D . Remarque. Les indices i et a signifient ”isotrope” et ”anisotrope”, les donn´ees af-fect´ees de l’indice i ayant tendance `a ˆetre ”plus isotropes” que celles affect´ees de l’indice a . Pr´ecis´ement, on a d an ( V i ) + d an ( W i ) < d an ( V a ) + d an ( W a ).107our simplifier, si le couple ( V a , q a ), resp. ( W a , q W a ), n’existe pas, on pose T emp ( G a ) = ∅ , resp. T emp ( H a ) = ∅ . Selon une conjecture due essentiellement `a Langlands, les en-sembles de repr´esentations T emp ( G i ) et T emp ( G a ) se d´ecomposent en r´eunions disjointesde L -paquets, qui poss`edent les propri´et´es (1), (2) et (3) ci-dessous.(1) Soit Π un L -paquet de T emp ( G i ) ou T emp ( G a ). L’ensemble Π est fini. Posons θ Π = P π ∈ Π θ π . Alors θ Π est une distribution stable.(2) Il existe une application qui, `a un L -paquet dans T emp ( G a ), associe un L -paquetdans T emp ( G i ), et satisfait les conditions suivantes. Elle est injective. Soient Π a un L -paquet dans T emp ( G a ) et Π i son image. Alors ( − d θ Π a est le transfert `a G a ( F ) dela distribution θ Π i sur G i ( F ). Soit Π i un L -paquet dans T emp ( G i ) qui n’est pas dansl’image de l’application. Alors le transfert `a G a ( F ) de θ Π i est nul (si le groupe G a existe). Remarque. Le signe ( − d s’interpr`ete comme ( − rang F ( G a ) − rang F ( G i ) , o`u rang F ( G a ),resp. rang F ( G i ), est la dimension d’un sous-tore d´eploy´e maximal de G a , resp. G i .On sait d´efinir la notion de mod`ele de Whittaker d’une repr´esentation dans Irr ( G i ).Plus pr´ecis´ement, une telle notion est associ´ee `a chaque orbite nilpotente r´eguli`ere O de g i ( F ). Soient O une telle orbite et ¯ N ∈ O . On peut compl´eter ¯ N en un sl -tripletqui d´etermine un sous-tore maximal T et un sous-groupe de Borel B de G i de sorte que T ⊂ B et ¯ N ∈ ¯ b ( F ). Notons U B le radical unipotent de B et d´efinissons une fonction ξ ¯ N sur U B ( F ) par ξ ¯ N ( exp ( N )) = ψ ( < ¯ N , N > ). C’est un caract`ere. Pour π ∈ Irr ( G i ),on dit que π admet un mod`ele de Whittaker relatif `a O s’il existe une forme lin´eaire l sur E π , non nulle et telle que l ( π ( u ) e ) = ξ ¯ N ( u ) l ( e ) pour tous u ∈ U B ( F ), e ∈ E π . Laderni`ere propri´et´e des L -paquets est(3) pour tout L -paquet Π dans T emp ( G i ) et toute orbite nilpotente r´eguli`ere O dans g i ( F ), il existe un et un seul ´el´ement de Π qui admet un mod`ele de Whittaker relatif `a O . Remarques. La propri´et´e (1) pour le groupe G i est annonc´ee par Arthur. Il n’y agu`ere de doute que, dans un avenir proche, les travaux d’Arthur d´emontreront ´egalementcette propri´et´e pour le groupe G a et la propri´et´e (2). Konno a montr´e que des r´esultats´egalement annonc´es par Arthur entraˆınaient la propri´et´e (3) ([Konno] th´eor`eme 3.4).Signalons que cette propri´et´e (3) est une conjecture de Shahidi. Dans la suite de l’article, on admet l’existence de L -paquets poss´edant cespropri´et´es . Bien ´evidemment, on les admet aussi pour les groupes H i et H a (l’entier d ´etant chang´e en d W ). Soient Π i un L -paquet dans T emp ( G i ) et Σ i un L -paquet dans T emp ( H i ). Si Π i estdans l’image de l’application 13.2(2), on note Π a le L -paquet dans T emp ( G a ) dont il estl’image. Sinon, on pose Π a = ∅ . On d´efinit de mˆeme Σ a . Pour ( σ, π ) ∈ (Σ i × Π i ) ∪ (Σ a × Π a ),on d´efinit