+\infty-w\_0-generated field extensions
aa r X i v : . [ m a t h . A C ] F e b Extensions + ∞ - w -générées El Hassane Fliouet
Résumé
In this note, we continue to be interested in the relationship thatconnects the restricted distribution of finitude at the local level of in-termediate fields of a purely inseparable extension
K/k to the absolute orglobal finitude of
K/k . In " w -generated field extensions, Arch. Math. ,(1986), 410-412", JK Deveney constructed an example of modular exten-sion K/k called w -generated such that for any proper subfield L of K/k , L is finite over k , and for every n ∈ N , we have [ k p − n ∩ K : k ] = p n . Thisexample has proved to be extremely useful in the construction of otherexamples of w -generated extensions. In particular, we prolong the w -generated to an extension of unspecified finite size. However, when K/k isof unbounded size, we show that any modular extension of unbounded ex-ponent admits a proper subextension of unbounded exponent. This bringsus to study the w -generated in the restricted sense. In addition, with theaim of extending the w -generated to a purely inseparable extension ofunbounded size, we propose other generalizations. Mathematics Subject Classification MSC2010 :
Primary 12F15
Keywords :
Purely inseparable, Degree of irrationality, Modular extension, w -generated field extensions, + ∞ - w -generated, q -finite extension. Soit
K/k une extension purement inséparable de caractéristique p > . Unepartie B de K est dite r -base de K/k si K = k ( K p )( B ) , et pour tout x ∈ B , x k ( K p )( B \ { x } ) . En vertu du ([16], III, p. 49, corollaire 3) et de la propriétéd’échange des r -bases, on en déduit que toute extension admet une r -base etque le cardinal d’une r -base est invariant. Si de plus K/k est d’exposant fini,on vérifie aussitôt que B est une r -base de K/k si et seulement si B est ungénérateur minimal de K/k . Sous ces conditions, on désigne par di ( K/k ) = | G | ,où G est un générateur minimal de K/k , le degré d’irrationalité de
K/k , et par di ( k ) = | B | , où B est une r -base de k/k p , le degré d’imperfection de k . Ces deuxinvariants permettent de mesurer respectivement la taille de K/k et la longueurde k . Notamment, la taille d’une extension croit en fonction de l’inclusion. Plusprécisément, pour toute chaine d’extensions d’exposant borné k ⊆ L ⊆ K , on a di ( L/k ) ≤ di ( K/k ) (cf. [10]). En particulier, cette propriété permet d’étendre la1 xtensions + ∞ - w -générées K/k quelconque parprolongement vertical du degré d’irrationalité des sous-extensions intermédiairesd’exposant fini de
K/k . Ainsi, on pose di ( K/k ) = sup n ∈ N ( di ( k p − n ∩ K/k )) , ici le sup est employé dans le sens ([16], III, p. 25, proposition 2). Dans ce contexte, onmontre dans (cf. [10]) que la mesure de la taille d’une extension est compatibleavec l’inclusion et la linéarité disjointe. En d’autres termes, on a : • Pour toute chaine d’extensions purement inséparables k ⊆ L ⊆ L ′ ⊆ K ,on a di ( L ′ /L ) ≤ di ( K/k ) ≤ di ( k ) • Pour tous corps intermédiaires K et K de K/k , k -linéairement dis-joints, on a di ( K ( K ) /k ) = di ( K /k ) + di ( K /k ) et di ( K ( K ) /K ) = di ( K /k ) . En outre, di ( K/k ) = sup( di ( L/k )) , où k ⊆ L ⊆ K . Autrement dit, la mesure dela taille de K/k est vue comme limite inductive du degré d’irrationalité de cessous-extensions intermédiaires.Dans cette note, nous continuons à s’intéresser à la relation qui relit la répar-tition restreinte de la finitude au niveau des corps intermédiaires d’une extensionpurement inséparable
K/k à la finitude absolue ou globale de
K/k .Dans [9], J. K. Deveney construit un exemple d’extension modulaire
K/k dite extension w -générée tel que toute sous-extension propre de K/k est finie,et telle que pour tout n ∈ N , on a [ k p − n ∩ K : k ] = p n . Il est facile de vérifierque di ( k p − n ∩ K/k )) = 2 , et donc
K/k est relativement parfaite d’exposantnon borné dont la mesure de la taille vaut 2. En particulier,
K/k ne conservepas la distribution de la finitude au niveau local des corps intermédiaires de
K/k . Ainsi, on peut espérer étendre la w -génératrice à une extension de taillequelconque. Dans cette perspective, dans [2] on construit pour tout entier j uneextension purement inséparable K/k d’exposant non borné vérifiant :(i)
Toute sous-extension propre de
K/k est finie ; (ii)
Pour tout n ∈ N , [ k p − n ∩ K : k ] = p jn . Améliorant ainsi le contre-exemple de J. K. Deveney, une telle extension est rela-tivement parfaite d’exposant non borné, et pour tout n ∈ N , di ( k p − n ∩ K/k ) = j .Il est également clair que K/k ne conserve pas la finitude restreinte. Il s’agitdonc d’une forme d’irréductibilité dans le sens où
K/k ne peut se décomposersous la forme k −→ K −→ K avec K /k et K/K ont chacune un exposantnon borné. D’autre part, toute extension de taille finie est composée d’extensions w -générées. Toutefois, lorsque la taille de K/k n’est pas borné, on montre quetoute extension modulaire d’exposant non borné admet une sous-extension d’ex-posant non borné. En particulier, on montre pour qu’une extension w -généréesoit de taille finie il faut et il suffit que la plus petite sous-extenion m de K/k telle que
K/m est modulaire soit non triviale ( m = K ), et par suite si l’on tientcompte de ce résultat, il est fort probable que la w -génératrice soit liée auxextensions de taille finie. Ceci, nous amène à étudier de près la w -génératriceau sens restreint. Conformément à cette approche, et dans le but d’étendre la w -génératrice aux extensions purement inséparables de taille non bornée, on xtensions + ∞ - w -générées K/k est dite j - w -générée si K/k n’admet aucun corps intermédiaire L d’exposant non borné sur k et dedegré d’irrationalité inférieur ou égal j . Il s’agit d’une forme d’irrédictubilité lo-cale conditionnée par la mesure de la taille. En particulier, si pour tout entier j , K/k est j - w -générée, K/k sera appelée + ∞ - w -générée. On vérifie aussitôt quetoute extension w -générée est + ∞ - w -générée et inversement toute extension + ∞ - w -générée de taille finie est w -générée. Il s’agit d’une répartition abso-lue de la w -génératrice au niveau des extensions de taille finie. Par ailleurs,pour des raisons de la non-contradiction, on construit un exemple d’extension + ∞ - w -générée de taille infinie.Enfin, il est à noter qu’au cours de cette note, on reprend, les notations etles résultats élémentaires de [10], puisqu’ils sont utilisés avec toute leur force ici. D’abord, nous commencerons par donner une liste préliminaire des notationsle plus souvent utilisées tout le long de ce travail : – k désigne toujours un corps commutatif de caractéristique p > , et Ω uneclôture algébrique de k .– k p −∞ indique la clôture purement inséparable de Ω /k .– Pour tout a ∈ Ω , pour tout n ∈ N ∗ , on symbolise la racine du polynôme X p n − a dans Ω par a p − n . En outre, on pose k ( a p −∞ ) = k ( a p − , . . . , a p − n ,. . . ) = [ n ∈ N ∗ k ( a p − n ) et k p − n = { a ∈ Ω | , a p n ∈ k } .– Pour toute famille B = ( a i ) i ∈ I d’éléments de Ω , on note k ( B p −∞ ) = k (( a ip −∞ ) i ∈ I ) .– Enfin, |.| sera employé au lieu du terme cardinal. Il est à signaler aussi que toutes les extensions qui interviennent dans cepapier sont des sous-extensions purement inséparables de Ω , et il est commodede noter [ k, K ] l’ensemble des corps intermédiaires d’une extension K/k . r -base, r -générateur Définition 2.1
Soit
K/k une extension. Une partie G de K est dite r -généra-teur de K/k , si K = k ( G ) ; et si de plus pour tout x ∈ G , x k ( G \ x ) , G seraappelée r -générateur minimal de K/k . Définition 2.2
Etant données une extension
K/k de caractéristique p > etune partie B de K . On dit que B est une r -base de K/k , si B est un r -générateurminimal de K/k ( K p ) . Dans le même ordre d’idées, on dit que B est r -libre sur k , si B est une r -base de k ( B ) /k ; dans le cas contraire B est dite r -liée sur k . Voici quelques cas particuliers : – Toute r -base de k/k p s’appelle p -base de k . xtensions + ∞ - w -générées – Egalement, toute partie d’éléments de k , r -libre sur k p sera appelée p -indépendante (ou p -libre) sur k p . Ici B désigne une partie d’un corps commutatif k de caractéristique p > .Comme conséqueces immédiates on a :(1) B est p -base de k si et seulement si pour tout n ∈ Z , B p n l’est égalementde k p n . (2) B est r -libre sur k p si et seulement si pour tout n ∈ Z , B p n l’est auusisur k p n +1 . (3) B est p -base de k si et seulement si B est un r -générateur minimal de k/k p . (4) B est p -base de k si et seulement si pour tout n ∈ N ∗ , k p − n = ⊗ k ( ⊗ k k ( a p − n )) a ∈ B et pour tout a ∈ B , a k p . En particulier, B est p -base de k si et seulement si k p −∞ = ⊗ k ( ⊗ k k ( a p −∞ )) a ∈ B et pour tout a ∈ B , a k p . Il est à noter que le produit tensoriel est utilisé conformément à la définition5 (cf. [17], III, p. 42). Il est vu comme limite inductive du produit tensorield’une famille finie de k -algèbre. Toutefois, la proposition ci-dessous permet deramener l’étude des propriétés des systèmes r -libres des extensions de haureur ≤ , ( K p ⊆ k ) au cas fini. Plus précisément, on a : Proposition 2.1
Soit
K/k une extension de caractéristique p > . Une partie B de K est r -libre sur k ( K p ) si et seulement s’il en est de même pour toutesous-partie finie de B . Preuve.
Immédiat. ⊓⊔ Proposition 2.2
Soit
K/k une extension de caractéristique p > . Toute partiefinie B de K satisfait [ k ( K p )( B ) : k ( K p )] ≤ p | B | , et il y’a égalité si et seulementsi B est r -libre sur k ( K p ) . Preuve.
Notons B = { x , . . . , x n } , comme pour tout i ∈ { , . . . , n } , on a x pi ∈ k ( K p ) ⊆ k ( K p )( x , . . . , x i − ) , alors [ k ( K p )( x , . . . , x i ) : k ( K p )( x , . . . , x i − )] ≤ p , et il y’a égalité si et seulement si x i k ( K p )( x , . . . , x i − ) . Compte tenu dela transitivité de la finitude, on a [ k ( K p )( x , . . . , x n ) : k ( K p )] = n Y i =1 [ k ( K p )( x ,. . . , x i ) : k ( K p )( x , . . . , x i − )] ≤ p n , et il y’a égalité si et seulement si B est r -libre sur k ( K p ) . ⊓⊔ Corollaire 2.3
Soit
K/k une extension de caractéristique p > . Une partie B de K est r -libre sur k ( K p ) si et seulement si pour toute sous-partie finie B ′ de B , on a [ k ( K p )( B ′ ) : k ( K p )] = p | B ′ | . Comme application, le résultat ci-dessous montre que la r -indépendance esttransitive dans le cas des extensions de hauteurs . Autrement dit : Proposition 2.4
Etant donnée une extension
K/k de caractéristique p > .Deux parties B et B de K sont respectivement r -libres sur k ( K p ) et k ( B )( K p ) xtensions + ∞ - w -générées si et seulement si B ∪ B l’est sur k ( K p ) . En particulier, si B est une r -basede k ( K p ) /K p , et B est une r -base de K/k ( B )( K p ) , alors B ∪ B est p -basede K . Preuve.
La condition suffisante résulte aussitôt de la définition des r -bases. Parailleurs, d’après la proposition 2.1, on se ramène au cas où B et B sont finies.En vertu de la proposition 2.2, on a [ k ( K p )( B ∪ B ) : k ( K p )] = [ k ( K p )( B ∪ B ) : k ( K p )( B )] . [ k ( K p )( B ) : k ( K p )] = p | B | .p | B | = p | B | + | B | = p | B ∪ B | , etpar suite B ∪ B est r -libre sur k ( K p ) . ⊓⊔ Comme conséquences immédiates :
Corollaire 2.5
Soient k ⊆ L ⊆ K des extensions purement inséparables et B , B deux parties respectivement de K et L . Si B est une r -base de K/L et B une r -base de L ( K p ) /k ( K p ) , alors B ∪ B est une r -base de K/k . Corollaire 2.6
Soient
K/k une extension de caractéristique p > , x un élém-ent de K , et B une partie r -libre sur k ( K p ) . Pour que B ∪ { x } soit r -libre sur k ( K p ) il faut et il suffit que x k ( K p )( B ) . Preuve. immédiat. ⊓⊔ Théorème 2.7 [théorème de la r -base incomplète] Etant données une extension K/k de caractéristique p > , et une partie B de K , r -libre sur k ( K p ) . Pourtout r -générateur G de K/k ( K p ) , il existe un sous-ensemble G de G tel que B ∪ G est une r -base de K/k . Preuve.
Le cas où k ( K p )( B ) = K est trivialement évident. Si k ( K p )( B ) = K ,il existe x ∈ G tel que x k ( K p )( B ) . En effet, si pour tout x ∈ G , x ∈ k ( K p )( B ) ,comme G est un r -générateur de K/k ( K p ) , on aura k ( K p )( G ) = K ⊆ k ( K p )( B ) ,absurde. D’après le lemme précédent, B ∪ { x } est une partie r -libre sur k ( K p ) .Posons ensuite H = { L ⊂ G tel que B ∪ L est r -libre sur k ( K p ) } . IL est clairque H est inductif, et donc d’après le lemme de Zorn, H admet un élémentmaximal que l’on note M . Soit B = M ∪ B , nécessairement K = k ( K p )( B ) , si K = k ( K p )( B ) , il existe également un élément y de G tel que y k ( K p )( B ) ,et donc B ∪ { y } serait r -libre sur k ( K p ) ; c’est une contradiction avec le faitque M est maximal. ⊓⊔ Voici quelques conséquences immédiates :(1)
De tout r -générateur de K/k ( K p ) on peut en extraire une r -base de K/k . (2) Toute partie r -libre sur k ( K p ) peut être complétée en une r -base de K/k .En particulier, toute partie p -indépendante sur k p peut être étendue en une p -base de k . (3) Toute extension
K/k admet une r -base. En outre, tout corps commutatifde caractéristique p > admet une p -base. Par ailleurs, toutes les r -bases d’une même extension ont même cardinalcomme le précise le résultat suivant. xtensions + ∞ - w -générées Théorème 2.8
Soit
K/k une extension de caractéristique p > . Si B et B sont deux r -bases de K/k , alors | B | = | B | . Pour la preuve de ce théorème on se sérvira des résultats suivants.
