W*-Algebras as a complete axiomatisation of Von-Neumann algebras
aa r X i v : . [ m a t h . OA ] S e p Diplomarbeit W ∗ -Algebren als vollst¨andigeAxiomatisierung derVon-Neumann-Algebren ausgef¨uhrt am Institut f¨urAnalysis und Scientific ComputingTU Wien unter der Anleitung von
Ao.Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn.Michael Kaltenb¨ack durch
Clemens Schindler, BSc.
Wien, am 28. Dezember 2019 nhaltsverzeichnis
Einleitung 21 Einige Resultate aus der Funktionalanalysis 4 C ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Beschr¨ankte Operatoren auf einem Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 C ∗ -Algebren 19 C ∗ -Algebren 35 L b ( H ) und Von-Neumann-Algebren 43 ∗ -Unteralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 W ∗ -Algebren 60 W ∗ -Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Beweis des Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Literaturverzeichnis 94 inleitung Die Theorie der C ∗ -Algebren ist entstanden als Verallgemeinerung der Theorie beschr¨ankterOperatoren auf einem Hilbertraum, insbesondere der Spektraltheorie. Anstelle von R¨aumen vonOperatoren werden abstrakte ∗ -Algebren untersucht, die eine derartige Normstruktur tragen,dass die algebraische und die analytisch-topologische Struktur kompatibel sind. Die Definitioneiner C ∗ -Algebra besteht also nur aus einer Liste von Axiomen, ohne auf Eigenschaften einerkonkreten zugrundeliegenden Struktur, beispielsweise eines Hilbertraums, Bezug zu nehmen.Diese allgemeinere Sichtweise bietet – vom unbestrittenen ¨asthetischen Wert einer axiomatischenBehandlung abgesehen – einige ”handfeste“ Vorteile; zu nennen ist vor allem die gesamte Theoriekommutativer C ∗ -Algebren, die auch bei der Behandlung nichtkommutativer C ∗ -Algebren sowiekonkreter normaler Operatoren einfließt.Es w¨urde jedoch den C ∗ -Algebren nicht gerecht werden, sie als echte Verallgemeinerung desRaums L b ( H ) der beschr¨ankten Operatoren auf einem Hilbertraum H und der abgeschlosse-nen ∗ -Unteralgebren von L b ( H ) zu sehen. Der Satz von Gelfand-Naimark besagt n¨amlich, dasseine beliebige C ∗ -Algebra isometrisch isomorph als ∗ -Algebra zu einer solchen abgeschlosse-nen ∗ -Unteralgebra ist. Dies bedeutet, dass durch C ∗ -Algebren die Struktur abgeschlossener ∗ -Unteralgebren des Raums der beschr¨ankten Operatoren auf einem beliebigen Hilbertraumvollst¨andig axiomatisiert wird, obwohl die Abgeschlossenheit ¨uber die Abbildungsnorm vom zu-grundeliegenden Hilbertraum in ad hoc nicht zu trennender Weise abh¨angig ist. Dieser Stand-punkt der abstrakten Strukturanalyse soll in der folgenden Arbeit eingenommen werden, umeinerseits den Satz von Gelfand-Naimark zu beweisen und andererseits eine weitere Klasse vonOperatoralgebren zu untersuchen, die Von-Neumann-Algebren. Diese ergeben sich auch als ab-geschlossene ∗ -Unteralgebren, wobei allerdings eine andere Topologie auf dem Raum der be-schr¨ankten Operatoren betrachtet wird – eine M¨oglichkeit ist die schwache Operatortopologie.Klarerweise h¨angt diese ebenfalls, intuitiv noch enger als die Abbildungsnorm, mit der Hilbert-raumstruktur zusammen, sodass die Frage nach einer passenden Axiomatisierung aufgeworfenwird. S. Sakai konnte dieses Problem mit der Einf¨uhrung der sogenannten W ∗ -Algebren l¨osen.Dabei handelt es sich um C ∗ -Algebren, die gleichzeitig, als Banachraum betrachtet, bis auf iso-metrische Isomorphie der Dualraum eines Banachraums sind. Dass dieses Axiomensystem, daskeinerlei Hilbertraum erw¨ahnt, die gew¨unschten Eigenschaften hat, wird durch den Satz vonSakai gezeigt. Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit soll es sein, aufbauend auf den Inhalteneines Funktionalanalysis-Vorlesungszyklus den Beweis dieses Satzes und die daf¨ur notwendigenGrundlagen in moderner Weise darzustellen. Dabei st¨utzen wir uns auf die Argumentation inSakais Buch [7], die wir an vielen Stellen erg¨anzt und erweitert haben, um diverse Ungenauigkei-ten zu kl¨aren und wenn notwendig zu korrigieren. Im Zuge dessen war es m¨oglich, den Satz vonSakai noch auszubauen, wodurch wir den Beweis eines weiteren Resultats vereinfachen konnten.In Kapitel 1 werden notwendige Grundlagen aus verschiedenen Teilgebieten der Funktional-analysis behandelt, Kapitel 2 greift die C ∗ -Algebren auf und konzentriert sich auf gewisse Ele-mente, n¨amlich Einselemente und Projektionen. Kapitel 3 schließt die Behandlung abstrakter C ∗ -Algebren mit dem Satz von Gelfand-Naimark ab. Mit Operatoralgebren besch¨aftigt sich Ka-2itel 4; insbesondere werden verschiedene Operatortopologien einf¨uhrt, deren Zusammenh¨angeuntersucht sowie die Von-Neumann-Algebren definiert. In den verbleibenden Kapiteln 5 bis 7stehen W ∗ -Algebren im Mittelpunkt. Kapitel 5 behandelt allgemeine Eigenschaften wie eine ka-nonische Topologie und diverse Stetigkeitsaussagen. In Kapitel 6 werden die Verbindungen zuOperatoren, vor allem zu Von-Neumann-Algebren, untersucht sowie der Satz von Sakai bewie-sen. Das abschließende Kapitel 7 besch¨aftigt sich mit Eindeutigkeitsaussagen, die der Definitionder W ∗ -Algebren zu hoher ¨Asthetik verhelfen.An dieser Stelle m¨ochte ich mich bei meinem Betreuer Michael Kaltenb¨ack daf¨ur bedanken,dass er mich auf ein interessantes St¨uck Mathematik aufmerksam gemacht hat, und nat¨urlichf¨ur seine Verbesserungsvorschl¨age dieser Arbeit. Großer Dank geb¨uhrt außerdem meinen Elternf¨ur ihre moralische und finanzielle Unterst¨utzung.3 apitel 1 Einige Resultate aus derFunktionalanalysis
Wir starten mit der Auflistung diverser in dieser Arbeit ben¨otigter Ergebnisse der Funktio-nalanalysis. Der vollst¨andige Beweis s¨amtlicher Aussagen w¨urde allerdings den Rahmen dieserArbeit sprengen.
Notation 1.1.1. (i) Im Folgenden bezeichne S oder S X die abgeschlossene Einheitskugel K (0) eines Banach-raums ( X, k·k ) ¨uber C . F¨ur r > rS dann die Kugel K r (0) mit Radius r .(ii) F¨ur die Funktionsauswertung werden wir im Kontext von schwachen und schwach-*-Topologien die Dualit¨atsklammer h x, f i := f ( x ) verwenden.Zun¨achst wollen wir konvexe, bez¨uglich verschiedener Topologien abgeschlossene Teilmengeneines Banachraums betrachten. Satz 1.1.2.
Sei ( X, k·k ) ein Banachraum.(i) Eine Teilmenge C ⊆ X ist genau dann bez¨uglich k·k abgeschlossen, wenn f¨ur jedes r > die Menge C ∩ rS bez¨uglich k·k abgeschlossen ist.(ii) Ist die Teilmenge C ⊆ X zus¨atzlich konvex, so ist sie genau dann bez¨uglich der schwa-chen Topologie σ ( X, X ′ ) abgeschlossen, wenn f¨ur jedes r > die Menge C ∩ rS bez¨uglich σ ( X, X ′ ) abgeschlossen ist.Beweis. (i) Die Beweisrichtung ” ⇒ “ ist klar, da rS abgeschlossen ist. Sei also C ∩ rS f¨ur jedes r > x n ) n ∈ N eine Folge in C , die gegen x konvergiert. Da konvergente Folgenbeschr¨ankt sind, gilt k x n k ≤ r f¨ur ein r > n ∈ N . Die Folge ( x n ) n ∈ N liegt folglichin C ∩ rS und wegen der Abgeschlossenheit dieser Menge damit auch x . Insbesondere ist x in C enthalten.(ii) Als Folgerung des Satzes von Hahn-Banach ist eine konvexe Menge genau dann σ ( X, X ′ )-abgeschlossen, wenn sie k·k -abgeschlossen ist, da X versehen mit beiden Topologien diesel-ben stetigen linearen Funktionale aufweist. Die Aussage folgt daher sofort aus dem letztenPunkt. 4rsetzt man X im obigen Satz durch seinen Dualraum X ′ , so stellt sich die Frage, ob eineanaloge Aussage nicht nur f¨ur die schwache Topologie σ ( X ′ , X ′′ ) sondern auch f¨ur die schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) gilt. Der gerade gegebene Beweis ist nicht einfach adaptierbar, da dieschwache Topologie und die schwach-*-Topologie im Allgemeinen nicht dieselben stetigen Funk-tionale induzieren . Es ist nun eine wichtige Tatsache, dass man dennoch aus den Schnitten mitVielfachen der Einheitskugel S = S X ′ die Abgeschlossenheit einer Menge extrahieren kann. Satz 1.1.3 (Krein-Smulian) . Sei ( X, k·k ) ein Banachraum. Eine konvexe Teilmenge C ⊆ X ′ ist genau dann bez¨uglich der schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) abgeschlossen, wenn f¨ur jedes r > die Menge C ∩ rS bez¨uglich σ ( X ′ , X ) abgeschlossen ist.Beweis. Die Richtung ” ⇒ “ ist wieder klar, da rS auch bez¨uglich σ ( X ′ , X ) abgeschlossen ist;nach dem Satz von Banach-Alaoglu ist sie ja sogar kompakt. F¨ur die Umkehrung sei auf [1,Theorem V.12.1] verwiesen.Daraus folgt auf einfache Weise: Satz 1.1.4 (Banach-Dieudonn´e) . Sei ( X, k·k ) ein Banachraum. Eine konvexe, bez¨uglich der ska-laren Multiplikation mit positiven Zahlen abgeschlossene Teilmenge C ⊆ X ′ – beispielsweise einUnterraum C ≤ X ′ – ist genau dann bez¨uglich der schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) abgeschlossen,wenn C ∩ S bez¨uglich σ ( X ′ , X ) abgeschlossen ist.Beweis. Wegen der vorausgesetzten Abgeschlossenheit bez¨uglich der skalaren Multiplikation gilt C ∩ rS = r ( C ∩ S ) f¨ur r >
0. Da die Streckung x rx einen Hom¨oomorphismus darstellt, istsomit C ∩ rS genau dann f¨ur jedes r > C ∩ S abgeschlossen ist. Aus demSatz von Krein-Smulian, Satz 1.1.3, folgt die Aussage.Zum Satz von Banach-Dieudonn´e existiert ein praktisches Korollar. Korollar 1.1.5.
Sei ( X, k·k ) ein Banachraum und f irgendein lineares Funktional auf X ′ , d. h. f ∈ ( X ′ ) ∗ . Die Abbildung f ist genau dann bez¨uglich der schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) stetig,wenn die Einschr¨ankung f | S auf die Einheitskugel S stetig ist, wobei S mit der Spurtopologie σ ( X ′ , X ) | S versehen wird.Beweis. Ist f schwach-*-stetig, so ist klarerweise auch die Einschr¨ankung auf S stetig.Sei umgekehrt f | S schwach-*-stetig. Als lineares Funktional ist f genau dann schwach-*-stetig,wenn ker f schwach-*-abgeschlossen ist. Nach dem Satz von Banach-Dieudonn´e ist das wiederumgenau dann der Fall, wenn (ker f ) ∩ S abgeschlossen ist. Wegen (ker f ) ∩ S = ( f | S ) − ( { } ) istdies eine unmittelbare Konsequenz der angenommenen Stetigkeit.Das n¨achste Lemma behandelt die Stetigkeit von Projektionen, also idempotenten und linea-ren Abbildungen, auf einem Banachraum. Es sei daran erinnert, dass diese im Gegensatz zuOrthogonalprojektionen auf einem Hilbertraum nicht zwingend beschr¨ankt sein m¨ussen. Lemma 1.1.6.
Sei ( X, k·k ) ein Banachraum. Eine Projektion P : X → X ist genau dannbeschr¨ankt, wenn ker P und ran P beide abgeschlossen sind. Pr¨azise formuliert passiert dies genau dann, wenn X nicht reflexiv ist. eweis. F¨ur beschr¨anktes P ist ker P als Kern eines stetigen Operators abgeschlossen. Mit P ist auch I − P beschr¨ankt, sodass ran P = ker( I − P ) ebenfalls abgeschlossen ist.Sind umgekehrt ker P und ran P abgeschlossen, so ist mit ker P und ran P auch der Produktraumker P × ran P , versehen beispielsweise mit der Summennorm, ein Banachraum. Wir betrachtendie offensichtlich beschr¨ankte lineare Abbildung ϕ : ker P × ran P → X, ϕ ( x , x ) := x + x . Da X mit der direkten Summe ker P ∔ ran P von Unterr¨aumen ¨ubereinstimmt, ist ϕ bijektiv.Nach einem Korollar des Satzes von der offenen Abbildung ist ϕ − und damit auch P = π ◦ ϕ − beschr¨ankt, wobei π : ker P ∔ ran P → ran P die Projektion auf die Komponente aus ran P bezeichnet.Kombiniert man die letzten beiden Resultate, so erh¨alt man das folgende Analogon f¨ur dieschwach-*-Topologie. Lemma 1.1.7.
Sei X ein Banachraum und P : X ′ → X ′ eine Projektion. Werden sowohlDefinitions- als auch Bildbereich mit der schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) versehen, so ist P genaudann stetig , wenn ker P und ran P beide schwach-*-abgeschlossen sind.Beweis. Ist P stetig, so folgt die Abgeschlossenheit von ker P und ran P wie im Beweis vonLemma 1.1.6.Sind umgekehrt ker P und ran P schwach-*-abgeschlossen, so sind diese Unterr¨aume klarerweiseauch bez¨uglich der Normtopologie abgeschlossen. Lemma 1.1.6 zeigt, dass P beschr¨ankt ist. AlsN¨achstes beweisen wir, dass die Einschr¨ankung P | S auf die Einheitskugel S = S X ′ schwach-*-stetig ist. Dazu sei ( x i ) i ∈ I ein Netz in S , das bez¨uglich σ ( X ′ , X ) gegen x konvergiert. Alle Bilder P x i sind in der kompakten Menge k P k S enthalten, sodass es f¨ur die Konvergenz P x i → P x gen¨ugt zu zeigen, dass
P x der einzige H¨aufungspunkt des Netzes (
P x i ) i ∈ I ist. Sei also y einH¨aufungspunkt und ( P x i ( j ) ) j ∈ J ein gegen y konvergentes Teilnetz. Da ran P bez¨uglich σ ( X ′ , X )abgeschlossen ist, gilt y ∈ ran P . Wegen der Abgeschlossenheit von ker P erhalten wir auf¨ahnliche Weise x − y = lim j ∈ J x i ( j ) − P x i ( j ) ∈ ker P . Die Summe x = y + ( x − y ) ist somit dieeindeutige Zerlegung in ein Element aus ran P und eines aus ker P , woraus y = P x folgt.Der Raum X ′ tr¨agt die schwach-*-Topologie, die als initiale Topologie bez¨uglich der Auswer-tungsfunktionale ι ( x ) : X ′ → C , f
7→ h x, f i definiert ist. Somit ist P genau dann stetig, wennalle Kompositionen ι ( x ) ◦ P : X ′ → C schwach-*-stetig sind. Diese Abbildungen sind lineareFunktionale, sodass es nach Korollar 1.1.5 gen¨ugt, die Einschr¨ankungen auf S zu betrachten.Nach dem gerade Gezeigten handelt es sich dabei tats¨achlich um schwach*-stetige Funktionen,womit die Aussage bewiesen ist. Bemerkung . Alle bisherigen Resultate, insbesondere Lemma 1.1.7, gelten auch f¨ur einenreellen Banachraum.Die schwache Topologie σ ( X, Y ) f¨ur einen Banachraum X und einen punktetrennenden Raum Y ≤ X ∗ von Funktionalen auf X , aus h x, f i = 0 f¨ur alle f ∈ Y folgt also schon x = 0, istbekanntlich die gr¨obste Topologie auf X , f¨ur die X ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum und Y der topologische Dualraum von X ist. Auf nat¨urliche Weise ergibt sich nun die Frage,ob es auch eine feinste derartige Topologie gibt. Es stellt sich heraus, dass diese Topologietats¨achlich existiert. Der Einfachheit halber nennen wir P in diesem Fall auch schwach-*-stetig. Ein lokalkonvexer Raum w¨urde ausreichen. Zwecks kompakterer Formulierung nennen wir die Topologie in diesem Fall eine
Vektorraum-Topologie. efinition 1.1.9. Sei ǫ > D ⊆ X ∗ eine Menge von Funktionalen auf X . Wir definieren U ( D, ǫ ) := (cid:8) x ∈ X : |h x, f i| < ǫ f¨ur alle f ∈ D (cid:9) . Lemma 1.1.10.
Sei Y ≤ X ∗ ein punktetrennender Raum von Funktionalen auf X . Dann gibtes eine eindeutige lokalkonvexe Vektorraum-Topologie τ ( X, Y ) auf X , f¨ur die eine Nullumge-bungsbasis gegeben ist durch { U ( D, ǫ ) : ǫ > , D ⊆ Y ist kreisf¨ormig, konvex und σ ( Y, X ) -kompakt } . Beweis.
Spezialfall von [8, III.3.2] und Umformulierung mithilfe der kanonischen Einbettung X → X ′′ . Siehe auch [8, III.3.2 Example 4.b]. Definition 1.1.11.
Die Topologie τ ( X, Y ) aus dem letzten Lemma nennt man die
Mackey-Topologie auf X zum Raum Y . Bemerkung . (i) Ein Netz ( x i ) i ∈ I in X konvergiert bez¨uglich der Mackey-Topologie τ ( X, Y ) genau danngegen x ∈ X , wenn es f¨ur alle ǫ > σ ( Y, X )-kompakten D ⊆ Y ein i ∈ I gibt mit |h x i − x, f i| < ǫ f¨ur alle f ∈ D und i < i . Es liegtalso eine Versch¨arfung der schwachen Konvergenz vor, wobei zus¨atzlich die Konvergenzf¨ur Funktionale aus einer zul¨assigen Menge D mit der gleichen Geschwindigkeit verl¨auft.Wir werden diesen Konvergenztypus im Folgenden als auf den kreisf¨ormigen, konvexenund σ ( Y, X ) -kompakten Mengen gleichgradig schwache Konvergenz bezeichnen.(ii) Analog zur schwachen Topologie k¨onnen wir auch die Mackey-Topologie τ ( X ′ , X ) durch τ ( X ′ , ι ( X )) mit der kanonischen Einbettung ι : X → X ′′ definieren. In dieser Situationerhalten wir als Konvergenzbedingung f¨ur ein Netz ( f i ) i ∈ I gegen f ∈ X ′ , dass es zu jedem ǫ > σ ( X, X ′ )-kompakten Menge C ⊆ X ein i ∈ I geben muss mit |h x, f i − f i| < ǫ f¨ur alle x ∈ C und i < i . Mit anderen Wortenbedeutet Konvergenz in der Mackey-Topologie τ ( X ′ , X ) genau gleichm¨aßige Konvergenzauf allen kreisf¨ormigen, konvexen und σ ( X, X ′ )-kompakten Mengen C ⊆ X .Der folgende Satz beantwortet die oben gestellte Frage: Satz 1.1.13 (Mackey-Arens) . Sei Y ≤ X ∗ ein punktetrennender Raum von Funktionalen auf X . F¨ur die Mackey-Topologie τ ( X, Y ) gilt ( X, τ ( X, Y )) ′ = Y. (1.1.1) Außerdem ist sie die feinste Vektorraum-Topologie auf X , f¨ur die (1.1.1) sinngem¨aß gilt.Beweis. Siehe [8, IV.3.2 – Corollary 1].Im weiteren Verlauf dieser Arbeit wird die Bedeutung der Mackey-Topologie darin liegen, dassein Funktional f : X → C genau dann stetig bez¨uglich der schwachen Topologie σ ( X, Y ) ist,wenn es bez¨uglich der Mackey-Topologie τ ( X, Y ) stetig ist. Diese Stetigkeit kann einfacher zubeweisen sein, da τ ( X, Y ) feiner ist als σ ( X, Y ). Um das volle Potenzial dieser ¨Uberlegungauszun¨utzen, beweisen wir bereits an dieser Stelle ein Analogon von Korollar 1.1.5 f¨ur dieMackey-Topologie τ ( X ′ , X ). Hier geht ein, dass die kanonische Einbettung ι : X → X ′′ bez¨uglich der schwachen Topologie auf X und derschwach-*-Topologie auf X ′′ ein Hom¨oomorphismus auf das Bild ι ( X ) ist. orollar 1.1.14. Sei ( X, k·k ) ein Banachraum und f irgendein lineares Funktional auf X ′ ,d. h. f ∈ ( X ′ ) ∗ . Die Abbildung f ist genau dann bez¨uglich der Mackey-Topologie τ ( X ′ , X ) stetig,wenn die Einschr¨ankung f | S auf die Einheitskugel S stetig ist, wobei S mit der Spurtopologie τ ( X ′ , X ) | S versehen wird.Beweis. Aus der Stetigkeit von f bez¨uglich der Mackey-Topologie folgt klarerweise auch dieStetigkeit der Einschr¨ankung auf S .Sei umgekehrt f | S stetig bez¨uglich τ ( X ′ , X ) | S . Die Menge (ker f ) ∩ S = ( f | S ) − ( { } ) ist τ ( X ′ , X ) | S -abgeschlossen und konvex. Außerdem ist die Einheitskugel S bez¨uglich σ ( X ′ , X ) ab-geschlossen, also insbesondere bez¨uglich der feineren Topologie τ ( X ′ , X ). Somit ist (ker f ) ∩ S sogar τ ( X ′ , X )-abgeschlossen. Nach einer Folgerung des Satzes von Hahn-Banach h¨angt derAbschluss einer konvexen Menge nur vom topologischen Dualraum und nicht von der genauenTopologie ab. Da X ′ versehen mit der Mackey-Topologie τ ( X ′ , X ) und der schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) denselben topologischen Dualraum hat, ist eine konvexe Teilmenge von X ′ genau dann τ ( X ′ , X )-abgeschlossen, wenn sie σ ( X ′ , X )-abgeschlossen ist. Folglich ist (ker f ) ∩ S abgeschlos-sen bez¨uglich σ ( X ′ , X ). Wie im Beweis von Korollar 1.1.5 ergibt sich daraus die σ ( X ′ , X )-Abgeschlossenheit von ker f , also die schwach-*-Stetigkeit von f . Dies ist ¨aquivalent dazu, dass f bez¨uglich der Mackey-Topologie stetig ist. C ∗ -Algebren Nun gehen wir von Banachr¨aumen zu C ∗ -Algebren ¨uber. Es ist eine wichtige Tatsache, dassman zu C ∗ -Algebren ohne Eins ein Einselement adjungieren kann und wieder eine C ∗ -Algebraerh¨alt. F¨ur Banach(- ∗ -)algebren ist die Konstruktion relativ einfach und durch die Betrachtungder Elemente a + λe mit einem fiktiven Einselement e motiviert. Bemerkung . Sei ( A, k·k ) eine Banachalgebra. Definiert man auf ˜ A := A × C die Additionund Skalarmultiplikation komponentenweise, so wird ˜ A mit der Norm k ( a, λ ) k ˜ A := k a k + | λ | zu einem Banachraum. Wir setzen zus¨atzlich ( a, λ ) · ( b, µ ) := ( ab + λb + µa, λµ ) und erhalten,wie man leicht nachrechnet, wieder die Struktur einer Banachalgebra. Ist A sogar eine Banach- ∗ -Algebra, dann ist ˜ A mit der Operation ( a, λ ) ∗ := ( a ∗ , λ ) ebenfalls eine Banach- ∗ -Algebra.Zus¨atzlich enth¨alt ˜ A ein Einselement, n¨amlich (0 , A enth¨alt A verm¨oge a ( a, . Aufgrund dieser isomorphen Einbettung k¨onnen wir durch Umbenennender Elemente ( a,
0) zu a zus¨atzlich erreichen, dass A eine Teilmenge von ˜ A ist. An dieser Stellesei noch explizit bemerkt, dass sich ein etwaiges Einselement e in A nicht auf ˜ A vererbt, d. h.( e,
0) ist kein Einselement in ˜ A .Eine wesentliche Eigenschaft von ˜ A ist, dass sich multiplikative Funktionale auf A eindeutigzu solchen auf ˜ A fortsetzen lassen. Das liegt daran, dass jedes multiplikative Funktional ˜ m auf ˜ A die Gleichung ˜ m ((0 , m ((0 , m ((0 , ) = ˜ m ((0 , , also˜ m ((0 , ∈ { , } . W¨are ˜ m ((0 , m (( a, λ )) = ˜ m (( a, λ )) ˜ m ((0 , a, λ ) ∈ ˜ A , also ˜ m = 0. Dies ist aber nach Definition eines multiplikativen Funktionalsausgeschlossen. Ist m ein multiplikatives Funktional auf A , dann ist die einzige M¨oglichkeit derFortsetzung folglich ˜ m (( a, λ )) := m ( a )+ λ . Einfaches Nachrechnen zeigt, dass dies tats¨achlich einmultiplikatives Funktional definiert. Da die Abbildungsnorm eines multiplikativen Funktionalsauf einer Banach(- ∗ -)algebra mit Eins stets gleich 1 ist, siehe [2, Korollar 1.3.4], folgt ausdieser Konstruktion auch, dass die Abbildungsnorm eines multiplikativen Funktionals auf einerbeliebigen Banach(- ∗ -)algebra zumindest kleiner gleich 1 ist. Wir meinen hier und in der restlichen Arbeit ein Ideal im Sinne der Algebrentheorie (nicht der Ringtheorie),also einen
Unterraum I ≤ ˜ A , der die Idealeigenschaft erf¨ullt: Aus a ∈ I und b ∈ ˜ A folgt ab, ba ∈ I .
8s sei noch erw¨ahnt, dass ein Element a ∈ A wegen( a, · ( b, µ ) = ( ab + µa, = (0 , A invertierbar ist. Definition 1.2.2.
Ist A eine Banach(- ∗ -)algebra, so bezeichne ˜ A die gem¨aß Bemerkung 1.2.1definierte Banach(- ∗ -)algebra mit Einselement, wobei wir A als Teilmenge von ˜ A auffassen.F¨ur C ∗ -Algebren ist die Situation komplizierter, da man zur Aufrechterhaltung der C ∗ -Eigen-schaft eine andere Norm definieren muss, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1.2.3.
Sei A := C ( R ) die C ∗ -Algebra der stetigen, im Unendlichen verschwindendenFunktionen auf R . Bezeichnet f die Funktion ( t exp( − t )) ∈ A , so m¨usste ein Einselement e die Gleichung e · f = f erf¨ullen. Da f nie den Wert 0 annimmt, kommt nur e = in Frage; R ist aber nicht kompakt, sodass die konstante Einsfunktion nicht in A liegt. Folglich hat A keinEinselement. Wir betrachten die Banach- ∗ -Algebra ˜ A und darin das Element ( − f, − f, ∗ ( − f,
1) = ( − f, − f,
1) = ( f − f, , sodass wir k ( − f, ∗ ( − f, k ˜ A = (cid:13)(cid:13) f − f (cid:13)(cid:13) ∞ + 1 = k f ( f − k ∞ + 1 ≤ k f k ∞ | {z } =1 k − f k ∞ | {z } =2 +1= 3 < k ( − f, k A . erhalten. ˜ A ist also mit dieser Norm keine C ∗ -Algebra.Dennoch gilt: Satz 1.2.4.
Sei ( A, k·k ) eine C ∗ -Algebra. Dann gibt es eine Norm k·k C ∗ auf ˜ A , sodass ( ˜ A, k·k C ∗ ) eine C ∗ -Algebra mit Eins ist und k ( a, k C ∗ = k a k f¨ur alle a ∈ A gilt.Beweis. Siehe [3, Theorem 2.1.6].Im weiteren Verlauf dieser Arbeit ist die von einer C ∗ -Algebra ausgehend gebildete Algebra˜ A stets mit der Norm k·k := k·k C ∗ versehen und daher eine C ∗ -Algebra mit Eins. Außerdemidentifizieren wir wieder a ∈ A mit ( a, ∈ ˜ A und nehmen an, dass A eine Teilmenge von ˜ A ist.Die Adjunktion eines Einselements erlaubt es, die zentralen Begriffe der Spektraltheorie in be-liebigen Banachalgebren zu definieren. Wir werden uns der Einfachheit halber auf C ∗ -Algebrenbeschr¨anken. Definition 1.2.5.
Sei A eine C ∗ -Algebra ohne Einselement. Dann definiert man f¨ur a ∈ A (a) das Spektrum von a als σ A ( a ) := σ ˜ A ( a ),(b) die Resolventenmenge von a als ρ A ( a ) := ρ ˜ A ( a ) und(c) den Spektralradius von a als r A ( a ) := r ˜ A ( a ) (cid:0) = sup λ ∈ σ ˜ A ( a ) | λ | = sup λ ∈ σ A ( a ) | λ | (cid:1) ,wobei wir die Indizes zur leichteren Lesbarkeit meist weglassen werden. Ab dem zweiten Gleichheitszeichen rechnen wir im Raum C b ( R ) der stetigen und beschr¨ankten Funktionen. C ∗ -Algebren ist die Gelfandtransformati-on. Oftmals wird nur der Fall von kommutativen C ∗ -Algebren mit Einselement diskutiert, esgilt allerdings die Verallgemeinerung in Satz 1.2.10. Bevor wir dazu kommen, f¨uhren wir eineDefinition ein. Definition 1.2.6.
Sei A eine C ∗ -Algebra. F¨ur a ∈ A sind der Real- und
Imagin¨arteil von a definiert durch Re a := ( a + a ∗ ) / a := ( a − a ∗ ) / i .Man ¨uberpr¨uft unmittelbar folgende Eigenschaften von Real- und Imagin¨arteil: Lemma 1.2.7.