la multiplicit´e m ( σ, π ). Th´eor`eme . Supposons que tout ´el´ement de Π i ∪ Π a soit supercuspidal. Alors il existeun unique couple ( σ, π ) ∈ (Σ i × Π i ) ∪ (Σ a × Π a ) tel que m ( σ, π ) = 1 . ˆ j On consid`ere la situation du paragraphe 11.4 dont on reprend les notations. Onreprend aussi la notation F V introduite en 11.5. Dans le cas o`u d est pair et d ≥ X ± F . On pose ǫ F = χ F ( − N orm F /F ( a )). En fait, ce termene d´epend pas de a puisque l’image de N orm F /F ( a ) dans F × /F × est uniquementd´etermin´ee. On note T F le commutant de X + F dans G . Lemme . (i) Supposons d impair ou d ≤ . On a l’´egalit´e ˆ j ( O reg , X qd ) = | W G | D G ( X qd ) − / . (ii) Supposons d pair, d ≥ . Soit ν ∈ N V . On a l’´egalit´e ˆ j ( O ν , X qd ) = |N V | − | W G | D G ( X qd ) − / . Pour F ∈ F V , on a l’´egalit´e ˆ j ( O ν , X + F ) = − ˆ j ( O ν , X − F ) = ǫ F χ F ( νη ) | W ( G, T F ) | |N V | D G ( X + F ) − / . Preuve. Supposons d impair ou d ≤ 2. D’apr`es 2.6(4) et le lemme 11.4, on a l’´egalit´eˆ j ( O reg , X qd ) = ˆ j ( λX qd , X qd )pour tout λ ∈ F × assez voisin de 0. Le commutant T qd de X qd dans G est un L´eviminimal. La formule 2.6(5) exprime ˆ j G ( λX qd , X qd ) `a l’aide de la fonction ˆ j T qd . Mais,pour tout tore T , la fonction ( X, Y ) ˆ j T ( X, Y ) est constante de valeur 1, ainsi qu’ilr´esulte de sa d´efinition. D’autre part, un ´el´ement de t qd ( F ) est conjugu´e `a X qd par un´el´ement de G ( F ) si et seulement s’il l’est par un ´el´ement de N orm G ( F ) ( T qd ). Il y a | W G | tels ´el´ements. Alors, la formule 2.6(5) conduit `a l’´egalit´e du (i) de l’´enonc´e.Dans la situation du (ii), notons X l’ensemble form´e des ´el´ements X qd et X ± F , pour F ∈ F V . La formule 2.6(4) et le lemme 11.4 entraˆınent que pour λ ∈ F × assez voisinde 0, on a l’´egalit´e(1) ˆ j ( O ν , Y ) = |N V | − (ˆ j ( λX qd , Y ) + X F ∈F V χ F ( νη )(ˆ j ( λX + F , Y ) − ˆ j ( λX − F , Y )))pour tout Y ∈ X . Fixons un tel λ .Comme ci-dessus, on a ˆ j ( λX qd , X qd ) = | W G | D G ( X qd ) − / . D’autre part, pour F ∈ F V , l’´el´ement X ± F n’est conjugu´e `a aucun ´el´ement de t qd ( F ) etla formule 2.6(5) entraˆıne ˆ j ( λX qd , X ± F ) = 0 . F ∈ F V . Il nous faut calculer ˆ j ( λX + F , Y ) − ˆ j ( λX − F , Y ) pour Y ∈ X . On vad’abord supposer d = 4. Pour j = 1 , 2, notons G i le groupe sp´ecial orthogonal de F j muni de la forme N orm F j /F . C’est un tore de dimension 1. Le groupe G ′ = G × G est un groupe endoscopique elliptique de G . La classe de conjugaison stable de X ± F dans g ( F ) est l’image de la classe de conjugaison stable d’un ´el´ement X ′ ∈ g ′ ( F ), cettederni`ere classe se r´eduisant `a { X ′ } puisque G ′ est un tore. On peut normaliser le facteurde transfert ∆ G,G ′ de sorte que ∆ G,G ′ ( X ′ , X ζF ) = ζ pour ζ = ± = ± 1. Grˆace `a Ngo BaoChau, la conjecture 1.2 de [W4] est maintenant d´emontr´ee. La fonction ˆ i G ( X, Y ) de [W4]est ´egale `a ˆ j G ( X, Y ) D G ( Y ) / . La fonction ˆ i G ′ est constante de valeur 1 puisque G ′ estun tore. Avec les notations de cette r´ef´erence, on a donc l’´egalit´e γ ψ ( g )(ˆ j G ( λX + F , Y ) − ˆ j G ( λX − F , Y )) D G ( Y ) / = γ ψ ( g ′ ) X Z ∈ g ′ ( F ) ∆ G,G ′ ( Z, Y )pour tout Y ∈ g reg ( F ). La classe de conjugaison stable de l’´el´ement X qd n’est l’imaged’aucun ´el´ement de g ′ ( F ). Il n’y a donc