Lemme 2.9 [Lemme d’échange]
Sous les conditions du théorème précédent,pour tout x ∈ B , il existe x ∈ B tel que ( B \{ x } ) ∪ { x } est une r -base de K/k . Preuve.
Choisissons un élément arbitraire x de B , comme B est une r -basede K/k , il en résulte que { x } est r -libre sur k ( K p ) . Compte tenu du théo-rème 2.7, il existe B ′ ⊂ B tel que B ′ ∪ { x } est une r -base de K/k . D’où, p = [ k ( K p )( B ′ )( { x } ) : k ( K p )( B ′ )] = [ K : k ( K p )( B ′ )] = [ k ( K p )( B ′ )( B \ B ′ ) : k ( K p )( B ′ )] , et comme B \ B ′ est r -libre sur k ( K p )( B ′ ) , on en déduit que | B \ B ′ | = 1 , c’est-à-dire B \ B ′ est réduit à un singleton. ⊓⊔ Proposition 2.10
Soit
K/k une extension de caractéristique p > . Si K/k admet au moins une r -base finie, alors toutes les r -bases de K/k sont finies etont même cardinal.
Preuve.
Immédiat, il suffit d’appliquer la proposition 2.2. ⊓⊔ Preuve du théorème 2.8.
D’après la prroposition 2.1, on se ramène au cas où | B | et | B | sont infinies. Comme B est une r -base de K/k , pour tout x ∈ B ,il existe une partie finie D ( x ) de B telle que x ∈ k ( K p )( D ( x )) , et par suite K = k ( K p )( B ) ⊆ k ( K p )( [ x ∈ B ( D ( x ))) . Il en résulte que [ x ∈ B ( D ( x )) = B , eten vertu du ([16], III, p. 49, cor 3), on obtient | B | ≤ | B | . | N | = | B | . De lamême façon on montre que | B | ≤ | B | ; d’où | B | = | B | . ⊓⊔ Comme conséquence, on a :
Corollaire 2.11
Pour toute partie B de K , r -libre sur k ( K p ) , et tout r -générateur G de K/k , on a | B | ≤ | G | . Preuve.
Immédiat, puisque tout r -générateur peut se réduire (respectivementtoute famille r -libre peut se compléter) en une r -base. ⊓⊔ Dans le cas où
K/k ( K p ) est finie, compte tenu du théorème de la r -base in-complète, un r -générateur G de K/k ( K p ) est une r -base de K/k si et seulementsi | G | = Log p ([ K : k ( K p )]) . En particulier, si B est une r -base de K/k et G un r -générateur de K/k ( K p ) tels que | B | = | G | < + ∞ , alors G est une r -base de K/k .Soit
K/k une extension purement inséparable de caractéristique p > . Onrappelle que K est dit d’exposant fini sur k , s’il existe e ∈ N tel que K p e ⊆ k , etle plus petit entier qui satisfait cette relation sera appelé exposant (ou hauteur)de K/k . Certes, la proposition suivante permet de ramener l’étude des propriétésdes r -générateurs minimals des extensions d’exposant fini au cas des extensionsde hauteur , lesquelles sont plus riches. xtensions + ∞ - w -générées Proposition 2.12
Soit
K/k une extension purement inséparable d’exposantfini. Pour qu’une partie de K soit une r -base de K/k il faut et il suffit queelle soit r -générateur minimal de K/k . Preuve.
Soit G une r -base de K/k , donc K = k ( K p )( G ) = . . . = k ( K p e )( G )= k ( G ) , et s’il existe x ∈ G tel que x ∈ k ( G \{ x } ) , on aura x ∈ k ( K p )( G \{ x } ) ,c’est une contradiction avec le fait que G est une r -base de K/k . Inversement,pour tout r -générateur minimal G de K/k , on a K = k ( G ) = k ( K p )( G ) , et s’ilexiste x ∈ G tel que x ∈ K = k ( K p )( G \ x ) = . . . = k ( K p e )( G \{ x } = k ( G \{ x } ) ,on aura une contradiction avec le fait que G est un r -générateur minimal de K/k . ⊓⊔ Théorème 2.13
Soit
L/k une sous extension d’une extension purement insé-parable d’exposant fini
K/k . Pour toutes r -bases B L et B K respectivement de L/k et K/k , on a | B L | ≤ | B K | . Preuve.
On distingue deux cas :1-ier cas. Si
K/k est d’exposant 1, c’est-à-dire K p ⊆ k , donc L p ⊆ k . D’aprèsle théorème 2.7, il existe B ⊆ B K tel que B L ∪ B est une r -base de K/k , etpar suite | B L | ≤ | B L ∪ B | = | B K | .2-ième cas. Etant donné un entier naturel e distinct de et . Raisonnonspar récurrence en supposant que le théorème est vérifié pour toute extensiond’exposant < e , et soit K/k une extension purement inséprable d’exposant e .Il est clair que k ( K p ) ⊆ L ( K p ) ⊆ K , et donc il existe B ⊆ B L et B ⊆ B K telles que B et B sont deux r -bases respectivement de L ( K p ) /k ( K p ) et K/L ( K p ) . D’après la transitivité de la r -indépendance, B ∪ B est une r -basede K/k ( K p ) . Posons ensuite k = k ( B ) et B ′ L = B L \ B ; on vérifie aussitôtque L ⊆ k ( K p ) = k ( B p ) , et k ( K p ) /k est d’exposant < e . Par application dela propriété de récurrence et du corollaire 2.11, on obtient | B ′ L | ≤ | B p | = | B | .Comme B ∩ B ′ L = ∅ et B ∩ B = ∅ , alors | B ∪ B ′ L | ≤ | B ∪ B | , et par suite | B L | ≤ | B K | . ⊓⊔ Soit
K/k une extension purement inséparable. Désormais, et sauf mentionexpresse du contraire, pour tout n ∈ N ∗ , on note k n = k p − n ∩ K , on obtientainsi k ⊆ k ⊆ . . . ⊆ k n ⊆ . . . ⊆ K , et k n /k est d’exposant fini. Soit B n une r -base de k n /k , d’après le théorème 2.13, | B n | ≤ | B n +1 | . Ensuite, on pose di ( K/k ) = sup n ∈ N ∗ ( | B n | ) , on rappelle que le sup est utilisé ici au sens du ([16], III,p. 25, proposition 2). Définition 3.1
L’invariant di ( K/k ) défini ci-dessus s’appelle le degré d’irrat-ionalité de K/k . En particulier, et pour des raisons de différenciation, le degré d’irrationalitéde k/k p sera appelé degré d’imperfection de k et sera noté di ( k ) . xtensions + ∞ - w -générées Remarque 3.1 di ( K/k ) permet de mesurer la taille de l’extension K/k , et di ( k ) la longueur de k . Toutefois, on vérifie aussitôt que : – di ( K/K ) = 0 .– Pour tout n ∈ Z , di ( k ) = di ( k p n ) = di ( k p −∞ /k ) .– Compte tenu du corollaire 2.5, pour toute sous-extension L/k de K/k , ona di ( K/k ( K p )) = di ( K/L ( K p )) + di ( L ( K p ) /k ( K p )) . Plus généralement,si K/k est d’exposant , on a di ( K/k ) = di ( K/L ) + di ( L/k ) .– En vertu de la proposition 2.2, pour toute extension purement inséparabled’exposant fini K/k , on a di ( K/k ) = di ( K/k ( K p )) . Théorème 3.1
Soient k ⊆ L ⊆ K des extensions purement inséparables, on a di ( L/k ) ≤ di ( K/k ) . En outre, di ( K/k ) = sup( di ( L/k )) L ∈ [ k,K ] . Preuve.
D’après le théorème 2.13, il suffit de remarquer que pour tout n ≥ , ona di ( k p − n ∩ L/k ) ≤ di ( k n /k ) , et donc sup( di ( k p − n ∩ L/k )) n ≥ ≤ sup( di ( k n /k )) n ≥ ;ou encore di ( L/k ) ≤ di ( K/k ) . ⊓⊔ Une conséquence type est le résultat suivant :
Théorème 3.2
Pour toute extension purement inséparable
K/k , on a di ( K/k ) ≤ di ( k ) . Preuve.
Il suffit de remarquer qu’une partie B de k est une p -base de k si et seulement si B p − n est une r -base de k p − n /k pour tout n ≥ . Comme k p −∞ = [ n ≥ k p − n , on a pour tout n ≥ , k p − n ∩ K ⊆ k p −∞ , et par suite di ( K/k ) ≤ di ( k p −∞ /k ) = di ( k ) . ⊓⊔ Proposition 3.3
Soit ( K n /k ) n ∈ N une famille croissante de sous-extensionspurement inséparables d’une extension Ω /k . On a : di ( [ n ∈ N ( K n ) /k ) = sup n ∈ N ( di ( K n /k )) . Preuve.
Notons K = [ n ∈ N K n , et soit j un entier naturel non nul. Il estimmédiat que k j = k p − j ∩ K = [ n ∈ N ( k p − j ∩ K n ) . Dans la suite on distingue deuxcas :1-ier cas : si di ( k j /k ) est fini, ou encore k j /k est finie. Comme pour tout n ∈ N , on a k p − j ∩ K n ⊆ k p − j ∩ K n +1 ⊆ k p − j ∩ K , alors la suite d’entiers ([ k p − j ∩ K n : k ]) n ∈ N est croissante et bornée, donc stationnaire à partir d’unrang n ; et par conséquent pour tout n ≥ n , k p − j ∩ K n = k p − j ∩ K n +1 . Enoutre, di ( k p − j ∩ K/k ) = di ( k p − j ∩ K n /k ) = sup n ∈ N ( di ( k p − j ∩ K n /k )) . xtensions + ∞ - w -générées di ( k p − j ∩ K/k ) est infini, ou encore sup n ∈ N ( di ( k p − j ∩ K n /k )) n’est pas fini. Comme k p − j ∩ K = [ n ∈ N ( k p − j ∩ K n ) , donc si B jn est une r -basede k p − j ∩ K n /k , alors [ n ∈ N B jn est un r -générateur de k p − j ∩ K/k . En vertu ducorollaire 2.11, di ( k p − j ∩ K/k ) ≤ | [ n ∈ N B jn | , et d’après ([16], III, p.49, corollaire3), | [ n ∈ N B jn | ≤ sup n ∈ N ( | B jn | ) = sup n ∈ N ( di ( k p − j ∩ K n /k )) .Compte tenu de ces deux cas, on en déduit que di ( K/k ) ≤ sup n ∈ N ( di ( K n /k )) .Mais comme K n ⊆ K pour tout n ≥ , d’après le théoréme 3.1 on obtient sup n ∈ N ( di ( K n /k )) ≤ di ( K/k ) , et par suite di ( K/k ) = sup n ∈ N ( di ( K n /k )) . ⊓⊔ Le résultat suivant qui est une conséquence bien connue de la linéarité dis-jointe intervient souvent dans le reste de ce papier.
Proposition 3.4
Soient K /k et K /k deux sous-extensions d’une même ex-tension K/k , k -linéairement disjointes. Pour touts corps intermédiaires L et L respectivement de K et K , on a L ( K ) et L ( K ) sont k ( L , L ) -linéairement-disjointes. En particulier, L ( K ) ∩ L ( K ) = k ( L , L ) . Une famille ( F i /k ) i ∈ J d’extensions est dites k -linéairement disjointes, sipour toute partie G d’éléments finis de J , ( F n /k ) n ∈ G sont k -linéairement dis-jointes (cf. [18], p. 36). Il est trivialement évident que k (( F i ) i ∈ J ) = Y i ∈ J F i ≃⊗ k ( ⊗ k F i ) i ∈ J si et seulement si ( F i /k ) i ∈ J sont k -linéairement disjointes. De plus,les propriétés de la linéarité disjointe du cas fini se prolonge naturellement à unefamille quelconques d’extensions k -linéairement disjointes. En particulier, pourtout i ∈ J , soit L i un sous-corps de F i , si ( F i /k ) i ∈ J sont k -linéairement dis-jointes, compte tenu de la transitivité de la linéarité disjointe, ( L i /k ) i ∈ J (resp. (( Y n ∈ J L n ) F i /k ) i ∈ J ) sont k -linéairement (resp. Y n ∈ J L n -linéairement) disjointes.Considérons maintenant deux sous-extensions K /k et K /k d’exposant finid’une même extension purement inséparable K/k . On vérifie aussitôt que si B et B sont deux r -bases respectivement de K /k et K /k , alors B et B ∪ B sont deux r -générateurs respectivement de K ( K ) /K et K ( K ) /k . En outre, di ( K ( K ) /K ) ≤ di ( K /k ) et di ( K ( K ) /k ) ≤ di ( K /k ) + di ( K /k ) . D’unefaçon plus précise, on a : Proposition 3.5
Sous les conditions ci-dessus, et si de plus K /k et K /k sont k -linéairement disjointes, on a : (i) B ∪ B est une r -base de K ( K ) /k . (ii) B est une r -base de K ( K ) /K . xtensions + ∞ - w -générées Preuve.
Ici, on se contente de présenter uniquement la preuve du premier item,puisque les deux assertions utilisent les mêmes techniques de raisonnement. Il estclair que K ( K ) = k ( B ∪ B ) , il suffit donc de montrer que B ∪ B est minimal.Pour cela, on suppose par exemple l’existence d’un élément x dans B tel que x ∈ k (( B \{ x } ) ∪ B ) = K . Comme K /k et K /k sont k -linéairement disjointes, partransitivité, on a k ( B ) = K et K ( B \{ x } ) = K sont k ( B \{ x } ) -linéairementdisjoints, et donc K = K ∩ K = k ( B \ { x } ) , c’est une contradiction avec lefait que B est une r -base de K /k . ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, on a
Corollaire 3.6
Soient K et K deux corps intermédiaires d’une même exten-sion purement inséparable Ω /k . Alors : (i) di ( K ( K ) /k ) ≤ di ( K /k ) + di ( K /k ) , et il y’a égalité si K et K sont k -linéairement disjoints. (ii) di ( K ( K ) /K ) ≤ di ( K /k ) , et il y’a égalité si K et K sont k -linéair-ement disjoints. Preuve.