Sei A eine C ∗ -Algebra und a ∈ A . Dann sind Re a und Im a selbstadjungiertund es gilt a = Re a + i Im a , wobei k Re( a ) k , k Im( a ) k ≤ k a k . Der entscheidende Schritt im Beweis der Gelfandtransformation f¨ur kommutative C ∗ -Algebrenohne Einselement ist die Verbindung von multiplikativen Funktionalen auf A mit jenen auf der,wie man leicht nachrechnet ebenfalls kommutativen, C ∗ -Algebra ˜ A . Dazu legen wir folgendeNotation fest. Notation 1.2.8.
Sei M die Menge der multiplikativen Funktionale auf A und ˜ M die ent-sprechende Menge auf ˜ A . F¨ur ein Funktional m ∈ M sei ˜ m ∈ ˜ M die gem¨aß Bemerkung 1.2.1existierende eindeutige Fortsetzung zu einem multiplikativen Funktional auf ˜ A , n¨amlich ( a, λ ) m ( a ) + λ . Außerdem bezeichne m ′ ∈ ˜ M das multiplikative Funktional ( a, λ ) λ auf ˜ A .Mit diesen Bezeichnungen erhalten wir: Lemma 1.2.9.
F¨ur eine kommutative C ∗ -Algebra A ohne Einselement gilt ˜ M = { ˜ m : m ∈ M } ∪ { m ′ } . Beweis.
Dass die rechte Seite in ˜ M enthalten ist, ist klar. Umgekehrt ist f¨ur m ′ ∈ ˜ M dieEinschr¨ankung m ′ | A auf A ein Funktional m ∈ M oder die Nullfunktion. Im ersten Fall giltwegen der Eindeutigkeit der Fortsetzung m ′ = ˜ m , im zweiten Fall m ′ = m ′ aufgrund von m ′ ((0 , Satz 1.2.10 (Gelfandtransformation) . Sei A = { } eine kommutative C ∗ -Algebra ohne Eins-element. Es gelten folgende Aussagen:(i) Der Gelfandraum M aller multiplikativen Funktionale auf A ist nicht leer und, versehenmit der Spurtopologie der schwach-*-Topologie, lokalkompakt.(ii) F¨ur a ∈ A gilt σ ( a ) = { m ( a ) : m ∈ M } ∪ { } .(iii) F¨ur a ∈ A ist die Abbildung ˆ a : ( M → C m m ( a ) ein Element von C ( M ) .(iv) Die Gelfandtransformation ˆ . : A → C ( M ) ist ein isometrischer ∗ -Algebrenisomorphis-mus.Beweis. Es sei daran erinnert, dass wir A als Teilmenge von ˜ A auffassen. C ∗ -Algebren mit Einselement, siehe [2, Satz 1.4.4],liefert bei Anwendung in ˜ A f¨ur beliebiges a ∈ Aσ A ( a ) = σ ˜ A ( a ) = n ˜ m ( a ) : ˜ m ∈ ˜ M o . (1.2.1)Da A = { } ist, gibt es ein selbstadjungiertes Element b ∈ A mit b = 0, n¨amlich entwederReal- oder Imagin¨arteil irgendeines von 0 verschiedenen Elements. Wegen r ˜ A ( b ) = k b k > m ∈ ˜ M mit ˜ m ( b ) = 0. Die Einschr¨ankung ˜ m | A ist dann mit den Operationenvertr¨aglich und von der Nullfunktion verschieden, also ein multiplikatives Funktional auf A . Wir erhalten M = ∅ . Außerdem ist M ∪ { } nach Bemerkung 1.2.1 eine Teilmengevon S A ′ , die sogar schwach-*-abgeschlossen ist: Definieren wir f¨ur Elemente a, b ∈ A dieFunktion T a,b : S A ′ → C durch T a,b ( f ) := f ( ab ) − f ( a ) f ( b ), so gilt n¨amlich M ∪ { } = \ a,b ∈ A T − a,b ( { } ) . Da T a,b schwach-*-stetig ist, erhalten wir die behauptete Abgeschlossenheit. Nach dem Satzvon Banach-Alaoglu ist M ∪{ } somit schwach-*-kompakt. Folglich ist M = ( M ∪{ } ) \{ } als offene Teilmenge eines kompakten Hausdorffraums lokalkompakt.(ii) Diese Aussage ergibt sich sofort aus Lemma 1.2.9 und (1.2.1).(iii) Da M mit der Spurtopologie der schwach-*-Topologie versehen ist, ist ˆ a f¨ur beliebiges a ∈ A eine stetige Funktion. F¨ur ǫ > { m ∈ M : | m ( a ) | ≥ ǫ } schwach-*-abgeschlossen in S A ′ und damit schwach-*-kompakt. Daraus folgt ˆ a ∈ C ( M ).(iv) Die Gelfandtransformation ist offenbar linear und multiplikativ. Die Vertr¨aglichkeit mit . ∗ folgt daraus, dass f¨ur m ∈ M und a ∈ A die Beziehung m ( a ∗ ) = m ( a ) gilt: Wir schreiben a = Re a + i Im a . Da Re a und Im a selbstadjungiert sind, gilt σ (Re a ) , σ (Im a ) ⊆ R ,siehe [2, Lemma 1.5.5], woraus wegen (ii) sofort m (Re a ) , m (Im a ) ∈ R folgt. Wir erhalten m ( a ∗ ) = m (Re a − i Im a ) = m (Re a ) + i · m (Im a ) = m ( a ) . F¨ur a ∈ A ist a ∗ a selbstadjungiert (sowohl in A als auch in ˜ A ). Die Rechnung k ˆ a k ∞ = (cid:13)(cid:13)(cid:13) | ˆ a | (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ = (cid:13)(cid:13) ˆ a ˆ a (cid:13)(cid:13) ∞ = (cid:13)(cid:13)(cid:13)d a ∗ a (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ = r ˜ A ( a ∗ a ) = k ( a ∗ a, k C ∗ = k a ∗ a k = k a k zeigt, dass ˆ . eine isometrische Abbildung ist. Also ist ˆ . injektiv und ranˆ . abgeschlos-sen in C ( M ). Andererseits stellt ranˆ . eine punktetrennende und nirgends identisch ver-schwindende ∗ -Unteralgebra von C ( M ) dar: Erstens gibt es f¨ur m = m ein a ∈ A mitˆ a ( m ) = m ( a ) = m ( a ) = ˆ a ( m ), und zweitens gibt es kein m ∈ M mit ˆ a ( m ) = 0 f¨ur alle a ∈ A , da das Nullfunktional nicht im Gelfandraum enthalten ist. Der Satz von Stone-Weierstraß f¨ur lokalkompakte R¨aume impliziert daher die Dichtheit von ranˆ . in C ( M ).Insgesamt erhalten wir, dass ˆ . auch surjektiv ist. An dieser Stelle sei auf die Analogie zum Beweis f¨ur C ∗ -Algebren mit Einselement hingewiesen; dort kannman das Nullfunktional mithilfe einer weiteren schwach-*-stetigen Funktion aussondern, da ja f¨ur das Einselement e schon m ( e ) = 1 gelten muss. emerkung . Ist A eine kommutative C ∗ -Algebra ohne Einselement, so ist A bzw. ˜ A isome-trisch isomorph zu C ( M ) bzw. C ( ˜ M ) = C ( ˜ M ). ¨Uber die (lokal-)kompakten Hausdorffr¨aume M und ˜ M erhalten wir also einen topologischen Zugang zu kommutativen C ∗ -Algebren . Dabeigilt folgende bemerkenswerte Tatsache: In der Sprache der Gelfandr¨aume entspricht die Adjunk-tion eines Einselements zu einer kommutativen C ∗ -Algebra genau der Alexandroff-Kompakti-fizierung eines lokalkompakten Hausdorffraums. Mit anderen Worten ist ˜ M hom¨oomorph zurAlexandroff-Kompaktifizierung von M , die im Folgenden mit Y bezeichnet sei. Die Abbildung ι : ( M → ˜ Mm ˜ m ist, wie man leicht nachpr¨uft, ein Hom¨oomorphismus M → ι ( M ) bez¨uglich der schwach-*-Topologien. Nach Lemma 1.2.9 gilt dabei ι ( M ) = ˜ M \ { m ′ } , sodass ι ( M ) eine offene Teilmengevon ˜ M ist. Die Funktion f : ˜ M → Y definiert durch f ( m ′ ) := ( m, m ′ = ι ( m ) ∞ , m ′ = m ′ ist wegen der Injektivit¨at von ι und Lemma 1.2.9 wohldefiniert; die Bijektivit¨at ist offensichtlich.Außerdem ist f stetig, denn ist O eine offene Menge in Y , so ist entweder O eine offene Teilmengevon M oder es gilt O = ( M \ K ) ∪ {∞} f¨ur eine kompakte Menge K ⊆ M . Im ersten Fall ist f − ( O ) = ι ( O ) offen in ι ( M ), somit auch in ˜ M . Im zweiten Fall gilt f − (( M \ K ) ∪ {∞} ) = ˜ M \ ι ( K ) , woraus wiederum die Offenheit in ˜ M folgt. Als bijektive und stetige Abbildung von einemkompakten Raum in einen Hausdorffraum ist f somit ein Hom¨oomorphismus von ˜ M nach Y .Um die Aussagekraft der Gelfandtransformation auch in beliebigen C ∗ -Algebren ausnutzen zuk¨onnen, ist es oft hilfreich, zu einer kommutativen C ∗ -Unteralgebra ¨uberzugehen, die die aktuelluntersuchten Elemente enth¨alt . Definition 1.2.12.
Ist A eine C ∗ -Algebra und S ⊆ A eine Teilmenge, so definieren wir die von S erzeugte C ∗ -Unteralgebra von A , in Zeichen C ∗ A ( S ), als die kleinste C ∗ -Unteralgebra von A , diealle Elemente von S enth¨alt. Dabei unterdr¨ucken wir den Index A , wenn die zugrundeliegende C ∗ -Algebra aus dem Kontext klar ist. Im Falle S = { x , . . . , x n } schreiben wir f¨ur C ∗ A ( S ) auch C ∗ A ( x , . . . , x n ) bzw. C ∗ ( x , . . . , x n ). Bemerkung . Implizit ist in Definition 1.2.12 die Behauptung enthalten, dass die Mengeder S umfassenden C ∗ -Unteralgebren von A ein kleinstes Element hat. Bekanntermaßen existiertdieses kleinste Element tats¨achlich und es gilt C ∗ A ( S ) = \ { B : S ⊆ B ≤ A } , wobei B ≤ A bedeuten m¨oge, dass B eine C ∗ -Unteralgebra von A ist. Aus diesem Grund wird die Theorie von allgemeinen C ∗ -Algebren auch oft als nichtkommutative Topologie bezeichnet. Ist ( X, T ) ein lokalkompakter Hausdorffraum und ∞ kein Element von X , so bezeichnet man Y := X ∪{∞} versehen mit der kompakten Topologie O := T ∪ { ( X \ K ) ∪ {∞} : K ⊆ X kompakt } als Alexandroff-Kompaktifizierung . Diese M¨oglichkeit ist es, die die normalen Operatoren in L b ( H ) oder allgemeiner die normalen Elemente von A auszeichnet und daf¨ur sorgt, dass sie leichter zug¨anglich und besser verstanden sind. S = { x , . . . , x n } endlich und kommutieren alle Elemente von { x , . . . , x n , x ∗ , . . . , x ∗ n } paar-weise miteinander, so l¨asst sich das Erzeugnis C ∗ A ( x , . . . , x n ) auch von unten durch C ∗ A ( S ) = { p ( x , . . . , x n , x ∗ , . . . x ∗ n ) : p ∈ C [ z , . . . , z n , w , . . . , w n ] , p (0 , . . . ,
0) = 0 } (1.2.2)konstruieren. Die Zusatzbedingung p (0 , . . . ,
0) ist notwendig, da man ansonsten ein Einselementzur Verf¨ugung haben m¨usste, um p ( x , . . . , x n , x ∗ , . . . , x ∗ n ) berechnen zu k¨onnen. Anhand dieserDarstellung kann man auf einfache Weise nachpr¨ufen, dass C ∗ A ( S ) kommutativ ist.Wir wollen noch den Spezialfall betrachten, dass A ein Einselement enth¨alt und dass S auseinem einzigen selbstadjungierten Element und dem Einselement besteht, S = { x, } . Die C ∗ -Algebra C ∗ A ( S ) ist also die von x = x ∗ erzeugte C ∗ -Algebra mit Eins. In diesem Fall k¨onnen wirstatt p ( x, , x ∗ , ∗ ) f¨ur ein Polynom p ∈ C [ z , z , w , w ] mit p (0 , , ,
0) = 0 auch r ( x ) f¨ur einPolynom r ∈ C [ z ], das nicht notwendigerweise r (0) = 0 erf¨ullt, verwenden. Die Formel (1.2.2)vereinfacht sich somit zu C ∗ A ( x,
1) = { r ( x ) : r ∈ C [ z ] } . (1.2.3)Betrachten wir nur S = { x } , so erh¨alt man auf analoge Art C ∗ A ( x ) = { r ( x ) : r ∈ C [ z ] , r (0) = 0 } . (1.2.4)Eine unscheinbar wirkende aber sehr n¨utzliche Anwendung des ¨Ubergangs zu einer kommutati-ven C ∗ -Unteralgebra ist das n¨achste Lemma. Lemma 1.2.14.
Sei A eine C ∗ -Algebra. Sind a, b ∈ A selbstadjungiert mit ab = ba = 0 , danngilt k a + b k = max( k a k , k b k ) .Beweis. Die von a und b erzeugte C ∗ -Unteralgebra C ∗ A ( a, b ) von A ist kommutativ, da dieElemente a, a ∗ = a, b, b ∗ = b miteinander kommutieren. Die Aussage betrifft nur die Norm in A und ist deswegen von der konkreten Unteralgebra unabh¨angig, solange sie nur die Elemente a und b enth¨alt. Folglich k¨onnen wir zu C ∗ A ( a, b ) ¨ubergehen und wegen der Gelfandtransformationsogar A = C ( M ) mit einem lokalkompakten Hausdorffraum M annehmen. Die Voraussetzung ab = ba = 0 besagt dann, dass f¨ur jedes m ∈ M h¨ochstens einer der Werte a ( m ) und b ( m ) von0 verschieden ist. Daraus folgt | a ( m ) + b ( m ) | = | a ( m ) | + | b ( m ) | = max( | a ( m ) | , | b ( m ) | )und wir erhalten unmittelbar die Aussage.Als Abschluss des Abschnitts wollen wir f¨ur den sp¨ateren Gebrauch das Spektrum in einerbestimmten C ∗ -Algebra mit Einselement bestimmen, n¨amlich im Raum C ( K ). Beispiel 1.2.15.
Ist K ein kompakter Hausdorffraum, so sind die invertierbaren Elemente von C ( K ) jene stetigen Funktionen g , f¨ur die die Funktion 1 /g wohldefiniert und stetig ist. Dies istgenau dann der Fall, wenn g nullstellenfrei ist. F¨ur eine Funktion f ∈ C ( K ) besteht somit σ ( f )aus den λ ∈ C , f¨ur die f − λ eine Nullstelle hat. Anders formuliert gilt σ ( f ) = f ( K ). Notation 1.3.1. (i) In der gesamten weiteren Arbeit bezeichne H einen Hilbertraum mit Skalarprodukt ( · , · ) :=( · , · ) H . Den Raum der beschr¨ankten Operatoren auf H notieren wir als L b ( H ).13ii) Ist T ∈ L b ( H ), dann bezeichne | T | den Operator ( T ∗ T ) / .Die folgenden beiden Konstruktionen werden sich als n¨utzlich herausstellen. Bemerkung . (i) Ist I eine beliebige Indexmenge und H i f¨ur i ∈ I ein Hilbertraum mit Skalarprodukt( ., . ) H i , so ist die ¨außere direkte Summe X I := Y i ∈ I H i (cid:0) = { ( x i ) i ∈ I : x i ∈ H i } (cid:1) , versehen mit den punktweisen Operationen klarerweise ein Vektorraum. Die Teilmenge ℓ ( H i : i ∈ I ) := n ( x i ) i ∈ I ∈ X I : (cid:0) k x i k H i (cid:1) i ∈ I ∈ ℓ ( I ) o ist ein Unterraum von X I , der das Skalarprodukt (cid:0) ( x i ) i ∈ I , ( y i ) i ∈ I (cid:1) := X i ∈ I ( x i , y i ) H i tr¨agt, wobei wir die Summe als Integral bez¨uglich des Z¨ahlmaßes oder alternativ als un-bedingt konvergente Reihe auffassen. Nach der H¨older’schen Ungleichung ist ( · , · ) wohl-definiert, denn | ( x i , y i ) H i | k¨onnen wir punktweise in i durch das Produkt k x i k H i k y i k H i zweier quadratsummierbarer Funktionen absch¨atzen. Die durch ( · , · ) induzierte Norm ist k ( x i ) i ∈ I k = qP i ∈ I k x i k H i .Als N¨achstes zeigen wir, dass der Raum ℓ ( H i : i ∈ I ) damit zu einem Hilbertraum wird.Dazu sei (( x ni ) i ∈ I ) n ∈ N eine Cauchy-Folge in ℓ ( H i : i ∈ I ). Wegen (cid:13)(cid:13) x mj − x nj (cid:13)(cid:13) H i ≤ k ( x mi − x ni ) i ∈ I k = k ( x mi ) i ∈ I − ( x ni ) i ∈ I k ist f¨ur jedes feste j ∈ I auch ( x nj ) n ∈ N eine Cauchy-Folge und infolge gegen einen Vektor x j ∈ H j konvergent. F¨ur beliebiges F aus der Menge E ( I ) der endlichen Teilmengen von I und f¨ur jedes m ∈ N gilt sX i ∈ F k x ni − x i k H i ≤ sX i ∈ F k x ni − x mi k H i + sX i ∈ F k x mi − x i k H i ≤ k ( x ni ) i ∈ I − ( x mi ) i ∈ I k + sX i ∈ F k x mi − x i k H i . (1.3.1)W¨ahlen wir N ∈ N so groß, dass die Absch¨atzung k ( x ni ) i ∈ I − ( x mi ) i ∈ I k ≤ ǫ f¨ur m, n ≥ N erf¨ullt ist, setzen n ≥ N in (1.3.1) ein und bilden den Grenzwert m → ∞ , so folgt sX i ∈ F k x ni − x i k H i ≤ ǫ, weil die linke Seite von (1.3.1) nicht von m abh¨angt. Da F ∈ E ( I ) beliebig war, erhaltenwir sX i ∈ I k x ni − x i k H i ≤ ǫ Nach dem Funktionalkalk¨ul f¨ur selbstadjungierte Operatoren existiert eine eindeutige positive Wurzel despositiven Operators T ∗ T . n ≥ N , was einerseits ( x i ) i ∈ I ∈ ℓ ( H i : i ∈ I ) und andererseits (( x ni ) i ∈ I ) n ∈ N → ( x i ) i ∈ I impliziert. Somit liegt tats¨achlich ein vollst¨andiger Raum, also ein Hilbertraum, vor, denman die direkte Summe der H i nennt und als L i ∈ I H i anschreibt. An sp¨aterer Stellewerden wir ben¨otigen, dass der Unterraum Y := ( ( x i ) i ∈ I ∈ M i ∈ I H i : x i = 0 nur f¨ur endlich viele i ∈ I ) , den wir nach geeigneter Identifikation als Raum aller Linearkombinationen von Elementenaus S i ∈ I H i auffassen k¨onnen, dicht in L i ∈ I H i enthalten ist. Zum Beweis sei ( x i ) i ∈ I ∈ L i ∈ I H i gegeben. Wir definieren das Netz (cid:0) ( x Fi ) i ∈ I (cid:1) F ∈E ( I ) durch x Fi := ( x i , i ∈ F , sonstund bemerken, dass die Elemente x Fi sicher in Y liegen. Weiters konvergiert dieses Netzgegen ( x i ) i ∈ I , da (cid:13)(cid:13) ( x i ) i ∈ I − ( x Fi ) i ∈ I (cid:13)(cid:13) = sX i ∈ I (cid:13)(cid:13) x i − x Fi (cid:13)(cid:13) H i = s X i ∈ I \ F k x i k H i wegen ( k x i k H i ) i ∈ I ∈ ℓ ( I ) f¨ur F ∈ E ( I ) gegen 0 konvergiert.Wir wollen noch den Sonderfall hervorheben, dass I = { , . . . , n } eine endliche Indexmengeist und alle H i = H ¨ubereinstimmen. In diesem Fall erhalten wir f¨ur L i ∈ I H i das vollekartesische Produkt H n , dessen Elemente wir aus formalen Gr¨unden (siehe (ii)) als Spalten( x , . . . , x n ) T schreiben. Das Skalarprodukt ist dann (cid:0) ( x , . . . , x n ) T , ( y , . . . , y n ) T (cid:1) := n X k =1 ( x k , y k ) . (ii) Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L b ( H ). Sind f¨ur i, j ∈ { , } Operatoren T ij ∈ A gegeben,so kann man auf H den Operator( x, y ) T ( T x + T y, T x + T y ) T definieren, den wir im Folgenden als Matrix (cid:16) T T T T (cid:17) schreiben werden. Die Menge M ( A )aller derartigen Matrizen ¨uber A bildet offensichtlich einen unter der Komposition vonOperatoren abgeschlossenen Unterraum von L b ( H ). Einfaches Nachrechnen zeigt außer-dem, dass die Adjungierte in L b ( H ) von (cid:16) T T T T (cid:17) durch (cid:16) T ∗ T ∗ T ∗ T ∗ (cid:17) gegeben ist, womit M ( A ) auch unter . ∗ abgeschlossen ist. F¨ur die Einschr¨ankung der Abbildungsnorm auf M ( A ) gelten die Ungleichungenmax i,j =1 , k T ij k ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) T T T T (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ X i,j =1 k T ij k , (1.3.2)wie man elementar ¨uberpr¨uft. Es folgt, dass eine Folge aus M ( A ) genau dann konvergiertbzw. eine Cauchy-Folge ist, wenn die Folgen der Eintr¨age alle konvergieren bzw. Cauchy-Folgen sind. Da A in L b ( H ) abgeschlossen ist, ergibt sich daraus, dass M ( A ) in L b ( H )abgeschlossen und somit eine C ∗ -Unteralgebra ist.15s sei nicht verschwiegen, dass man dieselbe Konstruktion auch f¨ur H n statt H durch-f¨uhren kann, um den Raum M n ( A ) der n × n -Matrizen ¨uber A zu erhalten. S¨amtliche¨Uberlegungen sind ident, der notationelle Aufwand steigt jedoch an. Da wir nur M ( A )verwenden werden, haben wir auf die volle Allgemeinheit verzichtet.Schließlich ben¨otigen wir, dass der Raum L b ( H ) bis auf isometrische Isomorphie dem Dualraumeines Banachraums entspricht. Dazu m¨ussen wir etwas ausholen. Lemma 1.3.3.
Sei E eine Orthonormalbasis von H . Ist S ∈ L b ( H ) , dann ist der Ausdruck X e ∈ E ( Se, Se ) = X e ∈ E k Se k ∈ [0 , + ∞ ] (1.3.3) unabh¨angig von der Wahl von E .Beweis. Siehe [3, S.59f.].Diese Tatsache erm¨oglicht die Definition zweier Klassen von Operatoren.
Definition 1.3.4. (i) Ein Operator S ∈ L b ( H ) heißt Hilbert-Schmidt-Operator , wenn der Ausdruck (1.3.3) end-lich ist. In diesem Fall definiert man k S k := X e ∈ E ( Se, Se ) ! / . Die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren wird mit L ( H ) bezeichnet.(ii) Ein Operator S ∈ L b ( H ) heißt Spurklasseoperator , wenn | S | / ein Hilbert-Schmidt-Operator ist. In diesem Fall definiert man k S k := (cid:13)(cid:13)(cid:13) | S | / (cid:13)(cid:13)(cid:13) Die Menge aller Spurklasseoperatoren wird mit L ( H ) bezeichnet. Bemerkung . Wegen ( | S | / e, | S | / e ) = ( | S | e, e ) ist ein Operator S ∈ L b ( H ) genau dannein Spurklasseoperator, wenn f¨ur eine Orthonormalbasis (¨aquivalent f¨ur alle Orthonormalbasen) E von H der Ausdruck X e ∈ E ( | S | e, e )endlich ist. Ist das der Fall, so stimmt diese Zahl mit k S k ¨uberein.Direkt aus der Definition erhalten wir einige ¨aquivalente Bedingungen daf¨ur, dass S ein Hilbert-Schmidt-Operator ist. Lemma 1.3.6.
F¨ur einen Operator S ∈ L b ( H ) sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:(i) S ist ein Hilbert-Schmidt-Operator.(ii) | S | ist ein Hilbert-Schmidt-Operator.(iii) | S | ist ein Spurklasseoperator. n diesem Fall gilt k S k = k| S |k = (cid:13)(cid:13)(cid:13) | S | (cid:13)(cid:13)(cid:13) . Beweis.
Ist e ∈ H ein Vektor, so gilt( Se, Se ) = ( S ∗ Se, e ) = ( | S | e, e ) = ( | S | e, | S | e ) . Die Aussagen folgen nun sofort aus X e ∈ E ( Se, Se ) = X e ∈ E ( | S | e, | S | e ) = X e ∈ E ( | S | e, e )f¨ur eine Orthonormalbasis E . Bemerkung . Die ¨Aquivalenz von (i) und (iii) gilt bekanntlich auch f¨ur die Funktionenr¨aume L ( µ ) und L ( µ ). Die Hilbert-Schmidt- und Spurklasseoperatoren haben noch weitere Eigen-schaften mit den Elementen dieser Funktionenr¨aume gemeinsam. Beispielsweise ist das Produktzweier Hilbert-Schmidt-Operatoren stets ein Spurklasseoperator; vgl. [3, Theorem 2.4.13]. Diesmotiviert die Schreibweisen L ( H ) und L ( H ).Die grundlegenden Eigenschaften von L ( H ) haben stets ein Analogon f¨ur L ( H ). Im Folgendenwerden wir uns auf die Spurklasseoperatoren konzentrieren, da diese im Verlauf der Arbeit diewesentlich prominentere Rolle spielen werden. Lemma 1.3.8. (i) Die Funktion k·k ist eine Norm auf L ( H ) , die sogenannte Spurklassenorm .(ii) L ( H ) ist ein unter . ∗ abgeschlossenes Ideal (insbesondere ein Unterraum) in L b ( H ) , wobeif¨ur S ∈ L ( H ) und T ∈ L b ( H ) einerseits k S ∗ k = k S k und andererseits die Absch¨atzungen k ST k ≤ k S k k T k sowie k T S k ≤ k T k k S k (1.3.4) gelten.Beweis. Siehe [3, Theorem 2.4.15].
Definition 1.3.9.
Die
Spur eines Spurklasseoperators S ∈ L ( H ) ist definiert durchtr( S ) := X e ∈ E ( Se, e ) , wobei E eine Orthonormalbasis von H bezeichnet.Diese Definition ist aus mehreren Gr¨unden ad hoc problematisch, es gilt aber folgendes Lemma: Lemma 1.3.10.
Die Spur ist ein wohldefiniertes lineares Funktional auf L ( H ) , das nicht vonder konkreten Wahl der Orthonormalbasis abh¨angt. Weiters gelten f¨ur S ∈ L ( H ) folgendeAussagen:(i) | tr( S ) | ≤ k S k (ii) tr( S ∗ ) = tr( S ) 17 eweis. F¨ur die Wohldefiniertheit sowie die Aussage (i) sei auf [3, Lemma 2.4.12 - Theo-rem 2.4.16] verwiesen. Ist E eine beliebige Orthonormalbasis von H , so folgt die zweite Aussagedurch die Rechnungtr( S ∗ ) = X e ∈ E ( S ∗ e, e ) = X e ∈ E ( e, Se ) = X e ∈ E ( Se, e ) = tr( S ) . Die n¨achste Aussage werden wir anders als die letzten Resultate nicht nur f¨ur Spurklasseopera-toren, sondern auch f¨ur Hilbert-Schmidt-Operatoren ben¨otigen.
Lemma 1.3.11.
Seien S und T beschr¨ankte Operatoren auf H , wobei(i) beide Operatoren Hilbert-Schmidt-Operatoren sind oder(ii) zumindest einer der beiden Operatoren zur Spurklasse geh¨ort.Dann gilt tr( ST ) = tr( T S ) .Beweis. Siehe [3, Theorem 2.4.14].Zum Abschluss des Kapitels kommen wir nun zum vor Lemma 1.3.3 angek¨undigten Ergebnis.
Satz 1.3.12. (i) Versehen mit der Spurklassenorm k·k ist L ( H ) ein Banachraum.(ii) F¨ur T ∈ L b ( H ) ist das Funktional tr( .T ) : ( L ( H ) → C S tr( ST ) wohldefiniert, linear und beschr¨ankt mit k tr( .T ) k ≤ k T k .(iii) Die sogenannte kanonische Abbildung θ : ( L b ( H ) → L ( H ) ′ T tr( .T ) ist eine isometrische, lineare Bijektion. Insbesondere gilt k tr( .T ) k = k T k .Beweis. (i) Siehe [3, Corollary 4.2.2].(ii) Da L ( H ) ein Ideal bildet, ist tr( .T ) wohldefiniert; die Linearit¨at folgt aus der von tr.Nach Lemma 1.3.10 gilt | tr( ST ) | ≤ k ST k ≤ k S k k T k , also k tr( .T ) k ≤ k T k .(iii) Siehe [3, Theorem 4.2.3]. Man beachte, dass die Operatoren ST und T S wegen Bemerkung 1.3.7 bzw. Lemma 1.3.8(ii) in jedem FallSpurklasseoperatoren sind. Somit sind die Spurausdr¨ucke wohldefiniert. apitel 2 Einselement und Pro jektionen in C ∗ -Algebren Das Ziel dieses Kapitels sind einige Aussagen, die im sp¨ateren Verlauf der Arbeit erforderlichsein werden. Insbesondere sind das die Charakterisierung von C ∗ -Algebren mit Einselementdurch Extremalpunkte der abgeschlossenen Einheitskugel und Satz 2.3.6 ¨uber die Dichtheit vonProjektionen. Bevor wir dazu kommen, ben¨otigen wir eine Reihe an Tatsachen ¨uber positive Elemente in C ∗ -Algebren. Notation 2.1.1. (i) In diesem Kapitel sei A stets eine C ∗ -Algebra und S ihre abgeschlossene Einheitskugel.(ii) Die Menge der selbstadjungierten Elemente von A , also jener Elemente mit a ∗ = a , wirdmit A sa bezeichnet. F¨ur die Menge der positiven Elemente von A , das sind die selbstad-jungierten Elemente mit σ ( a ) ⊆ [0 , + ∞ ), schreiben wir A + .(iii) In diesem und allen folgenden Kapiteln werden wir f¨ur Vielfache des Einselements λ statt λe schreiben, wenn der Zusammenhang dies erlaubt. Insbesondere soll 1 auch das Eins-element einer C ∗ -Algebra bezeichnen.(iv) Die Projektionen im Sinne der linearen Algebra bzw. Funktionalanalysis sind typischer-weise die idempotenten linearen Abbildungen auf einem Vektorraum. In der Theorie von C ∗ -Algebren ist es ¨ublich, nur jene idempotenten Elemente einer C ∗ -Algebra als Projektio-nen zu bezeichnen, die zus¨atzlich selbstadjungiert sind. Die Projektionen in der C ∗ -Algebra L b ( H ) sind also genau die Orthogonalprojektionen auf dem Hilbertraum H .Hat die C ∗ -Algebra A ein Einselement, so existiert f¨ur jedes positive Element a ein eindeutigespositives Element q ∈ A mit q = a , wobei sogar q ∈ C ∗ A ( a,
1) gilt; vgl. [2, Korollar 1.5.14]. Wirverallgemeinern diese wichtige Tatsache auf beliebige C ∗ -Algebren. Satz 2.1.2.