aucun Z pour lequel ∆ G,G ′ ( Z, X qd ) = 0. Onobtient ˆ j G ( λX + F , X qd ) − ˆ j G ( λX − F , X qd ) = 0 . Soit F ′ ∈ F V . Si F ′ = F , la classe de conjugaison stable d’un ´el´ement X ζF ′ , pour ζ = ± ,n’est l’image d’aucun ´el´ement de g ′ ( F ) et on obtient de mˆemeˆ j G ( λX + F , X ζF ′ ) − ˆ j G ( λX − F , X ζF ′ ) = 0 . Si F = F , la classe de conjugaison stable de X ζF est l’image d’un unique ´el´ement de g ′ ( F ), `a savoir X ′ et on connaˆıt la valeur ∆ G,G ′ ( X ′ , X ζF ) = ζ (en identifiant ζ `a un´el´ement de {± } ). Si F = F , la classe de conjugaison stable de X ζF est l’image dedeux ´el´ements de g ′ ( F ) : X ′ et l’´el´ement X ′′ obtenu en ´echangeant les deux facteursde X ′ . Un argument g´en´eral nous dit que, parce que G est quasi-d´eploy´e, le facteur detransfert est insensible `a l’action d’un automorphisme du groupe endoscopique G ′ . Donc∆ G,G ′ ( X ′′ , X ζF ) = ∆ G,G ′ ( X ′ , X ζF ) = ζ . On obtientˆ j G ( λX + F , X ζF ) − ˆ j G ( λX − F , X ζF ) = ζ (1 + δ F ,F ) γ ψ ( g ′ ) γ ψ ( g ) − D G ( X ± F ) − / . Remarquons que D G ( X + F ) = D G ( X − F ). Si F = F , le groupe W ( G, T F ) a deux ´el´ements :l’action de l’´el´ement non trivial de ce groupe envoie X ζF sur un ´el´ement analogue o`u lesvaleurs propres a et a sont chang´ees en − a et − a . Si F = F , le groupe W ( G, T F )a 4 ´el´ements : on peut de plus permuter les deux facteurs. Donc1 + δ F ,F = | W ( G, T F ) | . Il reste `a calculer les facteurs γ ψ . Ces facteurs sont les ”constantes de Weil” associ´ees `a ψ et aux formes quadratiques ( X, Y ) trace ( XY ) / g ( F ) et g ′ ( F ). Fixons ξ , ξ ∈ F × tels que F j = F ( p ξ j ) pour j = 1 , 2. Si G est d´eploy´e, posons ξ = 1. Si G n’est pasd´eploy´e, soit ξ ∈ F × tel que E = F ( √ ξ ). La forme quadratique sur g ( F ) a mˆeme noyauanisotrope que la forme x + ξy de dimension 2. La forme quadratique sur g ′ ( F ) est´equivalente `a la forme ξ x + ξ y . Ces deux formes ont mˆeme d´eterminant. Elles sont´equivalentes si et seulement si χ F ( ξ ) = 1, ou, ce qui revient au mˆeme, si ǫ F = 1. Onen d´eduit l’´egalit´e γ ψ ( g ′ ) γ ψ ( g ) − = ǫ F , j G ( λX + F , X ζF ) − ˆ j G ( λX − F , X ζF ) = ζ ǫ F | W ( G, T F ) | D G ( X + F ) − / . Remarque. Le calcul serait le mˆeme si l’on rempla¸cait X ζF par un ´el´ement similaire,mais de valeurs propres diff´erentes. Par exemple si l’on rempla¸cait X ζF par un conjugu´epar un ´el´ement du groupe G + ( F ).Levons l’hypoth`ese d = 4. Dans la construction de 11.4 des ´el´ements X ± F , on afix´e un espace hyperbolique ˜ Z et un sous-tore d´eploy´e maximal ˜ T du groupe sp´ecialorthogonal de cet espace. Notons M le commutant de ˜ T dans G . On a M = ˜ T G ′ , o`u G ′ est le groupe sp´ecial orthogonal de l’espace quadratique F ⊕ F de dimension 4. Soit X ∈ X et Y un ´el´ement de m ( F ) conjugu´e `a X par un ´el´ement de G ( F ). Il est clairque Y = Y ˜ T + Y ′ , o`u Y ˜ T ∈ ˜ t ( F ) et Y ′ est un ´el´ement de g ′ ( F ) construit de la mˆemefa¸con que X , ´eventuellement conjugu´e par un ´el´ement du groupe G ′ + ( F ). Comme on l’adit ci-dessus, la fonction ˆ j ˜ T est constante de valeur 1. La formule 2.6(4) et nos r´esultatsci-dessus appliqu´es au groupe G ′ conduisent `a l’´egalit´eˆ j G ( λX + F , X ) − ˆ j G ( λX − F , X ) = 0pour X ∈ X , X = X ± F . Pour X = X ± F , on doit calculer le nombre de classes de conju-gaison