Il suffit de remarquer que K ( K ) = [ j ∈ N ( k p − j ∩ K )( k p − j ∩ K ) = [ j ∈ N K ( k p − j ∩ K ) , et si K et K sont k -linéairement disjoints, d’après la tran-sitivité de la linéarité disjoint, k p − j ∩ K et k p − j ∩ K sont aussi k -linéairementdisjoints pour tout j ≥ . On se ramène ainsi au cas où K /k et K /k sontd’exposant fini auquel cas le résultat découle immédiatement de la propositionprécédente. ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, on a :
Corollaire 3.7
Pour toute sous-extension
L/k d’une extension purement insé-parable
K/k , on a di ( L ( K p ) /k ( K p )) ≤ di ( L/k ( L p )) , et il y’a égalité si k ( K p ) et L sont k ( L p ) -linéairement disjointes. Preuve.
Due au corollaire 3.6. ⊓⊔ Le résultat suivant améliore naturelement les conditions du théorème 3.1
Théorème 3.8
Pour toute famille d’extensions purement inséparables k ⊆ L ⊆ L ′ ⊆ K , on a di ( L/L ′ ) ≤ di ( K/k ) . Preuve.
Il est clair que K = [ j ∈ N L ( k j ) , et d’après la proposition 3.3, et lethéorème 3.1, on a di ( L ′ /L ) ≤ di ( K/L ) = sup j ∈ N ( di ( L ( k j ) /k )) ≤ sup j ∈ N ( di ( k j /k )) = di ( K/k ) . ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, on a :
Corollaire 3.9
Pour toute extension purement inséparable
K/k , on a di ( K ) ≤ di ( k ) . xtensions + ∞ - w -générées Preuve.
Il suffit de remarque que K ⊆ k p −∞ , et di ( K ) = di ( K/K p ) ≤ di ( k p −∞ /k p ) = di ( k ) . ⊓⊔ Au cours de cette section, on reprend, en les améliorant, quelques notions etrésultats de [5], puisqu’ils sont utilisés fréquemment ici.Un corps k de caractéristique p est dit parfait si k p = k ; dans le mêmeordre d’idées, on dit que K/k est relativement parfaite si k ( K p ) = K . On vérifieaisément que : – La relation "être relativement parfaite" est transitive, c’est-à-dire si K/L et L/k sont relativement parfaites, alors
K/k l’est aussi.– Si
K/k est relativement parfaite, il en est de même de L ( K ) /k ( L ) .– La propriété "être relativement parfaite" est stable par un produit quel-conque portant sur k . Autrement dit, pour toute famille ( K i /k ) i ∈ I d’ext-ensions relativement parfaites, on a alors Y i K i /k est aussi relativementparfaite. Par suite, il existe une plus grande sous-extension relativement parfaite de
K/k appelée clôture relativement parfaite de
K/k , et se note rp ( K/k ) . On a lesrelations d’associativité-transitivité suivantes. Proposition 3.10
Soit L un corps intermédiaire de K/k . Alors rp ( rp ( K/L ) /k ) = rp ( K/k ) et rp ( K/rp ( L/k )) = rp ( K/k ) . Preuve.
Cf. [5], p. 50, proposition 5.2. ⊓⊔ Corollaire 3.11
Pour tout L ∈ [ k, K ] , on a K/L finie = ⇒ rp ( K/k ) ⊂ L. En particulier, si
K/k est relativement parfaite, on a
K/L f inie = ⇒ L = K. Schématiquement on a un trouk −→ K ; ↑ trou et ce trou caractérise le fait que K/k est relativement parfaite. En effet, suppo-sons que
K/k vérifie le trou et soit B une r -base de K/k . Supposons B = ∅ ;soit x ∈ B et L = k ( K p )( B \ { x } ) ; on a K/L est finie, donc K = L ce qui estabsurde. Proposition 3.12
Soit
K/k une extension purement inséparable telle que [ K : k ( K p )] est fini. Alors on a : (i) K est relativement parfaite sur une extension finie de k . xtensions + ∞ - w -générées La suite décroissante ( k ( K p n )) n ∈ N est stationnaire sur k ( K p n ) = rp ( K/ k ) . Preuve.
Cf. [5], p. 51, lemme 2.1. ⊓⊔ Comme conséquence de la proposition précédente, on a :
Proposition 3.13
Soit
K/k une extension purement inséparable telle que [ K : k ( K p )] est fini. Pour tout L ∈ [ k, K ] , on a rp ( K/L ) = L ( rp ( K/k )) . Preuve.
Cf. [5], p. 51, proposition 6.2. ⊓⊔ En utilisant le lemme 1.16 qui se trouve dans ([12], p. 10), on peut affirmerque la condition de finitude de [ K : k ( K p ] est nécéssaire, et par suite, le résultatprécédent peut tomber en défaut si K/k ( K p ) n’est pas finie. Par ailleurs, onvérifie aussitôt que k ( K p ) = rp ( K/k )( K p ) , et donc pour qu’une partie G de K soit r -base de K/k il faut et il suffit qu’elle en soit de même de
K/rp ( K/k ) .De plus, comme -ième conséquence de la proposition 3.12, le résultat suivantexprime une condition nécessaire et suffisant pour que K/rp ( K/k ) soit finie.Plus précisément, on a : Proposition 3.14
Soit
K/k une extension purement inséparable, alors
K/rp ( K/ k ) est finie si est seulement il en est de même de K/k ( K p ) . Preuve.
Résulte de la proposition 3.12. ⊓⊔ q -finies Définition 4.1
Toute extension de degré d’irrationalité fini s’appelle extension q -finie. En d’autres sens, la q -finitude est synonyme de la finitude horizontale. Tou-tefois, la finitude se traduit par la finitude horizontale et verticale, il s’agit dela finitude au point de vue taille et hauteur. Autrement dit, K/k est finie siet seulement si
K/k est q -finie d’exposant borné. Par ailleurs, on vérifie que ledegré d’irrationalité d’une extension K/k vaut 1 si est seulement si l’ensemblede corps intermédiaires de
K/k est totalement ordonné.
Ensuite, on appelleextension q -simple toute extension qui satisfait l’affirmation précédente. Remarque 4.1
On rappelle que lorsque di ( k ) est fini, et après avoir mon-tré dans [2] que K/k ( K p ) est finie et di ( K ) ≤ di ( k ) , le degré d’irrationalitéd’une extension purement inséparable K/k a été défini par l’entier di ( K/k ) = di ( k ) − di ( K ) + di ( K/k ( K p )) . En outre, toute extension est q -finie si di ( k ) estfini. Avec quelques modifications légères, on peut toujours prolonger cette défi-nition au cas où di ( k ) est non borné. Commençons par le choix d’une extension K/k relativement parfaite et q -finie. Etant donnée une p -base B de k , donc k = k p ( B ) , et par suite k ( K p ) = K p ( B ) . Comme K/k est relativement parfaite,alors K = k ( K p ) = K p ( B ) . D’après le théorème 2.7, il existe B ⊆ B telle que xtensions + ∞ - w -générées B est une p -base de K . Ainsi, on aura k p −∞ = k ( B p −∞ ) = k ( B p −∞ ) ⊗ k k (( B \ B ) p −∞ ) ≃ K p −∞ ≃ K ⊗ k k ( B p −∞ ) . En particulier, d’après le corollaire 3.6, di ( K/k ) = di ( K ⊗ k k ( B p −∞ ) /k ( B p −∞ )) = di ( k p −∞ /k ( B p −∞ )) = di ( k (( B \ B ) p −∞ ) /k ) = | B \ B | . Si on interprète (par abus de langage) | B \ B | comme dif-férence de degré d’imperfection de k et K en écrivant | B \ B | = di ( k ) − di ( K ) , onobtiendra di ( K/k ) = di ( k ) − di ( K ) . Dans le cas général, supposons que K/k est q -finie quelconque, donc K/rp ( K/k ) est finie, d’où di ( K ) = di ( rp ( K/k )) ; et parsuite di ( K/k ) = di ( rp ( K/k ) /k ) + di ( K/k ( K p )) = di ( k ) − di ( K ) + di ( K/k ( K p )) (cf. proposition 4.4 ci-dessous).Il est à signaler en tenant compte de cette considération que tous les résultatsdes articles [3], [2], [6], [1] se généralisent naturellement par translation à uneextension q -finie quelconque. Soient
L/k une sous-extension d’une extension q -finie K/k , pour tout n ∈ N ,on note toujours k n = k p − n ∩ K . On vérifie aussitôt que :(i) La q -finitude est transitive, en particulier, pour tout n ∈ N , K/k ( K p n ) et k n /k sont finies. (ii) Il existe n ∈ N , pour tout n ≥ n , di ( k n /k ) = di ( K/k ) . Par ailleurs, voici quelques applications immédiates des propositions 3.12 et3.14.
Proposition 4.1
Soit
K/k une extension q -finie. La suite ( k ( K p n )) n ∈ N s’arr-ête sur rp ( K/k ) à partir d’un n . En particulier, K/rp ( K/k ) est finie. Comme conséquence, on a :
Corollaire 4.2
La clôture relativement parfaite d’une extension q -finie K/k n’est pas triviale. Plus précisément, rp ( K/k ) /k est d’exposant non borné si K/k l’est.
Preuve.
Immédiat. ⊓⊔ Proposition 4.3
Pour toute extension q -finie K/k , il existe n ∈ N tel que K/k n est relativement parfaite. En outre, k n ( rp ( K/k )) = K . Preuve.
Immédiat. ⊓⊔ Proposition 4.4
Le degré d’irrationalité d’une extension q -finie K/k vérifiel’égalité suivante : di ( K/k ) = di ( rp ( K/k ) /k ) + di ( K/k ( K p )) = di ( K/rp ( K/k ))+ di ( rp ( K/k ) /k ) . Preuve.
Soient G une r -base de K/k et K r = rp ( K/k ) , donc k ( G ) /k ad-met un exposant fini noté m et, K = K r ( G ) . En paticulier, pour tout n ≥ m , k ( G ) ⊆ k n . Compte tenu de la r -indépendance de G sur k ( K p ) et vu que k ( k np ) est un sous-ensemble de k ( K p ) , on en déduit que G est r -libre sur k ( k np ) pourtout n ≥ m . Complétons G en une r -base de k n /k par une partie G n de k n . xtensions + ∞ - w -générées n suffisamment grand, on aura | G | + | G n | = sup j ≥ m ( | G | + | G j | ) = di ( K/k ) = di ( K r ( G ) /k ) ≤ di ( K r /k ) + di ( k ( G ) /k ) = di ( K r /k ) + | G | , etdonc | G n | ≤ di ( K r /k ) . Toutefois, comme [ n ≥ m k ( k np m ) = [ n ≥ m k ( G np m , G p m ) = [ n ≥ m k ( G np m ) = k ( K p m ) = K r ( K p m ) , d’après le théorème 3.1, pour n suffisam-ment grand, on aura également di ( K r / k ) ≤ di ( K r ( K p m ) /k ) = di ( k ( k np m ) /k ) ≤| G np m | = | G n | . D’où, | G n | = di ( K r /k ) pour n assez grand, et par suite di ( K/k )= di ( K r /k ) + di ( K/k ( K p )) . ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, on a :
Corollaire 4.5
Pour qu’une extension q -finie K/k soit finie il faut et il suffitque di ( K/k ) = di ( K/k ( K p )) . Théorème 4.6
Pour toutes extensions q -finies k ⊆ L ⊆ K , on a di ( K/k ) ≤ di ( K/L ) + di ( L/k ) , avec l’égalité si et seulement si L/k ( L p ) et k ( K p ) /k ( L p ) sont k ( L p ) -linéairement disjointes. Preuve.
Comme K = [ n ∈ N L p − n ∩ K et K/k est q -finie, d’après le théorème3.1, pour n assez grand, on a di ( K/k ) = di ( L p − n ∩ K/k ) ; donc on est amené aucas où K/L est finie, ou encore rp ( K/k ) = rp ( L/k ) . Dans la suite, on posera L r = K r = rp ( K/k ) . D’après la proposition 4.4 ci-dessus, on aura di ( K/k ) = di ( K r /k ) + di ( K/k ( K p )) = di ( L r /k ) + di ( K/L ( K p )) + di ( L ( K p ) /k ( K p )) = di ( L r /k ) + di ( K/L ) + di ( L ( K p ) /k ( K p )) . Compte tenu du corollaire 3.7, on aura di ( L ( K p ) /k ( K p )) ≤ di ( L/k ( L p )) , et donc di ( K/k ) ≤ di ( L r /k ) + di ( K/L ) + di ( L/k ( L p )) = di ( L/k ) + di ( K/L ) , toutefois il y’a égalité si et seulement si di ( L/k ( L p )) = di ( L ( K p ) /k ( K p )) , ouencore [ L : k ( L p )] = [ L ( K p ) : k ( K p )] , c’est-à-dire L/k ( L p ) et k ( K p ) /k ( L p ) sont k ( L p ) -linéairement disjointes. ⊓⊔ Remarque 4.2
La condition de la linéarité disjointe qui figure dans la propo-sition ci-dessus se traduit en terme de r -indépendance par toute r -base de L/k se complète en une r -base de K/k . Comme application immédiate, on a :
Corollaire 4.7
Toute sous-extension relativement parfaite
L/k d’une extension q -finie K/k vérifie di ( K/k ) = di ( K/L ) + di ( L/k ) . D’une façon assez générale, on a :
Proposition 4.8
Pour toute suite de sous-extensions relativement parfaites k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n d’une extension q -finie K/k , on a di ( K/k ) = n − X i =0 di ( K n +1 /K n ) + di ( K/K n ) . xtensions + ∞ - w -générées Preuve.
Résulte immédiatement du corollaire précédent. ⊓⊔ Dans la suite on va étudier de plus près les propriétés des exposants d’uneextension q -finie. q -finie Dans cette section nous distinguons deux cas :
Cas où
K/k est purement inséparable finie.