F¨ur ein Element a ∈ A + gibt es ein eindeutiges Element q ∈ A + mit q = a . Dabeigilt q ∈ C ∗ A ( a ) . Sollte A kein Einselement enthalten, ist das Spektrum im Sinne von Definition 1.2.5 zu verstehen. eweis. Nach Definition ist a auch in ˜ A positiv, sodass wir aus dem bekannten Resultat eineindeutiges positives ( q, λ ) ∈ ˜ A mit ( q, λ ) = ( a,
0) erhalten. Multiplizieren wir aus, so folgt( q + 2 λq, λ ) = ( a, , also λ = 0 und q = a . Das Element ( q, λ ) = ( q,
0) ist in ˜ A positiv, folglich ist q direkt nachDefinition positiv in A . Ist q ′ ein weiteres positives Element von A mit q ′ = a , so ist q ′ einpositives Element von ˜ A mit q ′ = a . Aus der Eindeutigkeitsaussage f¨ur ˜ A folgt q = q ′ .Es bleibt noch q ∈ C ∗ A ( a ) zu zeigen. Das Resultat in ˜ A liefert q ∈ C ˜ A ( a, p n ∈ C [ z ] mit ( q,
0) = lim n →∞ p n (( a, r n ( z ) := p n ( z ) − p n (0) verschwindet, also folgt p n (( a, r n (( a, p n (0) · (0 ,
1) = ( r n ( a ) ,
0) + (0 , p n (0)) = ( r n ( a ) , p n (0)) . Daraus erhalten wir, dass die komplexe Zahl p n (0) f¨ur n → ∞ gegen 0 konvergiert. Folglich gilt( q,
0) = lim n →∞ p n (( a, n →∞ ( r n ( a ) , q = lim n →∞ r n ( a ). Wegen r n (0) = 0 ist dieses Element nach (1.2.4) ausBemerkung 1.2.13 in C ∗ A ( a ) enthalten. Definition 2.1.3.
F¨ur a ∈ A + ist die Quadratwurzel von A jenes eindeutige Element q ∈ A + mit q = a . Lemma 2.1.4.
Habe A ein Einselement und sei a ∈ A selbstadjungiert. Gibt es eine reelle Zahl t ≥ mit k a − t k ≤ t, (2.1.1) so ist a positiv. Ist umgekehrt a ≥ , dann gilt (2.1.1) f¨ur alle t ≥ k a k .Beweis. F¨ur t ≥ σ ( a − t ) = σ ( a ) − t = { λ − t : λ ∈ σ ( a ) } ;vgl. [2, Satz 1.1.7]. Weiters ist a − t selbstadjungiert, insbesondere normal, sodass wir r ( a − t ) = k a − t k erhalten; siehe [2, Fakta 1.5.2.5].Sei zun¨achst (2.1.1) f¨ur ein t ≥ a ∈ A sa gilt σ ( a ) ⊆ R . G¨abe es einnegatives λ ∈ σ ( a ), dann erhielten wir den Widerspruch k a − t k = r ( a − t ) ≥ | λ − t | = t − λ > t. Sei umgekehrt a positiv. F¨ur t ≥ k a k = r ( a ) gilt t ≥ | λ | = λ f¨ur alle λ ∈ σ ( a ). Es folgt k a − t k = r ( a − t ) = sup λ ∈ σ ( a ) | λ − t | = sup λ ∈ σ ( a ) ( t − λ ) ≤ t, also (2.1.1).Als N¨achstes wollen wir eine ¨uberaus praktische Konstruktion einf¨uhren. Dazu sei A eine beliebi-ge C ∗ -Algebra und a ∈ A sa . Dann ist die von a erzeugte C ∗ -Algebra C ∗ A ( a ) kommutativ, wodurchdie Gelfandtransformation ˆ . : C ∗ A ( a ) → C ( M ) zur Verf¨ugung steht. Dabei bezeichnet M denGelfandraum von C ∗ A ( a ). Ist eine reellwertige, also selbstadjungierte, Funktion f ∈ C ( M ) gege-ben, dann schreiben wir f + bzw. f − f¨ur den Positiv- bzw. Negativteil von f , also f + = max( f, f − = − min( f, | f ± ( m ) | = f ± ( m ) ≤ | f ( m ) | folgt, dass f + und f − ebenfalls im Unendlichen verschwinden. Infolge k¨onnen wir einen Positiv- und Negativteil von a definieren: Man beachte, dass wir a ∈ A mit ( a, ∈ ˜ A identifizieren. Es sei daran erinnert, dass eine komplexe Zahl in ˜ A als entsprechende Vielfache des Einselements (0 ,
1) zuinterpretieren ist. efinition 2.1.5. Ist a ∈ A selbstadjungiert, so heißen die Elemente a + := ( b . ) − (cid:0) ( b a ) + (cid:1) und a − := ( b . ) − (cid:0) ( b a ) − (cid:1) der Positiv- bzw.
Negativteil von a . Bemerkung . (i) Wegen a + , a − ∈ C ∗ A ( a ) kommutieren a + und a − mit a . Aufgrund der entsprechendenEigenschaften der Funktionen ( b a ) + und ( b a ) − gilt a ± ≥ a = a + − a − , a + a − = 0 sowie k a ± k ≤ k a k .(ii) Kombiniert man die Definitionen 1.2.6 und 2.1.5, so kann man ein beliebiges Element a ∈ A schreiben als a = (cid:0) (Re a ) + − (Re a ) − (cid:1) + i (cid:0) (Im a ) + − (Im a ) − (cid:1) . (2.1.2)Insbesondere ist A = span A + . Ist zus¨atzlich a ∈ S , so gilt k (Re a ) ± k ≤ k Re a k ≤ k a k ≤ S ⊆ ( A + ∩ S − A + ∩ S ) + i ( A + ∩ S − A + ∩ S ) . (2.1.3)(iii) Enth¨alt A ein Einselement, so spannen auch die unit¨aren Elemente ganz A auf: WegenLemma 1.2.7 gen¨ugt es daf¨ur, ein selbstadjungiertes Element a aus der Einheitskugel alsLinearkombination unit¨arer Elemente zu schreiben. Es gilt σ ( a ) ⊆ (cid:2) − r ( a ) , r ( a ) (cid:3) = (cid:2) − (cid:13)(cid:13) a (cid:13)(cid:13) , (cid:13)(cid:13) a (cid:13)(cid:13)(cid:3) ⊆ [ − , , sodass aus dem Spektralabbildungssatz σ (1 − a ) = 1 − σ ( a ) ⊆ [0 ,
2] folgt. Insbesondereist 1 − a positiv und somit u := a + i (1 − a ) / wohldefiniert. Man rechnet unmittelbarnach, dass uu ∗ = u ∗ u = 1 ist, sodass u und u ∗ tats¨achlich unit¨ar sind. Die Gleichung a = ( u + u ∗ ) liefert die gew¨unschte Darstellung.Diese Konstruktion l¨asst sich sehr einfach motivieren, wenn man das Problem f¨ur die C ∗ -Algebra C betrachtet. In dieser Situation geht es darum, eine Zahl a ∈ [ − ,
1] alsLinearkombination von Elementen der Einheitskreislinie zu schreiben. Dazu w¨ahlt manjene beiden Punkte mit Betrag 1, deren Realteil genau a ist und bildet deren Mittelwert;diese Punkte sind genau a ± i √ − a . Satz 2.1.7.
Seien a, b ∈ A + und eine reelle Zahl t ≥ gegeben.(i) Es gilt a + b ∈ A + und ta ∈ A + .(ii) A + ist konvex.(iii) Es gilt A + = { a ∗ a : a ∈ A } .(iv) A + ist abgeschlossen.Beweis. (i) Durch ¨Ubergang zu ˜ A k¨onnen wir annehmen, dass A ein Einselement hat. Offenbar sind a + b und ta selbstadjungiert. Nach Lemma 2.1.4 gilt weiters k a − t k ≤ t und k b − t k ≤ t f¨ur t = max( k a k , k b k ). Aus der Dreiecksungleichung folgt k ( a + b ) − t k ≤ t , also – wiedermit Lemma 2.1.4 – der erste Teil der Aussage. Der zweite Teil ergibt sich unmittelbar aus σ ( ta ) = tσ ( a ) = { tλ : λ ∈ σ ( a ) } . 21ii) Folgt sofort aus (i).(iii) F¨ur b ∈ A + erf¨ullt die positive Quadratwurzel q offenbar b = q ∗ q ∈ { a ∗ a : a ∈ A } .Umgekehrt ist zu zeigen, dass jedes Element der Form a ∗ a positiv ist, wobei die Selbstad-jungiertheit klar ist. Auch hier k¨onnen wir annehmen, dass A ein Einselement hat.In einem ersten Schritt zeigen wir die Aussage, wenn a selbstadjungiert ist. Dazu betrach-ten wir C ∗ A ( a, a erzeugte C ∗ -Algebra mit Eins, und zeigen die Positivit¨at in die-ser C ∗ -Algebra . Diese ist wegen der Normalit¨at von a kommutativ, sodass wir A = C ( K )mit einem kompakten Hausdorffraum K annehmen k¨onnen. Nach Beispiel 1.2.15 gilt dann σ ( a ) = a ( K ) und, da a selbstadjungiert ist, a ( K ) ⊆ R . Klarerweise bildet a = a ∗ a nur indie rechte Halbachse ab, ist also durch nochmalige Anwendung von Beispiel 1.2.15 positivals Element von C ( K ).Als zweiten Schritt zeigen wir, dass aus − a ∗ a ≥ a = 0 folgt. Die bekannteGleichung σ ( xy ) \ { } = σ ( yx ) \ { } impliziert, dass mit − a ∗ a auch − aa ∗ positiv ist.Setzt man b := Re a und c := Im a , dann gilt a = b + ic sowie a ∗ = b − ic . DurchAusmultiplizieren ergibt sich a ∗ a + aa ∗ = 2 b +2 c , also a ∗ a = 2 b ∗ b +2 c ∗ c +( − aa ∗ ) ≥ − a ∗ a ∈ A + folgt aus dem Spektralabbildungssatz − σ ( a ∗ a ) = σ ( − a ∗ a ) ⊆ [0 , + ∞ ), sodass σ ( a ∗ a ) ⊆ [0 , + ∞ ) ∩ ( −∞ ,
0] = { } sein muss. Dadas Spektrum jedes Elements nicht leer ist, siehe [2, Satz 1.1.14], erhalten wir σ ( a ∗ a ) = { } . Aus k a k = k a ∗ a k = r ( a ∗ a ) = 0 ergibt sich a = 0.In einem letzten Schritt zeigen wir die allgemeine Aussage. Sei also a ∈ A beliebig und d := a ∗ a . Betrachten wir den Positiv- und Negativteil d + und d − sowie die Gelfandtrans-formation auf C ∗ A ( d ), so folgt − ( ad − ) ∗ ( ad − ) = − d − a ∗ ad − = − d − ( d + − d − ) d − = ( d − ) . (2.1.4)Mit c d − nimmt auch \ ( d − ) = (cid:16)c d − (cid:17) nur nichtnegative Werte an, sodass ( d − ) positiv ist.Aus (2.1.4) und dem zweiten Beweisschritt folgt ad − = 0. Wir erhalten0 = ad − = d + d − − ( d − ) = − ( d − ) ∗ d − , also k d − k = k− ( d − ) ∗ d − k = 0. Dies liefert a ∗ a = d = d + ∈ A + .(iv) Sei ( a n ) n ∈ N eine gegen a konvergente Folge positiver Elemente. Zun¨achst ist a wegen derStetigkeit von . ∗ selbstadjungiert. Weiters gibt es sicher ein C > k a n k ≤ C f¨ur alle n ∈ N , sodass aus Lemma 2.1.4 die Ungleichung k a n − C k ≤ C f¨ur alle n ∈ N folgt. Bildenwir hier den Grenzwert n → ∞ , so folgt k a − C k ≤ C und wieder wegen Lemma 2.1.4 diePositivit¨at von a .Mithilfe von Satz 2.1.7(iii) k¨onnen wir den Absolutbetrag eines Elements a ∈ A definieren. Definition 2.1.8.
F¨ur a ∈ A ist der Absolutbetrag die Quadratwurzel des positiven Elements a ∗ a , in Zeichen | a | := ( a ∗ a ) / ∈ C ∗ A ( a ∗ a ). Man beachte, dass sich das Spektrum eines Elements beim ¨Ubergang zu einer C ∗ -Unteralgebra mit Eins nicht¨andert; vgl. [2, Satz 1.5.6]. emerkung . F¨ur selbstadjungierte Elemente a l¨asst sich mehr ¨uber den Absolutbetragaussagen. Dann ist n¨amlich C ∗ A ( a ) ebenfalls eine kommutative C ∗ -Algebra und es gilt | a | ∈ C ∗ A ( a ∗ a ) ≤ C ∗ A ( a ). Somit k¨onnen wir die Gelfandtransformation in C ∗ A ( a ) auch auf | a | anwendenund erhalten c | a | = \ ( a ∗ a ) / = d a ∗ a / = ( | ˆ a | ) / = | ˆ a | . Der f¨ur Funktionen f ∈ C ( M ) offensichtliche Sachverhalt | f | = f + + f − impliziert somit c | a | = ˆ a + + ˆ a − = c a + + c a − = \ a + + a − . Wir schließen auf | a | = a + + a − und weiter auf a + = 12 ( | a | + a ) sowie a − = 12 ( | a | − a ) . (2.1.5)Folgende Relation auf A sa stellt sich als Halbordnung heraus. Definition 2.1.10.
F¨ur a, b ∈ A sa schreiben wir a ≤ b , wenn b − a positiv ist. Lemma 2.1.11.
Die Relation ≤ ist eine Halbordnung auf A sa . Weiters ist ≤ translationsinva-riant, d. h. a ≤ b impliziert a + c ≤ b + c .Beweis. Die Reflexivit¨at und Translationsinvarianz sind klar. F¨ur die Transitivit¨at seien a, b, c ∈ A sa mit a ≤ b und b ≤ c gegeben, also b − a, c − b ∈ A + . Nach Satz 2.1.7(i) ist auch c − a =( c − b )+( b − a ) positiv, womit a ≤ c ist. Um die Antisymmetrie zu zeigen, sei a ≤ b und b ≤ a . DieElemente b − a und a − b = − ( b − a ) sind dann positiv, sodass aus dem Spektralabbildungssatz σ ( b − a ) = { } folgt. Wir erhalten k b − a k = r ( b − a ) = 0 bzw. a = b . Bemerkung . (i) Man kann die Halbordnung ≤ als translationsinvariante Fortsetzung der Schreibweise a ≥ s ≤ t f¨ur s, t ∈ R kann man auf zweierlei Art interpretieren, wenn A ein Einselement 1 enth¨alt, denn neben der gew¨ohnlichen Ordnung auf R w¨are auch dieBeziehung s ≤ t A sa eine m¨ogliche Lesart. Wegen σ ( λ
1) = { λ } sind beide Variantenaber ¨aquivalent, sodass diese Doppeldeutigkeit kein Problem darstellt.(iii) Weiteren Interpretationsspielraum bietet eine beliebige Ungleichung a ≤ b mit a, b ∈ A sa ,wenn A kein Einselement enth¨alt. Durch die isomorphe Einbettung A → ˜ A , a ( a, A als Teilmenge von ˜ A auffassen und die Ungleichung sowohl in A als auch in˜ A verstehen. Nach Definition der positiven Elemente in A ist allerdings b − a genau dannin A positiv, wenn es in ˜ A positiv ist. Somit bleibt diese Uneindeutigkeit in der Notationfolgenlos. In einigen Beweisen kann man sogar einen expliziten Nutzen daraus ziehen: Um a ≤ b in A zu zeigen, gen¨ugt es, die Ungleichung in ˜ A nachzuweisen. F¨ur eine Anwendungdieser ¨Uberlegung sei auf den ersten Beweisschritt von Satz 3.1.5 verwiesen.(iv) F¨ur A = C ( K ) mit kompaktem K ist das Spektrum von h ∈ A nach Beispiel 1.2.15gegeben durch σ ( h ) = h ( K ). Daher gilt f ≤ g f¨ur f, g ∈ A genau dann, wenn f ( t ) ≤ g ( t )f¨ur alle t ∈ K ist. Hier f¨ugt sich auch die bereits verwendete Tatsache ein, dass eineFunktion in C ( K ) genau dann positiv ist, wenn sie ausschließlich nichtnegative Werteannimmt.Im n¨achsten Lemma sind einige Eigenschaften dieser Halbordnung zusammengefasst.23 emma 2.1.13. Seien a, b ∈ A sa .(i) a ≤ b ist ¨aquivalent zu − b ≤ − a und auch zu ta ≤ tb f¨ur eine beliebige reelle Zahl t > .(ii) Gilt a ≤ b und ist c ∈ A beliebig, dann folgt c ∗ ac ≤ c ∗ bc .(iii) Hat A ein Einselement, so gilt a ≤ k a k .(iv) Aus ≤ a ≤ b folgt k a k ≤ k b k .(v) Sind a, b ∈ S und a, b ≥ , dann gilt k a − b k ≤ .(vi) Hat A ein Einselement und sind a und b positiv sowie invertierbar, dann impliziert a ≤ b schon ≤ b − ≤ a − .Beweis. (i) Der erste Teil ist klar, der zweite folgt aus Satz 2.1.7(i).(ii) Nach Voraussetzung gilt b − a = q mit einem positiven q . Es folgt c ∗ bc − c ∗ ac = c ∗ q c = ( qc ) ∗ ( qc ) ∈ A + nach Satz 2.1.7(iii).(iii) F¨ur jedes λ ∈ σ ( a ) gilt λ = | λ | ≤ r ( a ) = k a k , sodass k a k − λ ≥ k a k − a , das somit als positiv nachgewiesen ist.(iv) Wir k¨onnen annehmen, dass A ein Einselement hat. Nach (iii) gilt b ≤ k b k . Aus derTransitivit¨at von ≤ folgt 0 ≤ a ≤ k b k , also k b k − σ ( a ) ⊆ [0 , + ∞ ). Anders formuliert gilt λ = | λ | ≤ k b k f¨ur jedes λ ∈ σ ( a ). Daraus ergibt sich k a k = r ( a ) ≤ k b k .(v) Wieder nehmen wir an, dass A ein Einselement hat. Erneut nach (iii) gilt a ≤ k a k ≤ b ≤
1. Mit (i) folgt − ≤ − b ≤ a − b ≤ a ≤
1, sodass der Spektralabbildungssatz σ ( a − b ) ⊆ [ − ,
1] liefert. Wir erhalten das Gew¨unschte aus k a − b k = r ( a − b ) ≤ ≤ b − folgt, wenn man die Gelfandtransformation in C ∗ ( b, b erzeugten C ∗ -Unteralgebra mit Eins, verwendet, denn mit ˆ b nimmt auch d b − = ˆ b − nur nichtnegative Werte an. F¨ur die Ungleichung b − ≤ a − zeigen wir zun¨achst denSpezialfall, dass aus b ≥ b − ≤ b ≥ b ( m ) ≥ m ∈ M C ∗ ( b, , was zu 1 / ˆ b ( m ) ≤ d b − = ˆ b − ≤ , also b − ≤ a bzw. b auch a / bzw. b / invertierbar sind, was aus 0 / ∈ σ ( a ) = σ ( a / ) bzw. der analogen Tatsache f¨ur b folgt. Mit (ii) erhalten wir1 = ( a / ) − a ( a / ) − ≤ ( a / ) − b ( a / ) − . Der erste Beweisteil liefert (( a / ) − b ( a / ) − ) − ≥
1, also 1 ≤ a / b − a / . Nochmals mit(ii) schließen wir auf a − = ( a / ) − a / ) − ≤ ( a / ) − a / b − a / ( a / ) − = b − . C ∗ -Algebra einEinselement adjungieren. In einigen F¨allen ist dieses Vorgehen aber nicht geeignet, da sich diealgebraische Struktur der C ∗ -Algebra drastisch ¨andern kann. Man kann sich dann mit einemanderen Konzept behelfen. Definition 2.1.14.
Ein monoton wachsendes Netz ( u i ) i ∈ I positiver Elemente in S , aus i j folgt also 0 ≤ u i ≤ u j , heißt approximatives Einselement , wenn a = lim i ∈ I au i f¨ur alle a ∈ A gilt.Da die u i aus dieser Definition selbstadjungiert sind und die Operation . ∗ stetig ist, ist eine¨aquivalente Bedingung gegeben durch die Forderung a = lim i ∈ I u i a f¨ur alle a ∈ A . Satz 2.1.15.
Sei I := { a ∈ U (0) : a ≥ } .(i) I ist, versehen mit der Halbordnung aus Definition 2.1.10, eine gerichtete Menge.(ii) Das Netz ( u a ) a ∈ I , wobei u a := a , ist ein approximatives Einselement, das sogenannte kanonische approximative Einselement .Beweis. (i) Nachzupr¨ufen ist nur die Richtungseigenschaft. Zu gegebenen a, b ∈ I ist also ein c ∈ I mit a, b ≤ c zu finden. Dazu zeigen wir die folgende Hilfsbehauptung :0 ≤ d ≤ d ⇒ d (1 + d ) − ≤ d (1 + d ) − (2.1.6)Klarerweise gilt 1+ d ≤ d , woraus mit Lemma 2.1.13(vi) die Ungleichung (1+ d ) − ≤ (1 + d ) − folgt. Die zur trivialen Gleichung (1 + d k )(1 + d k ) − = 1 ¨aquivalente Beziehung d k (1+ d k ) − = 1 − (1+ d k ) − erm¨oglicht in Kombination mit Lemma 2.1.13(i) den Nachweisvon (2.1.6): d (1 + d ) − = 1 − (1 + d ) − ≤ − (1 + d ) − = d (1 + d ) − . Seien weiterhin a, b ∈ I . Die Elemente a ′ := a (1 − a ) − und b ′ := b (1 − b ) − sind wohlde-finiert, da σ (1 − a ) = 1 − σ ( a ) ⊆ [1 − r ( a ) , r ( a )] = [1 − k a k , k a k ] ⊆ (0 , b . Weiters liegen a ′ und b ′ in A und nicht nurin ˜ A , da A ein Ideal in ˜ A ist. Zudem sind sie selbstadjungiert.Betrachten wir die Gelfandtransformation auf C ∗ ˜ A ( a, b a ′ = b a − b a wegen b a ( M C ∗ ˜ A ( a, ) ⊆ [0 ,
1) Werte in [0 , + ∞ ) an. Daraus folgt a ′ ≥ b ′ ≥ a ′ + b ′ ≥ c := ( a ′ + b ′ )(1 + a ′ + b ′ ) − wohldefiniert; da A ein Ideal in ˜ A ist, gilt sogar c ∈ A . Betrachten wir die Gelfandtransformation auf C ∗ ˜ A ( a ′ + b ′ , c = \ a ′ + b ′ (1 + \ a ′ + b ′ ) − das Produkt zweier Funktionen mit nichtnegativenWerten und hat daher dieselbe Eigenschaft, andererseits nimmt | ˆ c | = ˆ c ein Maximum an, F¨ur die rechte Ungleichung arbeiten wir in ˜ A . Die Inversen sind dabei wohldefiniert, da wegen d k ≥ σ (1 + d k ) = 1 + σ ( d k ) ⊆ [1 , + ∞ ) insbesondere 0 nicht enth¨alt. k ˆ c k ∞ = λ/ (1 + λ ) < λ . Folglich gilt c ≥ k c k < c ∈ I . Die Rechnung(1 + a ′ ) − = (cid:0) (1 − a )(1 − a ) − | {z } =1 + a (1 − a ) − (cid:1) − = (cid:0) (1 − a + a )(1 − a ) − (cid:1) − = 1 − a zeigt a ′ (1 + a ′ ) − = a (1 − a ) − (1 − a ) = a ; analog gilt b ′ (1 + b ′ ) − = b . Die Hilfsbehauptung(2.1.6) mit d := a ′ ≤ a ′ + b ′ =: d liefert a = d (1 + d ) − ≤ d (1 + d ) − = c. Entsprechend zeigt man b ≤ c , womit I als gerichtete Menge identifiziert wurde.(ii) Wegen A = span A + gen¨ugt es, b = lim a ∈ I u a b f¨ur positive b zu zeigen, wobei wir durchSkalieren zus¨atzlich k b k ≤ a ∈ I bu a b = b bzw.¨aquivalent dazu lim a ∈ I b (1 − u a ) b = 0; man beachte, dass wir hier in ˜ A rechnen.Aus a ≥ a mit a, a ∈ I folgt mit Lemma 2.1.13(ii) die Ungleichung b (1 − u a ) b ≤ b (1 − u a ) b und nach (iv) aus demselben Lemma k b (1 − u a ) b k ≤ k b (1 − u a ) b k . Der Beweis des Zwi-schenschritts reduziert sich also auf die Konstruktion eines a ∈ I mit k b (1 − u a ) b k ≤ ǫ f¨ur gegebenes ǫ >
0, wobei wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit ǫ < f := ˆ b ∈ C ( M ), wobei M den Gelfandraumvon C ∗ A ( b ) bezeichnet, so ist K := | f | − [ ǫ, ∞ ) kompakt. Nach dem Lemma von Urysohnf¨ur lokalkompakte R¨aume, siehe [6, 2.12 Urysohn’s Lemma], existiert eine stetige Funktion g : M → [0 ,
1] mit kompaktem Tr¨ager – insbesondere gilt g ∈ C ( M ) – und g ( m ) = 1 f¨uralle m ∈ K . Wir w¨ahlen ein δ < − δ ≤ ǫ . F¨ur m ∈ K gilt | f ( m ) − δg ( m ) f ( m ) | = (1 − δ ) | f ( m ) | ≤ (1 − δ ) k f k ∞ = (1 − δ ) k b k ≤ − δ ≤ ǫ, und f¨ur m ∈ K c | f ( m ) − δg ( m ) f ( m ) | = (1 − δg ( m )) | f ( m ) | ≤ | f ( m ) | < ǫ. Insgesamt erhalten wir also k f − δgf k ∞ ≤ ǫ . Setzt man a := (ˆ . ) − ( δg ), so ist a positiv.Wegen k a k = δ k g k ∞ ≤ δ < a ∈ I . Schließlich erhalten wir aus k b k ≤ k b (1 − u a ) b k ≤ k b − u a b k = (cid:13)(cid:13)(cid:13) ˆ b − b a ˆ b (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ = k f − δgf k ∞ ≤ ǫ. Um das allgemeine Resultat zu zeigen, sei bemerkt, dass wegen der schon wiederholtaufgetretenen ¨Uberlegungen zum Spektralabbildungssatz die Elemente 1 − u a positiv sindmit k − u a k ≤
1. Das bedeutet, dass (1 − u a ) / wohldefiniert ist, wobei (cid:13)(cid:13) (1 − u a ) / (cid:13)(cid:13) ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13) (1 − u a ) / b (cid:13)(cid:13)(cid:13) = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:16) (1 − u a ) / b (cid:17) ∗ (1 − u a ) / b (cid:13)(cid:13)(cid:13) = k b (1 − u a ) b k a ∈ I −−→ k (1 − u a ) b k ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13) (1 − u a ) / (cid:13)(cid:13)(cid:13) · (cid:13)(cid:13)(cid:13) (1 − u a ) / b (cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ (cid:13)(cid:13)(cid:13) (1 − u a ) / b (cid:13)(cid:13)(cid:13) a ∈ I −−→ , und daher auf die gew¨unschte Beziehung b = lim a ∈ I u a b . Tats¨achlich gilt wegen der Monotonie von t t/ (1 + t ) genauer λ = (cid:13)(cid:13)(cid:13) \ a ′ + b ′ (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ . .2 Das Einselement als Extremalpunkt Wir kommen zur schon angek¨undigten Behandlung von Extremalpunkten der Einheitskugel.Prim¨ares Ziel ist dabei die Tatsache, dass eine C ∗ -Algebra genau dann ein Einselement hat,wenn die Einheitskugel Extremalpunkte aufweist. Dazu erinnern wir an folgende Definition: Ist V ein Vektorraum und M ⊆ V eine beliebige Teilmenge, dann heißt x ∈ M Extremalpunkt von M , wenn aus tx + (1 − t ) x = x f¨ur x , x ∈ M und t ∈ (0 ,
1) schon x = x = x folgt. Bemerkung . Ist M konvex, so behaupten wir, dass x ∈ M genau dann ein Extremalpunktist, wenn aus ( x + x ) = x f¨ur x , x ∈ M bereits x = x = x folgt; man kann sich alsoauf t = 1 / tx + (1 − t ) x = x , wobei wir ohne Beschr¨ankung derAllgemeinheit t ≤ / x := 2 tx + (1 − t ) x ein Element von M mit x = (˜ x + x ). Aus der Voraussetzung folgt x = x , sodass wir tx = x − (1 − t ) x = tx bzw. x = x = x erhalten.Zun¨achst betrachten wir kommutative C ∗ -Algebren, da dort die Gelfandtransformation zurVerf¨ugung steht. Lemma 2.2.2.