par M ( F ) contenues dans l’intersection de m ( F ) et de la classe de conjugaisonpar G ( F ) de X . Parce que X est elliptique dans m ( F ), tout ´el´ement g ∈ G ( F ) tel que gXg − ∈ m ( F ) normalise M . Le nombre cherch´e est donc le nombre d’´el´ements du groupe N orm G ( F ) ( M ) /M ( F ). On v´erifie que tout ´el´ement de ce quotient a un repr´esentant dans N orm G ( F ) ( T F ). Le nombre cherch´e est donc | W ( G, T F ) || W ( M, T F ) | − . Le deuxi`emefacteur est l’inverse de celui qui apparaˆıt dans l’´egalit´e (2) appliqu´ee au groupe G ′ . Onobtient alors la mˆeme ´egalit´e (2) pour notre groupe G .On a maintenant calcul´e tous les termes intervenant dans la formule (1). Cette formuleconduit `a l’´egalit´e du (ii) de l’´enonc´e. (cid:3) Dans ce paragraphe, on travaille soit avec l’une des s´eries de donn´ees V i , W i , G i etc..ou V a , W a , G a etc..., soit avec les deux. Dans le premier cas, pour simplifier, on note ♭ l’indice i ou a . On a d´efini l’ensemble T ♭ en 7.3. A T ∈ T ♭ , on a associ´e des espaces W ′ ♭ etc... et des groupes H ′ ♭ etc... On pr´ecise la notation en les notant plutˆot W ′ ♭,T , H ′ ♭,T etc... Pour T ∈ T ♭ , on introduit le groupe de cohomologie H ( T ) = H ( Gal ( ¯ F /F ) , T ).Puisque A T = { } , ce groupe est un produit de facteurs Z / Z et il est non trivial si T = { } . On pose h ( T ) = (cid:26) | H ( T ) | / , si T = { } , , si T = { } . On introduit le groupe ¯ W ( H ♭ , T ) = N orm H ♭ ( T ) /Z H ♭ ( T ). Le groupe de Galois Gal ( ¯ F /F )agit sur ¯ W ( H ♭ , T ), on note ¯ W F ( H ♭ , T ) le sous-groupe des points fixes.Fixons un isomorphisme Φ : W a ⊗ F ¯ F → W i ⊗ F ¯ F tel que q W i (Φ( w ) , Φ( w ′ )) = q W a ( w, w ′ ) pour tous w, w ′ ∈ W a ⊗ F ¯ F . Pour h ∈ H a , notons φ ( h ) = Φ ◦ h ◦ Φ − . C’estun ´el´ement de H i et l’isomorphisme φ ainsi d´efini de H a sur H i est un torseur int´erieur.111oient T, T ′ ∈ T a ∪ T i . On dit que T et T ′ sont stablement conjugu´es si et seulement sil’une des conditions suivantes (1) ou (2) est v´erifi´ee.(1) Il existe un indice ♭ tel que T, T ′ ∈ T ♭ . Il existe h ∈ H ♭ tel que hT h − = T ′ etl’homomorphisme t hth − de T sur T ′ est d´efini sur F .(2) Quitte `a ´echanger T et T ′ , on a T ∈ T a et T ′ ∈ T i . Il existe h ∈ H i de sorte que hφ ( T a ) h − = T i et l’homomorphisme t hφ ( t ) h − de T a sur T i est d´efini sur F .On note T ∼ st T ′ cette relation. On v´erifie que c’est une relation d’´equivalence. Lemme . (i) Soient T et T ′ deux ´el´ements de T a ∪ T i stablement conjugu´es. Dansla situation de (1), l’espace quadratique W ′ ♭,T , resp. W ′′ ♭,T , est isomorphe `a W ′ ♭,T ′ , resp. W ′′ ♭,T ′ et on peut choisir h v´erifiant (1) de sorte que la restriction de h `a W ′′ ♭,T soitun isomorphisme d´efini sur F de W ′′ ♭,T sur W ′′ ♭,T ′ . Dans la situation de (2), les espacesquadratiques W ′′ a,T et W ′′ i,T ′ sont isomorphes et on peut choisir h v´erifiant (1) de sorteque la restriction de h ◦ Φ `a W ′′ a,T soit un isomorphisme d´efini sur F de W ′′ a,T sur W ′′ i,T ′ .