Soit x ∈ K , posons o ( x/k ) = inf { m ∈ N | x p m ∈ k } et o ( K/k ) = inf { m ∈ N | K p m ⊂ k } . Une r -base B = { a , a , . . . , a n } de K/k est dite canoniquement ordonnée si pour j =1 , , . . . , n , on a o ( a j /k ( a , a , . . . , a j − )) = o ( K/k ( a , a , . . . , a j − )) . Ainsi,l’entier o ( a j /k ( a , . . . , a j − )) défini ci-dessus vérifie o ( a j /k ( a , . . . , a j − )) =inf { m ∈ N | di ( k ( K p m ) /k ) ≤ j − } (cf. [2], p. 138, lemme 1.3). On en déduit aus-sitôt le résultat de ([13], p. 90, satz 14) qui confirme l’indépendance des entiers o ( a i /k ( a , . . . , a i − )) , (1 ≤ i ≤ n ) , vis-à-vis au choix des r -bases canonique-ment ordonnées { a , . . . , a n } de K/k . Par suite, on pose o i ( K/k ) = o ( a i /k ( a ,. . . , a i − )) si ≤ i ≤ n , et o i ( K/k ) = 0 si i > n , où { a , . . . , a n } est une r -basecanoniquement ordonnée de K/k . L’invariant o i ( K/k ) ci-dessus s’appelle le i -ème exposant de K/k . Voici les principales relations dont on aura besoin, et quifont intervenir les exposants.
Proposition 4.9
Soient K et L deux corps intermédiaires d’une extension Ω /k , avec K/k purement inséparable finie. Alors pour tout entier j , on a o j ( K ( L ) /k ( L )) ≤ o j ( K/k ) . Preuve.
Cf. [4], p. 373, proposition 5. ⊓⊔ Proposition 4.10
Soit
K/k une extension purement inséparable finie. Pourtoute sous-extension
L/L ′ de K/k , et pour tout j ∈ N , on a o j ( L/L ′ ) ≤ o j ( K/k ) . Preuve. cf. [4], p. 374, proposition 6. ⊓⊔ Proposition 4.11
Soient { α , . . . , α n } une r -base canoniquement ordonnée de K/k , et m j le j -ième exposant de K/k , ≤ j ≤ n . On a : (1) k ( K p mj ) = k ( α p mj , . . . , α p mj j − ) . (2) Soit Λ j = { ( i , . . . , i j − ) tel que ≤ i < p m − m j , . . . , ≤ i j −
n . Alors { α p n , . . . ,α p n j } est une r -base canoniquement ordonnée de k ( K p n ) /k , et sa liste desexposants est ( m − n, . . . , m j − n ) . Preuve. cf. [2], p. 140, proposition 5.3. ⊓⊔ xtensions + ∞ - w -générées Proposition 4.12
Soient K /k et K /k deux sous-extensions purement insép-arables de K/k . K et K sont k -linéairement disjointes si et seulement si o j ( K ( K ) /K ) = o j ( K /k ) pour tout j ∈ N . Preuve. cf. [4], p. 374, proposition 7. ⊓⊔ Proposition 4.13 (Algorithme de la complétion des r-bases) Soient K/k uneextension purement inséparable finie, G un r -générateur de K/k , et { α , . . . ,α s } un système de K tel que pour tout j ∈ { , . . . , s } , o ( α j , k ( α , . . . , α j − )) = o j ( K/k ) . Pour toute suite α s +1 , α s +2 , . . . , d’éléments de G vérifiant o ( α m , k ( α , . . . , α m − )) = sup a ∈ G ( o ( a, k ( α , . . . , α m − ))) , la suite ( α i ) i ∈ N ∗ s’arrête sur unplus grand entier n tel que o ( α n , k ( α , . . . , α n − )) > . En particulier, { α , . . . ,α n } est une r-base canoniquement ordonnée de K/k . Preuve.
Cf. [2], p. 139, proposition 1.3. ⊓⊔ Cas où
K/k est q -finie d’exposant non borné. Soit
K/k une exten-sion q -finie. Rappelons que pour tout n ∈ N ∗ , k n désigne toujours k p − n ∩ K .En vertu de la proposition 4.10, pour tout j ∈ N ∗ , la suite des entiers natu-rels ( o j ( k n /k )) n ≥ est croissante, et donc ( o j ( k n /k )) n ≥ converge vers + ∞ , ou ( o j ( k n /k )) n ≥ est stationnaire à partir d’un certain rang. Lorsque ( o j ( k n /k )) n ≥ est bornée, par construction, pour tout t ≥ j , ( o t ( k n /k )) n ≥ est aussi bornée(et donc stationnaire). Définition 4.2
Soient
K/k une extension q -finie et j un entier naturel nonnul. On appelle le j -ième exposant de K/k l’invariant o j ( K/k ) = lim n → + ∞ ( o j ( k n /k )) . Lemme 4.14
Soit
K/k une extension q -finie, alors o s ( K/k ) est fini si et seul-ement s’il existe un entier naturel n tel que di ( k ( K p n ) /k ) < s , et on a o s ( K/k ) =inf { m ∈ N | di ( k ( K p m ) /k ) < s } . En particulier, o s ( K/k ) est infini si et seule-ment si pour tout m ∈ N , di ( k ( K p m ) /k ) ≥ s . Preuve.
Pour simplifier l’écriture, on note e t = o t ( K/k ) si o t ( K/k ) est fini.Compte tenu du [2], p. 138, lemme 1.3, on vérifie aussitôt que o s ( K/k ) estinfini si et seulement si pour tout m ∈ N , di ( k ( K p m ) /k ) ≥ s , donc on se ra-mène au cas où o s ( K/k ) est fini. Par suite, il existe un entier n , pour tout n ≥ n , e s = o s ( k n /k ) . D’après [2] p. 138, lemme 1.3, di ( k ( k np es ) /k ) < s et di ( k ( k np es − ) /k ) ≥ s . En vertu du théorème 3.1, di ( k ( K p es ) /k ) < s et di ( k ( K p es − ) /k ) ≥ s . Autrement dit, o s ( K/k ) = inf { m ∈ N | di ( k ( K p m ) /k )
Soit K r /k la clôture relativement parfaite de degré d’irratio-nalité s d’une extension q -finie K/k , alors on a : xtensions + ∞ - w -générées Pour tout t ≤ s , o t ( K/k ) = + ∞ . (ii) Pour tout t > s , o t ( K/k ) = o t − s ( K/K r ) .En outre, o t ( K/k ) est fini si et seulement si t > s . Preuve.
Pour tout t ∈ N ∗ , notons e t = o t ( K/K r ) . Comme pour tout entier e ,on a k ( K p e ) = K r ( K pe ) = [ n ∈ N k ( k np e ) , donc s = di ( K r /k ) ≤ di ( k ( K p e ) /k ) = di ( k ( k np e ) /k ) pour n suffisament grand. D’après le lemme 4.14, on aura d’unepart o t ( K/k ) = + ∞ pour tout t ≤ s , et d’autrs part pour tout n > s , di ( K r ( K p en − s ) /k ) = di ( K r /k ) + di ( K r ( K p en − s ) /K r ) < s + n − s = n et di ( K r ( K p en − s − ) /k ) = di ( K r /k ) + di ( K r ( K p en − s − ) /K r ) ≥ n . Notamment,pour tout n > s , o n ( K/k ) = o n − s ( K/K r ) . Toutefois, o n ( K/k ) est fini si etseulement si n ≤ s . ⊓⊔ Voici une liste de conséquences immédiates :
Proposition 4.16
Soient K et L deux corps intermédiaires d’une extension q -finie M/k . Pour tout j ∈ N ∗ , on a o j ( L ( K ) /L ) ≤ o j ( K/k ) . Preuve.
Due au lemme 4.14, et à l’inégalité suivante résultant du corllaire 3.6 : di ( L ( L p n , K p n ) /L ) = di ( L ( K p n ) /L ) ≤ di ( k ( K p n ) /k ) pour tout n ∈ N . ⊓⊔ Proposition 4.17
Etant données des extensions q -finies k ⊆ L ⊆ K . Pourtout j ∈ N ∗ , on a o j ( L/k ) ≤ o j ( K/k ) . Preuve.
Application immédiate du lemme 4.14, et de l’inégalité suivante ré-sultant du théorème 3.1 : di ( k ( L p n ) /k ) ≤ di ( k ( K p n ) /k ) pour tout n ∈ N .Par ailleurs la taille d’une extension relativement parfaite reste invariant, àune extension finie près comme l’indique le résultat suivant. Proposition 4.18
Etant donnée une sous-extension
K/k relativement parfaited’une extension q -finie M/k . Pour toute sous-extension finie
L/k de M/k , ona di ( L ( K ) /L ) = di ( K/k ) . Preuve.
En vertu du corollaire 3.6, il suffit de montrer que di ( L ( K ) /L ) ≥ di ( K/k ) . Pour cela, on pose d’abord e = o ( L/k ) et t = di ( K/k ) . D’après lethéorème 4.15, pour tout s ∈ { , . . . , t } , o s ( K/k ) = + ∞ , donc pour n assezgrand, on aura o t ( k n /k ) > e + 1 , en outre L ⊆ k n et di ( k n /k ) = di ( K/k ) .Soit { α , . . . , α t } une r -base canoniquement ordonnée de k n /k , s’il existe s ∈{ , . . . , t } tel que α s ∈ L ( k np )( α , . . . , α s − ) , d’après la proposition 4.10, on aura e < o t ( k n /k ) ≤ o s ( k n /k ) = o ( α s , k ( α , . . . , α s − )) ≤ o ( L ( k np )( α , . . . , α s − ) /k ( α , . . . , α s − )) ≤ sup( o ( L/k ) , o s ( k n /k ) −
1) = o s ( k n /k ) − , et donc o s ( k n /k ) ≤ o s ( k n /k ) − , contradiction. D’où, { α , . . . , α t } est une r -base de L ( k n ) /L , etpar suite, t = di ( K/k ) = di ( L ( k n ) /L ) ≤ di ( L ( K ) /L ) . ⊓⊔ xtensions + ∞ - w -générées On rappelle qu’une extension
K/k est dite modulaire si et seulement si pourtout n ∈ N , K p n et k sont K p n ∩ k -linéairement disjointes. Cette notion a étédéfinie pour la première fois par Swedleer dans [14], elle caractérise les extensionspurement inséparables, qui sont produit tensoriel sur k d’extensions simples sur k . Par ailleurs, toute r -base B de K/k telle que K ≃ ⊗ k ( ⊗ k k ( a )) a ∈ B seraappelée r -base modulaire. En particulier, d’après le théorème de Swedleer, si K/k est d’exposant borné, il est équivalent de dire que :(i)
K/k admet une r -modulaire. (ii) K/k est modulaire.
Soient m j le j -ième exposant d’une extension purement inséparable finie K/k et { α , . . . , α n } une r -base canoniquement ordonnée de K/k , donc d’aprèsla proposition . , pour tout j ∈ { , . . . , n } , il existe des constantes uniques C ε ∈ k telles que α jp mj = X ε ∈ Λ j C ε ( α , . . . , α j − ) p mj ε , où Λ j = { ( i , . . . , i j − ) telque ≤ i < p m − m j , . . . , ≤ i j − < p m j − − m j } . Ces relations s’appellent leséquations de définition de K/k .Le critère ci-dessous permet de tester la modularité d’une extension.
Théorème 5.1 [Critère de modularité]
Sous les notations ci-dessus, lespropriétés suivantes sont équivalentes : (1)
K/k est modulaire. (2)
Pour toute r -base canoniquement ordonnée { α , . . . , α n } de K/k , les C ε ∈ k ∩ K p mj pour tout j ∈ { , . . . , n } . (3) Il existe une r -base canoniquement ordonnée { α , . . . , α n } de K/k telleque les C ε ∈ k ∩ K p mj pour tout j ∈ { , . . . , n } . Preuve. cf. [2], p. 142, proposition 1.4. ⊓⊔ Exemple 5.2
Soient Q un corps parfait de caractéristique p > , k = Q ( X, Y,Z ) le corps des fractions rationnelles aux indéterminées X, Y, Z , et K = k ( α ,α ) avec α = X p − et α = X p − Y p − + Z p − . On vérifie aussitôt que • o ( K/k ) = 2 et o ( K/k ) = 1 , • α p = Y α p + Z .Si K/k est modulaire, d’après le critère du modularité, on aura Y ∈ k ∩ K p et Z ∈ k ∩ K p , et donc Y p − et Z p − ∈ K . D’où k ( X p − , Y p − , Z p − ) ⊂ K , etpar suite, di ( k ( X p − , Y p − , Z p − ) /k ) = 3 < di ( K/k ) = 2 , contradiction.
Le résultat suivant est conséquence immédiate de la modularité.
Proposition 5.3
Soient m, n ∈ Z avec n ≥ m . Si K/k est modulaire, alors K p m /k p n est modulaire. La condition n ≥ m assure k p n ⊂ K p m . xtensions + ∞ - w -générées Proposition 5.4
Soit
K/k une extension purement inséparable finie (respec-tivement, et modulaire), et soit
L/k une sous-extension de
K/k (respective-ment, et modulaire) avec di ( L/k ) = s . Si K p ⊆ L , il existe une r-base ca-noniquement ordonnée (respectivement, et modulaire) ( α , α , . . . , α n ) de K/k ,et e , e , . . . , e s ∈ { , p } tels que ( α e , α e , . . . , α se s ) soit une r-base canoni-quement ordonnée (respectivement, et modulaire) de L/k . De plus, pour tout j ∈ { , . . . , s } , on a o j ( K/k ) = o j ( L/k ) , auquel cas e j = 1 , ou o j ( K/k ) = o j ( L/k ) + 1 , auquel cas e j = p . Preuve.
Cf. [2], p. 146, proposition 8.4. ⊓⊔ Le théorème suivant de Waterhouse joue un rôle important dans l’étude desextensions modulaires (cf. [15] Théorème 1.1).