Sei die C ∗ -Algebra A = { } kommutativ.(i) Die Extremalpunkte von S sind genau die unit¨aren Elemente von A . Insbesondere hat S genau dann einen Extremalpunkt, wenn A ein Einselement enth¨alt.(ii) Die Extremalpunkte von A sa ∩ S sind genau die selbstadjungierten, unit¨aren Elemente von A .(iii) Die Extremalpunkte von S ∩ A + sind genau die Projektionen – also die selbstadjungiertenidempotenten Elemente, vgl. Notation 2.1.1 – von A . Ist x ∈ S ∩ A + nicht extrem, dannexistiert sogar ein a ∈ S ∩ A + mit xa = 0 und x ± xa ∈ S ∩ A + . (2.2.1) Beweis.
Wir k¨onnen A = C ( M ) mit einem lokalkompakten Hausdorffraum M annehmen.(i) Sei zun¨achst f ∈ S unit¨ar, also | f ( m ) | = 1 f¨ur alle m ∈ M . Wegen Bemerkung 2.2.1 habenwir aus f = ( f + f ) mit Elementen f , f ∈ S auf f = f = f zu schließen. F¨ur beliebi-ges m ∈ M gilt f ( m ) = ( f ( m )+ f ( m )) und | f ( m ) | , | f ( m ) | ≤
1. Wenn wir zeigen, dassnur Punkte der Einheitskreislinie T Extremalpunkte der abgeschlossenen Einheitsscheibein C sein k¨onnen, so folgt f ( m ) = f ( m ) = f ( m ) und wegen der Beliebigkeit von m ∈ M die Gleichung f = f = f .Sei T ∋ ζ = ( ζ + ζ ) mit | ζ | , | ζ | ≤
1. Dann gilt 1 = | ζ | ≤ ( | ζ | + | ζ | ) ≤
1, also | ζ | + | ζ | = 2. Wegen | ζ | , | ζ | ≤ ζ , ζ ∈ T . Schreibt man ζ j = e iθ j mit θ j ∈ [0 , π ), wobei ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit θ ≤ θ sei, dann ergibt sich ζ = e iθ (1 + e i ( θ − θ ) ). Wir erhalten1 = | ζ | = 12 (cid:12)(cid:12)(cid:12) e i ( θ − θ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) = 12 p (1 + cos( θ − θ )) + sin( θ − θ ) bzw. 4 = (1 + cos( θ − θ )) + sin( θ − θ ) = 2 + 2 cos( θ − θ )und schließen auf cos( θ − θ ) = 1. Wegen θ − θ ∈ [0 , π ) folgt θ = θ und ζ = ζ .Somit ist die Hilfsbehauptung gezeigt. 27ei umgekehrt f ∈ S nicht unit¨ar, also | f ( m ) | < m ∈ M . Da M lokalkompaktund f stetig ist, gibt es eine offene Umgebung U von m mit kompaktem Abschluss und | f ( m ) | < (1 + | f ( m ) | ) f¨ur alle m ∈ U . Es folgt α := max (cid:8) | f ( m ) | : m ∈ U (cid:9) ≤
12 (1 + | f ( m ) | ) < . Nach dem Lemma von Urysohn f¨ur lokalkompakte R¨aume, [6, 2.12 Urysohn’s Lemma],gibt es eine stetige Funktion g : M → [0 ,
1] mit g ( m ) = 1 und supp g ⊆ U ⊆ U . Somit hat g kompakten Tr¨ager, inbesondere liegt g in C ( M ). F¨ur h := (1 − α ) g ∈ C ( M ) wollen wir | f ( m ) ± h ( m ) | ≤ m ∈ M nachweisen. Dazu unterscheiden wir die F¨alle m ∈ U und m / ∈ U . Im ersten Fall gilt | f ( m ) ± h ( m ) | ≤ | f ( m ) | + (1 − α ) g ( m ) ≤ α + (1 − α ) = 1 . Im zweiten Fall folgt aus h ( m ) = 0 die Absch¨atzung | f ( m ) ± h ( m ) | = | f ( m ) | ≤ k f k ∞ ≤ . Wir erhalten f ± h ∈ S . Wegen h ( m ) = 1 − α > h = 0, sodass die Funktionen f ± h von f verschieden sind. Folglich ist f = (cid:0) ( f + h ) + ( f − h ) (cid:1) nicht extremal in S .Zur Existenz von Einselementen: Wenn ein Extremalpunkt f ∈ S ⊆ C ( M ) existiert, danngilt nach dem Bewiesenen | f ( m ) | = 1 f¨ur alle m ∈ M . Da die Funktion im Unendlichenverschwindet, ist das nur m¨oglich, wenn M kompakt ist. In diesem Fall gilt C ( M ) = C ( M )und ∈ C ( M ). Diese Funktion stellt das Einselement dar. Enth¨alt umgekehrt C ( M ) einEinselement, so ist dieses wie in jeder C ∗ -Algebra unit¨ar und daher ein Extremalpunktvon S .(ii) Ein selbstadjungiertes, unit¨ares f liegt klarerweise in A sa ∩ S und ist nach (i) sogar einExtremalpunkt von S , also insbesondere von A sa ∩ S .Ist f ∈ A sa ∩ S nicht unit¨ar, so k¨onnen wir denselben Beweis wie in (i) verwenden,um zu zeigen, dass f kein Extremalpunkt ist. Eine Funktion in C ( M ) ist genau dannselbstadjungiert, wenn sie reellwertig ist. Da f selbstadjungiert, also reellwertig, und dieoben konstruierte Funktion h : M → [0 ,
1] ebenfalls reellwertig ist, gilt f ± h ∈ A sa . Wirerhalten f ± h ∈ A sa ∩ S .(iii) Sei p ∈ C ( M ) eine Projektion. Die Projektionen in C ( M ) sind genau die Funktionen, dieh¨ochstens die Werte 0 , p ( m ) = p ( m ) gelten muss. Daraus folgt wegen σ ( p ) = p ( M ) ⊆ { , } einmal p ∈ S ∩ A + . Schreibt man p = ( h + h ) mit h , h ∈ S ∩ A + ,also h ( M ) , h ( M ) ⊆ [0 , p ( m ) = 0 schon h ( m ) = h ( m ) = 0. Aus p ( m ) = 1 folgt die analoge Bedingung h ( m ) = h ( m ) = 1. Mit anderen Worten gilt h = h = p und p ist ein Extremalpunkt.F¨ur die Umkehrung sei x ∈ S ∩ A + keine Projektion. Dies ist ¨aquivalent dazu, dass x ( m ) ∈ (0 ,
1) f¨ur ein m ∈ M gilt. Analog zu (i) gibt es eine offene Umgebung U von m mit kompaktem Abschluss U und x ( m ) ∈ (cid:0) x ( m ) / , (1+ x ( m )) / (cid:1) ⊆ (0 ,
1) f¨ur alle m ∈ U .Aus dem Lemma von Urysohn erhalten wir eine Funktion g : M → [0 ,
1] mit g ( m ) = 1und supp g ⊆ U ⊆ U , insbesondere g ∈ C ( M ). Wegen x ( m ) g ( m ) = x ( m ) > xg = 0. Setzt man ǫ := min (cid:0) , x ( m ) − (cid:1) >
0, so folgt 1 − ǫg ( m ) ≥
0. Außerdem gilt x ( m )(1 + ǫg ( m )) ≤ m ∈ M : Daf¨ur unterscheiden wir die F¨alle m ∈ U und m / ∈ U . Im ersten Fall folgt aus g ( m ) ≤ x ( m )(1 + ǫg ( m )) ≤ x ( m )2 (cid:18) (cid:18)
21 + x ( m ) − (cid:19) · (cid:19) = 1 .
28m zweiten Fall f¨uhrt die ¨Uberlegung x ( m )(1 + ǫg ( m )) = x ( m ) ≤ ǫg ( m ) ≥ ≥ x ( m )(1 − ǫg ( m )) ≤ x ( m ) ≤ m ∈ M erhalten wir x ± xǫg ∈ S ∩ A + . Die Wahl a := ǫg liefert somit ein Element, das (2.2.1)erf¨ullt. Wegen x = (cid:0) ( x + xa ) + ( x − xa ) (cid:1) kann x kein Extremalpunkt sein.Damit k¨onnen wir die oben angepeilte Charakterisierung von C ∗ -Algebren mit Einselementauch im nichtkommutativen Fall beweisen. Satz 2.2.3. S hat genau dann einen Extremalpunkt, wenn in A ein Einselement existiert. Indiesem Fall ist das Einselement extremal.Beweis. Ist 1 das Einselement von A , dann hat S den Extremalpunkt 1: In der Tat folgt aus1 = ( a + b ) auch 1 = Re 1 = (Re a +Re b ). Aus Re b = 2 − Re a erhalten wir, dass Re a und Re b kommutieren. Da 1 sicher unit¨ar ist, folgt aus Lemma 2.2.2(i) angewandt in C ∗ A (Re a, Re b, a = Re b = 1 ist. Wir erhalten 1 = Re a = ( a + a ∗ ) bzw. a ∗ = 2 − a und schließenauf die Normalit¨at von a . Erneute Anwendung von Lemma 2.2.2(i), diesmal in C ∗ ( a, a = 1; analog zeigt man b = 1.Habe nun S umgekehrt einen Extremalpunkt x . Wir zeigen zun¨achst, dass x ∗ x eine Projektionist, indem wir das Gegenteil auf einen Widerspruch f¨uhren. Ist x ∗ x keine Projektion, dannklarerweise | x | = ( x ∗ x ) / auch nicht. Aus Lemma 2.2.2(iii), angewandt in B := C ∗ ˜ A ( | x | , a ∈ S B ∩ B + mit | x | a = 0 und k| x | (1 ± a ) k ≤ . Offenbar gilt x = (cid:0) x (1 + a ) + x (1 − a ) (cid:1) und, da A ein Ideal in ˜ A ist, auch x (1 ± a ) ∈ A . Weitersberechnen wir k x (1 ± a ) k = k ( x (1 ± a )) ∗ ( x (1 ± a )) k = (cid:13)(cid:13)(cid:13) (1 ± a ) | x | (1 ± a ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) = k ( | x | (1 ± a )) ∗ ( | x | (1 ± a )) k = k| x | (1 ± a ) k ≤ , (2.2.2)womit x (1 ± a ) ∈ S ist. Da x extremal ist, folgt x = x (1 ± a ), also xa = 0. Mit zu (2.2.2)analoger Rechnung erhalten wir dazu im Widerspruch k xa k = k| x | a k = 0 . (2.2.3)Also muss p := x ∗ x eine Projektion sein. Daraus folgt (wir rechnen weiter in ˜ A ) k x (1 − p ) k = k (1 − p ) x ∗ x (1 − p ) k = k (1 − p ) p (1 − p ) k = 0und somit x = xp . Mit q := xx ∗ schließen wir auf q = ( xp ) x ∗ und q = xpx ∗ xpx ∗ = xp x ∗ = xpx ∗ = q, wodurch sich q ebenfalls als Projektion herausstellt. Dabei gilt k x ∗ (1 − q ) k = k (1 − q ) xx ∗ (1 − q ) k = k (1 − q ) q (1 − q ) k = 0 , x ∗ = x ∗ q bzw. durch Adjungieren x = qx .Als N¨achstes zeigen wir, dass die Menge (1 − q ) S (1 − p ) nur aus dem Nullelement besteht. F¨ur a ∈ (1 − q ) S (1 − p ) gilt a = (1 − q ) a (1 − p ) und k x ± a k = k ( x ± a ) ∗ ( x ± a ) k = k x ∗ x ± a ∗ x ± x ∗ a + a ∗ a k = k p ± (1 − p ) a ∗ (1 − q ) x | {z } =0 ± x ∗ (1 − q ) | {z } =0 a (1 − p ) + (1 − p ) a ∗ (1 − q ) a | {z } = a ∗ a, da (1 − q ) a = a (1 − p ) k = k p + (1 − p ) a ∗ a (1 − p ) k , was nach Lemma 1.2.14 mit max (cid:0) k p k , k (1 − p ) a ∗ a (1 − p ) k (cid:1) ¨ubereinstimmt. Als Projektionerf¨ullt p die Ungleichungen k p k , k − p k ≤
1. Daraus folgt k (1 − p ) a ∗ a (1 − p ) k ≤ k − p k k a ∗ a k k − p k ≤ k a k ≤ , sodass die Elemente x ± a in der Einheitskugel S enthalten sind. Aus der trivialen Gleichung x = (cid:0) ( x + a ) + ( x − a ) (cid:1) folgt schließlich a = 0, da x ein Extremalpunkt ist.Ist ( u i ) i ∈ I ein approximatives Einselement in A – nach Satz 2.1.15 gibt es ein solches – dannfolgt (1 − q ) u i (1 − p ) ∈ (1 − q ) S (1 − p ) = { } bzw. u i = qu i + u i p − qu i p . Die rechte Seite dieserGleichung konvergiert nach Definition eines approximativen Einselements gegen e := q + p − qp .Somit konvergiert das Netz ( u i ) i ∈ I gegen e . Der Grenzwert eines approximativen Einselementsist, wenn er existiert, das Einselement der C ∗ -Algebra, denn f¨ur beliebiges a ∈ A gilt ea =(lim i ∈ I u i ) a = lim i ∈ I u i a = a . Die Gleichung ae = a zeigt man analog.Schr¨anken wir uns auf die selbstadjungierten Elemente ein, so k¨onnen wir die Aussage vonLemma 2.2.2(ii) auf nicht notwendigerweise kommutative C ∗ -Algebren verallgemeinern. Es steht¨uber die ¨ubliche Technik der erzeugten C ∗ -Unteralgebren n¨amlich die in kommutativen C ∗ -Algebren entwickelte Theorie zur Verf¨ugung. Satz 2.2.4.
Hat A ein Einselement, so sind die Extremalpunkte von A sa ∩ S genau die selbst-adjungierten, unit¨aren Elemente von A .Beweis. Sei zun¨achst u selbstadjungiert und unit¨ar, d. h. u = 1. Die lineare Abbildung T : A → A definiert durch T x := ux ist zu sich selbst invers und somit ein Isomorphismus. DieUngleichungskette k x k = (cid:13)(cid:13) u x (cid:13)(cid:13) ≤ k u k · k ux k = k ux k ≤ k x k (2.2.4)zeigt, dass T zus¨atzlich isometrisch ist. Als isometrischer Isomorphismus bildet T Extremal-punkte von S auf ebensolche ab. Nach Satz 2.2.3 ist 1 extremal in S , sodass u = T S ist. Insbesondere ist u extremal in A sa ∩ S .F¨ur die Umkehrung sei u ein Extremalpunkt von A sa ∩ S . Zun¨achst einmal ist u jedenfallsselbstadjungiert. Setzen wir B := C ∗ ( u, u offenbar auch ein Extremalpunkt von B sa ∩ S B . Lemma 2.2.2(ii), angewandt in B , liefert, dass u unit¨ar in B und daher unit¨ar in A ist. Bemerkung . Der erste Teil des Beweises zeigt, dass unit¨are Elemente in beliebigen C ∗ -Algebren Extremalpunkte der Einheitskugel sind. Die Zusatzvoraussetzung wird f¨ur die Um-kehrung ben¨otigt. Hier betrachten wir A als Banachraum. .3 Dichtheit von Projektionen Als Letztes soll in diesem Kapitel ein Satz bewiesen werden, der eine hinreichende Bedingungdaf¨ur angibt, dass die lineare H¨ulle aller Projektionen in einer kommutativen C ∗ -Algebra mitEinselement dicht ist. Wegen der Gelfandtransformation gen¨ugt es, Algebren der Form C ( K )mit einem kompakten Hausdorffraum K zu betrachten. Dass dieses Problem alles andere alstrivial ist, zeigt das folgende Beispiel, das zugleich die daran anschließende Definition motiviert. Beispiel 2.3.1.
Sei K = [0 ,
1] versehen mit der euklidischen Topologie. Die Projektionen in C ( K ) sind diejenigen stetigen reellwertigen Funktionen, die nur die Werte 0 und 1 annehmen.Da K zusammenh¨angend ist, muss f¨ur eine Projektion p ∈ C ( K ) auch p ( K ) ⊆ { , } zusam-menh¨angend sein, womit p ≡ p ≡ C ( K ). Bemerkung . Diese Argumentation zeigt auch, dass eine notwendige Bedingung f¨ur dieDichtheit von F := span (cid:8) p ∈ C ( K ) : p ∗ = p und p = p (cid:9) in C ( K ) gegeben ist durch die Forde-rung, dass K total unzusammenh¨angend ist. Das bedeutet, dass alle Zusammenhangskomponen-ten einpunktig sind. In der Tat muss eine Projektion auf zusammenh¨angenden Mengen konstantsein. Damit sind auch alle Funktionen aus F und folglich aus F auf zusammenh¨angenden Men-gen konstant. Enth¨alt eine Zusammenhangskomponente mindestens zwei Punkte, so kann mandiese nach dem Lemma von Urysohn funktional trennen. Die erhaltene stetige Funktion kannsomit nicht in F enthalten sein.Wir fordern jedoch eine st¨arkere Eigenschaft. Definition 2.3.3.
Ein topologischer Raum heißt extremal unzusammenh¨angend , wenn der Ab-schluss jeder offenen Menge wieder offen und damit clopen ist. Ein kompakter, extremal unzu-sammenh¨angender Hausdorffraum heißt stonesch . Bemerkung . Ein extremal unzusammenh¨angender Hausdorffraum ist auch total unzusam-menh¨angend. Denn w¨are C eine zusammenh¨angende Menge mit x, y ∈ C und x = y , dannw¨urden offene Mengen O x , O y existieren mit x ∈ O x , y ∈ O y und O x ∩ O y = ∅ . Insbesonderegilt y / ∈ O x . Der Abschluss O x ist nach Voraussetzung clopen, womit O x und O x c getrennt sindund den ganzen Raum ¨uberdecken. Da C zusammenh¨angend ist, gilt C ⊆ O x oder C ⊆ O x c .Beide Varianten f¨uhren aber auf einen Widerspruch, da x ∈ O x und y ∈ O x c .Zun¨achst zeigen wir eine Charakterisierung stonescher R¨aume. Dazu m¨ussen wir an das Kon-zept der Baire’schen Kategorien erinnern. Eine Teilmenge M eines topologischen Raums heißt nirgends dicht , wenn M o = ∅ ist. Abz¨ahlbare Vereinigungen nirgends dichter Mengen werden von erster Kategorie genannt, alle anderen Teilmengen von zweiter Kategorie . Satz 2.3.5.
Sei K ein kompakter Hausdorffraum und C ( K, R ) die Menge der stetigen, reell-wertigen Funktionen auf K . Dann sind die folgenden vier Aussagen ¨aquivalent:(i) K ist extremal unzusammenh¨angend, also stonesch.(ii) Jede beschr¨ankte und bez¨uglich der punktweisen nat¨urlichen Ordnung gerichtete Teilmengevon C ( K, R ) hat ein Supremum in C ( K, R ) .(iii) Jede beschr¨ankte Teilmenge von C ( K, R ) hat ein Supremum in C ( K, R ) bez¨uglich derpunktweisen nat¨urlichen Ordnung. Der Vollst¨andigkeit halber sei bemerkt, dass das punktweise Supremum einer Familie stetiger Funktionen imAllgemeinen nicht mehr stetig ist. iv) Jede beschr¨ankte, reellwertige und von unten halbstetige Funktion auf K stimmt bis aufeine Menge von erster Kategorie mit einer stetigen Funktion ¨uberein.Beweis. Der Beweis verl¨auft zyklisch:(i) ⇒ (iv): Sei f eine beschr¨ankte, reellwertige und von unten halbstetige Funktion. F¨ur diezu zeigende Behauptung k¨onnen wir durch etwaiges Addieren einer positiven Konstanten undanschließendes Skalieren 0 ≤ f ≤ t ∈ R die Mengen F ( t ) := f − ( −∞ , t ] und G ( t ) := F ( t ) o . Dann sind die F ( t ) wegen der Halbstetigkeit abgeschlossen undsomit F ( t ) c clopen, da K als extremal unzusammenh¨angend vorausgesetzt ist. Die Mengen G ( t )sind wegen F ( t ) o = (cid:0) ( F ( t ) c ) c (cid:1) o = F ( t ) cc ebenfalls clopen. Folglich sind die Indikatorfunktionen G ( t ) stetig. F¨ur n ∈ N definieren wir die stetige Funktion f n := n X k =1 k n ( G ( k/ n ) − G (( k − / n ) ) . (2.3.1)Sei ein beliebiges x ∈ R fixiert. Da die G ( t ) monoton wachsend sind mit G (1) = K , gilt f n ( x ) = k n f¨ur die Zahl k = min (cid:26) j ∈ { , . . . , n } : x ∈ G (cid:18) j n (cid:19)(cid:27) . (2.3.2)Wegen x ∈ G ( k n ) = G ( k n +1 ) gilt auch f n +1 ( x ) ≤ k n +1 . W¨are f n +1 ( x ) ≤ k − n +1 , also x ∈ G ( k − n +1 ) = G ( k − n ), so h¨atten wir einen Widerspruch zur Minimalit¨at von k in (2.3.2). Wirerhalten f n +1 ( x ) ∈ { k − n +1 , k n +1 } und daraus die Absch¨atzung k f n +1 − f n k ∞ ≤ n +1 . F¨ur m ≤ n ergibt sich k f n − f m k ∞ ≤ n − X k = m k f k +1 − f k k ∞ ≤ n − X k = m k +1 ≤ m , womit ( f n ) n ∈ N eine Cauchy-Folge in C ( K, R ) ist und infolge gegen eine Funktion f ∈ C ( K, R )konvergiert. Wir behaupten, dass f und f bis auf eine Menge von erster Kategorie ¨uberein-stimmen. Dazu setzen wir M := ∞ [ n =1 2 n [ k =1 F (cid:18) k n (cid:19) \ G (cid:18) k n (cid:19) . Die Mengen F (cid:0) k n (cid:1) \ G (cid:0) k n (cid:1) sind abgeschlossen und haben leeres Inneres, da jede offene Teilmengevon F (cid:0) k n (cid:1) auch in G (cid:0) k n (cid:1) enthalten ist. Damit ist M von erster Kategorie in K .Sind x ∈ M c sowie n ∈ N fest und k wie in (2.3.2), so sind zwei F¨alle zu unterscheiden: Ist k = 0,so gilt x ∈ G (0), also f ( x ) = 0 und f m ( x ) = 0 f¨ur beliebiges m ∈ N , folglich f ( x ) = 0 = f ( x ).F¨ur k ≥ x / ∈ G (cid:0) k − n (cid:1) , womit wegen x ∈ M c auch x / ∈ F (cid:0) k − n (cid:1) folgt. Zusammenmit x ∈ G (cid:0) k n (cid:1) ⊆ F (cid:0) k n (cid:1) ergibt sich die Absch¨atzung k − n < f ( x ) ≤ k n = f n ( x ). Wir schließenauf | f n ( x ) − f ( x ) | < n und erhalten tats¨achlich f ( x ) = f ( x ).(iv) ⇒ (iii): Sei F ⊆ C ( K, R ) eine beschr¨ankte Teilmenge. Definiert man g ( x ) := sup φ ∈F φ ( x ), soist bekannt, dass g von unten halbstetig ist. Aufgrund der Beschr¨anktheit ist g auch reellwertig,sodass wegen (iv) eine stetige Funktion f : K → R existiert, die mit g zumindest außerhalbeiner Menge M von erster Kategorie ¨ubereinstimmt. Da g − f als Summe von unten halbstetigerFunktionen ebenfalls von unten halbstetig ist, ist die Menge G := { x ∈ K : g ( x ) − f ( x ) > } Eine Funktion f : K → R heißt von unten halbstetig, wenn f¨ur alle t ∈ R das Urbild f − ( t, + ∞ ) offen bzw. f − ( −∞ , t ] abgeschlossen ist. G auch in M enthalten und daher selbst von erster Kategorie in K . AlsN¨achstes zeigen wir, dass G auch als Teilmenge von sich von erster Kategorie ist. Dazu schreibtman G = [ n ∈ N G n mit in K nirgends dichten Mengen G n , also (cid:16) G nK (cid:17) o,K = ∅ . Es folgt (cid:16) G nG (cid:17) o,K = (cid:16) G nK ∩ G (cid:17) o,K = ∅ . (2.3.3)Ist O eine in G offene, nichtleere Menge, so ist O auch in K offen, da G selbst offen ist. Nach(2.3.3) kann daher O nicht in G nG enthalten sein und wir erhalten die gew¨unschte Tatsache (cid:16) G nG (cid:17) o,G = ∅ . Nach dem Satz von Baire f¨ur lokalkompakte Hausdorffr¨aume, siehe [5, 2.2 Baire’s theorem],ist ein nichtleerer lokalkompakter Hausdorffraum niemals in sich selbst von erster Kategorie,sodass nur G = ∅ m¨oglich ist. Wir schließen auf g ≤ f . Folglich ist f eine obere Schranke allerFunktionen aus F . Ist umgekehrt h ∈ C ( K, R ) eine obere Schranke, so gilt h ( x ) ≥ g ( x ) = f ( x )f¨ur x ∈ M c . Schreibt man M = S n ∈ N M n mit nirgends dichten Mengen M n , dann gilt M c = \ n ∈ N M c n ⊇ \ n ∈ N M n c . Die Mengen M n c sind offen und wegen M n c = (cid:0) M no (cid:1) c = K dicht. Nach dem Satz von Baire f¨urlokalkompakte R¨aume, hier angewandt im kompakten Raum K , ist auch der Schnitt T n ∈ N M n c und infolge M c dicht in K . Also gilt die Ungleichung h ( x ) ≥ f ( x ) f¨ur alle x ∈ K . Wir erhalten,dass f tats¨achlich das Supremum von F in C ( K, R ) ist.(iii) ⇒ (ii): Klar.(ii) ⇒ (i): Sei G ⊆ K offen. Um zu beweisen, dass G clopen ist, zeigen wir die Stetigkeit derIndikatorfunktion G .Die Menge F := { f ∈ C ( K, R ) : 0 ≤ f ≤ G } ist klarerweise beschr¨ankt und nach oben ge-richtet, da f¨ur f , f ∈ F auch max( f , f ) in F enthalten ist. F¨ur x ∈ G sind { x } und G c zwei disjunkte, abgeschlossene Mengen, sodass es nach dem Lemma von Urysohn eine stetigeFunktion f x : K → [0 ,
1] gibt mit f x ( x ) = 1 und f x ( G c ) ⊆ { } . Wegen f x ∈ F folgt sofort G ( y ) = sup f ∈F f ( y ) f¨ur y ∈ K . Bezeichnet g das nach Voraussetzung existierende Supremumvon F in C ( K, R ), so gilt einerseits g ≤
1, da die konstante Einsfunktion eine obere Schrankevon F ist, und andererseits G ≤ g , da g ( y ) eine obere Schranke aller f ( y ) f¨ur festes y ∈ K ist.Die Funktion g nimmt auf G folglich den Wert 1 an und wegen der Stetigkeit damit auch auf G .Wir schließen auf die Ungleichung G ≤ g . Um G = g und damit die gew¨unschte Stetigkeit zuzeigen, m¨ussen wir g ( x ) > x ∈ G c auf einen Widerspruch f¨uhren. In der Tat folgt ausdem Lemma von Urysohn die Existenz einer stetigen Funktion h : K → [0 ,
1] mit h ( x ) = 0 und h (cid:0) G (cid:1) ⊆ { } . F¨ur die offenbar ebenfalls stetige und reellwertige Funktion ˜ g := gh und beliebige f ∈ F und y ∈ K gilt ˜ g ( y ) ≥ G ( y ) ≥ G ( y ) ≥ f ( y ) , sodass die stetige Funktion ˜ g eine obere Schranke von F ist. Da g das Supremum ist, muss g ≤ ˜ g gelten, was zu dem Widerspruch 0 < g ( x ) ≤ ˜ g ( x ) = 0 f¨uhrt. Man beachte, dass hier noch kein Abschluss gebildet wird.
Satz 2.3.6.
Sei K ein stonescher Raum und A = C ( K ) . Dann ist die lineare H¨ulle der Pro-jektionen dicht in der C ∗ -Algebra A . Nimmt f ∈ C ( K ) nur nichtnegative Werte an, so ist f sogar der Grenzwert einer Folge von Funktionen der Form f n := P nk =1 γ k,n g k,n , wobei die g k,n Projektionen und die Zahlen γ k,n nichtnegativ sind.Beweis. Sei f ∈ C ( K ) beliebig. Durch Betrachten von Real- und Imagin¨arteil k¨onnen wir anneh-men, dass f reellwertig ist. Da f beschr¨ankt ist und die konstanten Funktionen in der linearenH¨ulle der Projektionen enthalten sind, k¨onnen wir uns zus¨atzlich auf 0 ≤ f ≤ ⇒ (iv) in Satz 2.3.5 nochmals durchund erhalten, dass f mit der Funktion f = lim n →∞ f n ¨uberall außer m¨oglicherweise auf M = ∞ [ n =1 2 n [ k =1 F (cid:18) k n (cid:19) \ G (cid:18) k n (cid:19) ¨ubereinstimmt, wenn die f n wie in (2.3.1) definiert sind. Die Projektionen in C ( K ) sind genaudie stetigen Indikatorfunktionen, also Indikatorfunktionen von Mengen, die clopen sind. Somitsind die Funktionen f n Linearkombinationen von Projektionen und f ist in der abgeschlossenenlinearen H¨ulle der Projektionen enthalten. Mit der Information, dass f nicht nur von untenhalbstetig sondern sogar stetig ist, k¨onnen wir f = f zeigen, was den Beweis der ersten Aussageabschließt. Wegen der Stetigkeit sind die Urbilder f − ( −∞ , t ) f¨ur t ∈ R offen und daher in G ( t )enthalten. Weiters gilt F ( t ) ⊆ f − ( −∞ , t + ǫ ) ⊆ G ( t + ǫ ) f¨ur beliebiges ǫ >
0, sodass wir F ( t ) ⊆ G ( s ) f¨ur t < s erhalten. F¨ur x ∈ F (cid:0) k n (cid:1) \ G (cid:0) k n (cid:1) gilt daher einerseits f ( x ) = k n undandererseits x ∈ G (cid:0) k +12 n (cid:1) \ G (cid:0) k n (cid:1) , also f n ( x ) = k +12 n . Somit gilt auch auf M die Absch¨atzung | f n ( x ) − f ( x ) | ≤ n und infolge wie behauptet f = f .F¨ur die Zusatzaussage sei bemerkt, dass wir im Falle f ≥ ≤ f ≤ f n aus (2.3.1) und l¨ost die Teleskopsumme auf, so ergibt sich f n = − n G (0) − n − X k =1 n G ( k/ n ) + 2 n n G (2 n / n ) = − n − X k =0 n G ( k/ n ) + 1 , wobei die zweite Gleichheit daraus folgt, dass wegen f ≤ G (1) = K gilt. Betrachten wirdie Komplemente G ( k/ n ) c , die ebenfalls clopen sind, so erhalten wir aus G ( k/ n ) = 1 − G ( k/ n ) c die Darstellung f n = − n − X k =0 n (cid:0) − G ( k/ n ) c (cid:1) + 1 = n − X k =0 n G ( k/ n ) c . Folglich haben die Funktionen f n die gew¨unschte Form.34 apitel 3 Abstrakte C ∗ -Algebren Es ist eine bekannte Tatsache, dass einerseits L b ( H ) eine C ∗ -Algebra ist und andererseits norm-abgeschlossene ∗ -Unteralgebren von C ∗ -Algebren wieder C ∗ -Algebren sind. Damit sind k·k -abgeschlossene ∗ -Unteralgebren von L b ( H ) schon C ∗ -Algebren. Das Hauptziel dieses Kapitelsist mit dem Satz von Gelfand-Naimark die st¨arkstm¨ogliche Umkehrung dieses Sachverhalts.Dieses Resultat ist ohne Zweifel eines der wichtigsten Ergebnisse der Theorie von C ∗ -Algebren. Notation 3.1.1.