(ii) Soit T ∈ T ♭ . On a l’´egalit´e X T ′ ∈T ♭ ; T ′ ∼ st T | W ( H ♭ , T ′ ) | − = h ( T ) | ¯ W F ( H ♭ , T ) | − . Les nombres h ( T ) et | ¯ W F ( H ♭ , T ) | ne d´ependent que de la classe de conjugaison stable de T . (iii) Toute classe de conjugaison stable dans T a ∪ T i coupe T i . La seule classe deconjugaison stable qui ne coupe pas T a est la classe r´eduite au tore { } ∈ T i . Preuve. Soient T et T ′ deux ´el´ements de T ♭ stablement conjugu´es et h v´erifiant (1).Supposons d W ♭ impair. On a h ( W ′′ ♭,T ⊗ F ¯ F ) = W ′′ ♭,T ′ ⊗ F ¯ F . Notons h ′′ : W ′′ ♭,T ⊗ F ¯ F → W ′′ ♭,T ′ ⊗ F ¯ F la restriction de h . L’application φ ′′ : x h ′′ xh ′′ − est un isomorphismede H ′′ ♭,T sur H ′ ♭,T . Ces deux groupes ´etant quasi-d´eploy´es, on peut fixer dans chacund’eux un sous-groupe de Borel, un sous-tore maximal de ce groupe et un ´epinglage, cesdonn´ees ´etant d´efinies sur F . Quitte `a multiplier h ′′ `a droite par un ´el´ement de H ′′ ♭,T , cequi est loisible, on peut supposer que φ ′′ envoie ces donn´ees du groupe H ′′ ♭,T sur cellesdu groupe H ′′ ♭,T ′ . Soit σ ∈ Gal ( ¯ F /F ). La condition (1) entraˆıne que σ ( h ) − h appartientau commutant de T dans H ♭ , c’est-`a-dire `a T × H ′′ ♭,T . Donc σ ( h ′′ ) − h ′′ ∈ H ′′ ♭,T . Cet´el´ement conserve le sous-groupe de Borel, le tore maximal et l’´epinglage de H ′′ ♭,T . Doncil appartient au centre de H ′′ ♭,T , qui est r´eduit `a { } puisque dim ( W ′′ ♭ ) est impaire. Donc h ′′ est d´efini sur F et c’est un isomorphisme de W ′′ ♭,T sur W ′′ ♭,T ′ . Supposons d W ♭ pair. Onconsid`ere h comme un ´el´ement de G et on remplace les espaces W ′′ ♭,T et W ′′ ♭,T ′ par V ′′ ♭,T et V ′′ ♭,T ′ dans le raisonnement pr´ec´edent. On conclut de mˆeme que ces deux derniers espacessont isomorphes. Puisque W ′′ ♭,T et W ′′ ♭,T ′ sont les orthogonaux dans ces espaces de l’espacecommun D ⊕ Z , ils sont eux-aussi isomorphes. De mˆeme, maintenant que l’on a prouv´eque W ′′ ♭,T et W ′′ ♭,T ′ ´etaient isomorphes, W ′ ♭,T et W ′ ♭,T ′ le sont aussi. On peut remplacer h par un ´el´ement qui a mˆeme restriction `a W ′ ♭,T ⊗ F ¯ F et qui est un isomorphisme d´efini sur F de W ′′ ♭,T sur W ′′ ♭,T ′ (on peut choisir ce dernier tel que h soit dans H ♭ et non seulementdans H + ♭ ). Un tel h v´erifie encore (1) et la condition du (i) de l’´enonc´e.Soient T ∈ T a et T ′ ∈ T i deux ´el´ements stablement conjugu´es et h v´erifiant (2).Dans le cas d W i impair, le mˆeme raisonnement s’applique en rempla¸cant l’application h ′′ par la restriction de h ◦ Φ `a W ′′ a,T ⊗ F ¯ F et φ ′′ par la restriction `a H ′′ a,T de x hφ ( x ) h − .Dans le cas d W i pair, on ´etend Φ en un isomorphisme de V a ⊗ F ¯ F sur V i ⊗ F ¯ F qui est112’identit´e sur D ⊕ Z . On en d´eduit un prolongement de φ en un torseur int´erieur de G a sur G i . On remplace alors h ′′ par la restriction de h ◦ Φ `a V ′′ a,T ⊗ F ¯ F et φ ′′ par la restriction`a G ′′ a,T de x hφ ( x ) h − . Cela prouve (i)Soit T ∈ T ♭ . Notons H T l’ensemble des h ∈ H ♭ tels que σ ( h ) − h ∈ T pour tout σ ∈ Gal ( ¯ F /F ). On vient de voir que, pour tout ´el´ement T ′ ∈ T ♭ stablement conjugu´e `a T , il existait h ∈ H T tel que hT h − = T ′ . Inversement, pour h ∈ H T , le tore T ′ = hT h − est d´efini sur F . La restriction de h `a W ′′ ♭,T est d´efinie sur F et le tore T ′ appartient`a T ♭ : on a W ′′ ♭,T ′ = h ( W ′′ ♭,T ) et W ′ ♭,T ′ est l’orthogonal de cet espace dans W ♭ . A tout h ∈ H T , associons l’unique ´el´ement T h ∈ T ♭ tel que hT h − soit conjugu´e `a T h par un´el´ement de H ♭ ( F ). L’application h T h se quotiente en une surjection de H ♭ ( F ) \H T /T sur l’ensemble des T ′ ∈ T ♭ tels que T ′ ∼ st T . Pour h ∈ H ♭ ( F ) \H T /T , notons