Théorème 5.5
Soient ( K j ) j ∈ I une famille de sous-corps d’un corps commu-tatif Ω , et K un autre sous-corps de Ω . Si pour tout j ∈ I , K et K j sont K ∩ K j -linéairement disjoints, alors K et \ j K j sont K ∩ ( \ j K j ) -linéairementdisjoint. Comme conséquence, la modularité est stable par une intersection quel-conque portant soit au dessus ou en dessous d’un corps commutatif. Plus préci-sément, on a :
Corollaire 5.6
Sous les mêmes hypothèses du théorème ci-dessus, on a : (i)
Si pour tout j ∈ I , K j /k est modulaire, il en est de même de \ j K j /k . (ii) Si pour tout j ∈ I , K/K j est modulaire, il en est de même de K/ \ j K j . D’après le théorème de Waterhouse, il existe une plus petite sous-extension m/k de K/k (respectivement une plus petite extension
M/K ) telle que
K/m (respectivement
M/k ) est modulaire. Désormais, on note m = lm ( K/k ) et M = um ( K/k ) . Toutefois, l’extension um ( K/k ) sera appelée clôture modulaire de K/k .Comme application immédiate de la proposition 3.4, on a
Proposition 5.7
Etant données une r -base modulaire B d’une extension mo-dulaire K/k et une famille ( e a ) a ∈ B d’entiers tels que ≤ e a ≤ o ( a, k ) . Soit L = k (( a p ea ) a ∈ B ) , alors L/k et K/L sont modulaires, et ( B \ L ) , (( a p ea ) a ∈ B \ L ) sont deux r -bases modulaires respectivement de K/L et L/k . En outre, pour tout a ∈ B , o ( a, L ) = e a . Preuve.
On se ramène au cas fini auquel le résultat découle de la transitivitéde la linéarité disjointe. En outre, pour toute partie { a , . . . , a n } d’élément de B , [ L ( a , . . . , a n ) : L ] = n Y i =1 p e ai . ⊓⊔ xtensions + ∞ - w -générées a ∈ B , on pose n a = o ( a, k ) . Considérons maintenantles sous-ensembles B et B de B définis par B = { a ∈ B | n a > j } , B = B \ B = { a ∈ B | n a ≤ j } , ( j étant un entier ne dépassant pas o ( K/k ) ).Comme Application de la proposition précédente, on a : Théorème 5.8
Sous les conditions précisées ci-dessus, pour tout entier j Comme K/k est réunion inductive d’extentions modulaires engendréespar des parties finies de B , et compte tenu de la distributivité de l’intersectionpar rapport à la réunion, on peut supposer sans perdre de généralité que K/k est finie d’exposant noté e . Soient { α , · · · , α n } une r -base modulaire et cano-niquement ordonnée de K/k , et m j le j-ième exposant de K/k . Désignons par s le plus grand entier tel que m s > j , et L = k ( α p m − j , . . . , α p ms − j s , α s +1 , . . . ,α n ) . On vérifie aussitôt que :(i) L ⊆ k j , (ii) K ≃ k ( α ) ⊗ k . . . ⊗ k k ( α n ) ≃ L ( α ) ⊗ L . . . ⊗ L L ( α s ) . Ainsi, pour tout x ∈ K , il existe des constantes uniques C ε ∈ L telles que x = X ε ∈ Λ C ε ( α , . . . , α s ) ε , où Λ = { ( i , . . . , i s ) tel que ≤ i < p m − j , . . . , ≤ i s
Pour toute extension modulaire K/k , pour tout n ∈ N , on a di ( k n /k ) = di ( k /k ) . En particulier, di ( K/k ) = di ( k /k ) . Le résultat suivant est bien connu (cf. [11]). Proposition 5.10 Soit K/k une extension purement inséparable et modulaire ;soit pour tout n ∈ N , K n = k ( K p n ) . Alors k n /k , K/k n , K n /k et K/K n sontmodulaires. Proposition 5.11 Soient K et K deux sous-extensions de K/k telles que K ≃ K ⊗ K . Si pour tout i ∈ { , } , K i /k est modulaire, il en est de mêmede K/k . Preuve. Cf. [5], p. 55, lemme 3.4. ⊓⊔ Le résultat suivant étend trivialement les hypothèses de la proposition 3.3,[12], p. 94, ainsi que le théorème 3.2, [7], p. 289. Il utilise plus particulièrementles propriétés du système canoniquement générateur (pour plus d’informationcf. [12], définition 1.32, p. 29). xtensions + ∞ - w -générées Proposition 5.12 Soient K et K deux sous-extensions de K/k telles que K ≃ K ⊗ K . Si K/K est modulaire, et K /k est d’exposant borné, il existeune partie B de K telle que K ≃ K ⊗ k ( ⊗ k ( k ( α ) α ∈ B ) . Preuve. D’abord, comme K ≃ K ⊗ k K , alors pour tout i ∈ N , pour toute r -base C de k ( K p i ) /k , C est aussi une r -base de K ( K p i ) /K . Choisissonsensuite une r -base B de K /k , comme K /k est d’exposant fini, alors B estun r -générateur minimal de K /k . Soit B , . . . , B n une partition de B vérifiant B = { x ∈ B | o ( x, k ) = o ( K /k ) = e } et, pour tout < i ≤ n , B i = { x ∈ B | o ( x, k ( B , . . . , B i − )) = o ( K /k ( B , . . . , B i − )) = e i } . Il est clair que e >. . . > e n , et en vertu de la linéarité disjointe, pour tout i ∈ { . . . , n } , pour tout x ∈ B i , on a également o ( x, K ( B , . . . , B i − )) = o ( K/K ( B , . . . , B i − )) } = e i . En particulier, pour tout i ∈ { , . . . , n } , ( Y α ( G ) αp ei ) G , où G est une partiefinie d’éléments de B ∪ . . . ∪ B i − et les α sont convenablement choisis, est unebase respectivement de k ( K p ei ) sur k et K ( K p ei ) = K ( K p ei ) sur K . Notons M i cette base, et soit x ∈ B i , il existe des c α ∈ k uniques tels que x = X α c α y α ,( y α ∈ M i ), en outre les c α sont aussi uniques dans K . D’autre part, en vertu dela modularité, pour tout i ∈ { , . . . , n } , K p ei et K sont K ∩ K p ei -linéairementdisjointes. Comme K ( K p ei ) = K ( K p ei ) et M i ⊆ K p ei , alors M i est aussiune base de K p ei sur K ∩ K p ei . En tenant compte de l’unicité de l’écriturede x dans la base M i , on en déduit par identification que les c α ∈ k ∩ K p ei ,et donc B ip ei ⊆ k ∩ K p ei ( K p ei ( B p ei , . . . , B i − p ei )) pour tout i ∈ { . . . , n } .Par application du ([12], proposition 3.3, p. 94), il existe une sous-extensionmodulaire J/k d’exposant fini de K/k telle que K ≃ K ⊗ k J . Ainsi, le résultatdécoule immédiatement du théorème de Swedleer. ⊓⊔ Dans le cas fini, le résultat suivant généralise la proposion ci-dessus. Proposition 5.13 Soient K et K deux corps intermédiaires ; k -linéairementdisjoints d’une extension purement inséparable finie L/k avec di ( L/K ) = di ( K /k ) = n . Soit s le plus petit entier tel que o s ( K /k ) = o n ( K /k ) . Si L/K est modulaire, il existe une r -base { α , . . . , α n } canoniquement ordonnée de K ( K ) /K vérifiant K ( K ) ≃ K ⊗ k ( α , . . . , α s ) ⊗ k k ( α s +1 ) ⊗ k . . . ⊗ k k ( α n ) . Preuve. Pour simplifier l’écriture, pour tout j ∈ { , . . . , n } , on note o j ( K /k )= e j , et K = K ( K ) . Soit { α , . . . , α n } une r -base canoniquement ordonnéede K /k . Compte tenu de la proposition 4.12, { α , . . . , α n } est aussi une r -basecanoniquement ordonnée de K/K , et pour tout j ∈ { , . . . , n } , o j ( K/K ) = e j .D’après la proposition 4.11, pour tout i ∈ { s, . . . , n } , il existe des constantesuniques C iε ∈ k telles que α ip en = X ε ∈ Λ s − C iε ( α . . . α s − ) p ε ( ∗ ). En vertu dela proposition 4.12, pour tout i ∈ { s . . . , n } , l’équation de définition de α i parrapport à K ( α , . . . , α s − ) est aussi définie par la relation ( ∗ ) ci-dessus. Comme L/K est modulaire, en se servant du critère de modularité, pour tout ( i, ε ) ∈{ s, . . . , n } × Λ s − , on aura ( C iε ) p − en ∈ L . Posons ensuite, F = k (( C iε ) p − en ) où xtensions + ∞ - w -générées ( i, ε ) parcourt l’ensemble { s, . . . , n } × Λ s − , et H = K ( F )( α , . . . , α s − ) . Il estclair que o ( F/k ) ≤ e n , et K ⊆ H ⊆ L . De plus, d’après le théorème 3.1 et laproposition 4.10, n = di ( K/K ) ≤ di ( H/K ) ≤ di ( L/K ) = n , et pour tout i ∈{ s, . . . , n } , e n = o i ( K/K ) ≤ o i ( H/K ) ≤ e n . Il en résulte que di ( H/K ) = n ,et pour tout i ∈ { s, . . . , n } , e n = o i ( H/K ) . Comme e s − > e s = e n , d’aprèsl’algorithme de la complétion des r -bases, il existe des éléments b s , . . . , b n ∈ F tels que { α . . . , α s − , b s , . . . , b n } soit une r -base canoniquement ordonnée de H/K . En particulier, on aura : • Pour tout i ∈ { , . . . , s − } , e i = o i ( H/K ) = o i ( K ( α , . . . , α s − ) /K ) = o i ( k ( α , . . . , α s − ) /k ) . • Pour tout j ∈ { s, . . . , n } , e n = o j ( H/K ) = o ( b j , K ( α . . . , α s − , b s , . . . ,b j − )) ≤ o ( b j , k ( b s , . . . , b j − ) /k ) ≤ o ( F/k ) ≤ e n , et donc e n = o j ( H/K )= o j ( k ( b s , . . . , b n ) /k ) . D’où, H = K ≃ K ⊗ k ( α , . . . , α s − ) ⊗ k k ( b s ) ⊗ k . . . ⊗ k k ( b n ) . ⊓⊔ Proposition 6.1 Soit K/k une extension purement inséparable d’exposant e .Les assertions suivantes sont équivalentes : (1) Il existe une r -base G de K/k vérifiant K ≃ ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G , et pour tout a ∈ G , o ( a, k ) = e . (2) Toute r -base G de K/k satisfait K ≃ ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G , et o ( K/k ) = e . (3) Il existe une r -base G de K/k telle que pour tout a ∈ G , o ( a, k ( G \{ a } )) = o ( a, k ) = e . (4) Pour toute r -base G de K/k , pour tout a ∈ G , o ( a, k ( G \ { a } )) = o ( a, k ) = e . Preuve. D’après le théorème de la r -base incomplète, on se ramène au cas où K/k est finie auquel cas [ K : k ] = p en , où e = o ( K/k ) et n = di ( K/k ) , et envertu de la proposition 4.12, le résultat est immédiat. ⊓⊔ Définition 6.1 Une extension qui vérifie l’une des conditions de la propositionci-dessus est dite équiexponentielle d’exposant e . Il est clair que toute extension équiexponentielle est modulaire. De plus, onvérifie aussitôt qu’il est équivalent de dire que :(1) K/k est équiexponentielle d’exposant e . (2) Il existe une r -base G de K/k , pour toute partie finie G de G , on a k ( G ) /k est équiexponentielle d’exposant e . (3) Pour toute r -base G de K/k , pour toute partie finie G de G , on a k ( G ) /k est équiexponentielle d’exposant e . Proposition 6.2 Pour toute extension K/k relativement parfaite et modulaire,pour tout entier n , k n /k est équiexponentielle d’exposant n . xtensions + ∞ - w -générées Preuve. D’après le théorème 5.8, il suffit de montrer que k ( k np ) = k n − .Compte tenu de la modularité de K/k , K p n et k sont k ∩ K p n -linéairementdisjointes pour tout n ≥ , et en vertu de la transitivité de la linéarité dis-jointe, k p n − ( K p n ) et k sont k p n − ( k ∩ K p n ) -linéairement disjointes. Or K/k est relativement parfaite, donc k p n − ( K p n ) = K p n − , et par suite k ∩ K p n − = k p n − ( k ∩ K p n ) , ou encore k ( k np ) = k n − . ⊓⊔ Le résultat suivant, rapporte plus de précision à la proposition 6.2 dans lecas des extensions q -finies, notamment aux extensions finies. Proposition 6.3 Soit K/k une extension purement inséparable de degré d’irra-tionalité t , relativement parfaite et modulaire (respectivement finie et équiexpon-entielle). Soient n et m deux entiers naturels tels que n < m ( respectivement, n< o ( K/k )) . Les propriétés suivantes sont vérifiées : (1) di ( k m /k n ) = t . (2) k m /k n est équiexponentielle d’exposant m − n ; (3) k p − ( m − n ) n ∩ K = k m et k ( k p m − n m ) = k n .En particulier, pour tout n ∈ N , on a [ k n , k ] = p nt . Preuve. cf. [2], p. 147, proposition 9.4. ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, on a : Corollaire 6.4 Si K/k est une extension équiexponentielle d’exposant e , alors : (i) Pour tout i ∈ { , . . . , e } , k i /k et K/k i sont équiexponentielles d’exposantrespectivement i et e − i . (ii) Pour tout i ∈ { , . . . , e } , k ( K p i ) /k et K/k ( K p i ) sont équiexponentiellesd’exposant respectivement e − i et i . Preuve. Immédiat. ⊓⊔ Le théorème ci-dessus reproduit dans un cadre plus étendu le corollaire 4.5qui se trouve dans [7], p. 292, et pour plus d’information au sujet d’extractiondes r -bases modulaires, on se réfère aux [7] et [8]. Théorème 6.5 Soient k ⊆ L ⊆ K des extensions purement inséparables tellesque K/k est équiexponentielle d’exposant e . Si K/L est modulaire, il existe une r -base G de K/k telle que { a p o ( a,L ) | a ∈ G et o ( a, L ) < e } est une r -base modu-laire de L/k . Preuve. Comme K/L est modulaire d’exposant fini, il existe une r -base B de K/L telle que K ≃ ⊗ L ( ⊗ L L ( a )) a ∈ B ) , (*). Pour des raisons d’écri-ture, pour tout a ∈ B , on pose e a = o ( a, L ) et C = ( a p ea ) a ∈ B . Soit B une partie de L telle que B est une r -base de L ( K p ) /k ( K p ) . Compte tenude la transitivité de r -indépendance, B ∪ B est aussi une r -base de K/k .Dans la suite, notons M = k ( C, B ) . Il est clair que M ⊆ L , de plus, comme K/k est équiexponentielle, on aura K ≃ ⊗ k ( ⊗ k k ( a )) a ∈ B ∪ B . En vertu de la xtensions + ∞ - w -générées K ≃ ⊗ M ( ⊗ M M ( a )) a ∈ B , (**). En par-ticulier, d’après les relations (*) et (**), pour toute famille finie { a , · · · , a n } d’éléments de B , L ( a , . . . , a n ) ≃ L ( a ) ⊗ L . . . ⊗ L L ( a n ) et M ( a , . . . , a n ) ≃ M ( a ) ⊗ M . . . ⊗ M M ( a n ) . Par application de la proposition 4.12, on a succes-sivement [ L ( a , . . . , a n ) : L ] = n Y i =1 p e ai et [ M ( a , . . . , a n ) : M ] = n Y i =1 p e ai , ouencore L et K sont M -linéairement disjointes. D’où L = L ∩ K = M . ⊓⊔ q -finitude et modularité Soit K/k une extension q -finie d’exposant non borné. Dans tout ce qui suit,nous utilisons les notations suivantes : k j = k p − j ∩ K , U js ( K/k ) = j − o s ( k j /k ) ,et Ilqm ( K/k ) désigne le premier entier i pour lequel la suite ( U ji ( K/k )) j ∈ N estnon bornée. Le résultat ci-dessus est une application immédiate de la proposition4.10. Proposition 7.1 Etant donnée une extension q -finie K/k . Pour tout entier s ,la suite ( U js ( K/k )) j ∈ N est croissante. Preuve. Comme k n +1 p ⊆ k n , il est clair que o s ( k n /k ) ≤ o s ( k n +1 /k ) ≤ o s ( k n /k ) + 1 , et donc n + 1 − o s ( k n +1 /k ) ≥ n − o s ( K n /k ) ; c’est-à-dire la suite ( U js ( K/k )) j ∈ N est croissante. ⊓⊔ En outre, on vérifie aussitôt que :(i) Pour tout s ≥ Ilqm ( K/k ) , lim n → + ∞ ( U ns ( K/k )) = + ∞ . (ii) Pour tout s < Ilqm ( K/k ) , la suite ( U js ( K/k )) j ∈ N est bornée ; et par suite, pour tout n ≥ sup j ∈ N (sup( U js ( K/ k ))) s Soit K/k une extension q -finie, avec t = di ( rp ( K/k ) /k ) . Lesaffirmations suivantes sont équivalentes ; (1) K/k est modulaire sur une extension finie de k . (2) Pour tout s ∈ { , , . . . , t } , la suite ( U js ( K/k )) j ∈ N est bornée. (3) Ilqm ( K/k ) = t + 1 . Preuve. Il est clair que (2) ⇔ (3) . Par ailleurs, compte tenu de la pro-position 4.3, il existe un entier j tel que K/k j est relativement parfaite et k j ( rp ( K/k )) = K , et d’après la proposition 4.18, on aura di ( K/k j ) = di ( rp ( K/k ) /k ) = t . Supposons ensuite que la condition (1) est vérifiée. On distingue deuxcas : xtensions + ∞ - w -générées K/k est modulaire, en vertu de la proposition 6.3, pour tout j ≥ j , on a k j /k j est équiexponentielle d’exposant j − j et di ( k j /k j ) = t . D’où pour tout s ∈ { , . . . , t } , on a U js ( K/k ) = U j +1 s ( K/k ) .Si K est modulaire sur une extension finie L de k , compte tenu de la finitudede L/k , il existe un entier naturel n tel que L ⊆ k n . Par suite, L p − j ∩ K ⊆ k n + j ,et donc U n + js ( K/k ) ≤ n + U js ( K/L ) . D’où, la suite ( U js ( K/k )) j est stationnairepour tout s ∈ { , . . . , t } .Inversement, si la condition (2) est vérifiée, il existe m ≥ sup( e ( K/k ) , j ) ,pour tout j ≥ m , pour tout s ∈ { , . . . , t } , on a o s ( k j +1 /k ) = o s ( k j /k ) + 1 (et di ( k j /k m ) = t ). Par suite, k j /k j est équiexponentielle, donc modulaire. D’où K = [ j>m k j est modulaire sur k j . ⊓⊔ Théorème 7.3 La plus petite sous-extension M/k d’une extension q -finie K/k telle que K/M est modulaire n’est pas triviale ( M = K ). Plus précisément, si K/k est d’exposant non borné, il en est de même de K/M . Preuve. Le cas où K/k n’est pas relativement parfaite (en particulier le casfini) est trivialement évident, puisque K/k ( K p ) est modulaire. Ainsi, on estamené à considérer que K/k est relativement parfaite d’exposant non borné.On emploiera ensuite un raisonnement par récurrence sur di ( K/k ) = t . Si t = 1 ,ou encore si K/k est q -simple, il est immédiat que K/k est modulaire. Suppo-sons maintenant que t > , si Ilqm ( K/k ) = t + 1 , en vertu du théorème 7.2, M/k est finie, et donc K/M est d’exposant non borné. Si Ilqm ( K/k ) ≤ t ,pour tout j > e ( K/k ) , pour tout s ∈ [1; i − où i = Ilqm ( K/k ) , on a e j +1 s = e js + 1 . Comme k pj +1 ⊆ k j , d’après la proposition 5.4, il existe une r-base canoniquement ordonnée ( α , . . . , α n ) de k j +1 /k , il existe ε i , . . . , ε t ∈ { , p } tels que ( α p , . . . , α pi − , α ε i i . . . , α ε t t ) est une r-base canoniquement ordonnée de k j /k . Dans la suite, pour tout j > e ( K/k ) , notons K j = k ( k p eji j ) . D’une part, K j = k ( α p eji +1 , . . . , α p eji +1 i − ) et K j +1 = k ( α p ej +1 i , . . . , α p ej +1 i i − ) . D’autre part, ona e j +1 i = e ji + ε , avec ε = 0 ou , cela conduit à K j ⊆ K j +1 . Toutefois, pardéfinition de Ilqm ( K/k ) , on a e ji > e j +1 i (c’est-à-dire e ji = e j +1 i ) pour uneinfinité de valeurs de j . Pour ces valeurs, on a di ( K j +1 /k ) = i − , sinon d’aprèsle lemme 4.14, e j +1 i = e j +1 i − = 1 + e ji − = e ji , et donc e ji > e ji − , ce qui contreditla définition des exposants. Comme ( di ( K j /k )) j>e ( K/k ) est une suite croissanted’entiers bornée par di ( K/k ) , donc elle stationne sur Ilqm ( K/k ) − . De plus, K j = K j +1 , en effet si K j = K j +1 = k ( K pj +1 ) , comme K j +1 /k est d’exposantborné, on aura K j +1 = k , ce qui est absurde. Posons ensuite H = [ j>e ( K/k ) K j .On vérifie aussitôt que H/k est d’exposant non borné et di ( H/k ) = i − , deplus H/k est relativement parfaite car k ( K pj +1 ) = K j pour une infinité de j .Par ailleurs, d’après les corollaires 4.5 et 4.7, di ( K/H ) < t et K/H est d’expo-sant non borné. Compte tenu de l’hypothèse de récurrence appliquée à K/H , xtensions + ∞ - w -générées K est modulaire sur une extension M ′ de H avec K/M ′ est d’exposantnon borné ; comme M ⊆ M ′ , alors K/M est aussi d’exposant non borné. ⊓⊔ Une version équivalente de ce résultat se trouve dans [2]. Toutefois, le théo-rème ci-dessus peut tomber en défaut lorsque l’hypothèse de la q -finitude n’estpas vérifiée comme le montre le contre-exemple ci-dessus Exemple 7.4 Soient Q un corps parfait de caractéristique p > , et ( X, ( Y i ) i ∈ N ∗ , ( Z i ) i ∈ N ∗ , ( S i ) i ∈ N ∗ ) une famille algébriquement indépendante sur Q . Soit k = Q ( X, ( Y i ) i ∈ N ∗ , ( Z i ) i ∈ N ∗ , ( S i ) i ∈ N ∗ ) le corps des fractions rationnelles auxindéterminées ( X, ( Y i ) i ∈ N ∗ , ( Z i ) i ∈ N ∗ , ( S i ) i ∈ N ∗ ) . Posons ensuite : K = [ n ≥ k ( θ ,n ) , avec θ , = X p − et θ ,n = θ ,n − p − pour tout entier n > . K = [ n ≥ K ( θ ,n ) , où θ , = Z p − θ , + Z p − , et pour tout n > , θ ,n = Z p − θ , n + θ ,n − p − .Par récurrence, on pose K j = [ n ≥ K j − ( θ j,n ) , où θ j, = Z j − p − θ j − , + Z jp − , et pour tout n > , θ j,n = Z j − p − θ j − , n + θ j,n − p − .Enfin, on note K = [ j ∈ N ∗ K j , et par conventient on pose K = k , et pouttout i ∈ N , θ i, = 0 . Comme pour tout j ∈ N ∗ , K j ⊆ K j +1 , alors K est uncorps commutatif. Théorème 7.5 Sous les conditions ci-dessus, la plus petite sous-extension m telle que K/m est modulaire est triviale, c’est-à-dire lm ( K/k ) = K Pour la preuve de ce théorème, on se servira des résultats suivants : Lemme 7.6 Sous les mêmes conditions ci-dessus, pour tout ( j, n ) ∈ N × N ∗ , K j ( θ j +1 ,n ) = K j ( θ j +1 ,n +1 p ) et θ j +1 , K j . En particulier, o ( θ j +1 ,n , K j ) = n . Preuve. Il est trivialement évident que K j ( θ j +1 ,n ) = K j ( θ j +1 ,n +1 p ) pour tout ( j, n ) ∈ N × N ∗ . Pour achever la preuve, il suffit de remarquer que K j ⊆ k ( X p −∞ ,Z p −∞ , . . . , Z jp −∞ ) et k ( θ j +1 ,n , X p −∞ , Z p −∞ , . . . , Z jp −∞ ) = k ( Z j +1 p − n , X p −∞ ,Z p −∞ , . . . , Z jp −∞ ) , et donc, pour tout n ∈ N ∗ , n = o ( θ j +1 ,n , k ( X p −∞ , Z p −∞ ,. . . , Z jp −∞ )) ≤ o ( θ j +1 ,n , K j ) ≤ n . ⊓⊔ Comme conséquence immédiate, pour tout j ∈ N ∗ , K j /K j − est q -simpled’exposant non borné. En particulier, di ( K j /k ) = j . Lemme 7.7 Pour tout i ∈ N ∗ , la famille ( Z i , ( S j ) j ∈ N ∗ ) est r -libre sur K p . Preuve. Puisque pour tout i ≥ , S ip − k ( X p −∞ , ( Z jp −∞ ) j ≥ )( S p − , . . . ,S i − p − ) = K ( Z p −∞ )( S p − , . . . , S i − p − ) , il suffit de montrer que Z i K p ; xtensions + ∞ - w -générées Z ip − K . Par construction, pour tout j ∈ { , . . . , n } , on a θ j, = Z j − p − θ j − , + Z jp − avec K n contient θ j, et θ j − , , et donc s’il existe n >i tel que Z ip − ∈ K n , par itération, on aura Z i − p − , . . . , Z p − ∈ K n et Z i +1 p − , . . . , Z np − ∈ K n . Par suite, d’après le théorème 3.1, di ( k ( X p − , Z p − ,. . . , Z np − ) /k ) ≤ di ( K n /k ) , ou encore n + 1 ≤ n , absurde. D’où pour tout n ∈ N ∗ , Z ip − K n , et comme K est réunion de la famille croissante d’exten-sions ( K n ) n ∈ N ∗ , alors Z ip − K . ⊓⊔ Preuve du théorème 7.5. Posons m = lm ( K/k ) . En utilisant un raisonne-ment par récurrence on va montrer que K i ⊆ m pour tout i ∈ N , et par suiteobtenir K = m . Il est immédiat que K = k ⊆ m , donc le résultat est vérifiépour le rang . Soit i ∈ N ∗ , supposons par application de l’hypothèse de récurr-rence que K i ⊆ m . S’il existe un entier naturel s tel que θ i +1 ,s m , désignonspar n le plus grant entier tel que θ i +1 ,n ∈ m . D’où pour tout t ∈ { , . . . , n } , θ i +1 ,t ∈ m et θ i +1 ,n +1 m , en outre θ p n i +1 , n ∈ m , et θ i +1 , n +1) p n +1 m .Il en résulte que le système ( θ i +1 , n +1) p n +1 , est libre sur m , en particulier,il en est de même sur m ∩ K p n +1 . Complétons ce système en une base B de K p n +1 sur m ∩ K p n +1 . Comme K p n +1 et m sont m ∩ K p n +1 -linéairement dis-jointes ( K/m est modulaire), B est aussi une base de m ( K p n +1 ) sur m . Or, parconstruction, θ i +2 ,n +1 = Z i +1 p − θ i +1 , n +1) + θ i +2 ,np − , donc θ i +2 ,n +1 p n +1 = Z i +1 p n θ i +1 , n +1) p n +1 + θ i +2 ,np n , avec θ i +2 ,np n = Z i +1 p n − θ i +1 , np n + · · · + Z i +1 θ i +1 , p + Z i +2 ∈ m . Par identification, Z i +1 p n ∈ m ∩ K p n +1 ⊆ K p n +1 ,et donc Z i +1 p − ∈ K , absurde. D’où pour tout n ∈ N ∗ , θ i +1 ,n ∈ m , ou encore K i +1 ⊆ m . D’où m = K . ⊓⊔ + ∞ - w -générées i -suite Définition 8.1 Une suite k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n ⊆ . . . ⊆ K de sous-extensions d’une extension purement inséparable K/k est dite i -suite dans K sipour tout indice i , on a K i +1 /K i est d’exposant non borné. Lorsque K/k est d’exposant non borné, il est immédiat que k ⊆ K est une i -suite dite triviale, et donc l’ensemble des i -suites de K/k est non vide. Cepen-dant, K/k n’admet pas de i -suite si K/k est d’exposant fini, donc pour écarterce cas, on suppose tout au long de cette paragraphe que K/k est d’exposantnon borné. Si de plus, K/k est q -finie, on vérifie aussitôt que k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n ⊆ . . . ⊆ K est une i -suite