Sei weiterhin A eine C ∗ -Algebra mit Einheitskugel S , selbstadjungierten Ele-menten A sa und positiven Elementen A + .Im letzten Kapitel waren die positiven Elemente von A das wesentliche Hilfsmittel. Hier be-trachten wir die mit diesen Elementen vertr¨aglichen linearen Funktionale. Definition 3.1.2.
Ein lineares Funktional ϕ : A → C heißt positiv , wenn ϕ ( A + ) ⊆ [0 , + ∞ ).Falls zus¨atzlich k ϕ k = 1 gilt, so nennen wir ϕ einen Zustand . Die Menge aller Zust¨ande bezeich-nen wir mit S ( A ).Zun¨achst fassen wir einige einfache Eigenschaften zusammen. Lemma 3.1.3.
Sei ϕ ein positives Funktional auf A .(i) Das Funktional ϕ ist beschr¨ankt.(ii) F¨ur beliebige a, b ∈ A gilt ϕ ( b ∗ a ) = ϕ ( a ∗ b ) .(iii) (Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung) Sind a, b ∈ A gegeben, so folgt | ϕ ( b ∗ a ) | ≤ ϕ ( a ∗ a ) / ϕ ( b ∗ b ) / . (iv) Die Funktion a ϕ ( a ∗ a ) / ist eine Seminorm auf A .Beweis. Wir zeigen zun¨achst C := sup a ∈ A + , k a k≤ ϕ ( a ) < + ∞ . W¨are diese Behauptung falsch,g¨abe es zu jedem n ∈ N ein a n ∈ A + mit k a n k ≤ ϕ ( a n ) ≥ n . Wegen der Unterpunkte (i)und (iv) von Satz 2.1.7 gilt f¨ur die absolut konvergente Reihe a := P ∞ n =1 12 n a n und jedes N ∈ N a − N X n =1 n a n = lim M →∞ , M ≥ N +1 M X n = N +1 n a n ≥ . ϕ ( a ) = ϕ a − N X n =1 n a n !| {z } ≥ , da ϕ positiv ist + ϕ N X n =1 n a n ! ≥ N X n =1 ϕ (cid:18) n a n (cid:19)| {z } ≥ ≥ N, was wegen der Beliebigkeit von N einen Widerspruch darstellt. F¨ur beliebiges a ∈ S schreibenwir gem¨aß der Definitionen 1.2.6 und 2.1.5 a = (Re( a ) + − Re( a ) − ) + i (Im( a ) + − Im( a ) − ) . Wegen k Re( a ) ± k , k Im( a ) ± k ≤ k a k ≤ | ϕ ( a ) | ≤ ϕ (Re( a ) + ) + ϕ (Re( a ) − ) + ϕ (Im( a ) + ) + ϕ (Im( a ) − ) ≤ C. Daraus folgt k ϕ k ≤ C und (i) ist gezeigt.Die Abbildung σ : ( a, b ) ϕ ( b ∗ a ) ist offensichtlich eine Sesquilinearform, die wegen der vor-ausgesetzten Positivit¨at von ϕ auch positiv semidefinit ist. Aus der Polarisationsformel σ ( a, b ) = 14 X j =0 i j σ ( a + i j b, a + i j b )folgt die Hermitizit¨at von σ , da die Ausdr¨ucke σ ( a + i j b, a + i j b ) nichtnegativ und insbesonderereell sind. Anders formuliert gilt σ ( a, b ) = σ ( b, a ) und somit (ii).Die Eigenschaften (iii) und (iv) gelten allgemein f¨ur hermitesche und positiv semidefinite Ses-quilinearformen.Wir wollen ein im letzten Beweis implizit aufgetretenes Argument explizit hervorheben: Ist ϕ positiv, so folgt aus a ≤ b schon ϕ ( a ) ≤ ϕ ( b ), denn ϕ bildet das Element b − a ≥ A ein Einselement enth¨alt, kann man Lemma 3.1.3(ii) pr¨agnanter formulieren, indem man b = 1 setzt. Mithilfe der Konstruktion des approximativen Einselements k¨onnen wir dies aberauch f¨ur beliebige C ∗ -Algebren erreichen. Lemma 3.1.4.
Ist ϕ ein positives Funktional auf A und a ∈ A , so gilt ϕ ( a ∗ ) = ϕ ( a ) . Insbeson-dere ist ϕ ( a ) f¨ur selbstadjungiertes a reell.Beweis. Sei ( u i ) i ∈ I ein approximatives Einselement. Dann gilt ϕ ( a ∗ ) = lim i ∈ I ϕ ( a ∗ u i ) = lim i ∈ I ϕ ( u ∗ i a ) = lim i ∈ I ϕ ( u i a ) = ϕ ( a ) , wobei die erste und letzte Gleichung aus der Beschr¨anktheit von ϕ und die zweite Gleichungaus Lemma 3.1.3(ii) folgt.Auch die folgende Charakterisierung positiver Funktionale baut auf approximativen Einsele-menten auf. Satz 3.1.5.
F¨ur ein beschr¨anktes lineares Funktional ϕ auf A sind die folgenden Aussagen¨aquivalent:(i) ϕ ist positiv.(ii) F¨ur jedes approximative Einselement ( u i ) i ∈ I gilt k ϕ k = lim i ∈ I ϕ ( u i ) . iii) F¨ur ein approximatives Einselement ( u i ) i ∈ I gilt k ϕ k = lim i ∈ I ϕ ( u i ) .Beweis. F¨ur ϕ = 0 gelten trivialerweise alle Bedingungen, sodass wir durch Normieren k ϕ k = 1annehmen k¨onnen. Der Beweis verl¨auft zyklisch:(i) ⇒ (ii): Sei ϕ positiv und ( u i ) i ∈ I ein approximatives Einselement. Das Netz ( ϕ ( u i )) i ∈ I nicht-negativer reeller Zahlen ist monoton wachsend, durch 1 beschr¨ankt und daher gegen sein Supre-mum konvergent, wobei lim i ∈ I ϕ ( u i ) ≤ k ϕ k . F¨ur a ∈ A gilt nach der Cauchy-Schwarz’schenUngleichung, Lemma 3.1.3(iii), | ϕ ( u i a ) | = | ϕ ( u ∗ i a ) | ≤ ϕ ( u i ) / ϕ ( a ∗ a ) / . In ˜ A (bzw. in A , wenn A ein Einselement enth¨alt) gilt u i ≤ k u i k ≤ u i = (cid:16) u / i (cid:17) ∗ u i u / i ≤ (cid:16) u / i (cid:17) ∗ u / i = u i folgt. Nach Bemerkung 2.1.12 gilt die Ungleichung u i ≤ u i auch in A . Daraus folgt ϕ ( u i ) / ≤ ϕ ( u i ) / , sodass sich | ϕ ( u i a ) | ≤ ϕ ( u i ) / ϕ ( a ∗ a ) / ≤ sup j ∈ I ϕ ( u j ) ! / k ϕ k / | {z } =1 k a ∗ a k / = (cid:18) lim j ∈ I ϕ ( u j ) (cid:19) / k a k ergibt. Bilden wir in dieser Ungleichung den Grenzwert i ∈ I , so schließen wir auf | ϕ ( a ) | ≤ (lim j ∈ I ϕ ( u j )) / k a k und erhalten wegen der Beliebigkeit von a die Absch¨atzung 1 = k ϕ k ≤ (lim j ∈ I ϕ ( u j )) / . Somit ist (ii) gezeigt.(ii) ⇒ (iii) folgt unmittelbar, wenn man beachtet, dass nach Satz 2.1.15 ¨uberhaupt approxima-tive Einselemente existieren.(iii) ⇒ (i): Zun¨achst zeigen wir, dass ϕ ( a ) f¨ur a ∈ A sa reell ist. Angenommen, es gilt ϕ ( a ) = α + iβ mit β = 0, wobei wir durch etwaiges ¨Ubergehen zu − a sicher β < k a k ≤ n ∈ N und j ∈ I berechnen wir k a − inu j k = k ( a − inu j ) ∗ ( a − inu j ) k = (cid:13)(cid:13) a + n u j − in ( au j − u j a ) (cid:13)(cid:13) ≤ (cid:13)(cid:13) a + n u j (cid:13)(cid:13) + n k au j − u j a k ≤ n + n k au j − u j a k , sodass wir wegen k ϕ k = 1 auf | ϕ ( a − inu j ) | ≤ n + n k au j − u j a k schließen. Bilden wirden Grenzwert j ∈ I , so folgt ϕ ( a − inu j ) → ϕ ( a ) − in = α + i ( β − n ) wegen der Voraussetzung(iii). Nach Definition eines approximativen Einselements gilt weiters k au j − u j a k →
0, sodasswir aus obiger Ungleichung α + β − nβ + n = | α + i ( β − n ) | ≤ n bzw. − nβ ≤ − α − β erhalten. Wegen β < n nach oben unbeschr¨ankt,was zu einem Widerspruch f¨uhrt. Also gilt tats¨achlich ϕ ( a ) ∈ R . F¨ur die Positivit¨at von ϕ sei a positiv, wobei wir k a k ≤ u j − a selbstadjungiert ist, folgt ϕ ( u j − a ) ∈ R . Lemma 2.1.13(v) liefert k u j − a k ≤
1, womit wir ϕ ( u j − a ) ≤ | ϕ ( u j − a ) | ≤ k ϕ k und nach dem Grenz¨ubergang j ∈ I schließlich k ϕ k − ϕ ( a ) ≤ k ϕ k bzw. ϕ ( a ) ≥ Korollar 3.1.6.
Hat A ein Einselement, so ist ein beschr¨anktes lineares Funktional ϕ genaudann positiv, wenn ϕ (1) = k ϕ k . eweis. Das konstante Netz u i := 1, i ∈ I ist f¨ur eine beliebige gerichtete Menge I ein appro-ximatives Einselement, sodass die Aussage aus Satz 3.1.5 folgt.Das n¨achste Lemma enth¨alt eine der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung stark ¨ahnelnde Bedin-gung, die wir sp¨ater ben¨otigen werden. Lemma 3.1.7.
Sei ϕ : A → C ein positives Funktional.(i) Ist c ∈ A , so gilt ϕ ( c ∗ c ) = 0 genau dann, wenn ϕ ( dc ) = 0 f¨ur alle d ∈ A ist.(ii) F¨ur beliebige a, b ∈ A gilt ≤ ϕ ( b ∗ a ∗ ab ) ≤ k a ∗ a k ϕ ( b ∗ b ) .Beweis. (i) Wegen der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung | ϕ ( b ∗ a ) | ≤ ϕ ( a ∗ a ) / ϕ ( b ∗ b ) / mit a = c und b = d ∗ folgt aus ϕ ( c ∗ c ) = 0 schon ϕ ( dc ) = 0 f¨ur alle d ∈ A . Die Umkehrung ist trivial.(ii) Die erste Ungleichung folgt aus b ∗ a ∗ ab = ( ab ) ∗ ( ab ) ≥
0. Die zweite Ungleichung ist nach(i) angewandt auf c = b und d = b ∗ a ∗ a trivial, wenn ϕ ( b ∗ b ) = 0 ist. Ansonsten ist ψ : ( A → C c ϕ ( b ∗ cb ) ϕ ( b ∗ b ) ein wohldefiniertes lineares Funktional, das offensichtlich positiv und nach Lemma 3.1.3(i)beschr¨ankt ist. W¨ahlt man ein approximatives Einselement ( u i ) i ∈ I , so liefert Satz 3.1.5 k ψ k = lim i ∈ I ψ ( u i ) = lim i ∈ I ϕ ( b ∗ u i b ) ϕ ( b ∗ b ) = ϕ ( b ∗ b ) ϕ ( b ∗ b ) = 1 . Daraus folgt die gew¨unschte Ungleichung ϕ ( b ∗ a ∗ ab ) = ψ ( a ∗ a ) ϕ ( b ∗ b ) ≤ k a ∗ a k ϕ ( b ∗ b ).Der folgende Satz zeigt, dass es ausreichend viele positive Funktionale gibt, um sie zu Struk-turanalysen heranziehen zu k¨onnen. Satz 3.1.8.
Sei a = 0 ein normales Element von A . Dann gibt es einen Zustand ϕ auf A mit | ϕ ( a ) | = k a k 6 = 0 . Insbesondere existieren auf A Zust¨ande, wenn A nichttrivial ist.Beweis. Wir betrachten die von a in ˜ A erzeugte C ∗ -Unteralgebra mit Eins, B := C ∗ ˜ A ( a, B kommutativ und der Gelfandraum M von B kompakt. Da die Gelfandtransformierte ˆ a stetig ist, folgt k a k = k ˆ a k ∞ = sup m ∈ M | ˆ a ( m ) | = max m ∈ M | ˆ a ( m ) | . Es gibt also ein multiplikatives Funktional m mit k a k = | ˆ a ( m ) | = | m ( a ) | . Nach dem Satzvon Hahn-Banach existiert eine lineare Fortsetzung f auf ˜ A mit k f k = k m k = 1. Wegen f (1) = m (1) = 1 = k f k folgt aus Korollar 3.1.6 die Positivit¨at von f . Bezeichnen wir dieEinschr¨ankung von f auf A mit ϕ , so gilt k ϕ k ≤ k f k = 1 und k a k = | m ( a ) | = | ϕ ( a ) | ≤ k ϕ k k a k ,sodass wir insgesamt k ϕ k = 1 erhalten. Das Funktional ϕ ist positiv, da ein positives Elementvon A nach Bemerkung 2.1.12(iii) auch in ˜ A positiv ist. Somit ist ϕ ein normiertes, positivesFunktional, also ein Zustand.F¨ur die Zusatzbehauptung sei a ∈ A , a = 0. Dann ist a ∗ a insbesondere normal mit k a ∗ a k = k a k = 0. Nach dem oben Bewiesenen gibt es einen Zustand ϕ mit | ϕ ( a ∗ a ) | = k a ∗ a k .38 .2 Der Satz von Gelfand-Naimark Um das Wechselspiel zwischen C ∗ -Algebren und R¨aumen der Form L b ( H ) analysieren zu k¨on-nen, f¨uhren wir einen Begriff ein. Definition 3.2.1.
Ein ∗ -Algebrenhomomorphismus Φ : A → L b ( H ) heißt Darstellung . Ist Φinjektiv, so nennen wir die Darstellung treu .Zun¨achst zeigen wir (unter anderem), dass eine treue Darstellung Φ ein isometrischer ∗ -Alge-brenisomorphismus auf ran Φ ist. Man beachte, dass dies nicht durch Anwendung der klassi-schen Tatsache [2, Satz 1.5.4] folgt, dass Isomorphismen zwischen C ∗ -Algebren automatischisometrisch sind, denn es w¨are zun¨achst auf andere Weise zu zeigen, dass ran Φ f¨ur sich eine C ∗ -Algebra ist.Ein korrektes Argument macht Gebrauch vom Funktionalkalk¨ul in C ∗ -Algebren mit Einsele-ment. Bemerkung . Wir erinnern an die Definition und einige Eigenschaften des Funktional-kalk¨uls; vgl. [2, Satz 1.5.13]. Ist A eine kommutative C ∗ -Algebra mit Einselement, a ∈ A und f eine stetige Funktion auf σ ( a ), so ist f ( a ) das eindeutige Element von A mit m ( f ( a )) = f ( m ( a ))f¨ur alle multiplikativen Funktionale m auf A . Ist A nicht kommutativ, kann man f ( a ) immernoch definieren, wenn a normal ist, indem man zu der von a in A erzeugten C ∗ -Unteralgebra mitEinselement ¨ubergeht, also zu C ∗ ( a, C ∗ -Algebra liegt f ( a ) f¨ur jedeFunktion f ∈ C ( σ ( a )). Insbesondere kommutieren alle f ( a ) miteinander. Außerdem ist die Funk-tion f f ( a ) ein C ∗ -Algebrenisomorphismus von C ( σ ( a )) nach C ∗ ( a,
1) und daher nach dembekannten Resultat isometrisch, also gilt k f ( a ) k = k f k ∞ . F¨ur ein Polynom p ( x ) = P ni =0 c i x i stimmt dabei p ( a ) mit P ni =0 c i a i ¨uberein.F¨ur den sp¨ateren Gebrauch behandeln wir an dieser Stelle noch den Fall, dass A kein Einsele-ment enth¨alt. In dieser Situation ist der Funktionalkalk¨ul ¨uber die C ∗ -Algebra ˜ A definiert: F¨urein normales Element a ∈ A und eine stetige Funktion f auf σ A ( a ) = σ ˜ A ( a ) ist a auch in ˜ A normal. Somit k¨onnen wir den obigen Funktionalkalk¨ul in ˜ A bzw. genauer in C ∗ ˜ A ( a,
1) verwen-den, um das Element f ( a ) ∈ ˜ A zu erhalten. Es stellt sich die Frage, wann f ( a ) in A enthaltenist. Als Motivation betrachten wir ein Polynom p ( x ) = P ni =0 c i x i . Aus p ( a ) = n X i =0 c i a i = n X i =1 c i a i , c ! folgt, dass p ( a ) ∈ A zum Verschwinden des konstanten Koeffizienten c ¨aquivalent ist, also zu p (0) = 0. Dieselbe Aussage stimmt f¨ur allgemeine Funktionen f : Wir verwenden das multipli-kative Funktional m ′ : ˜ A → C , m ′ (( b, λ )) := λ . Ein Element ( b, λ ) ∈ ˜ A ist genau dann in A enthalten, wenn m ′ (( b, λ )) = 0 gilt. Wegen m ′ ( f ( a )) = f ( m ′ ( a )) = f (0)ist also f ( a ) ∈ A zu f (0) = 0 ¨aquivalent. Satz 3.2.3.
Ist B eine weitere C ∗ -Algebra, so ist ein injektiver ∗ -Algebrenhomomorphismus Φ : A → B isometrisch. Insbesondere ist ran Φ eine C ∗ -Unteralgebra von B und Φ : A → ran Φ ein isometrischer ∗ -Algebrenisomorphismus. Siehe auch den Beweis von Satz 2.1.2. eweis. Als Erstes sei angenommen, dass A und B kommutative C ∗ -Algebren mit Einselementsind, wobei wir noch Φ(1 A ) = 1 B fordern. F¨ur λ / ∈ σ A ( a ) identifiziert man Φ(( a − λ A ) − ) leichtals Inverse von Φ( a ) − λ B . Daraus folgt λ / ∈ σ B (Φ( a )) und somit σ B (Φ( a )) ⊆ σ A ( a ) . Unter der (bisher noch nicht verwendeten) Voraussetzung der Injektivit¨at gilt hier sogar Gleich-heit. W¨are dies n¨amlich nicht der Fall und λ ∈ σ A ( a ) \ σ B (Φ( a )), so g¨abe es nach dem Lemmavon Urysohn eine stetige Funktion f : σ A ( a ) → [0 ,
1] mit f ( λ ) = 1 und f (cid:0) σ B (Φ( a )) (cid:1) ⊆ { } .Ist m ein multiplikatives Funktional auf B , so ist m ◦ Φ ein solches auf A , sodass wir mit demFunktionalkalk¨ul in Am (Φ( f ( a ))) = ( m ◦ Φ)( f ( a )) = f (cid:0) ( m ◦ Φ)( a ) (cid:1) = f (cid:0) m (Φ( a )) | {z } ∈ σ B (Φ( a )) (cid:1) = 0erhalten. Damit ist die Gelfandtransformierte von Φ( f ( a )) die Nullfunktion, was uns wegender Injektivit¨at von ˆ . und Φ auf f ( a ) = 0 schließen l¨asst. Wir erhalten den Widerspruch 0 = k f ( a ) k = k f k ∞ = 1 und haben somit σ B (Φ( a )) = σ A ( a ) und infolge r B (Φ( a )) = r A ( a ) gezeigt.Diese Tatsache angewandt auf a ∗ a f¨ur beliebiges a ∈ A liefert die Isometrieeigenschaft: k a k = k a ∗ a k / = r A ( a ∗ a ) / = r B (Φ( a ∗ a )) / = r B (Φ( a ) ∗ Φ( a )) / = k Φ( a ) ∗ Φ( a ) k / = k Φ( a ) k Jetzt nehmen wir weiterhin an, dass A und B kommutativ sind, lassen aber die Forderung nachder Existenz eines Einselements weg. Wir betrachten die C ∗ -Algebren mit Einselement ˜ A und ˜ B und setzen Φ gem¨aß ( a, λ ) (Φ( a ) , λ ) zu einem ∗ -Homomorphismus e Φ fort. Diese Fortsetzungist ebenfalls injektiv und bildet 1 ˜ A = (0 A ,
1) auf 1 ˜ B = (0 B ,
1) ab. Nach dem ersten Teil ist e Φisometrisch, also gilt k a k = k ( a, k ˜ A = (cid:13)(cid:13)(cid:13)e Φ(( a, (cid:13)(cid:13)(cid:13) ˜ B = k (Φ( a ) , k ˜ B = k Φ( a ) k . Um den allgemeinen Fall zu beweisen, beschr¨anken wir uns zun¨achst auf a ∈ A sa . Klarerweiseist dann Φ( a ) ∈ B sa . Wir betrachten C ∗ A ( a ) sowie C ∗ B (Φ( a )). Das Urbild Φ − (cid:0) C ∗ B (Φ( a )) (cid:1) isteine a enthaltende ∗ -Unteralgebra von A . Da Φ als ∗ -Homomorphismus zwischen C ∗ -Algebrenbeschr¨ankt ist, ist Φ − (cid:0) C ∗ B (Φ( a )) (cid:1) auch abgeschlossen, also eine C ∗ -Unteralgebra von A . Darausfolgt C ∗ A ( a ) ⊆ Φ − (cid:0) C ∗ B (Φ( a )) (cid:1) bzw. Φ( C ∗ A ( a )) ⊆ C ∗ B (Φ( b )) . Wir k¨onnen also den offenbar injektiven ∗ -Homomorphismus Φ | C ∗ A ( a ) : C ∗ A ( a ) → C ∗ B (Φ( b ))zwischen kommutativen C ∗ -Algebren betrachten, der nach dem schon Bewiesenen isometrischist. Wir erhalten k a k = (cid:13)(cid:13)(cid:13) Φ | C ∗ A ( a ) ( a ) (cid:13)(cid:13)(cid:13) = k Φ( a ) k . Ist schließlich a ∈ A beliebig, so ergibt sich k a k = k a ∗ a k / = k Φ( a ∗ a ) k / = k Φ( a ) ∗ Φ( a ) k / = k Φ( a ) k . Nun ist die Hauptarbeit getan, denn als isometrisches Bild des vollst¨andigen Raums A istauch ran Φ vollst¨andig und daher abgeschlossen. Dass Φ : A → ran Φ ein isometrischer ∗ -Algebrenisomorphismus ist, ist nur eine Umformulierung bereits bewiesener Tatsachen.Um die eingangs behauptete isometrische ∗ -Algebrenisomorphie von A und einer Unteralgebravon L b ( H ) zu zeigen, reicht es nach Satz 3.2.3, eine treue Darstellung zu konstruieren.40un¨achst induziert jedes positive Funktional ϕ auf A eine Darstellung: Definiert man N ϕ alsden isotropen Anteil der Sesquilinearform ( a, b ) ϕ ( b ∗ a ), also N ϕ = { a ∈ A : ϕ ( a ∗ a ) = 0 } , sofolgt aus Lemma 3.1.7(i) N ϕ = { a ∈ A : ϕ ( b ∗ a ) = 0 f¨ur alle b ∈ A } , (3.2.1)womit N ϕ ein Unterraum ist. Nach Lemma 3.1.7(ii) mit vertauschten Rollen von a und b folgtaus a ∈ N ϕ und b ∈ A schon ba ∈ N ϕ , sodass der isotrope Anteil ein Linksideal ist. Damit ist( ., . ) A/N ϕ : ( ( A/N ϕ ) → C ( a + N ϕ , b + N ϕ ) ϕ ( b ∗ a ) (3.2.2)eine wohldefinierte und positiv semidefinite Sesquilinearform. Nach Konstruktion ist ( ., . ) A/N ϕ sogar positiv definit. Somit ist A/N ϕ ein Pr¨ahilbertraum, der bekanntlich eine Hilbertraumver-vollst¨andigung H ϕ hat. Da N ϕ ein Linksideal ist, ist f¨ur jedes a ∈ A die AbbildungΦ ϕ ( a ) : ( A/N ϕ → A/N ϕ b + N ϕ ab + N ϕ wohldefiniert. Klarerweise ist Φ ϕ ( a ) linear und es gilt nach Lemma 3.1.7(ii) k ab + N ϕ k A/N ϕ = ϕ ( b ∗ a ∗ ab ) ≤ k a ∗ a k ϕ ( b ∗ b ) = k a k k b + N ϕ k N ϕ . Damit ist Φ ϕ ( a ) auch beschr¨ankt mit k Φ ϕ ( a ) k ≤ k a k . Folglich existiert eine eindeutige be-schr¨ankte Fortsetzung auf H ϕ , die wir ebenfalls mit Φ ϕ ( a ) bezeichnen. Es bleibt nachzupr¨ufen,dass Φ ϕ : A → L b ( H ϕ ) tats¨achlich ein ∗ -Homomorphismus ist. Da man die jeweiligen Bedin-gungen wegen der Stetigkeit immer nur f¨ur Elemente der dichten Teilmenge A/N ϕ ⊆ H ϕ pr¨ufenmuss, sind die Linearit¨at und die Multiplikativit¨at klar. Die Vertr¨aglichkeit mit . ∗ folgt aus (cid:0) c + N ϕ , Φ ϕ ( a )( b + N ϕ ) (cid:1) H ϕ = ( c + N ϕ , ab + N ϕ ) H ϕ = ( c + N ϕ , ab + N ϕ ) A/N ϕ = ϕ (( ab ) ∗ c ) = ϕ ( b ∗ ( a ∗ c ))= ( a ∗ c + N ϕ , b + N ϕ ) A/N ϕ = (cid:0) Φ ϕ ( a ∗ )( c + N ϕ ) , b + N ϕ (cid:1) A/N ϕ . Wir fassen unsere Ergebnisse zusammen.
Lemma 3.2.4.
Ist ϕ ein positives Funktional auf A und N ϕ = { a ∈ A : ϕ ( a ∗ a ) = 0 } das zuge-ordnete Linksideal, so ist die in (3.2.2) definierte Sesquilinearform positiv definit. Bezeichnetman die Hilbertraumvervollst¨andigung von A/N ϕ mit H ϕ , dann ist Φ ϕ : A → L b ( H ϕ ) eine Dar-stellung, wobei Φ ϕ ( a ) die stetige Fortsetzung des Operators b + N ϕ ab + N ϕ auf H ϕ ist. DieseDarstellung wird die von ϕ induzierte GNS -Darstellung genannt. Nun k¨onnen wir die gesuchte treue Darstellung von A angeben. Dazu betrachten wir die GNS-Darstellung Φ ϕ : A → L b ( H ϕ ) f¨ur jeden Zustand ϕ ∈ S ( A ) und die direkte Summe H := L ϕ ∈S ( A ) H ϕ . Der OperatorΦ( a ) : ( H → H ( x ϕ ) ϕ ∈S ( A ) (Φ ϕ ( a ) x ϕ ) ϕ ∈S ( A ) (3.2.3)bildet tats¨achlich nach H ab, da Φ ϕ als ∗ -Homomorphismus beschr¨ankt mit k Φ ϕ k ≤ k Φ ϕ ( a ) x ϕ k H ϕ ≤ k a k k x ϕ k H ϕ und aus der Quadratsummierbarkeit von (cid:16) k x ϕ k H ϕ (cid:17) ϕ ∈S ( A ) Die Abk¨urzung steht f¨ur Gelfand, Naimark und Segal. (cid:16) k Φ ϕ ( a ) x ϕ k H ϕ (cid:17) ϕ ∈S ( A ) . Direktes Nachrechnenzeigt, dass Φ : A → L b ( H ) eine Darstellung ist. Man spricht von der universellen Darstellung .Damit l¨asst sich der Satz von Gelfand-Naimark in folgender Form formulieren: Satz 3.2.5 (Gelfand-Naimark) . Die universelle Darstellung Φ von A ist treu. Insbesondere ist A isometrisch isomorph zu einer C ∗ -Unteralgebra von L b ( H ) f¨ur einen geeigneten Hilbertraum H .Beweis. W¨are Φ nicht treu, so g¨abe es ein a ∈ A mit a = 0 und Φ( a ) = 0, also Φ ϕ ( a ) = 0f¨ur alle ϕ ∈ S ( A ). Da mit Φ( a ) klarerweise auch Φ( a ∗ a ) = Φ( a ) ∗ Φ( a ) der Nulloperator ist,k¨onnen wir durch etwaigen ¨Ubergang zu a ∗ a annehmen, dass a positiv ist. Nach Satz 3.1.8 gibtes einen Zustand ϕ ∈ S ( A ) mit ϕ ( a ) = k a k . Gem¨aß Satz 2.1.2 existiert b := a / = ( a / ) / .Das Element Φ ϕ ( b ) ist positiv, denn mit c = b / gilt Φ ϕ ( b ) = Φ ϕ ( c ) ∗ Φ ϕ ( c ). Außerdem folgt (cid:0) Φ ϕ ( b ) (cid:1) = Φ ϕ ( b ) = Φ ϕ ( a ) = 0 und wegen der Eindeutigkeit der positiven QuadratwurzelΦ ϕ ( b ) = 0. Mit demselben Argument ergibt sich Φ ϕ ( b ) = 0. Daraus folgt der Widerspruch k a k = ϕ ( a ) = ϕ (cid:0) b (cid:1) = ϕ (cid:16)(cid:0) b (cid:1) ∗ b (cid:17) = (cid:0) b + N ϕ , b + N ϕ (cid:1) H ϕ = (cid:13)(cid:13) b + N ϕ (cid:13)(cid:13) H ϕ = k Φ ϕ ( b )( b + N ϕ ) k H ϕ = 0 . Somit ist Φ treu.Der Rest des Satzes folgt aus Satz 3.2.3.