n ( h ) lenombre d’´el´ements de la fibre de cette application au-dessus de T h . Le membre de gauchede l’´egalit´e du (ii) de l’´enonc´e est ´egal `a X h ∈ H ♭ ( F ) \H T /T n ( h ) − | W ( H ♭ , T h ) | − . Soit h ∈ H ♭ ( F ) \H T /T , que l’on rel`eve en un ´el´ement de H T tel que hT h − = T h . Notons H h,T l’ensemble des x ∈ H T tels que xT x − = T h . L’entier n ( h ) est le nombre d’´el´ementsde l’image de H h,T dans H ♭ ( F ) \H T /T . On v´erifie que H h,T = h ( H T ∩ N orm H ♭ ( T )). Donc n ( h ) est le nombre d’´el´ements de l’image de l’application H T ∩ N orm H ♭ ( T ) → H ♭ ( F ) \H T /Tn H ♭ ( F ) hnT. On v´erifie que cette application se quotiente en une bijection de N orm H ♭ ( F ) ( T h ) \ ( H T ∩ N orm H ♭ ( T )) /T H ′′ ♭,T ( F ) sur son image. Le groupe T H ′′ ♭,T ( F ) est un sous-groupe distingu´ede H T ∩ N orm H ♭ ( T ) et son intersection avec N orm H ♭ ( F ) ( T h ) est Z H ♭ ( F ) ( T h ). Donc n ( h ) = n | W ( H ♭ , T h ) | − , o`u n est le nombre d’´el´ements de ( H T ∩ N orm H ♭ ( T )) /T H ′′ ♭,T ( F ). Lemembre de gauche de l’´egalit´e du (ii) de l’´enonc´e est donc ´egal `a n n − , o`u n est lenombre d’´el´ements de H ♭ ( F ) \H T /T . On v´erifie que l’application qui, `a h ∈ H T , associele cocycle σ σ ( h ) − h , se quotiente en une bijection de H ♭ ( F ) \H T /T sur le noyaude l’application H ( T ) → H ( H ♭ ). On sait bien que ce noyau a h ( T ) ´el´ements. Donc n = h ( T ). Consid´erons l’application naturelle(3) ( H T ∩ N orm H ♭ ( T )) /T H ′′ ♭,T ( F ) → ¯ W ( H ♭ , T ) . On v´erifie qu’elle est injective et que son image est contenue dans ¯ W F ( H ♭ , T ). Inverse-ment, soit n ∈ N orm H ♭ ( T ) dont l’image dans ¯ W ( H ♭ , T ) appartient `a ¯ W F ( H ♭ , T ). Tout´el´ement de N orm H ♭ ( T ) conserve les espaces W ′ ♭,T ⊗ F ¯ F et W ′ ♭,T ⊗ F ¯ F . Notons n ′ et n ′′ les restrictions de n `a ces espaces. Choisissons n ′′ ∈ H ′′ + ♭,T ( F ) de mˆeme d´eterminant que n ′′ . Consid´erons l’´el´ement n ∈ H ♭ de restriction n ′ `a W ′ ♭,T ⊗ F ¯ F et de restriction n ′′ `a W ′′ ♭,T ⊗ F ¯ F . Il appartient `a N orm H ♭ ( T ) et a mˆeme image que n dans ¯ W ( H ♭ , T ). Puisquecette image appartient `a ¯ W F ( H ♭ , T ), on a σ ( n ) − n ∈ T × H ′′ ♭,T pour tout σ ∈ Gal ( ¯ F /F ).Par construction, la restriction de σ ( n ) − n `a W ′′ ♭,T ⊗ F ¯ F est l’identit´e. Donc cet ´el´ementappartient `a T et n appartient `a H T ∩ N orm H ♭ ( T ). L’image de l’injection (3) est donc´egale `a ¯ W F ( H ♭ , T ) et n est le nombre d’´el´ements de cet ensemble. Cela prouve l’´egalit´edu (ii) de l’´enonc´e. 113eux tores T et T ′ stablement conjugu´es sont isomorphes sur F , donc h ( T ) = h ( T ′ ).Dans la situation de (2), on v´erifie que l’application n hφ ( n ) h − est un isomorphismede ¯ W F ( H a , T ) sur ¯ W F ( H i , T ′ ) d’o`u l’´egalit´e du nombre d’´el´ements de ces ensembles. Unr´esultat analogue vaut dans la situation de (1). Cela prouve (ii).Soit T ∈ T a . Puisqu’au moins l’un des groupes H a ou G a n’est pas quasi-d´eploy´e, on a W ′ a,T = { } . Cet espace est de dimension paire. S’il est de dimension 2, on a T = H ′ a,T et,puisque A T = { } , W ′ a,T n’est pas hyperbolique. Il existe donc un espace quadratique,notons-le W ′ i,T , qui a mˆeme dimension que W ′ a,T , dont la forme quadratique a mˆemed´eterminant que celle de W ′ a,T , mais qui n’est pas isomorphe `a W ′ a,T . Il est clair que lasomme orthogonale W ′ i,T ⊕ W ′′ a,T est isomorphe `a W i . Puisque T est un sous-tore maximalelliptique de H ′ a,T , on peut le transf´erer en un sous-tore maximal elliptique T ′ du groupesp´ecial orthogonal H ′ i,T de l’espace W ′ i,T . Par l’isomorphisme pr´ec´edent, T ′ devient unsous-tore de H i . Ce tore T ′ appartient `a T i et est stablement conjugu´e `a T . Donc la classede conjugaison stable de T coupe T i . Si T ∈ T i et T = { } , un raisonnement analoguemontre que la classe de conjugaison stable de T coupe T a . Par contre, si T = { } , saclasse de conjugaison stable se r´eduit `a T lui-mˆeme. Le seul sous-tore de H a qui pourraitlui correspondre est le sous-tore { } de H i . Mais celui-ci n’appartient pas `a T a puisquel’un des groupes H a ou G a n’est pas quasi-d´eploy´e. (cid:3) Pour un indice ♭ = i ou a , consid´erons la somme m (Σ ♭ , Π ♭ ) = X σ ∈ Σ ♭ ,π ∈ Π ♭ m ( σ, π ) . D’apr`es l’hypoth`ese du th´eor`eme, toutes les repr´esentations π qui interviennent sontsupercuspidales. D’apr`es la proposition 13.1,on peut remplacer les multiplicit´es m ( σ, π )par m geom ( σ, π ). On obtient(1) m (Σ ♭ , Π ♭ ) = X T ∈T ♭ | W ( H ♭ , T ) | − ν ( T ) Z T ( F ) c ˇΣ ♭ ( t ) c Π ♭ ( t ) D H ( t )∆( t ) r dt, o`u c Π ♭ ( t ) = X π ∈ Π ♭ c π ( t ) , et c ˇΣ ♭ ( t ) est d´efini de fa¸con analogue. Fixons T ∈ T ♭ , introduisons les espaces W ′′ T et V ′′ T etles groupes H ′′ ♭,T et G ′′ ♭,T qui lui sont associ´es. Pour π ∈ Π ♭ , t ∈ T ♯ ( F ) et X ∈ g ′′ ♭,T,reg ( F ),avec X assez proche de 0, on a un d´eveloppement θ π ( texp ( X )) D G ′′ ♭,T ( X ) / = X O∈ Nil ( g ′′ ♭,T ) c θ π , O ( t )ˆ j G ′′ ♭,T ( O , X ) D G ′′ ♭,T ( X ) / . Le terme c π ( t ) est ´egal `a c θ π , O reg ( t ) si d est impair ou si dim ( V ′′ ♭,T ) ≤ 2, `a c θ π , O ν ( t ) si d est pair et dim ( V ′′ ♭,T ) ≥ 4. Rempla¸cons X par λX , avec λ ∈ F × et faisons tendre λ vers0. D’apr`es 2.6(1), la fonction λ ˆ j G ′′ ♭,T ( O , λX ) D G ′′ ♭,T ( λX ) / O n’est pas r´eguli`ere. Supposons d’abord d impair ou dim ( V ′′ ♭,T ) ≤ X un ´el´ement de la forme X qd . D’apr`es le lemme 13.4, la fonctionci-dessus est constante de valeur | W G ′′ ♭,T ) | pour O = O reg . On obtient c π ( t ) = | W G ′′ ♭,T ) | − lim λ → θ π ( texp ( λX qd )) D G ′′ ♭,T ( λX qd ) / . Si maintenant d est pair et dim ( V ′′ ♭,T ) ≥ 4, on introduit dans l’alg`ebre g ′′ ♭,T ( F ) des ´el´ements X ± F . Le lemme 13.4 conduit alors `a l’´egalit´e c π ( t ) = lim λ → ( | W G ′′ ♭,T ) | − θ π ( texp ( λX qd )) D G ′′ ♭,T ( λX qd ) / + X F ∈F V ′′ ♭,T | W ( G ′′ ♭,T , T F ) | − ǫ F χ F ( ν η )( θ π ( texp ( λX + F )) − θ π ( texp ( λX − F ))) D G ′′ ♭,T ( λX F ) / . Pour calculer c Π ♭ ( t ), on somme ces expressions sur π ∈ Π ♭ . Cela revient `a remplacer lescaract`eres θ π par θ Π ♭ . Dans le cas o`u d est pair et dim ( V ′′ ♭,T ) ≥ 4, on remarque que, pour F ∈ F V ′′ ♭,T , les points texp ( λX + F ) et texp ( λX − F ) sont stablement conjugu´es. Or θ Π ♭ estune distribution stable. Donc θ Π ♭ ( texp ( λX + F )) − θ Π ♭ ( texp ( λX − F )) = 0 . En tout cas, on obtient l’´egalit´e(2) c Π ♭ ( t ) = | W G ′′ ♭,T ) | − lim λ → θ Π ♭ ( texp ( λX qd )) D G ′′ ♭,T ( λX qd ) / . Soit T ′ ∈ T ♭ stablement conjugu´e `a T . D’apr`es le lemme 13.5(i), on peut choisir un´el´ement h ∈ H v´erifiant la condition 13.5(1) et tel que sa restriction `a V ′′ ♭,T soit unisomorphisme d´efini sur F de cet espace sur V ′′ ♭,T ′ . La conjugaison par h identifie T `a T ′ , V ′′ ♭,T `a V ′′ ♭,T ′ et G ′′ ♭,T `a G ′′ ♭,T ′ . Soit t ′ = hth − . Posons X ′ qd = hX qd h − . C’est un ´el´ementde g ′′ ♭,T ′ ( F ) qui a les mˆemes propri´et´es que X qd . On peut calculer c Π ♭ ( t ′ ) en rempla¸cant t par t ′ et X qd par X ′ qd dans la formule (2). Mais les ´el´ements texp ( λX qd ) et t ′ exp ( λX ′ qd )sont stablement conjugu´es. Puisque θ Π ♭ est stable, cette fonction prend la mˆeme valeuren ces deux ´el´ements et on en d´eduit c Π ♭ ( t ) = c Π ♭ ( t ′ ). On d´emontre de mˆeme l’´egalit´e c ˇΣ ♭ ( t ) = c ˇΣ ♭ ( t ). On a aussi D H ( t )∆( t ) r = D H ( t ′ )∆( t ) r . Alors l’int´egrale index´ee par T ′ dans la formule (1) a la mˆeme valeur que celle index´ee par T .Notons T ♭,st un sous-ensemble de repr´esentants dans T ♭ des classes de conjugaisonstable coupant T ♭ . Alors m (Σ ♭ , Π ♭ ) = X T ∈T ♭,st m ( T ) ν ( T ) Z T ( F ) c ˇΣ ♭ ( t ) c Π ♭ ( t ) D H ( t )∆( t ) r dt, o`u m ( T ) = X T ′ ∈T ♭ ; T ′ ∼ st T | W ( H ♭ , T ′ ) | − . Le lemme 13.5(iii) d´efinit une injection T a,st → T i,st . Soient T a ∈ T a,st et T i ∈ T i,st sonimage. Choisissons h ∈ H i v´erifiant la condition 13.5(2) et tel que la restriction de h ◦ Φ`a W ′′ a,T a soit d´efinie sur F (lemme 13.5(i)). Soit t ∈ T a,♯ ( F ), posons t ′ = hφ ( t ) h − . Unargument similaire `a celui ci-dessus montre que c Π a ( t ) = ( − d c Π i ( t ′ ) , c ˇΣ a ( t ) = ( − d W c ˇΣ i ( t ′ ) . − 1. On a aussi m ( T a ) = m ( T i ) d’apr`es le lemme 13.5(ii) et, bien sˆur, D H a ( t )∆( t ) r = D H i ( t ′ )∆( t ′ ) r . Alors lacontribution de T a `a m (Σ a , Π a ) est l’oppos´ee de celle de T i `a m (Σ i , Π i ). La somme m (Σ a , Π a ) + m (Σ i , Π i ) se r´eduit donc `a la contribution de l’unique classe de conjugaisonstable qui ne coupe pas T a,st , c’est-`a-dire `a la contribution du tore { } de T i . On obtient(3) m (Σ a , Π a ) + m (Σ i , Π i ) = c ˇΣ i (1) c Π i (1) . Rappelons un r´esultat de Rodier ([R] th´eor`eme p.161 et remarque 2 p.162). Soient π unerepr´esentation admissible irr´eductible de G i ( F ) et O une orbite nilpotente r´eguli`ere de g i ( F ). Alors c θ π , O (1) vaut 1 si π poss`ede un mod`ele de Whittaker relatif `a O et 0 sinon.On a c Π i (1) = X π ∈ Π i c θ π , O (1) , o`u O = O reg ou O ν selon le cas. Le r´esultat ci-dessus et la propri´et´e 13.2(3) entraˆınentque cette somme ne contient qu’un terme non nul, qui vaut 1. Donc c Π i (1)) = 1 et, demˆeme, c ˇΣ i = 1. Le membre de gauche de (3) est la somme des m ( σ, π ) pour ( σ, π ) ∈ (Σ i × Π i ) ∪ (Σ a × Π a ). Puisqu’elle vaut 1, il y a un unique couple ( σ, π ) pour lequel m ( σ, π ) = 1. (cid:3) Bibliographie [AGRS] A. Aizenbud, D. Gourevitch, S. Rallis, G. Schiffmann : Multiplicity one theo-rems , pr´epublication 2007[A1] J. Arthur : The trace formula in invariant form , Annals of Math. 114 (1981),p.1-74[A2] ............... : The invariant trace formula I. Local theory , J. AMS 1 (1988), p.323-383[A3] ............... : A local trace formula , Publ. Math. IHES 73 (1991), p.5-96[A4] ............... : On the transfer of distributions : weighted orbital integrals , DukeMath. J. 99 (1999), p.209-283[A5] ............. : The local behaviour of weighted orbital integrals , Duke Math. 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