si et seulement si il en est de même de L = L ( K ) ⊆ L ( K ) ⊆ . . . ⊆ L ( K n ) ⊆ . . . ⊆ K pour toute sous-extension finie L de K/k . En particulier, k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n ⊆ . . . ⊆ K est une i -suitesi et seulement si k = K ⊆ rp ( K /k ) ⊆ . . . ⊆ rp ( K n /k ) ⊆ . . . ⊆ K l’est aussi. xtensions + ∞ - w -générées Proposition 8.1 Toute suite décroissante d’une extension q -finie est station-naire. Preuve. Soient ( K n /k ) n ∈ N une suite décroissante de sous-extensions de K/k et ( F i /k ) i ∈ N la suite associée à leurs clôtures relativement parfaites. Comptetenu du théorème 3.1 et de la proposition 4.1, la suite des entiers ( di ( F i /k )) i ∈ N est décroissante, donc stationnaire à partir d’un entier n , ou encore pour tout n ≥ n , F i = F n . En vertu de la monotonie, pour tout n ≥ n , [ K n +1 : F n ] ≤ [ K n : F n ] . Autrement dit, la suite des entiers ([ K n : F n ]) n ≥ n estdécroissante, donc stationnaire à partir d’un entier e , ou encore pour tout n ≥ e , [ K n : F n ] = [ K e : F n ] . Comme pour tout n ≥ e , K n ⊆ K e , on en déduit que K n = K e , pour tout n ≥ e . ⊓⊔ Corollaire 8.2 Dans une extension q -finie, toute i -suite est finie. Preuve. Immédiat. ⊓⊔ Soit K/k une extension q -finie, on dit que K/k admet une i -suite de longueur n si K peut se décomposer sous-forme d’extensions : k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n = K telles que K i +1 /K i est d’exposant non borné pour tout i ∈ { , . . . , n − } .D’après la proposition précédente toute extension q -finie d’exposant non bornéadmet une i -suite de longueur maximale n , elle sera qualifiée de i -suite maximale.En outre, toute i -suite peut se prolonger en une i -suite de longueur maximale.Par ailleurs, une i -suite de longueur maximale présente en quelque sorte unecertaine forme d’irréductibilité dans la mesure où entre deux termes consécutifsn’existe aucune extension propre d’exposant non borné, et donc impossible dedécomposer deux termes consécutifs en i -suite de longueur . Il est à signalerque cette forme d’irréductibilité sera étudiée avec précision dans les sections quisuivent. Remarque 8.1 En générale, les termes d’une i -suite maximale ne sont pasuniques. Toutefois, on peut chercher d’autres formes d’unicité, par exemple onpeut se demander si une i -suite maximale conserve la taille et les exposants destermes à une permutation près. w -générées Définition 8.2 Une extension purement inséparable est dite w -générée, s’ellen’admet pas de sous-extensions propres d’exposant non borné. En d’autres termes, K/k est w -générée si toutes les sous-extensions propresde K/k ont un exposant borné. En particulier, si K/k est q -finie, alors K/k est w -générée si pour toute sous-extension propre L/k de K/k , on a L/k estfinie, et par suite on retrouve la définition du J.K Devney cf. [9]. Par ailleurs, la w -génératrice exprime une certaine forme d’irréductibilité dans la mesure où K/k est indécomposable sous forme d’extensions d’exposant non borné. Si deplus K/k est d’exposant non borné, on vérifie aussitôt que : xtensions + ∞ - w -générées – Toute extension w -générée est relativement parfaite.– Toute extension w -générée et q -finie est modulaire sur une extension finiede k .– K/k est w -générée si et seulement si k −→ K est une i -suite de longueurmaximale, et K/k est relativement parfaite.– Pour toute sous-extension L/k d’exposant borné de K/k , on a L ( K ) /L est w -générée si K/k l’est. Le résultat ci-dessous assure l’existence des extensions w -générées. Plusprécisément, on a : Théorème 8.3 L’ensemble H des sous-extensions d’exposant non borné d’uneextension q -finie K/k d’exposant non borné est inductif pour la relation d’ordre K ≤ K si et seulement si K ⊆ K . En particulier, K/k admet une sous-extension w -générée d’exposant non borné. Preuve. Découle immédiatement de la proposition 8.1. ⊓⊔ Proposition 8.4 Toute extension q -finie est composée finie d’extensions w -générées. Preuve. Le résultat est évidemment trivial si K/k est finie. Sinon, d’après lecorollaire 8.2, K/k admet une i -suite k = K ⊆ K ⊆ . . . ⊆ K n = K de longueurmaximale n . Nécessairement, K i ⊆ K i +1 est une i -suite de longueur maximale , sinon K/k admet une i -suite de la longueur dépassant n , contradiction. Parsuite, on est amené à démontrer le résultat pour k ⊆ K de longueur maximale . En particulier, rp ( K/k ) est irréductible dans la mesure où rp ( K/k ) /k n’ad-met aucune sous-extension proppre d’exposant non borné. Toutefois, d’après laproposition 4.1, K/rp ( K/k ) est finie, et par suite K/k est composée finie d’ex-tensions w -générées. ⊓⊔ Dans le cas des extensions modulaires, le résultat suivant montre que la w -génératrice devient une propriété intrinsèque exclusivement liée aux extensions q -finies. Théorème 8.5 Pour qu’une extension w -générée K/k soit q -finie il faut et ilsuffit que lm ( K/k ) = K . La démonstration de ce théorème fait appel au résultat suivant : Lemme 8.6 Soit K/k une extension purement inséparable d’exposant non bor-né et de degré d’irratinalité infini. Si K/k est relativement parfaite et modulaire,alors K/k contient une sous-extension propre L/k d’exposant non borné et mo-dulaire. Preuve. On va construire par récurrence une suite strictement croissante ( K n /k ) n ≥ de sous-extensions modulaires d’exposant n de K/k . Comme K/k est relativement parfaite, d’après la proposition 6.2 et le corollaire 5.9, pourtout n ≥ , di ( k p − n ∩ K/k ) = di ( k p − ∩ K/k ) = di ( K/k ) et k p − n ∩ K/k est xtensions + ∞ - w -générées n . Soit G une r -base de k p − ∩ K/k , il en résulteque k p − ∩ K ≃ ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G . Choisissons un élément x de G , comme | G | est infini, il existe un sous-ensemble fini G ′ de G tel que x k ( G ′ ) . Posons K = k ( G ′ ) , il est clair que K /k est modulaire. Supposons qu’on a construitune suite de sous-extensions finies k ⊆ K ⊆ K ⊆ . . . K n de K/k telle que(1) Pour tout i ∈ { , . . . , n } , K i /k est modulaire. (2) Pour tout i ∈ { , . . . , n } , o ( K i /k ) = i . (3) x K n . Soit G n +1 une r -base de k p − n − ∩ K/k , d’après la proposition 6.1, k p − n − ∩ K ≃ ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G n +1 . Comme o ( K n /k ) = n , on en déduit que K n ⊆ k p − n − ∩ K . Or K n /k est finie et | G n +1 | est infini, donc il existe une partie finie G ′ n +1 de G n +1 telle que K n ⊆ k ( G ′ n +1 ) . Deux cas peuvent se produire :1-ier cas si x k ( G ′ n +1 ) , alors K n +1 = k ( G ′ n +1 ) convient.2-ième cas si x ∈ k ( G ′ n +1 ) , comme k p − n − ∩ K ≃ ⊗ k ( ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G ′ n +1 ) ⊗ k ( ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G n +1 \ G ′ n +1 ) , donc x k ( G n +1 \ G ′ n +1 ) ; sinon puisque k ( G ′ n +1 ) et k ( G n +1 \ G ′ n +1 ) sont k -linéairement disjoints, alors x ∈ k ( G ′ n +1 ) ∩ k ( G n +1 \ G ′ n +1 ) = k , absurde. Soit y un élément de G n +1 \ G ′ n +1 , ( y existe car | G n +1 | estinfini et | G ′ n +1 | est fini). Notons K n +1 = K n ( y ) , on vérifie aussitôt que : – K n +1 /k est finie, et o ( K n +1 /k ) = o ( y, k ) = n + 1 .– K n +1 ≃ K n ⊗ k k ( y ) , (application de la transitivité de la linéarité disjointede k ( G ′ n +1 ) et k ( G n +1 \ G ′ n +1 ) ), et comme K n /k est modulaire, d’après laproposition 5.11, K n +1 /k est modulaire.– x K n +1 , sinon comme k p − n − ∩ K ≃ k ( G ′ n +1 ) ⊗ k k ( G n +1 \ G ′ n +1 ) ≃ K n ( G ′ n +1 ) ⊗ K n K n ( G n +1 \ G ′ n +1 ) , alors x ∈ k ( G ′ n +1 ) ∩ K n ( y ) ⊆ K n ( G ′ n +1 ) ∩ K n ( G n +1 \ G ′ n +1 ) = K n , absurde. D’où K n +1 /k convient, et par suite L = [ i ≥ K i satisfait les conditions du lemmeci-dessus. ⊓⊔ Preuve du théorème 8.5 . La condition nécessaire résulte immédiatement duthéorème 7.3. Inversement, soit m la plus petite sous-extension de K/k telleque K/m est modulaire. Comme K/k est w -générée et m = K , alors m/k admet un exposant fini que l’on note e , et d’après le lemme 8.6 ci-dessus, K/m sera q -finie. Dans la suite, pour tout n ∈ N ∗ , posons K n = m p − e − n ∩ K et di ( K/m ) = l . Soit G n une r -base de K n /m , compte tenu de la proposition 6.2et le corollaire 5.9, | G n | = l et o ( K n /m ) = e + n . Par ailleurs, on a k ( K np e ) = k ( m p e , G np e ) = k ( G np e ) . En outre, di ( k ( K np e ) /k ) ≤ l , et o ( k ( K np e ) /k ) ≥ o ( m ( K np e ) /m ) = n . En particulier, l’extension L = S k ( K np e ) est d’exposantnon borné, mais comme K/k est w -générée, on obtient K = L . Toutefois, envertu de la proposition 3.3, di ( L/k ) = sup n ∈ N ( di ( K n /k )) ≤ l , donc K/k est q -finie. xtensions + ∞ - w -générées Corollaire 8.7 Toute extension modulaire et w -générée est q -finie. Compte tenu du théorème ci-dessus et dans le but d’étendre la notion de w -génératrice, on adopte le point de vue suivante : w -générée Définition 8.3 Soit j un entier naturel non nul. Une extension purement insé-parable K/k est dite j - w -générée si K/k n’admet pas de sous-extensions propresd’exposant non borné et degré d’irrationalité inférieur à j . Autrement dit, toute extension propre de K/k dont le degré d’irrationaliténe dépasse pas j strictement est d’exposant fini. Définition 8.4 Une extension purement inséparable K/k est dite + ∞ - w -gén-érée si pour tout j ∈ N ∗ , K/k est j - w -générée. Il est clair que toute extension w -générée est + ∞ - w -générée. Notamment,ces deux notions coîncident dans le cas de la q -finitude. Toutefois, pour éviterla non-contradiction, la construction d’un exemple d’extension + ∞ - w -généréede degré d’irrationalité infini nécessite les résultats suivants : Théorème 8.8 Etant donnée une extension purement inséparable K/k rela-tivement parfaite et modulaire ; et soit L/k une sous-extension propre finiede K/k . Si K/L est modulaire, alors pour tout entier n > e = o ( L/k ) , k p − n ∩ K/k ( L p e − ) est modulaire. En particulier, K/k ( L p e − ) est modulaire. Pour la preuve de ce théorème, on se servira des résultats suivants. D’abordpour tout n ∈ N , on pose K n = k p − e − n ∩ K et L n = L p − n ∩ K . Lemme 8.9 Sous les mêmes hypothèses du théorème ci-dessus. Pour tout n ∈ N ∗ , il existe deux sous-extensions N et M de K n /k vérifiant :– L ⊆ k ( N p n ) , avec N/k est finie.– K n ≃ M ⊗ k N ≃ ( M ⊗ k L ) ⊗ L N . En outre, M/k et N/k sont équiexpo-nentielles d’exposant n + e – L ( M ) /L ( M p ) et L ( L n + ep ) /L ( M p ) sont L ( M p ) -linéairement disjointes.