Bemerkung . Abschließend sei noch bemerkt, dass A in die Konstruktion der universellenDarstellung auf zwei verschiedene Arten eingeht: Einerseits bauen Tupel von ¨Aquivalenzklassenden Hilbertraum H auf, andererseits – diese Sichtweise stellt f¨ur den Satz von Gelfand-Naimarkdas Hauptinteresse dar – wirkt A verm¨oge Φ auf dem Hilbertraum H .42 apitel 4 Topologien auf L b ( H ) undVon-Neumann-Algebren Im Mittelpunkt dieses Kapitels steht der Raum L b ( H ) von Operatoren auf einem gegebenenHilbertraum H . Von großem Interesse sollen insbesondere mehrere kanonische Topologien sein,mit denen man L b ( H ) versehen kann. Darauf aufbauend stellt sich auch die Frage, unter welchenBedingungen die Abgeschlossenheit einer Teilmenge bez¨uglich all dieser Topologien ¨aquivalentist. Wir beginnen mit der Definition der Topologien. Dazu sei daran erinnert, dass eine separierende
Menge P von Seminormen auf einem Vektorraum X eine lokalkonvexe Vektorraum-Topologieauf X induziert. Die Konvergenz eines Netzes ( x i ) i ∈ I gegen einen Vektor x ∈ X l¨asst sich dabeicharakterisieren durch lim i ∈ I x i = x ⇔ lim i ∈ I p ( x i − x ) = 0 f¨ur alle p ∈ P. (4.1.1) Definition 4.1.1. (i) Die von P s := { ( T
7→ k
T x k ) : x ∈ H } auf L b ( H ) induzierte Topologie wird starke Opera-tortopologie genannt und mit T s bezeichnet.(ii) Die von P w := { ( T
7→ | ( T x, y ) | ) : x, y ∈ H } auf L b ( H ) induzierte Topologie wird schwacheOperatortopologie genannt und mit T w bezeichnet.(iii) Die von P uw := (cid:8) ( T
7→ | tr( ST ) | ) : S ∈ L ( H ) (cid:9) auf L b ( H ) induzierte Topologie wird ul-traschwache Operatortopologie genannt und mit T uw bezeichnet.Nach (4.1.1) bedeutet T i → T bez¨uglich T s genau ( T i − T ) x → x ∈ H und T i → T bez¨uglich T w genau (( T i − T ) x, y ) → x, y ∈ H . Somit ist T s die Topologie derpunktweisen Konvergenz und T w die Topologie der punktweise schwachen Konvergenz in H .Der n¨achste Satz fasst einige einfache Aussagen ¨uber diese Topologien zusammen. Satz 4.1.2. (i) Die Mengen P s , P w , P uw sind jeweils separierend. Damit bildet L b ( H ) mit jeder der dreiTopologien T s , T w , T uw tats¨achlich einen lokalkonvexen topologischen Vektorraum. Das bedeutet nach Definition, dass p ( x ) = 0 f¨ur alle p ∈ P schon x = 0 impliziert. ii) Mit der Bezeichnung T ( k·k ) f¨ur die von der Abbildungsnorm induzierte Topologie ist T w die gr¨obste und T ( k·k ) die feinste der hier diskutierten Topologien. Insbesondere gilt T w ⊆T uw .Bemerkung . Es sei explizit darauf hingewiesen, dass die leider ¨ubliche Bezeichnung ultra-schwache Operatortopologie irref¨uhrend ist, da sie tats¨achlich feiner und damit st¨arker als dieschwache Operatortopologie ist.
Beweis von Satz 4.1.2. (i) Aus k T x k = 0 f¨ur alle x ∈ H folgt offenbar T = 0, womit P s als separierend nachgewiesenist. F¨ur P w ist die ¨Uberlegung ebenso einfach: Die Forderung | ( T x, y ) | = 0 f¨ur alle x, y ∈ H bedingt in einem ersten Schritt T x = 0 f¨ur alle x ∈ H und folglich T = 0. F¨ur P uw gen¨ugtes, P uw ⊇ P w zu zeigen. Dazu definieren wir einen Operator S x,y durch S x,y a := ( a, y ) x ,wobei x, y ∈ H beliebig sind. Man rechnet unmittelbar nach, dass S ∗ x,y b = ( b, x ) y = S y,x b gilt, womit wir S ∗ x,y S x,y a = ( a, y )( x, x ) y = k x k ( a, y ) y = k x k S y,y a (4.1.2)erhalten. Da man x = 0 w¨ahlen kann, schließen wir mit Satz 2.1.7(iii) insbesondere, dassder Operator S y,y f¨ur y ∈ H positiv ist. Wegen S ∗ y,y = S y,y folgt aus (4.1.2) f¨ur x = y die Gleichung S y,y = k y k S y,y . Sind x, y = 0, so erhalten wir (cid:16) k x kk y k S y,y (cid:17) = k x k S y,y = S ∗ x,y S x,y , also | S x,y | = k x kk y k S y,y . Erweitert man k y k y zu einer Orthonormalbasis E von H ,ergibt sich X e ∈ E ( | S x,y | ( e ) , e ) ( ∗ ) = k x kk y k (cid:18) S y,y k y k y, k y k y (cid:19) = k x kk y k (cid:18) k y k y, k y k y (cid:19) = k x k k y k < + ∞ , womit S x,y ∈ L ( H ) ist. Die Gleichheit ( ∗ ) folgt dabei daraus, dass S y,y nach span y abbildet und daher die Summanden f¨ur e ∈ E \ { k y k y } wegfallen. F¨ur x, y = 0 und eineOrthonormalbasis E , die k x k x erweitert, rechnen wirtr( S x,y T ) = X e ∈ E ( S x,y T e, e ) ( ∗∗ ) = (cid:18) S x,y T (cid:18) k x k x (cid:19) , k x k x (cid:19) = (cid:18) T (cid:18) k x k x (cid:19) , y (cid:19) (cid:18) x, k x k x (cid:19) = ( T x, y ) , (4.1.3)wobei die Gleichheit ( ∗∗ ) analog zu ( ∗ ) aus ran S x,y ≤ span x folgt. F¨ur x = 0 oder y = 0gilt klarerweise tr( S x,y T ) = 0 = ( T x, y ). Damit ist P uw ⊇ P w nachgewiesen.(ii) F¨ur Topologien T , T auf einer Menge M gilt T ⊆ T genau dann, wenn jedes bez¨uglich T gegen ein m ∈ M konvergente Netz ( m i ) i ∈ I auch bez¨uglich T gegen m konvergiert.Wegen | (( T i − T ) x, y ) | ≤ k ( T i − T ) x k k y k und k ( T i − T ) x k ≤ k T i − T k k x k k¨onnen wirnach (4.1.1) auf T w ⊆ T s ⊆ T ( k·k ) schließen. Die aus Gleichung (4.1.3) folgende Inklusi-on der induzierenden Seminormen liefert T w ⊆ T uw . Schließlich ergibt sich T uw ⊆ T ( k·k )ebenfalls aus (4.1.1), wenn wir tr( S ( T i − T )) ≤ k S k k T i − T k ber¨ucksichtigen; siehe Lem-ma 1.3.10(i) und (1.3.4).Entscheidend f¨ur den weiteren Verlauf dieser Arbeit wird der n¨achste Satz sein.44 atz 4.1.4. Der Raum L b ( H ) versehen mit T uw ist linear hom¨oomorph zu L ( H ) ′ versehen mitder schwach-*-Topologie σ ( L ( H ) ′ , L ( H )) . Ein linearer Hom¨oomorphismus ist dabei gegebendurch die kanonische Abbildung θ : ( L b ( H ) → L ( H ) ′ T tr( .T ) aus Satz 1.3.12(iii).Beweis. Es ist nur mehr nachzupr¨ufen, dass θ und θ − stetig sind. Dazu verwenden wir dieGrenzwertcharakterisierung der Stetigkeit und zeigen T j T uw −−→ T ⇔ θ ( T j ) σ ( L ( H ) ′ ,L ( H )) −−−−−−−−−−→ θ ( T ) . Mit der Bezeichung T C f¨ur die euklidische Topologie auf C ergibt sich das aus der folgenden¨Aquivalenzenkette: T j T uw −−→ T ⇔ ∀ S ∈ L ( H ) : | tr( S ( T j − T )) | T C −→ ⇔ ∀ S ∈ L ( H ) : tr( S ( T j − T )) T C −→ ⇔ ∀ S ∈ L ( H ) : h S, θ ( T j − T ) i T C −→ ⇔ θ ( T j − T ) σ ( L ( H ) ′ ,L ( H )) −−−−−−−−−−→ ⇔ θ ( T j ) σ ( L ( H ) ′ ,L ( H )) −−−−−−−−−−→ θ ( T ) (4.1.4)Auf beschr¨ankten Mengen fallen die schwache und die ultraschwache Topologie zusammen: Korollar 4.1.5. (i) Die Einheitskugel S von L b ( H ) ist T uw -kompakt.(ii) F¨ur jedes r > , insbesondere f¨ur r = 1 , sind die Spurtopologien ( T uw ) | rS und ( T w ) | rS gleich. Insbesondere ist rS auch bez¨uglich der schwachen Operatortopologie kompakt.(iii) Ist M ⊆ L b ( H ) eine k·k -beschr¨ankte Menge, so stimmen die Spurtopologien ( T uw ) | M und ( T w ) | M ¨uberein.Beweis. (i) Da θ − isometrisch ist, gilt θ − ( S L ( H ) ′ ) = S . Nach dem Satz von Banach-Alaoglu ist dieEinheitskugel in L ( H ) ′ schwach-*-kompakt, sodass die Aussage aus Satz 4.1.4 folgt.(ii) Da T uw feiner als T w ist, ist die Identit¨at eine stetige und bijektive Abbildung vom kom-pakten topologischen Raum ( rS, ( T uw ) | rS ) in den Hausdorffraum ( rS, ( T w ) | rS ) und damitein Hom¨oomorphismus.(iii) Sei M beschr¨ankt durch r >
0, d. h. M ⊆ rS .Schr¨anken wir den Hom¨oomorphismus id rS : ( rS, ( T uw ) | rS ) → ( rS, ( T w ) | rS ) aus (ii) auf M ein, so erhalten wir, dass die Identit¨at auf M ein Hom¨oomorphismus zwischen denSpurtopologien von T uw und T w ist. Das bedeutet, dass es eine lineare und in beide Richtungen stetige Bijektion gibt. L b ( H ) bez¨uglich welcher der hier betrachteten Topologien stetigsind. Genauer soll es um die Adjungiertenbildung . ∗ und die Multiplikation von Operatorengehen, wobei wir uns nur f¨ur den Fall eines unendlichdimensionalen Hilbertraums H interessie-ren . Dabei werden wir sehen, dass die Multiplikation ( S, T ) ST einzig f¨ur die Normtopologiesimultan stetig ist, sodass wir zus¨atzlich separate Stetigkeit betrachten. Mit anderen Wortenanalysieren wir die Stetigkeit der Translationen T ST bzw. S ST bei festgehaltenenOperatoren S bzw. T . Satz 4.1.6.
F¨ur einen unendlichdimensionalen Hilbertraum H gelten folgende Stetigkeitsaus-sagen:(i) Bez¨uglich der Normtopologie T ( k·k ) sind(a) die Adjungiertenbildung . ∗ : T T ∗ stetig ,(b) die Multiplikation ( S, T ) ST stetig ,(c) die Translationen T ST bzw. S ST f¨ur feste Operatoren S ∈ L b ( H ) bzw. T ∈ L b ( H ) stetig .(ii) Bez¨uglich der starken Operatortopologie T s sind(a) die Adjungiertenbildung . ∗ : T T ∗ nicht stetig ,(b) die Multiplikation ( S, T ) ST nicht stetig ,(c) die Translationen T ST bzw. S ST f¨ur feste Operatoren S ∈ L b ( H ) bzw. T ∈ L b ( H ) stetig .(iii) Bez¨uglich der schwachen Operatortopologie T w sind(a) die Adjungiertenbildung . ∗ : T T ∗ stetig ,(b) die Multiplikation ( S, T ) ST nicht stetig ,(c) die Translationen T ST bzw. S ST f¨ur feste Operatoren S ∈ L b ( H ) bzw. T ∈ L b ( H ) stetig .(iv) Bez¨uglich der ultraschwachen Operatortopologie T uw sind(a) die Adjungiertenbildung . ∗ : T T ∗ stetig ,(b) die Multiplikation ( S, T ) ST nicht stetig ,(c) die Translationen T ST bzw. S ST f¨ur feste Operatoren S ∈ L b ( H ) bzw. T ∈ L b ( H ) stetig .Beweis. Im gesamten Beweis sei { e n : n ∈ N } ein abz¨ahlbar unendliches Orthonormalsystem in H .(i) Der Beweis ist hinl¨anglich bekannt. Bei endlicher Dimension sind alle betrachteten Abbildungen stetig. S e ,e n . Wegen S e ,e n x = ( x, e n ) e gilt k S e ,e n x k = | ( x, e n ) | →
0, da( | ( x, e n ) | ) n ∈ N sogar quadratsummierbar ist. Daher konvergiert S e ,e n bez¨uglich derstarken Operatortopologie gegen den Nulloperator. F¨ur den adjungierten Operatorgilt dies aber nicht, weil wegen S ∗ e ,e n = S e n ,e der Ausdruck (cid:13)(cid:13) S ∗ e ,e n e (cid:13)(cid:13) = ( e , e ) = 1nicht gegen 0 konvergiert.(b) Sei V der linksseitige Shiftoperator auf dem Orthonormalsystem { e n : n ∈ N } , also V x := X n ∈ N ( x, e n +1 ) e n . Bekanntermaßen gilt k V k ≤
1. Aus V m x = X n ∈ N ( x, e n + m ) e n f¨ur beliebiges m ∈ N erhalten wir k V m x k = X n ∈ N | ( x, e n + m ) | = ∞ X n = m +1 | ( x, e n ) | → m → ∞ . Also konvergiert die Folge ( V m ) m ∈ N bez¨uglich der starken Operatortopologie gegenden Nulloperator. F¨ur eine feste nat¨urliche Zahl k konvergiert daher auch ( kV m ) m ∈ N gegen 0.Diese Tatsache verwenden wir, um zwei Netze von Operatoren zu konstruieren, diebeide bez¨uglich T s gegen den Nulloperator konvergieren, f¨ur die das Netz der Pro-dukte aber konstant und ungleich 0 ist.Dazu sei U T s (0) der Nullumgebungsfilter bez¨uglich der starken Operatortopologieund I := (cid:8) ( k, m, U ) ∈ N × N × U T s (0) : kV m ∈ U (cid:9) . Auf I definieren wir die Relation durch( k, m, U ) ( k ′ , m ′ , U ′ ) : ⇔ k ≤ k ′ und U ′ ⊆ U. Die gerade gezeigte Konvergenz impliziert, dass es f¨ur jede Umgebung U ∈ U T s (0)und jede nat¨urliche Zahl k ∈ N ein m ∈ N gibt mit ( k, m, U ) ∈ I .Klarerweise ist eine reflexive und transitive Relation. F¨ur zwei vorgegebene Tripel( k , m , U ) , ( k , m , U ) ∈ I setzen wir U := U ∩ U sowie k := max( k , k ) undw¨ahlen eine nat¨urliche Zahl m mit ( k, m, U ) ∈ I . Dieses Tripel erf¨ullt( k , m , U ) , ( k , m , U ) ( k, m, U ) , womit I eine gerichtete Menge ist.Weiters definieren wir Netze ( S ( k,m,U ) ) ( k,m,U ) ∈ I und ( T ( k,m,U ) ) ( k,m,U ) ∈ I durch S ( k,m,U ) := kV m und T ( k,m,U ) := 1 k ( V ∗ ) m . Man beachte, dass diese Reihe wegen (( x, e n )) n ∈ N ∈ ℓ ( N ) konvergiert. Es w¨urde gen¨ugen, dass der Nulloperator ein H¨aufungspunkt von ( V m ) m ∈ N ist. U ∈ U T s (0) gegeben. W¨ahlen wir die nat¨urliche Zahl m so, dass (1 , m, U ) ∈ I , so gilt f¨ur alle Tripel ( k ′ , m ′ , U ′ ) < (1 , m, U ) S ( k ′ ,m ′ ,U ′ ) = k ′ V m ′ ∈ U ′ ⊆ U. F¨ur das zweite Netz k¨onnen wir sogar Konvergenz bez¨uglich der Abbildungsnormzeigen. Dazu sei ǫ > k ∈ N mit 1 /k < ǫ . Es gilt ( k, , L b ( H )) ∈ I und f¨ur( k ′ , m ′ , U ′ ) < ( k, , L b ( H )) folgt wegen k ( V ∗ ) m k ≤ (cid:13)(cid:13) T ( k ′ ,m ′ ,U ′ ) (cid:13)(cid:13) = 1 k ′ k ( V ∗ ) m k ≤ k ′ ≤ k < ǫ. Da V ∗ der rechtsseitige Shiftoperator auf { e n : n ∈ N } ist, also V ∗ x = X n ∈ N ( x, e n ) e n +1 , ergibt sich ( V ∗ ) m x = X n ∈ N ( x, e n ) e n + m . Man pr¨uft leicht nach, dass dann V m ( V ∗ ) m x = X n ∈ N ( x, e n ) e n = P x gilt, wobei P die Orthogonalprojektion auf span { e n : n ∈ N } bezeichnet. Daraus folgt S ( k,m,U ) T ( k,m,U ) = k k V m ( V ∗ ) m = P. Wie oben angek¨undigt erhalten wir bez¨uglich der starken Operatortopologie S ( k,m,U ) → , T ( k,m,U ) → , S ( k,m,U ) T ( k,m,U ) . Somit ist die Multiplikation nicht stetig.(c) Da die Translationen linear sind, m¨ussen wir nur zeigen, dass sie bei 0 stetig sind.Sei zun¨achst S ∈ L b ( H ) fest und ( T i ) i ∈ I ein bez¨uglich der starken Operatortopologiegegen 0 konvergentes Netz. F¨ur jedes x ∈ H gilt also k T i x k → T i x →
0. Da S beschr¨ankt ist, folgt ST i x → ST i T s −→ S i ) i ∈ I ein gegen 0 konvergentes Netz und T ∈ L b ( H ) fest, so giltwie oben S i x → x ∈ H . Wir setzen speziell x = T y f¨ur y ∈ H und erhalten S i T y → y ∈ H . Daraus folgt S i T T s −→ T i ) i ∈ I ein Netz in L b ( H ), das bez¨uglich der schwachen Operatortopologie gegen T konvergiert. Da . ∗ eine konjugiert lineare Abbildung ist, konvergiert T ∗ i genau danngegen T ∗ , wenn (( T i − T ) ∗ ) i ∈ I = ( T ∗ i − T ∗ ) i ∈ I gegen 0 konvergiert. Somit k¨onnen wirohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit T = 0 annehmen und m¨ussen nur zeigen, dass( T ∗ i ) i ∈ I bez¨uglich T w gegen den Nulloperator konvergiert, wenn ( T i ) i ∈ I es tut. Diesfolgt unmittelbar aus | ( T ∗ i x, y ) | = | ( x, T i y ) | = | ( T i y, x ) | → x, y ∈ H . 48b) Da die starke Operatortopologie feiner als die schwache Operatortopologie ist, kon-vergiert die Folge ( V m ) m ∈ N aus dem Beweis von (ii)(b) auch bez¨uglich T w gegenden Nulloperator. Daher kann man die gleiche Konstruktion mit U T w (0) anstelle von U T s (0) durchf¨uhren, um Netze ( S ( k,m,U ) ) ( k,m,U ) ∈ I und ( T ( k,m,U ) ) ( k,m,U ) ∈ I mit S ( k,m,U ) → , T ( k,m,U ) → , S ( k,m,U ) T ( k,m,U ) S ∈ L b ( H ) fest und ( T i ) i ∈ I ein bez¨uglich der schwachen Operatortopologie gegen0 konvergentes Netz, also | ( T i x, y ) | → x, y ∈ H . Wegen | ( ST i x, y ) | = | ( T i x, S ∗ y ) | → ST i T w −−→ S ST kann man ¨ahnlich f¨uhren; k¨urzer kann mandiese Translation auch als Verkettung von . ∗ und der bereits als stetig nachgewiesenenTranslation schreiben. Aus ST = ( T ∗ S ∗ ) ∗ folgt n¨amlich( S ST ) = . ∗ ◦ ( S T ∗ S ) ◦ . ∗ (4.1.5)(iv) (a) Wie in (iii)(a) k¨onnen wir uns auf ein gegen 0 konvergentes Netz ( T i ) i ∈ I beschr¨anken.Es gelte also | tr( RT i ) | → R ∈ L ( H ). Aus Lem-ma 1.3.10(ii) und Lemma 1.3.11 folgt | tr( RT ∗ i ) | = (cid:12)(cid:12)(cid:12) tr( RT ∗ i ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) . . | tr(( RT ∗ i ) ∗ ) | = | tr( T i R ∗ ) | . . | tr( R ∗ T i ) | → , da R ∗ nach Lemma 1.3.8(ii) ein Spurklasseoperator ist.(b) Auch f¨ur die ultraschwache Operatortopologie funkioniert die Konstruktion aus demBeweis von (ii)(b), wenn wir U T s (0) durch U T uw (0) ersetzen. Wir m¨ussen n¨amlich nurnachweisen, dass die Folge ( V m ) m ∈ N auch bez¨uglich T uw gegen 0 konvergiert. Dieserhalten wir aus Korollar 4.1.5(ii), denn die Operatoren V m sind in S enthalten undkonvergieren bez¨uglich T w gegen 0. Somit konvergieren sie bez¨uglich der Spurtopo-logie ( T w ) | S = ( T uw ) | S und folglich bez¨uglich T uw .(c) Sei wieder S ∈ L b ( H ) fest und ( T i ) i ∈ I ein Netz, das bez¨uglich der ultraschwachenOperatortopologie gegen den Nulloperator konvergiert. Nach Lemma 1.3.8(ii) liegtf¨ur jeden Spurklasseoperator R ∈ L ( H ) auch RS in L ( H ). Daraus folgt | tr( R ( ST i )) | = | tr(( RS ) T i ) | → ST i T uw −−→ S ST folgt analog zu (iii)(c) aus (4.1.5) und demschon Bewiesenen.Mithilfe des letzten Satzes k¨onnen wir auf einen Blick ablesen, dass f¨ur einen unendlichdimen-sionalen Hilbertraum beispielsweise die Normtopologie niemals mit einer der drei Operatorto-pologien zusammenf¨allt. Tats¨achlich gilt: Satz 4.1.7.
Wenn H unendlichdimensional ist, sind die Normtopologie sowie die starke, schwa-che und ultraschwache Operatortopologie paarweise verschieden. eweis. Die Multiplikation ist stetig bez¨uglich der Normtopologie, aber nicht bez¨uglich derstarken, schwachen oder ultraschwachen Operatortopologie, woraus wir T ( k·k ) = T s , T w , T uw schließen. Analog folgt T s = T ( k·k ) , T w , T uw durch Betrachten der Adjungiertenbildung . ∗ . Somit bleibt nur noch T w = T uw zu zeigen. Dazu werden wir ein unbeschr¨anktes Netz angeben, das bez¨uglich der schwachenOperatortopologie gegen den Nulloperator konvergiert, nicht aber bez¨uglich der ultraschwachenOperatortopologie.Wir betrachten die Menge Sub fin ( H ) der endlichdimensionalen Unterr¨aume von H . Versehenmit der Inklusion von Unterr¨aumen, die wir mit ≤ notieren, wird Sub fin ( H ) offenbar zu einergerichteten Menge . F¨ur einen endlichdimensionalen Unterraum U ∈ Sub fin ( H ) sei P U ⊥ dieOrthogonalprojektion auf den Orthogonalraum U ⊥ und T U := dim( U ) · P U ⊥ ∈ L b ( H ) . Wir behaupten, dass das Netz ( T U ) U ∈ Sub fin ( H ) ein T w -, aber kein T uw -Nullnetz ist.Die Konvergenz T U T w −−→ U ≥ U := span x sicher T U x = 0 und daher | ( T U x, y ) | = 0 gilt.Wenn wir einen Spurklasseoperator S ∈ L ( H ) finden k¨onnen, f¨ur den tr( ST U ) nicht gegen0 konvergiert, so haben wir T U T uw gezeigt. Dazu w¨ahlen wir ein abz¨ahlbarunendliches Orthonormalsystem { e n : n ∈ N } in H und definieren den Operator Sx := ∞ X n =1 n ( x, e n ) e n , der wegen ( n ( x, e n )) n ∈ N ∈ ℓ ( N ) wohldefiniert ist. Diese Reihe konvergiert sogar bez¨uglich derOperatortopologie, da aus (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) Sx − N X n =1 n ( x, e n ) e n (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ X n = N +1 n ( x, e n ) e n (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) = ∞ X n = N +1 (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) n ( x, e n ) e n (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) = ∞ X n = N +1 n | ( x, e n ) | ≤ N + 1) ∞ X n = N +1 | ( x, e n ) | ≤ N + 1) k x k sofort (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) S − N X n =1 n ( ., e n ) e n (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ N + 1) Nach Korollar 4.1.5 stimmen T w und T uw auf beschr¨ankten Mengen ja ¨uberein. Aus diesem Grund m¨ussenwir auch zwangsl¨aufig ein Netz konstruieren: Eine T w -konvergente Folge ist immer beschr¨ankt, wie man mit demSatz von Banach-Steinhaus zeigen kann, sodass eine Folge von Operatoren genau dann bez¨uglich der schwachenOperatortopologie konvergent ist, wenn sie bez¨uglich der ultraschwachen Operatortopologie konvergiert. (Sub fin ( H ) , ≤ ) ist sogar eine Verbandshalbordnung. S = lim N →∞ N X n =1 n S e n ,e n . In besagtem Beweis haben wir gezeigt, dass S y,y f¨ur jedes y ∈ H positiv ist. Nach Satz 2.1.7(i)und (iv) ist somit auch S positiv. Aus Se n − = 0 folgt X e ∈ E ( | S | e, e ) = X e ∈ E ( Se, e ) = ∞ X n =1 ( Se n , e n ) = ∞ X n =1 n < ∞ , also S ∈ L ( H ).Angenommen, das Netz (tr( ST U )) U ∈ Sub fin ( H ) konvergiert gegen 0. Dann gibt es einen endlich-dimensionalen Unterraum U mit | tr( ST U ) | ≤ U ≥ U . (4.1.6)Da U endlichdimensional ist, gibt es ein n ∈ N mit e n / ∈ U = ker P U ⊥ bzw. P U ⊥ e n = 0.Aus( SP U ⊥ e n , e n ) = ∞ X m =1 m ( P U ⊥ e n , e m ) e m , e n ! = 1 n ( P U ⊥ e n , e n ) = 1 n (cid:13)(cid:13)(cid:13) P U ⊥ e n (cid:13)(cid:13)(cid:13) folgt tr( SP U ⊥ ) = X e ∈ E ( SP U ⊥ e, e ) ( ∗ ) = ∞ X n =1 ( SP U ⊥ e n , e n )= ∞ X n =1 n (cid:13)(cid:13)(cid:13) P U ⊥ e n (cid:13)(cid:13)(cid:13) ≥ n (cid:13)(cid:13)(cid:13) P U ⊥ e n (cid:13)(cid:13)(cid:13) > , (4.1.7)wobei sich die Gleichung ( ∗ ) ausran S ≤ span { e n : n ∈ N } ≤ (cid:0) span( E \ { e n : n ∈ N } ) (cid:1) ⊥ ergibt. Insbesondere ist (cid:12)(cid:12)(cid:12) tr( SP U ⊥ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) = 0. Wenn wir Unterr¨aume U ≥ U mit beliebig großerendlicher Dimension finden k¨onnen, f¨ur die tr( SP U ⊥ ) = tr( SP U ⊥ ) gilt, so erhalten wir f¨ur einenUnterraum mit dim( U ) > (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) tr( SP U ⊥ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) die Ungleichung | tr( ST U ) | = dim( U ) | tr( SP U ⊥ ) | = dim( U ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) tr( SP U ⊥ ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) > , im Widerspruch zu (4.1.6).Analog zu (4.1.7) zeigt man mithilfe von ( ∗ )tr( SP U ⊥ ) = ∞ X n =1 n k P U ⊥ e n k , sodass es f¨ur den Beweis von tr( SP U ⊥ ) = tr( SP U ⊥ ) reicht, P U ⊥ e n = P U ⊥ e n f¨ur alle n ∈ N zugarantieren. Der Orthogonalraum W := ( U + span { e n : n ∈ N } ) ⊥ H = (cid:0) U + span { e n : n ∈ N } (cid:1) + ( U + span { e n : n ∈ N } ) ⊥ = span { e n : n ∈ N } + (cid:0) U + ( U + span { e n : n ∈ N } ) ⊥ (cid:1) h¨atte sonst span { e n : n ∈ N } endliche Kodimension. Dies w¨urdespan { e n : n ∈ N } ∩ span { e n − : n ∈ N } = { } widersprechen.Sei { f n : n ∈ N } eine abz¨ahlbar unendliche und linear unabh¨angige Teilmenge von W . Wirdefinieren U k := U + span { f , . . . , f k } f¨ur k ∈ N und zeigen P U ⊥ k e n = P U ⊥ e n . Dazu m¨ussen wir P U ⊥ e n ∈ U ⊥ k (4.1.8)und e n − P U ⊥ e n ∈ U k (4.1.9)nachweisen.Die Eigenschaft (4.1.9) folgt aus e n − P U ⊥ e n ∈ U ≤ U k . F¨ur (4.1.8) bemerken wir U ⊥ k = U ⊥ ∩ span { f , . . . , f k } ⊥ , wobei P U ⊥ e n ∈ U ⊥ wieder unmittelbar klar ist. Aus e n ∈ W ⊥ und e n − P U ⊥ e n ∈ U ≤ W ⊥ folgt P U e n = e n − ( e n − P U ⊥ e n ) ∈ W ⊥ ≤ span { f , . . . , f k } ⊥ , sodass wir insgesamt (4.1.8) erhalten. Da dim( U k ) = dim( U ) + k in k unbeschr¨ankt ist, habenwir unser Ziel erreicht und den Beweis abgeschlossen. ∗ -Unteralgebren Wir k¨onnen nun das Hauptresultat dieses Kapitels formulieren, das wir anschließend in einigenSchritten beweisen werden. Satz 4.1.7 einerseits und Korollar 4.1.5 andererseits zeigen, dassdie hier behandelten Operatortopologien f¨ur dim H = ∞ zwar alle verschieden, in mancherleiHinsicht aber auch sehr ¨ahnlich sind. Der n¨achste Satz kreist ebenfalls um die Frage, wanndie verschiedenen Operatortopologien f¨ur bestimmte Teilmengen in gewisser Weise gleich sind.Dabei soll ”Gleichheit“ bedeuten, dass die Topologien den gleichen Begriff von Abgeschlossenheitf¨ur gewisse Mengen liefern. Es zeigt sich, dass f¨ur ∗ -Unteralgebren die st¨arkstm¨ogliche Aussagegilt. Satz 4.2.1.
F¨ur eine ∗ -Unteralgebra A von L b ( H ) sind folgende Aussagen ¨aquivalent:(i) A ist T s -abgeschlossen.(ii) A ist T w -abgeschlossen.(iii) A ist T uw -abgeschlossen. T s und T w zeigen. Als Vorarbeit f¨ur Kapitel 7 identifizieren wir zus¨atzlich den Dual-raum bez¨uglich der ultraschwachen Operatortopologie. Lemma 4.2.2.
F¨ur die Dualr¨aume von L b ( H ) versehen mit der starken, schwachen bzw. ul-traschwachen Operatortopologie gilt (cid:0) L b ( H ) , T s (cid:1) ′ = (cid:0) L b ( H ) , T w (cid:1) ′ = ( T n X k =1 ( T x k , y k ) ! : n ∈ N , x k , y k ∈ H ) (4.2.1a) (cid:0) L b ( H ) , T uw (cid:1) ′ = (cid:8) ( T tr( ST )) : S ∈ L ( H ) (cid:9) (4.2.1b) Beweis.
Wir f¨uhren den Beweis in drei Schritten.(i) Zun¨achst zeigen wir (cid:0) L b ( H ) , T w (cid:1) ′ = ( T n X k =1 ( T x k , y k ) ! : n ∈ N , x k , y k ∈ H ) . (4.2.2)Ist Y ein punktetrennender Unterraum des Raums der linearen Funktionale auf einemVektorraum X , so kann man die schwache Topologie σ ( X, Y ) definieren. Bekanntermaßenwird σ ( X, Y ) auch durch die Menge P = { p f : f ∈ Y } von Seminormen erzeugt, wennwir p f ( z ) := |h z, f i| f¨ur z ∈ X setzen. Die rechte Seite von (4.2.2) ist ein Unterraum desalgebraischen Dualraums von L b ( H ), der nach dem Beweis von Satz 4.1.2(i) punktetren-nend ist. Somit ist die schwache Topologie bez¨uglich dieser rechten Seite wohldefiniert.Sei nun ein Funktional h T, ϕ i := P nk =1 ( T x k , y k ) und ein Netz ( T i ) i ∈ I von beschr¨anktenOperatoren gegeben. Definieren wir die Funktionale ϕ k durch h T, ϕ k i := ( T x k , y k ), sofolgt p ϕ ( T i ) = (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) n X k =1 ( T x k , y k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ n X k =1 | ( T x k , y k ) | = n X k =1 p ϕ k ( T i )und daraus, dass p ϕ ( T i ) f¨ur i ∈ I gegen Null konvergiert, wenn alle p ϕ k ( T i ) gegen Nullkonvergieren. Betrachten wir die Mengen P w := { ( T
7→ | ( T x, y ) | ) : x, y ∈ H } und P := ( T (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) n X k =1 ( T x k , y k ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)! : n ∈ N , x k , y k ∈ H ) von Seminormen, so zeigt die Grenzwertcharakterisierung (4.1.1), dass in den von P w bzw. P erzeugten Topologien die gleichen Netze gegen Null konvergieren. Somit sind dieTopologien gleich. Die erste Topologie ist genau die schwache Operatortopologie, die zweiteTopologie stimmt mit der schwachen Topologie bez¨uglich der rechten Seite von (4.2.2)¨uberein. Die wohlbekannte Tatsache (cid:0) X, σ ( X, Y ) (cid:1) ′ = Y schließt den Beweis von (4.2.2)ab.(ii) Als N¨achstes beweisen wir ( L b ( H ) , T s ) ′ = ( L b ( H ) , T w ) ′ .Aus der Inklusion T w ⊆ T s folgt sofort ( L b ( H ) , T w ) ′ ⊆ ( L b ( H ) , T s ) ′ .Sei umgekehrt f ∈ L b ( H ) ∗ stetig bez¨uglich der starken Operatortopologie. Dann ist f auf einer T s -Nullumgebung U durch eine Konstante D > D = 1 ist. Außerdem k¨onnen wir U als Element einervorgegebenen Nullumgebungsbasis w¨ahlen. Eine Nullumgebungsbasis einer von Seminor-men p ∈ P induzierten Topologie ist gegeben durch die Mengen { x ∈ X : p k ( x ) < ǫ f¨ur alle k = 1 , . . . , n } , wobei ǫ > n ∈ N und p , . . . , p n ∈ P beliebig gew¨ahlt werden k¨onnen. In unserem Fallbedeutet das U = { T ∈ L b ( H ) : k T x k k < ǫ f¨ur alle k = 1 , . . . , n } f¨ur ein positives ǫ und Vektoren x , . . . , x n ∈ H .Ist T ∈ L b ( H ) beliebig und C > max( k T x k . . . , k T x n k ), so gilt ǫC T ∈ U , sodass (cid:12)(cid:12)(cid:10) ǫC T, f (cid:11)(cid:12)(cid:12) ≤ |h T, f i| ≤ Cǫ folgt. Da C beliebig war, schließen wir auf |h T, f i| ≤ ǫ max( k T x k , . . . , k T x n k ) (4.2.3)f¨ur jedes T ∈ L b ( H ).Wir betrachten nun das kartesische Produkt H n und dessen Unterraum Y := (cid:8) ( T x , . . . , T x n ) T ∈ H n : T ∈ L b ( H ) (cid:9) . Die Abbildung ϕ : ( Y → C ( T x , . . . , T x n ) T
7→ h
T, f i ist wohldefiniert, da aus ( T x , . . . , T x n ) T = ( Sx , . . . , Sx n ) T wegen (4.2.3) angewandt auf T − S die Gleichheit h T, f i = h S, f i folgt. Klarerweise ist ϕ ein lineares Funktional underf¨ullt wegen (4.2.3) die Ungleichung (cid:12)(cid:12)(cid:10) ( T x , . . . , T x n ) T , ϕ (cid:11)(cid:12)(cid:12) ≤ ǫ max( k T x k , . . . , k T x n k ) ≤ ǫ (cid:13)(cid:13) ( T x , . . . , T x n ) T (cid:13)(cid:13) H n . Das Funktional ϕ ist also beschr¨ankt und hat folglich eine – ebenfalls mit ϕ bezeichnete– beschr¨ankte Fortsetzung auf den Hilbertraum Y ≤ H n . Der Darstellungssatz von Rieszin Y liefert die Existenz eines Elements ( y , . . . , y n ) ∈ Y mit h T, f i = (cid:10) ( T x , . . . , T x n ) T , ϕ (cid:11) = (cid:0) ( T x , . . . , T x n ) T , ( y , . . . , y n ) T (cid:1) H n = n X k =1 ( T x k , y k ) . Nach (4.2.2) ist f stetig bez¨uglich der schwachen Operatortopologie, was den Beweis von(4.2.1a) vollendet.(iii) Zuletzt folgt (4.2.1b) analog (aber auf direktere Weise) zu (4.2.2); siehe auch (4.1.4).Insbesondere sind also die Dualr¨aume bez¨uglich der starken und der schwachen Operatortopolo-gie gleich. Mit der Folgerung aus dem Satz von Hahn-Banach, dass der Abschluss einer konvexenMenge nur vom topologischen Dualraum und nicht von der genauen Topologie abh¨angt, erhaltenwir aus diesem Resultat sofort: Korollar 4.2.3.
Eine konvexe Teilmenge – insbesondere eine ∗ -Unteralgebra – von L b ( H ) istgenau dann T s -abgeschlossen, wenn sie T w -abgeschlossen ist. L b ( H ) noch die Multiplikation vonOperatoren T s -stetig, wenn H unendlichdimensional ist. Um den Beweis von Satz 4.2.1 ver-vollst¨andigen zu k¨onnen, ben¨otigen wir Voraussetzungen, unter denen man sehr wohl die Ad-jungiertenbildung bzw. die Multiplikation mit Grenzwerten bez¨uglich T s vertauschen kann. Lemma 4.2.4. (i) Die Adjungiertenbildung . ∗ ist auf den normalen Operatoren in L b ( H ) stetig bez¨uglich derstarken Operatortopologie.(ii) Ist M ⊆ L b ( H ) eine k·k -beschr¨ankte Menge, so ist die Muliplikation ( S, T ) ST auf M × L b ( H ) stetig bez¨uglich der starken Operatortopologie.Beweis. (i) Seien S, T ∈ L b ( H ) normale Operatoren. F¨ur einen Vektor x ∈ H gilt k ( T ∗ − S ∗ ) x k = ( T ∗ x − S ∗ x, T ∗ x − S ∗ x )= ( T T ∗ x, x ) − ( T S ∗ x, x ) − ( x, T S ∗ x ) + ( SS ∗ x, x ) ( ∗ ) = ( T ∗ T x, x ) + (( S − T ) S ∗ x, x ) − ( x, T S ∗ x ) ( ∗∗ ) = ( T ∗ T x, x ) + (( S − T ) S ∗ x, x ) − ( x, T S ∗ x ) + ( x, SS ∗ x ) − ( x, S ∗ Sx ) | {z } = 0 = ( T x, T x ) + (( S − T ) S ∗ x, x ) + ( x, ( S − T ) S ∗ x ) − ( Sx, Sx )= k T x k − k Sx k + (( S − T ) S ∗ x, x ) + ( x, ( S − T ) S ∗ x ) , wobei in ( ∗ ) bzw. ( ∗∗ ) die Normalit¨at von T bzw. S eingeht. Diesen Ausdruck sch¨atzenwir mit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung ab und erhalten k ( T ∗ − S ∗ ) x k ≤ k T x k − k Sx k + 2 k x k k ( S − T ) S ∗ x k . Setzen wir in diese Gleichung T = S i ein f¨ur ein Netz ( S i ) i ∈ I , das bez¨uglich T s gegen S konvergiert, so folgt, dass S ∗ i gegen S ∗ konvergiert. Hierbei ist zu beachten, dass S ∗ x einfester Vektor ist, womit ( S − S i ) S ∗ x gegen 0 konvergiert.(ii) Seien x ∈ H und ( S , T ) , ( S , T ) ∈ M × L b ( H ) gegeben. Ist M beschr¨ankt durch C , danngilt k ( S T − S T ) x k ≤ k S ( T − T ) x k + k ( S − S ) T x k≤ C k ( T − T ) x k + k ( S − S ) T x k . Aus dieser Ungleichung folgt, dass ( S ,i T ,i ) i ∈ I gegen ST konvergiert, wenn S ,i bzw. T ,i gegen S := S bzw. T := T konvergiert.Mithilfe des letzten Lemmas k¨onnen wir eine – leider etwas technische – Stetigkeitsbedingungbeweisen. Dazu sei bemerkt, dass trotz der fehlenden T s -Stetigkeit von . ∗ der T s -Grenzwertvon selbstadjungierten Operatoren wieder selbstadjungiert ist: Ein T s -konvergentes Netz vonOperatoren ist auch bez¨uglich T w konvergent mit demselben Grenzwert, sodass die Behauptungaus der T w -Stetigkeit von . ∗ folgt. 55 emma 4.2.5. Sei f : R → C eine beschr¨ankte und stetige Funktion. F¨ur alle Netze ( S i ) i ∈ I selbstadjungierter Operatoren auf H , die bez¨uglich T s gegen S konvergieren, konvergieren dienach dem Funktionalkalk¨ul definierten Ausdr¨ucke f ( S i ) bez¨uglich T s gegen f ( S ) .Beweis. Sei F die Menge aller stetigen, aber nicht notwendigerweise beschr¨ankten Funktionen f : R → C , die die gew¨unschte Eigenschaft haben. Zu zeigen ist C b ( R ) ⊆ F . Im gesam-ten Beweis bezeichne ( S i ) i ∈ I ein bez¨uglich der starken Operatortopologie konvergentes Netzselbstadjungierter Operatoren mit Grenzwert S = S ∗ und T einen weiteren selbstadjungiertenOperator.Klarerweise ist F ein Unterraum von C ( R ). F¨ur Funktionen f, g ∈ F , wobei g beschr¨ankt ist,gilt gf = f g ∈ F nach Lemma 4.2.4(ii), da die Operatoren g ( S i ) gleichm¨aßig in i durch k g k ∞ beschr¨ankt sind. Nach Bemerkung 3.2.2 kommutieren f ( S ) und f ( S ) = f ( S ) ∗ , sodass f ( S )normal ist. Daraus folgt mit Lemma 4.2.4(i) f ( S i ) = f ( S i ) ∗ T s −→ f ( S ) ∗ = f ( S ) . Somit ist F auch bez¨uglich der Konjugation abgeschlossen.Wir betrachten nun die nach diesen Argumenten bez¨uglich der Konjugation abgeschlosseneFunktionenalgebra F := F ∩ C ( R ). Diese Algebra ist bez¨uglich der Supremumsnorm k·k ∞ auf C ( R ) abgeschlossen: Sei ( f n ) n ∈ N eine Folge aus F , die bez¨uglich k·k ∞ gegen f ∈ C ( R )konvergiert. F¨ur jedes n ∈ N , i ∈ I und x ∈ H gilt k ( f ( S i ) − f ( S ))( x ) k ≤ k ( f ( S i ) − f n ( S i ))( x ) k + k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k + k ( f n ( S ) − f ( S ))( x ) k = k ( f − f n )( S i )( x ) k + k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k + k ( f n − f )( S )( x ) k≤ k ( f − f n )( S i ) k k x k + k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k + k ( f n − f )( S ) k k x k = (cid:13)(cid:13) ( f − f n ) | σ ( S i ) (cid:13)(cid:13) ∞ k x k + k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k + (cid:13)(cid:13) ( f n − f ) | σ ( S ) (cid:13)(cid:13) ∞ k x k≤ k f − f n k ∞ k x k + k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k . Zu gegebenem ǫ > n mit k f − f n k ∞ k x k < ǫ und dazu i ∈ I mit k ( f n ( S i ) − f n ( S ))( x ) k < ǫ f¨ur alle i < i . Obige Absch¨atzung f¨ur n := n liefert k ( f ( S i ) − f ( S ))( x ) k < ǫ f¨ur alle i < i , sodass die Konvergenz f ( S i ) → f ( S ) bez¨uglich derstarken Operatortopologie bewiesen ist.Als N¨achstes zeigen wir F = C ( R ), also C ( R ) ⊆ F . Wegen der Abgeschlossenheit von F istdieses Ziel erreicht, wenn wir zus¨atzlich F als dicht in C ( R ) nachweisen. Nach dem Satz vonStone-Weierstraß f¨ur lokalkompakte R¨aume gen¨ugt es zu ¨uberpr¨ufen, dass F punktetrennendund nirgends identisch verschwindend ist. Dazu zeigen wir, dass die injektive Funktion g ( t ) := t t und die nullstellenfreie Funktion f ( t ) := t in F liegen, wobei f, g ∈ C ( R ) klar ist. Mitden Rechenregeln f¨ur den Funktionalkalk¨ul gilt g ( T )(1 + T ) = ( t g ( t )(1 + t ))( T ) = ( t t )( T ) = T. (4.2.4)Nach Satz 2.1.7(iii) ist T positiv, sodass σ (1 + T ) ⊆ [1 , + ∞ ) insbesondere Null nicht enth¨alt.Multipliziert man beide Seiten von (4.2.4) mit der daher existierenden Inversen von 1 + T , sofolgt g ( T ) = T (1 + T ) − . Analog zeigt man g ( T ) = (1 + T ) − T und f ( T ) = (1 + T ) − . Damitberechnen wir g ( S i ) − g ( S ) = (1 + S i ) − S i − S (1 + S ) − = (1 + S i ) − (cid:0) S i (1 + S ) − (1 + S i ) S (cid:1) (1 + S ) − = (1 + S i ) − (cid:0) ( S i − S ) + S i ( S − S i ) S (cid:1) (1 + S ) − . F¨ur einen selbstadjungierten Operator S ∈ L b ( H ) ist f | σ ( S ) wegen der Kompaktheit von σ ( S ) beschr¨ankt.Somit ist f ( S ) := f | σ ( S ) ( S ) wohldefiniert und es gilt k f ( S ) k = (cid:13)(cid:13) f | σ ( S ) (cid:13)(cid:13) ∞ . k f ( S i ) k ≤ k f k ∞ ≤ k g ( S i ) k ≤ k g k ∞ ≤ k ( g ( S i ) − g ( S ))( x ) k≤ (cid:13)(cid:13) (1 + S i ) − | {z } = f ( S i ) (cid:0) S i − S (cid:1) (1 + S ) − x (cid:13)(cid:13) + (cid:13)(cid:13) (1 + S i ) − S i | {z } = g ( S i ) ( S − S i ) S (1 + S ) − x k≤ k f ( S i ) k (cid:13)(cid:13) ( S i − S )(1 + S ) − x (cid:13)(cid:13) + k g ( S i ) k (cid:13)(cid:13) ( S − S i ) S (1 + S ) − x (cid:13)(cid:13) ≤ (cid:13)(cid:13) ( S i − S )(1 + S ) − x (cid:13)(cid:13) + (cid:13)(cid:13) ( S − S i ) S (1 + S ) − x (cid:13)(cid:13) . Da (1 + S ) − x sowie S (1 + S ) − x feste Vektoren sind, ergibt sich daraus g ∈ F . Wir schließen,dass auch f = ( t − tg ( t )) in F enthalten ist, da sowohl als auch ( t t ) in F liegen und g beschr¨ankt ist.Nun k¨onnen wir den Beweis abschließen. Ist h ∈ C b ( R ) beliebig, so sind die Funktionen h := hf und h := hg in C ( R ) ⊆ F enthalten. Da h beschr¨ankt ist, gilt auch h := ( t th ( t )) ∈ F .Daraus folgt das gew¨unschte Resultat h = h + h ∈ F .Um die ultraschwache Topologie ins Spiel bringen zu k¨onnen, ben¨otigen wir – obwohl auf denersten Blick nicht ersichtlich – den n¨utzlichen und auch f¨ur sich ¨asthetisch sehr ansprechenden Dichtesatz von Kaplansky . Man kann es nicht sch¨oner ausdr¨ucken als G. Pedersen in [4, 2.3.4.Notes and remarks.]:The density theorem is Kaplansky’s great gift to mankind [...]. It can be used everyday, and twice on Sundays.
Satz 4.2.6 (Kaplansky) . Sei A eine C ∗ -Unteralgebra von L b ( H ) und B ihr T s -Abschluss. Danngelten die folgenden drei Aussagen:(i) A sa T s = B sa (ii) S A sa T s = S B sa (iii) S A T s = S B Beweis. (i) Sei S ∈ B sa beliebig. Nach Definition gibt es ein Netz ( S i ) i ∈ I aus A , das bez¨uglich T s unddamit auch bez¨uglich T w gegen S konvergiert. Wegen der T w -Stetigkeit von . ∗ konvergiert A sa ∋ Re( S i ) = ( S i + S ∗ i ) gegen Re( S ) = S bez¨uglich der schwachen Operatortopologie.Der Operator S liegt daher im T w -Abschluss von A sa . Da A sa konvex ist, stimmen T w -und T s -Abschluss nach Korollar 4.2.3 aber ¨uberein.Umgekehrt ist ein Element von A sa T s = A sa T w einerseits in B enthalten und andererseitsselbstadjungiert, da . ∗ bez¨uglich der schwachen Operatortopologie stetig ist.(ii) Sei S beliebig in der Einheitskugel S B sa . Nach (i) existiert ein Netz ( S i ) i ∈ I in A sa , dasbez¨uglich der starken Operatortopologie gegen S konvergiert. Die Funktion f : R → C definiert durch f ( t ) := − t < − ,t t ∈ [ − , , t > k f k ∞ = 1. Nach Lemma 4.2.5 konvergiert das Netz ( f ( S i )) i ∈ I gegen f ( S ). Wegen k S k ≤ σ ( S ) ⊆ [ − ,
1] und somit f ( S ) = f | σ ( S ) ( S ) = ( t t ) | σ ( S ) ( S ) = S. f ( S i ) alle in S A sa liegen. Wegen f (0) = 0gilt nach Bemerkung 3.2.2 einmal f ( S i ) ∈ A . Da f reellwertig ist, sind die Operatoren f ( S i ) auch selbstadjungiert. Schließlich gilt k f ( S i ) k ≤ k f k ∞ = 1.Ist umgekehrt S ein Element von S A sa T s , so gilt analog zum letzten Punkt S ∈ B sa .Weiters liegt S in der Einheitskugel: Es existiert ein Netz ( S i ) i ∈ I aus S A sa , das bez¨uglich T s gegen S konvergiert. F¨ur jedes i ∈ I und x ∈ H gilt k S i x k ≤ k x k . Bildet man denGrenzwert i ∈ I , so folgt k Sx k ≤ k x k , also k S k ≤ M ( A ) und M ( B ) aus Bemerkung 1.3.2 und zeigenzun¨achst, dass M ( B ) mit dem Abschluss von M ( A ) bez¨uglich der starken Operatorto-pologie T s,H in L b ( H ) ¨ubereinstimmt. F¨ur (cid:16) T T T T (cid:17) ∈ M ( B ) gibt es ein Netz ( T ,i ) i ∈ I aus A mit T ,i → T bez¨uglich T s,H . Klarerweise konvergiert dann (cid:16) T ,i T T T (cid:17) bez¨uglich T s,H gegen (cid:16) T T T T (cid:17) , sodass es ausreicht zu zeigen, dass die Matrizen (cid:16) T ,i T T T (cid:17) im T s,H -Abschluss von M ( A ) liegen. Nun w¨ahlt man ein gegen T konvergentes Netz undargumentiert analog; nach zwei weiteren Schritten erh¨alt man, dass es ausreicht, (cid:18) T ,i T ,j T ,k T ,l (cid:19) ∈ M ( A ) T s,H f¨ur T ,i , T ,j , T ,k , T ,l ∈ A zu zeigen. Dies ist trivialerweise richtig. Ist umgekehrt (cid:16) T T T T (cid:17) im Abschluss von M ( A ) enthalten, so sei (cid:16)(cid:16) T ,k T ,k T ,k T ,k (cid:17)(cid:17) k ∈ I ein Netz aus M ( A ), das bez¨uglich T s,H gegen diese Matrix konvergiert. Indem man die Vektoren( x, T bzw. (0 , y ) T aus H einsetzt, sieht man, dass die Eintr¨age T ij,k bez¨uglich der star-ken Operatortopologie T s,H gegen T ij konvergieren, womit T ij ∈ B folgt.Jetzt k¨onnen wir die Aussage (iii) beweisen. Dazu sei T ∈ S B gegeben. Die Matrix (cid:0) TT ∗ (cid:1) liegt in M ( B ) sa und ist dort sogar in der Einheitskugel enthalten: (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) TT ∗ (cid:19) (cid:18) xy (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) T yT ∗ x (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) = k T y k + k T ∗ x k ≤ k T k k x k + k T ∗ k k y k ≤ k x k + k y k = (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:18) xy (cid:19)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) . Nach (ii), angewandt auf die Algebren M ( A ) und M ( B ), existiert ein Netz von Matrizen (cid:16)(cid:16) T ,k T ,k T ,k T ,k (cid:17)(cid:17) k ∈ I aus der Einheitskugel von M ( A ) sa , das gegen (cid:0) TT ∗ (cid:1) konvergiert. Mitder ersten Ungleichung in (1.3.2) folgt k T ,k k ≤
1, also T ,k ∈ S A . Durch Einsetzenvon ( x, T ergibt sich, dass ( T ,k ) k ∈ I bez¨uglich T s gegen T konvergiert, womit T ∈ S A T s gezeigt ist.Ist umgekehrt T ∈ S A T s , so folgt T ∈ S B wie in (ii).Nach all diesen ¨Uberlegungen k¨onnen wir Satz 4.2.1 beweisen. Beweis (von Satz 4.2.1).
Die ¨Aquivalenz von (i) und (ii) folgt aus Korollar 4.2.3. Wegen T w ⊆T uw ist die Implikation (ii) ⇒ (iii) klar. Es sei explizit darauf hingewiesen, dass wir nicht mit (1.3.2) argumentieren k¨onnen. ⇒ (ii) zu zeigen. Sei dazu A abgeschlossen bez¨uglich T uw . Wir setzen B := A T w und schließen mit Korollar 4.2.3 auf B = A T s . Da die ultraschwache Operatortopologiegr¨ober ist als die Normtopologie, ist A eine C ∗ -Unteralgebra von L b ( H ). Der Dichtesatz vonKaplansky liefert somit S A T s = S B . Aus Korollar 4.1.5(i) folgt, dass die Einheitskugel S von L b ( H ) bez¨uglich T uw kompakt und daher abgeschlossen ist. Damit ist auch S A = A ∩ S bez¨uglich T uw abgeschlossen und als Teilmenge von S folglich T w -abgeschlossen; vgl. Korollar 4.1.5(ii).Erneute Anwendung von Korollar 4.2.3 liefert die Abgeschlossenheit von S A bzgl. T s . Darausschließen wir S A = S B und in weiterer Folge A = B , was genau bedeutet, dass A bez¨uglich T w abgeschlossen ist.Wir schließen das Kapitel mit einer Definition ab. Definition 4.2.7.
Eine ∗ -Unteralgebra von L b ( H ) heißt Von-Neumann-Algebra , wenn sie be-z¨uglich einer und damit aller der drei Operatortopologien T s , T w , T uw abgeschlossen ist.Es sei betont, dass Von-Neumann-Algebren immer C ∗ -Unteralgebren von L b ( H ) sind. Die St¨arkeund Sch¨onheit der Theorie der Von-Neumann-Algebren liegt darin, dass man in vielen F¨allenbeliebig zwischen den drei Operatortopologien wechseln kann, je nachdem, welche in der aktu-ellen Situation die n¨utzlichsten Eigenschaften hat. Im Beweis des Dichtesatzes von Kaplanskykann man dieses Wechselspiel gut beobachten.59 apitel 5 W ∗ -Algebren Im vorliegenden Kapitel wird mit den W ∗ -Algebren die hilbertraumfreie Axiomatisierung derVon-Neumann-Algebren eingef¨uhrt sowie einige ihrer Eigenschaften bewiesen. Beispielsweisehaben W ∗ -Algebren stets ein Einselement. Als wesentliche neue Definition ist die schwach-*-Topologie auf einer W ∗ -Algebra zu nennen, die als kanonische Topologie eine entscheidendeRolle in der restlichen Arbeit spielen wird. Den Großteil dieses Kapitels machen Aussagen zurschwach-*-Stetigkeit der Algebrenoperationen aus. Bemerkung . Um das Axiom, das W ∗ -Algebren unter C ∗ -Algebren auszeichnet, zu mo-tivieren, betrachten wir eine Von-Neumann-Algebra A ≤ L b ( H ). Der Raum L b ( H ) ist nachSatz 1.3.12 isometrisch isomorph zum Dualraum L ( H ) ′ . Als Von-Neumann-Algebra ist A ab-geschlossen bez¨uglich T uw . Betrachtet man den linearen Hom¨oomorphismus θ : ( L b ( H ) , T uw ) → (cid:0) L ( H ) ′ , σ ( L ( H ) ′ , L ( H )) (cid:1) aus Satz 4.1.4, so stellt sich θ ( A ) als schwach-*-abgeschlossen in L ( H ) ′ heraus. Als Linksanni-hilator bez¨uglich ( L ( H ) , L ( H ) ′ ) ist M := ⊥ ( θ ( A )) = (cid:8) S ∈ L ( H ) : h S, θ ( T ) i = 0 f¨ur alle T ∈ A (cid:9) = (cid:8) S ∈ L ( H ) : tr( ST ) = 0 f¨ur alle T ∈ A (cid:9) abgeschlossen bez¨uglich der schwachen Topologie σ (cid:0) L ( H ) , L ( H ) ′ (cid:1) und daher bez¨uglich derNormtopologie auf L ( H ). Bekanntermaßen ist in dieser Situation τ : ((cid:0) L ( H ) /M (cid:1) ′ → M ⊥ f f ◦ π (5.1.1)ein isometrischer Isomorphismus, wobei π : L ( H ) → L ( H ) /M die Faktorisierungsabbildungbezeichnet und der Dualraum (cid:0) L ( H ) /M (cid:1) ′ bez¨uglich der Faktorraum-Norm auf L ( H ) /M ge-bildet wird. Nun gilt M ⊥ = (cid:16) ⊥ θ ( A ) (cid:17) ⊥ = span θ ( A ) σ ( L ( H ) ′ ,L ( H ) ) = θ ( A ) , da θ ( A ) schwach-*-abgeschlossen ist. Wir erhalten, dass τ − ◦ θ | A ein Isomorphismus von A auf (cid:0) L ( H ) /M (cid:1) ′ ist, der wegen Satz 1.3.12(iii) sogar isometrisch ist. Also ist A bis auf isometrischeIsomorphie der Dualraum eines Banachraums.60enau diese Eigenschaft ist nun das gesuchte Axiom, um Von-Neumann-Algebren zu beschrei-ben. Definition 5.1.2.
Eine C ∗ -Algebra A heißt W ∗ -Algebra , wenn es einen Banachraum P D ( A )und einen isometrischen Isomorphismus j : A → P D ( A ) ′ gibt. In diesem Fall heißt P D ( A ) ein Pr¨adualraum von A . Bemerkung . Unsere Notation
P D ( A ) ist etwas problematisch, da zumindest ad hoc nichtklar ist, ob P D ( A ) in geeignetem Sinne eindeutig bestimmt ist. Andernfalls w¨are der Pr¨adual-raum nicht in Abh¨angigkeit von A wohldefiniert. Tats¨achlich ist der Pr¨adualraum einer W ∗ -Algebra bis auf isometrische Isomorphie eindeutig, das werden wir aber erst in Satz 7.2.1 be-weisen k¨onnen.Das Axiom aus Definition 5.1.2 erm¨oglicht die Konstruktion einer Topologie auf der W ∗ -Algebra A , n¨amlich die initiale Topologie bez¨uglich j als Abbildung von A nach P D ( A ) ′ versehen mitder schwach-*-Topologie σ (cid:0) P D ( A ) ′ , P D ( A ) (cid:1) . Definition 5.1.4.