– L n + e /L ( M ) est modulaire avec di ( L n + e /L ( M )) = di ( K n /M ) = di ( N/k ) . Preuve. Puisque L/k est d’exposant e , donc L ⊆ k p − e ∩ K . D’où L → L p − n ∩ K → K n → L n + e . Soit G une r -base de K n /k , comme K/k est re-lativement parfaite et modulaire, alors d’après la proposition 6.2, K n /k estéquiexponentielle d’exposant e + n . En outre, K n ≃ ⊗ k ( k ( a )) a ∈ G , et donc K = k ( K np n ) ≃ ⊗ k ( k ( a p n )) a ∈ G . Or, L/k est finie, et L ⊆ K , donc il existeune partie finie G de G telle que L ⊆ k ( G p n ) . Notons le complémentaire de G dans G par G , ( G = G \ G ), et désignons respectivement par M et N lescorps k ( G ) et k ( G ) . On vérifie aussitôt que : – K n ≃ M ⊗ k N ≃ ( M ⊗ k L ) ⊗ L N . xtensions + ∞ - w -générées – M et N sont équiexponentielle d’exposant e + n . En particulier, pour tout x ∈ G , o ( x, L ( G \{ x } )) = n + e ; et par suite s’il existe x ∈ G tel que x ∈ L ( L n + ep )( G \ { x } ) , on aura n + e = o ( x, L ( G \ { x } )) ≤ o ( L ( L n + ep )( G \ { x } ) /L ( G \ { x } )) ≤ o ( L ( L n + ep ) /L ) = n + e − , c’est unecontradiction. D’où, G est r -libre sur L ( L n + ep ) , ou encore L ( M ) /L ( M p ) et L ( L n + ep ) sont L ( M p ) -linéairement disjointes. D’après le théorème de la r -baseincomplète, il existe une partie G de L n + e telle que G ∪ G est une r -basede L n + e /L ( L n + ep ) , compte tenu de la proposition 2.12, G ∪ G est aussi un r -générateur minimal de L n + e /L . Puisque K/L est modulaire et relativementparfaite, donc L n + e ≃ ⊗ L ( L ( a )) a ∈ G ∪ G ≃ ( L ⊗ k M ) ⊗ L ( ⊗ L ( L ( a )) a ∈ G ) ≃ M ⊗ k ( ⊗ L ( L ( a )) a ∈ G ) . D’où L n ( M ) ≃ M ⊗ k ( ⊗ L ( L ( a p e )) a ∈ G ≃ ( M ⊗ k L ) ⊗ L ( ⊗ L ( L ( a p e )) a ∈ G ⊆ K n et K n ≃ M ⊗ k N ≃ ( M ⊗ k L ) ⊗ L N ⊆ L n + e . D’unepart, comme N/k est équiexponnetielle d’exposant n + e et L ⊆ k ( N p n ) , on aura | G | = di ( N/k ) = di ( N/k ( N p n )) ≤ di ( N/L ) ≤ di ( N/k ) , et donc di ( N/L ) = | G | . D’autre part, en vertu du théorème 3.8 et du corollaire 3.6, on a | G | = di ( L n ( M ) /L ( M )) ≤ di ( K n /L ( M )) = di ( N/L ) et di ( K n /L ( M )) ≤ di ( L n + e / L ( M )) = | G | , (car K n ⊆ L n + e ). Par suite, on aura | G | = | G | = di ( N/k ) . ⊓⊔ Comme K n ≃ M ⊗ k N ≃ ( M ⊗ k L ) ⊗ L N et K n /k équiexponentielle d’ex-posant n + e , on vérifie aussitôt que : – Pour tout i ∈ { , . . . , n } , k ( K np i ) = K n − i = k ( M p i ) ⊗ k k ( N p i ) .– Pour tout i ∈ { , . . . , n } , M ( K np i ) = M ( K n − i ) = M ⊗ k k ( N p i ) . En parti-culier, pour tout i ∈ { , . . . , n } , M ( K i ) /M est équiexponentielle d’exposant e + i et di ( M ( K i ) /M ) = di ( N/k ) .– L n + e /L ( M ) est équiexponentielle d’exposant n + e . En outre, L n + e /L ( M ) est modulaire. Dans la suite, on pose di ( N/k ) = j , et désignons par s le plus grand entiertel que o s ( L/k ) = o ( L/k ) = e . Lemme 8.10 Sous les conditions ci-dessus, pour tout n ∈ N ∗ , on a : (i) Pour tout i ∈ { , . . . , n − } , di ( M ( K np i ) /L ( M )) = di ( N/k ) . (ii) di ( M ( K np n ) /L ( M )) = di ( M ( K ) /L ( M )) = j − s .En particulier, pour tout r ∈ { j − s + 1 , . . . , j } , o r ( K n /L ( M )) = o j − s +1 ( K n /L ( M )) = n. Preuve. Soit { α , . . . , α m } une r -base canoniquement ordonnée de L/k , donc k → k ( α , . . . , α s ) → L → K → K n . Soit B une r -base de M ( K ) /M ( L ) , donc M ( K ) = M ( α , . . . , α m , B ) . Or, L ( M ) ≃ L ⊗ k M , donc M ( α , . . . , α s ) /M est équiexponentielle d’exposant e . Complétons le système { α , . . . , α s } en une r -base de M ( K ) /M par une partie C de K . En particulier, on aura | B | = di ( M ( K ) /L ( M )) ≤ di ( M ( K ) /M ( α , . . . , α s )) = | C | = j − s . Par ailleurs,pour tout r ∈ { s + 1 , . . . , m } , o ( α r , k ( α , . . . , α s )) < e , ainsi par application del’algorithme de la complétion des r -bases M ( K ) = M ( α , . . . , α s , B ) ; et donc B est une r -base de M ( K ) /M ( α , . . . , α s ) . D’où, di ( M ( K ) /M ( L )) = j − s = | B | . xtensions + ∞ - w -générées L ( M )( K np n − ) = K ( M ) et L ( M )( K np n ) = M ( K ) . Comme K n ≃ L ( M ) ⊗ L N , et donc M ( K np n − ) ≃ L ( M ) ⊗ L L ( N p n − ) , il en résulte que di ( M ( L )( K np n − ) /M ( L )) = di ( M ( K ) /M ( L )) = di ( L ( N p n − ) /L ) . Or, N/k estéquiexponentielle d’exposant n + e et L ⊆ k ( N p n ) , en vertu du théorème 3.1et le corollaire 3.6, on aura j = di ( k ( N p n − ) /k ( N p n )) ≤ di ( L ( N p n − ) /L ) ≤ di ( k ( N p n − ) /k ) = j . Par suite, di ( M ( K ) /M ( L )) = j . D’où, d’après le lemme4.14, pour tout r ∈ { j − s + 1 , . . . , j } , o r ( K n /L ( M )) = o j − s +1 ( K n /L ( M )) = n . Preuve du théorème 8.8. Tout au long de cette démonstration, on se servirades notations précédentes. D’abord, pour tout n ∈ N ∗ , on a :(1) K n ⊆ L n + e . (2) L n + e /L ( M ) est modulaire, avec di ( L n + e /L ( M )) = j = di ( K n /L ( M )) . (3) K n ≃ L ( M ) ⊗ L N . En vertu de la proposition 5.13, il existe une r -base canoniquement ordon-née { a , . . . , a j } de K n /L ( M ) telle que K n ≃ L ( M ) ⊗ L L ( a , . . . , a j − s ) ⊗ L L ( a j − s +1 ) ⊗ L . . . ⊗ L L ( a j ) ; et donc pour tout i ∈ { j − s + 1 , . . . , j } , a ip n ∈ L .Soit { α , . . . , α m } une r -base de L/k , donc K n = M ( α , . . . , α m , a , . . . , a j ) .Comme o ( α i , k ) ≤ e pour tout i ∈ { , . . . , m } et K n /M est équiexponentielled’exposant n + e , d’après l’algorithme de la complétion des r -bases et le lemme8.9, K n ≃ M ( a , . . . , a j ) ≃ M ⊗ k k ( a ) ⊗ k . . . ⊗ k k ( a j ) . Or, K n /k et K n /M sontéquiexponentielles d’exposant n + e , donc k ( a j − s +1 p n , . . . , a jp n ) /k est équiexpo-nentielle d’exposant e . D’autre part, k ( a j − s +1 p n , . . . , a jp n ) ⊆ L , donc en com-plétant ce système en une r -base canoniquement ordonnée de L/k , on obtient k ( L p e − ) = k ( a j − s +1 p n + e − , . . . , a jp n + e − ) . Par suite, en vertu de la proposi-tion 5.7, on aura K n ≃ M ⊗ k ( a ) ⊗ k . . . ⊗ k k ( a j ) ≃ M ⊗ k ( L pe − ) k ( L p e − )( a ) ⊗ k ( L pe − ) . . . ⊗ k ( L pe − ) k ( L p e − )( a j ) , avec M/k est modulaire. D’après laproposition 5.11, on en déduit que K n /k ( L p e − ) est aussi modulaire. ⊓⊔ Lemme 8.11 Soit K/k une extension purement inséparable équiexponentielled’exposant n > , et telle que k K p . Soit L/k une sous extension propre de k p − ∩ K . Il existe une extension K ′ /K vérifiant les conditions ci-dessous : (1) di ( K/k ) = di ( K ′ /k ) (2) K ′ /k est équiexponentielle d’exposant n + 1 . (3) K ′ /L n’est pas modulaire. Preuve. K/L est non modulaire, alors K ′ = K p − convient.2-ième cas : si K/L est modulaire, d’après le théorème 6.5, il existe une r -base G de K/k telle que G = { ( a p o ( a,L ) ) a ∈ G | o ( a, L ) < n } est une r -base modulaire de L/k et K ≃ ⊗ L ( ⊗ L L ( a )) a ∈ G . Puisque L ⊆ k p − ∩ K et K/k est équiexponentielled’exposant n , alors pour tout a ∈ G , on a o ( a, k p − ∩ K ) = n − ≤ o ( a, L ) ≤ o ( K/k ) = n . Il en résulte que G = { a ∈ G tel que o ( a, L ) = n − } ; et par suite K ≃ ⊗ L ( L ( a )) a ∈ G ⊗ L ( ⊗ L ( L ( a )) a ∈ G \ G . Nécessairement, G \ G et G sontnon vides, sinon k p − ∩ K = L ou L = k , contradiction avec le fait que L est un xtensions + ∞ - w -générées k p − ∩ K/k . Soient α ∈ G \ G et β ∈ G . Comme k K p ,il existe t ∈ k tel que t K p . Notons G ′ = ( a p − ) a ∈ G \{ β } ∪ { t p − α p − + β p − } et K ′ = k ( G ′ ) . On vérifie aussitôt que : – K ′ /k est équiexponentielle d’exposant n + 1 .– K ⊆ K ′ , et di ( K/k ) = di ( K ′ /k ) . Si K ′ /L est modulaire, alors K ′ p n et L sont L ∩ K ′ p n -linéairement disjointes.Comme α p n − L , ou encore (1 , α p n − ) est L -libre, donc (1 , α p n − ) est enparticulier L ∩ K ′ p n -libre. Complétons ce système en une base B de K ′ p n sur L ∩ K ′ p n . Compte tenu de la linéarité disjointe, B est aussi une base de L ( K ′ p n ) sur L . Or, ( α p − t p − + β p − ) p n = t p n − α p n − + β p n − , par identification onaura t p n − ∈ k ∩ K ′ p n , et donc t p − ∈ k p − ∩ K ′ = k p − ∩ K ⊆ K , c’est unecontradiction avec le fait que t K p . Il en résulte que K ′ /L est non modulaire. Lemme 8.12 Etant donnés un corps k de caractéristique p > , et Ω uneclôture algébrique de k . Soit H l’ensemble des sous-extensions finies de Ω /k . Si k est dénombrable, il en est de même de Ω et H . Preuve. Dans Ω on définit la relation ∼ de la façon suivante : α ∼ β si etseulement si irr ( α, k ) = irr ( β, k ) , où irr ( α, k ) et irr ( β, k ) sont respectivementles polynômes minimals sur k de α et β . On vérifie immédiatement que ∼ est unerelation d’équivalence. Soit E un système de représentants dans Ω de cette rela-tion (on peut choisir les éléments de E parmi les racines de tous les polynômesirréductibles unitaires de telle manière que chaque polynôme sera identifié parune et une seule racine, c’est-à-dire par un élément de E ). D’où, Ω = [ a ∈ E a .Comme les racines d’un polynôme sont finies, donc pour tout a ∈ E , | a | estfini. De même, on a k [ X ] est dénombrable, en particulier E l’est aussi ; et parsuite Ω est dénombrable (cf. [16], III, p.49, corollaire 3). Dans la suite, pourtout n ∈ N ∗ , notons H n = { L ∈ H tel que L/k est engendrée par au plus n éléments } . Il est clair que : • L’application Ω n −→ H n , ( α , . . . , α n ) k ( α , . . . , α n ) , est surjective, donc | H n | ≤ | Ω n | ; et par suite H n est dénombrable. • Comme H = [ n ≥ H n , alors H/k est dénombrable (cf. [16], III, p.49, co-rollaire 3). ⊓⊔ Construisons maintenant, une extension + ∞ - w -générée de degré d’irratio-nalité infini. Pour cela, considérons un corps commutatif dénombrable k decaractéristique p > et de degré d’imperfection infini, et soit (( X i ) i ∈ N ∗ , t ) unefamille p -libre sur k . Notons M = k (( X ip − ) i ∈ N ∗ ) et M = k (( X ip − ) i ∈ N ∗ ) . xtensions + ∞ - w -générées E l’ensemble des sous-extensions propres de M . Compte tenudu lemme 8.12, E est dénombrable, donc on peut présenter E sous la forme E = ( L n ) n ≥ . Par application du lemme 8.11, on construit une suite d’exten-sions croissantes ( M n /k ) n ≥ vérifiant :(i) M n /L n est non modulaire. (ii) M n /k est équiexponentielle d’exposant n . Posons K = [ i ∈ N ∗ M n . Théorème 8.13 L’extension K/k ci-dessus est modulaire et + ∞ - w -généréede degré d’irrationalité infini. Pour la preuve on se servira en plus du résultat suivant : Lemme 8.14 Etant donnée une extension purement inséparable, relativementparfaite et modulaire K/k . Soient S/k une sous-extension relativement parfaitede K/k et L/k une sous-extension de S/k . Si S/L est modulaire, alors K/L estmodulaire, (et en particulier, K/S est modulaire). Preuve. cf. [2], p. 155, lemme 2.6. ⊓⊔ Preuve du théorème 8.13 D’abord, par construction K/k est relative-ment parfaite de degré d’irrationalité infini. Soit ensuite S/k une sous-extensionpropre de K/k de taille finie di ( S/k ) = j ; supposons que S/k est d’exposant nonborné. En vertu du théorème 8.3, S/k admet une sous-extension w -générée quel’on note S ′ , en particulier S ′ /k est relativement parfaite. Posons L ′ = lm ( S ′ /k ) ,donc L ′ /k est finie. Soit L = L ′ p − ∩ S ′ ; d’après la proposition 5.10, S ′ /L estmodulaire. Compte tenu du lemme 8.14 ci-dessus, K/L est modulaire. Par ap-plication du théorème 8.8, pour n assez grand, k n /k ( L p e − ) est modulaire, où e = o ( L/k ) . De plus, on a k ( L p e − ) /k est finie d’exposant , donc il existe t ∈ N tel que L t = k ( L p e − ) . Or, k n = M n pour tout n ≥ , donc M m /L t estmodulaire pour un entier assez grand m > t , et par suite L t ( M m − tm ) /L t est mo-dulaire. D’où M t /L t est modulaire, c’est une contradiction avec la constructiondes M n . ⊓⊔ Références [1] M. Chellali et E. Fliouet, Extensions i-Modulaires, International Journalof Algebra, Vol. , (2012), no. 10, 457-492[2] M. Chellali et E. Fliouet, Extensions purement inséparables d’exposantnon borné, Archivum Mathematicum[3] M. Chellali et E. Fliouet, Extension presque modulaire, Ann.Sci.MathQuébec Vol no. 1-2, (2004), 65-75[4] M. Chellali et E. Fliouet, Sur les extensions purement inséparable, Arch.Math. 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