Das Mengensystem T w ∗ ,A := (cid:8) j − ( O ) : O ∈ σ (cid:0) P D ( A ) ′ , P D ( A ) (cid:1)(cid:9) bezeichnetman als schwach-*-Topologie auf A . Wenn keine Verwechslungsgefahr besteht, werden wir zureinfacheren Notation nur T w ∗ schreiben. Notation 5.1.5.
Sei A im Rest dieses Kapitels stets eine W ∗ -Algebra und S ihre Einheitskugel.Wenn nichts N¨aheres spezifiziert wird, beziehen sich s¨amtliche topologische Aussagen dabei aufdie schwach-*-Topologie T w ∗ . Bemerkung . (i) Mit der Notation aus Definition 5.1.2 kann man P D ( L b ( H )) = L ( H ) w¨ahlen. F¨ur diesenPr¨adualraum, gemeinsam mit dem isometrischen Isomorphismus j := θ : L b ( H ) → L ( H ) ′ aus Satz 1.3.12(iii), stimmt die schwach-*-Topologie T w ∗ ,L b ( H ) nach Satz 4.1.4 mit derultraschwachen Operatortopologie T uw ¨uberein.(ii) Da j bijektiv ist, ist j : ( A, T w ∗ ) → (cid:0) P D ( A ) ′ , σ (cid:0) P D ( A ) ′ , P D ( A ) (cid:1)(cid:1) ein linearer Hom¨oomorphismus. Somit erf¨ullt die schwach-*-Topologie T w ∗ alle Eigen-schaften, die ein Banachraum als topologischer Vektorraum versehen mit der bekann-ten schwach-*-Topologie hat. Beispielsweise gilt der Satz von Krein-Milman sowie Lem-ma 1.1.7 ¨uber die schwach-*-Stetigkeit von Projektionen, außerdem ist T w ∗ die initialeTopologie bez¨uglich aller T w ∗ -stetigen linearen Funktionale auf A . Da j isometrisch ist,bleiben auch alle Eigenschaften, die zus¨atzlich mit Einheitskugeln operieren, erhalten. Her-vorzuheben sind hier einerseits der Satz von Banach-Alaoglu und andererseits die S¨atzevon Krein-Smulian und Banach-Dieudonn´e, Satz 1.1.3 bzw. Satz 1.1.4.(iii) Da j : ( A, T ( k·k A )) → (cid:0) P D ( A ) ′ , T ( k·k P D ( A ) ′ ) (cid:1) als Isometrie stetig ist, ist wegen σ (cid:0) P D ( A ) ′ , P D ( A ) (cid:1) ⊆ T ( k·k P D ( A ) ′ ) auch j : ( A, T ( k·k A )) → (cid:0) P D ( A ) ′ , σ (cid:0) P D ( A ) ′ , P D ( A ) (cid:1)(cid:1) stetig. Folglich gilt T w ∗ ⊆ T ( k·k A ) und ein schwach-*-stetiges Funktional ϕ : A → C istautomatisch beschr¨ankt. 61 .2 Einselement L¨asst man einige S¨atze der bisherigen Arbeit zusammenwirken und kombiniert sie mit klassi-schen Resultaten der Funktionalanalysis, so erhalten wir folgende Aussage.
Satz 5.2.1.
Eine W ∗ -Algebra hat stets ein Einselement.Beweis. Nach dem Satz von Banach-Alaoglu ist die Einheitskugel S kompakt bez¨uglich derschwach-*-Topologie. Wir k¨onnen daher den Satz von Krein-Milman im Vektorraum ( A, T w ∗ )auf die kompakte und konvexe Menge S anwenden und erhalten, dass S die abgeschlossenekonvexe H¨ulle ihrer Extremalpunkte ist. Insbesondere hat S Extremalpunkte, sodass Satz 2.2.3die gew¨unschte Aussage liefert.
Aus Satz 4.1.6(iv) wissen wir, dass die Adjungiertenbildung sowie die Translationen stetigbez¨uglich T uw sind. Betrachten wir L b ( H ) als W ∗ -Algebra, so ist die ultraschwache Opera-tortopologie genau die schwach-*-Topologie. Daher ist es nicht abwegig zu erwarten, dass diesealgebraischen Operationen auch in einer allgemeinen W ∗ -Algebra A stetig bez¨uglich T w ∗ sind.Das restliche Kapitel ist dem Beweis dieser Aussagen gewidmet. Dabei sind der Satz 1.1.4von Banach-Dieudonn´e und Lemma 1.1.7 ¨uber die Stetigkeit von Projektionen die wesentlichenHilfsmittel.Wir beginnen mit der Adjungiertenbildung. Lemma 5.3.1. A sa und A + sind T w ∗ -abgeschlossen.Beweis. Nach dem Satz von Banach-Dieudonn´e, Satz 1.1.4, gen¨ugt es, die T w ∗ -Abgeschlossenheitvon A sa ∩ S und A + ∩ S zu zeigen.Angenommen, A sa ∩ S ist nicht abgeschlossen. Dann existiert ein Netz ( x j ) j ∈ I selbstadjungierterElemente in S , das bez¨uglich T w ∗ gegen x / ∈ A sa ∩ S konvergiert. Da S schwach-*-abgeschlossenist, gilt x / ∈ A sa . Schreibt man x = a + ib , a, b ∈ A sa , so gilt b = 0 bzw. r ( b ) >
0. Indemwir notfalls zu ( − x j ) j ∈ I und − x ¨ubergehen, k¨onnen wir annehmen, dass es ein positives 0 <λ ∈ σ ( b ) gibt. Durch Quadrieren sieht man, dass f¨ur hinreichend großes n ∈ N die Ungleichung(1 + n ) / < λ + n gilt, womit sich wegen k x j k ≤ k x j + in k = k ( x j + in ) ∗ ( x j + in ) k / = (cid:13)(cid:13) x j + n (cid:13)(cid:13) / ≤ (1 + n ) / < λ + n | {z } ∈ σ ( b + n ) ≤ r ( b + n ) = k b + n k ( ∗ ) ≤ k a + ib + in k ergibt. Die mit ( ∗ ) gekennzeichnete Ungleichung folgt dabei aus Lemma 1.2.7. Wir erhalten also k x j + in k ≤ (1 + n ) / < k a + ib + in k . (5.3.1)Das Netz ( x j + in ) j ∈ I liegt wegen (5.3.1) in der kompakten und somit abgeschlossenen Menge(1 + n ) / S . Folglich ist auch a + ib + in als Grenzwert des Netzes in (1 + n ) / S enthalten.Dies widerspricht aber dem zweiten Teil von (5.3.1), womit A sa ∩ S abgeschlossen sein muss.F¨ur den zweiten Teil sei bemerkt, dass f¨ur a ∈ S das Spektrum σ ( a ) ⊆ K C (0) erf¨ullt. Somit ist a genau dann positiv, wenn σ ( a ) in [0 ,
1] enthalten ist. Nach dem Spektralabbildungssatz istdas ¨aquivalent zu σ ( a − ⊆ [ − , k a k = r ( a ) sowie k a − k = r ( a −
1) sind sowohl a als auch a − a daher in A sa ∩ S enthalten. Gilt umgekehrt62 , a − ∈ A sa ∩ S , so folgt σ ( a ) ⊆ [ − , ∩ ([ − ,
1] + 1) = [0 , a positiv ist. Insgesamtgilt A + ∩ S = ( A sa ∩ S ) ∩ (( A sa ∩ S ) + 1) , sodass die Abgeschlossenheit von A + ∩ S aus dem ersten Beweisteil folgt. Korollar 5.3.2.
Die Operation . ∗ auf A ist T w ∗ -stetig.Beweis. Wegen der Zerlegung in Real- und Imagin¨arteil gilt A = A sa + iA sa . Betrachten wir A als reellen Vektorraum, so liegt eine Summe von Unterr¨aumen vor. Diese Summe ist sogardirekt, denn sind a, b selbstadjungiert mit a = ib , dann folgt a = a ∗ = ( ib ) ∗ = − ib = − a , also a = 0. Die Funktion x Re( x ) ist dabei genau die Projektion auf die erste Komponente dieserdirekten Zerlegung. Die R¨aume ran Re( . ) = A sa und ker Re( . ) = iA sa sind abgeschlossen, sodassRe( . ) nach Lemma 1.1.7 und Bemerkung 1.1.8 stetig ist. Wegen x ∗ = 2 Re( x ) − x ist damit auch . ∗ stetig.Aus Lemma 5.3.1 erhalten wir ein weiteres Korollar, das zeigt, dass die schwach-*-Topologieauf A mit der C ∗ -Algebren-Struktur gut harmoniert. Es sei auf die enge Analogie zu Satz 3.1.8hingewiesen. Korollar 5.3.3. (i) Ist a ein selbstadjungiertes aber nicht positives Element von A , so gibt es ein T w ∗ -stetiges,positives Funktional ϕ mit ϕ ( a ) < .(ii) Ist b ∈ A mit ϕ ( b ) = 0 f¨ur alle T w ∗ -stetigen, positiven Funktionale auf A , dann gilt b = 0 .Beweis. (i) Die positiven Elemente A + bilden eine konvexe und abgeschlossene Teilmenge des lokal-konvexen, reellen Vektorraums ( A sa , T w ∗ ∩ A sa ). Also folgt f¨ur a ∈ A sa \ A + aus demSatz von Hahn-Banach die Existenz eines λ ∈ R und eines bez¨uglich der Spurtopologieschwach-*-stetigen R -linearen Funktionals f auf A sa mit f ( a ) < λ < f ( c ) f¨ur alle c ∈ A + . (5.3.2)W¨are f ( c ) < c ∈ A + , so w¨urde f auf A + wegen tc ∈ A + f¨ur jedes t > f ( c ) ≥ c ∈ A + . Zudem ist 0 ∈ A + , womit wir f ( a ) < λ < f (0) = 0 erhalten. Definiert mannun ϕ ( x ) := f (Re( x )) + if (Im( x )), so rechnet man nach, dass ϕ ein C -lineares Funktionalauf A ist. Wegen Korollar 5.3.2 ist ϕ auch T w ∗ -stetig und wegen ϕ ( c ) = f ( c ) ≥ c ∈ A + ⊆ A sa positiv. Schließlich gilt ϕ ( a ) = f ( a ) < ϕ ein T w ∗ -stetiges, positives Funktional, so gilt ϕ ( b ∗ ) = ϕ ( b ) = 0 nach Lemma 3.1.4.Daraus folgt ϕ ( ± Re( b )) = ± ( ϕ ( b ) + ϕ ( b ∗ )) = 0. Nach (i) m¨ussen Re( b ) und − Re( b )positiv sein, sodass sich Re( b ) = 0 ergibt. F¨ur Im( b ) schließt man analog und erh¨alttats¨achlich b = 0.Bevor wir uns der Multiplikation zuwenden, zeigen wir, dass in einer W ∗ -Algebra die linea-re H¨ulle der Projektionen dicht bez¨uglich der Normtopologie und damit auch bez¨uglich derschwach-*-Topologie ist. Dazu verwenden wir ein Resultat, das gleichzeitig in Richtung Stetig-keit der Multiplikation weist. 63 atz 5.3.4. Ist ( x i ) i ∈ I ein monoton wachsendes und gleichm¨aßig beschr¨anktes Netz in A sa , soist es bez¨uglich T w ∗ konvergent und es gilt lim i ∈ I x i = sup i ∈ I x i . Insbesondere existiert diesesSupremum. F¨ur beliebiges c ∈ A gilt zudem c ∗ (sup i ∈ I x i ) c = c ∗ (lim i ∈ I x i ) c = lim i ∈ I c ∗ x i c = sup i ∈ I c ∗ x i c. Beweis.
Sei E die lineare H¨ulle der T w ∗ -stetigen, positiven Funktionale. Nach Korollar 5.3.3(ii)ist E punktetrennend, womit die schwache Topologie σ ( A, E ) wohldefiniert ist. Klarerweise ist σ ( A, E ) gr¨ober als T w ∗ , sodass die beiden Topologien analog zum Beweis von Korollar 4.1.5(ii)auf T w ∗ -Kompakta ¨ubereinstimmen . Insbesondere gilt dies f¨ur jenes hinreichend große Vielfacheder Einheitskugel, in dem alle x i nach Voraussetzung enthalten sind. Um zu zeigen, dass ( x i ) i ∈ I bez¨uglich T w ∗ -konvergent ist, gen¨ugt es wegen der Kompaktheit zu zeigen, dass es sich um ein T w ∗ -Cauchy-Netz bzw. ¨aquivalent um ein σ ( A, E )-Cauchy-Netz handelt. Bekanntlich bilden dieMengen (cid:8) x ∈ A : |h x, ψ k i| < ǫ f¨ur alle k = 1 , . . . , n (cid:9) , wobei ǫ > n ∈ N und ψ , . . . , ψ n ∈ E beliebig zu w¨ahlen sind, eine Nullumgebungsbasis von σ ( A, E ). Ist eine derartige Menge gegeben, so haben wir einen Index i ∈ I zu finden mit (cid:12)(cid:12) h x i − x j , ψ k i (cid:12)(cid:12) < ǫ f¨ur alle i, j < i und alle k = 1 , . . . , n. (5.3.3)Es gilt ψ k = P m k ℓ =1 λ ℓ,k ϕ ℓ,k f¨ur Konstanten λ ℓ,k ∈ C und T w ∗ -stetige positive Funktionale ϕ ℓ,k .Dabei k¨onnen wir λ ℓ,k = 0 und m k ≥ |h x, i| = 0 < ǫ erf¨ullt. Wegen n \ k =1 m k \ ℓ =1 (cid:26) x ∈ A : (cid:12)(cid:12) h x, ϕ ℓ,k i (cid:12)(cid:12) < ǫm k | λ ℓ,k | (cid:27) ⊆ (cid:8) x ∈ A : |h x, ψ k i| < ǫ f¨ur alle k = 1 , . . . , n (cid:9) gen¨ugt es, die Aussage f¨ur die ϕ ℓ,k anstelle der ψ k zu zeigen. Anders formuliert k¨onnen wirannehmen, dass die Funktionale ψ k bereits positiv sind. F¨ur festes k ist daher das reelle Netz( h x i , ψ k i ) i ∈ I monoton wachsend, beschr¨ankt und folglich konvergent. Insbesondere ist es einCauchy-Netz, sodass f¨ur jedes k ein i ,k ∈ I existiert, f¨ur das (5.3.3) sinngem¨aß gilt. W¨ahlen wirnun gem¨aß der Richtungseigenschaft noch einen Index i < i , , . . . , i ,n , so folgt (5.3.3). Damitist einmal die Existenz von x := lim i ∈ I x i gezeigt. Wegen der T w ∗ -Abgeschlossenheit von A sa ist x selbstadjungiert. F¨ur beliebiges i ∈ I gilt x i ≥ x i f¨ur i < i , also x i − x i ∈ A + . Daraus folgt x − x i = lim i ∈ I,i < i x i − x i ∈ A + aufgrund der Abgeschlossenheit von A + , sodass wir auf x ≥ x i schließen k¨onnen. Der Grenzwert x ist somit eine obere Schranke von ( x i ) i ∈ I . Ist y eine weitereobere Schranke, so gilt y − x i ∈ A + f¨ur alle i ∈ I . Wie eben erhalten wir daraus x ≤ y . Somitist x = lim i ∈ I x i sogar die kleinste obere Schranke von ( x i ) i ∈ I und es folgt lim i ∈ I x i = sup i ∈ I x i .Sei jetzt c ∈ A gegeben. Das Netz ( c ∗ x i c ) i ∈ I ist wegen Lemma 2.1.13(ii) monoton wachsend undoffenbar gleichm¨aßig beschr¨ankt. Aus dem ersten Teil des Beweises folgt die Konvergenzlim i ∈ I c ∗ x i c = sup i ∈ I c ∗ x i c. (5.3.4)Der Beweis ist abgeschlossen, wenn wir c ∗ (sup i ∈ I x i ) c = sup i ∈ I c ∗ x i c oder c ∗ (lim i ∈ I x i ) c = lim i ∈ I c ∗ x i c In Satz 7.1.18 werden wir zeigen, dass E mit der Menge aller schwach-*-stetigen Funktionale ¨ubereinstimmt.Es wird sich außerdem herausstellen, dass σ ( A, E ) genau die schwach-*-Topologie ist; siehe den Beweis vonSatz 7.2.1. c zeigen wir die Gleichheit der Supremumsausdr¨ucke. Aus Lem-ma 2.1.13(ii) folgt die Ungleichung c ∗ x i c ≤ c ∗ (sup j ∈ I x j ) c und damitsup i ∈ I c ∗ x i c ≤ c ∗ (sup j ∈ I x j ) c. (5.3.5)Analog erhalten wir sup i ∈ I x i = sup i ∈ I ( c − ) ∗ ( c ∗ x i c ) c − ≤ ( c − ) ∗ (sup i ∈ I c ∗ x i c ) c − . Eine weitere Anwendung von Lemma 2.1.13(ii) liefert c ∗ (sup i ∈ I x i ) c ≤ c ∗ (cid:18) ( c − ) ∗ (sup i ∈ I c ∗ x i c ) c − (cid:19) c = sup i ∈ I c ∗ x i c. (5.3.6)Die Ungleichungen (5.3.5) und (5.3.6) ergeben das Resultat f¨ur diesen Spezialfall.Im Falle eines nicht invertierbaren c beweisen wir die Gleichheit der Limesausdr¨ucke. F¨ur hin-reichend großes λ > c + λ invertierbar, beispielsweise f¨ur λ = k c k + 1. Aus dem Bisherigenfolgt die Gleichunglim i ∈ I ( c + λ ) ∗ x i ( c + λ ) = sup i ∈ I ( c + λ ) ∗ x i ( c + λ ) = ( c + λ ) ∗ (sup i ∈ I x i )( c + λ ) = ( c + λ ) ∗ x ( c + λ )bzw., wenn man den ersten und letzten Ausdruck ausmultipliziert,lim i ∈ I c ∗ x i c + λ ( x i c + c ∗ x i ) + λ x i = c ∗ xc + λ ( xc + c ∗ x ) + λ x. Der Term λ x i konvergiert gegen λ x , sodass die Aussage folgt, wenn wir x i c + c ∗ x i → xc + c ∗ x gezeigt haben. Wie am Anfang des Beweises gen¨ugt es, statt der schwach-*-Topologie T w ∗ dieschwache Topologie σ ( A, E ) zu betrachten, wobei wir auch diesmal ϕ ( x i c + c ∗ x i ) → ϕ ( xc + c ∗ x ) nur f¨ur alle T w ∗ -stetigen und positiven Funktionale ϕ zeigen m¨ussen. Wegen der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung, Lemma 3.1.3(iii), gilt | ϕ ( c ∗ ( x − x i )) | = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ (cid:0) c ∗ ( x − x i ) / ( x − x i ) / (cid:1)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ (cid:0) (( x − x i ) / c ) ∗ ( x − x i ) / (cid:1)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ ϕ (cid:16) c ∗ ( x − x i ) / ( x − x i ) / c (cid:17) / ϕ (cid:16) (( x − x i ) / ) ∗ ( x − x i ) / (cid:17) / = ϕ ( c ∗ ( x − x i ) c ) / ϕ ( x − x i ) / ≤ ( k ϕ k M ) / ϕ ( x − x i ) / → , weil ( c ∗ ( x − x i ) c ) i ∈ I gleichm¨aßig durch eine Konstante M beschr¨ankt und ϕ schwach-*-stetig ist.Daraus folgt ϕ ( c ∗ x i ) → ϕ ( c ∗ x ). Konjugiert man beide Seiten, so ergibt sich wegen der Stetigkeitvon . ∗ kombiniert mit Lemma 3.1.4 die Konvergenz ϕ ( x i c ) → ϕ ( xc ) und damit die gew¨unschteAussage. Korollar 5.3.5.
Die lineare H¨ulle der Projektionen in A ist dicht bez¨uglich T ( k·k ) . Ist a ∈ A positiv, so kann man a sogar als k·k -Grenzwert von Elementen der Form a n := P nk =1 γ k,n p k,n darstellen, wobei die p k,n Projektionen und die Zahlen γ k,n nichtnegativ sind.Beweis. Klarerweise gen¨ugt es zu zeigen, dass jedes selbstadjungierte Element a ∈ A sa in der T ( k·k )-abgeschlossenen linearen H¨ulle der Projektionen in A enthalten ist. Sei dazu C einebez¨uglich Mengeninklusion maximale kommutative C ∗ -Unteralgebra mit Einselement von A ,die a enth¨alt. Diese existiert nach dem Lemma von Zorn: In der Tat ist die von a erzeugte65 ∗ -Unteralgebra mit Einselement von A kommutativ. Folglich ist das Mengensystem S aller a enthaltenden kommutativen C ∗ -Unteralgebren mit Einselement nicht leer. Ist M ⊆ S eineKette, so ist S M T ( k·k ) wieder in S enthalten und klarerweise eine obere Schranke von M .Ist B eine beschr¨ankte und durch die kanonische Halbordnung ≤ gerichtete Teilmenge von C sa ,so sei b := sup b ∈B b ihr Supremum; dieses existiert wegen Satz 5.3.4. F¨ur ein unit¨ares Element u ∈ C betrachten wir das Netz ( b ) b ∈B und schließen aus Satz 5.3.4 u ∗ b u = sup b ∈B u ∗ bu | {z } = u ∗ ub = b = b , da u mit b kommutiert. Anders formuliert erhalten wir b u = ub . Unit¨are Elemente von C kommutieren also mit b . Da die unit¨aren Elemente nach Bemerkung 2.1.6(iii) ganz C linearaufspannen, folgt, dass b mit jedem Element von C kommutiert. Somit ist auch C ∗ A ( C ∪ { b } )kommutativ. Wegen der Maximalit¨at muss schon b ∈ C gelten. ¨Ubersetzt man diese ¨Uberlegungmit der Gelfandtransformation in den Gelfandraum M von C , so folgt, dass jede beschr¨ankteund bez¨uglich der punktweisen Ordnung gerichtete Teilmenge von C ( M, R ) ein Supremum in C ( M, R ) hat. Man beachte hierzu, dass die Ordnung ≤ in C sa der punktweisen Ordnung imRaum C ( M, R ) entspricht. Nach Satz 2.3.5 ist M stonesch. Aus Satz 2.3.6 folgt, dass die lineareH¨ulle der Projektionen von C ( M, R ) dicht in C ( M, R ) bez¨uglich k·k ∞ ist. Zur¨uck ¨ubersetztergibt sich die entsprechende Aussage in C sa mit der Normtopologie. Wir k¨onnen also a durchLinearkombinationen von Projektionen in C beliebig genau ann¨ahern, und damit auch durchLinearkombinationen von Projektionen in A .Die Zusatzaussage folgt sofort aus dem obigen Beweis und der Zusatzaussage von Satz 2.3.6, daein a ≥ C positiv ist.Nach diesen Vorarbeiten kommen wir zur Multiplikation. Wir werden zeigen, dass die Transla-tionen x ax und x xa schwach-*-stetig sind.Bevor wir zum technisch aufwendigen Beweis kommen, skizzieren wir das Vorgehen in grobenZ¨ugen. Zun¨achst zeigen wir die Stetigkeit der Abbildung x pxp f¨ur eine Projektion p ∈ A \ { , } , indem wir die Abbildung als zur direkten Summe A = pAp ∔ (cid:0) (1 − p ) Ap + A (1 − p ) (cid:1) geh¨orige Projektion deuten. Dazu m¨ussen wir die Abgeschlossenheit der direkten Summandenzeigen, wozu der Satz von Banach-Dieudonn´e unverzichtbar sein wird. Anschließend f¨uhren wirdieselben ¨Uberlegungen f¨ur die Abbildung x px (1 − p ) und die Zerlegung A = pA (1 − p ) ∔ (cid:0) (1 − p ) A + pAp (cid:1) durch. Summenbildung der beiden Funktionen liefert die Stetigkeit von x px ,was wir mithilfe der Dichtheit der linearen H¨ulle der Projektionen zur Stetigkeit von x ax ausdehnen k¨onnen. Die Ausnutzung der Stetigkeit von . ∗ liefert schließlich auch die Stetigkeitvon x xa .Wir starten mit einer Hilfsaussage. Lemma 5.3.6.
Ist p ∈ A eine Projektion, so gilt p ( A sa ∩ S )(1 − p ) T w ∗ ⊆ pS (1 − p ) .Beweis. Sei ( px i (1 − p )) i ∈ I ein bez¨uglich der schwach-*-Topologie gegen x ∈ A konvergentesNetz, wobei x i in A sa ∩ S liege. Der Kern des Beweises ist es, x = px (1 − p ) zu zeigen, indem wirzuerst x = px (1 − p )+(1 − p ) xp und danach (1 − p ) xp = 0 beweisen. Ist p eine triviale Projektion,also p ∈ { , } , so sind beide Aussagen klar. Daher nehmen wir im Folgenden p = 0 , Es gilt x = px (1 − p ) + (1 − p ) xp :Zun¨achst zeigen wir pxp = (1 − p ) x (1 − p ) = 0. Dazu sei ( pxp + px ∗ p ) = Re( pxp ) = 0angenommen. Indem wir gegebenenfalls zu − px i (1 − p ) und − x ¨ubergehen, k¨onnen wir Man beachte, dass in diesen ¨Uberlegungen zwei verschiedene Arten von Projektionen eine Rolle spielen,n¨amlich selbstadjungierte und idempotente
Elemente von A und idempotente Abbildungen auf A . < λ ∈ σ (Re( pxp )) gibt. Dann gilt f¨ur jedes n ∈ N und i ∈ I k px i (1 − p ) + np k = k ( px i (1 − p ) + np ) ∗ k = k ( px i (1 − p ) + np )( px i (1 − p ) + np ) ∗ k / = (cid:13)(cid:13) px i (1 − p ) x i p + n p (cid:13)(cid:13) / ≤ (1 + n ) / . (5.3.7)Somit ist px i (1 − p ) + np und folglich der Grenzwert x + np in (1 + n ) / S enthalten, daletztere Menge abgeschlossen ist. Andererseits erhalten wir aus p Re( pxp ) p = Re( pxp ) dieAbsch¨atzung k x + np k = k p k k x + np k k p k ≥ k p ( x + np ) p k ≥ k Re( p ( x + np ) p ) k = k Re( pxp ) + np k = k p Re( pxp ) p + np k . (5.3.8)Die C ∗ -Algebra C ∗ (Re( pxp ) , p,
1) ist nach Bemerkung 1.2.13 kommutativ, da die Erzeugerselbstadjungiert sind und miteinander kommutieren. Geht man mit der Gelfandtransfor-mation zum Raum der stetigen Funktionen auf dem Gelfandraum M dieser C ∗ -Algebra¨uber, so gilt k p Re( pxp ) p + np k = (cid:13)(cid:13)(cid:13)b p \ Re( pxp ) b p + n b p (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ und λ ∈ σ (Re( pxp )) = σ ( p Re( pxp ) p ) = σ (cid:16)b p \ Re( pxp ) b p (cid:17) = (cid:16)b p \ Re( pxp ) b p (cid:17) ( M ) , weshalb es ein m ∈ M mit λ = b p ( m ) \ Re( pxp )( m ) b p ( m ) gibt. Die Funktion b p nimmt alsProjektion nur die Werte 0 , E := b p − ( { } ) ⊆ M . Mit dieser Notation gilt m ∈ E wegen λ >
0. Daraus folgt (cid:13)(cid:13)(cid:13)b p \ Re( pxp ) b p + n b p (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ = (cid:13)(cid:13)(cid:13)b p \ Re( pxp ) b p + n b p (cid:13)(cid:13)(cid:13) ∞ ,E ≥ (cid:12)(cid:12)(cid:12)b p ( m ) \ Re( pxp )( m ) b p ( m ) + n b p ( m ) (cid:12)(cid:12)(cid:12) = λ + n. Mit (5.3.8) ergibt sich also k x + np k ≥ λ + n. (5.3.9)W¨ahlt man n so groß, dass λ + n > (1 + n ) / ist, so erhalten wir aus (5.3.9) denWiderspruch x + np / ∈ (1 + n ) / S .Die Annahme Im( pxp ) = 0 f¨uhrt man analog auf einen Widerspruch, indem man dieElemente px i (1 − p ) + nip und x + nip betrachtet und in (5.3.8) durch die Norm desImagin¨arteils absch¨atzt. Also folgt tats¨achlich pxp = 0. F¨ur (1 − p ) x (1 − p ) = 0 wendetman das soeben Bewiesene auf ˜ p := 1 − p an: Es gilt ˜ px i (1 − ˜ p ) = ( px i (1 − p )) ∗ → x ∗ , sodasswir auf ˜ px ∗ ˜ p = 0 schließen, also auf (1 − p ) x ∗ (1 − p ) = 0. Adjungieren dieser Gleichungliefert (1 − p ) x (1 − p ) = 0.Insgesamt folgt0 = (1 − p ) x (1 − p ) = x − px − xp + pxp + pxp | {z } =0 = x − px (1 − p ) − (1 − p ) xp, also x = px (1 − p ) + (1 − p ) xp . Hier geht p = 0, folglich k p k = 1, ein. Das Element (1 − p ) xp verschwindet :F¨ur n ∈ N und i ∈ I gilt k px i (1 − p ) + n (1 − p ) xp k = k ( px i (1 − p ) + n (1 − p ) xp ) ∗ ( px i (1 − p ) + n (1 − p ) xp ) k = k ( px i (1 − p )) ∗ ( px i (1 − p )) | {z } =: a + n ((1 − p ) xp ) ∗ ((1 − p ) xp ) | {z } =: b k , was nach Lemma 1.2.14 mitmax( k a k , k b k ) = max (cid:0) k ( px i (1 − p )) ∗ ( px i (1 − p )) k , n k ((1 − p ) xp ) ∗ ((1 − p ) xp ) k (cid:1) = max (cid:16) k px i (1 − p ) k , n k (1 − p ) xp k (cid:17) ¨ubereinstimmt. Damit erhalten wir k px i (1 − p ) + n (1 − p ) xp k = max (cid:0) k px i (1 − p ) k | {z } ≤ , n k (1 − p ) xp k (cid:1) ≤ max (cid:0) , n k (1 − p ) xp k (cid:1) =: α. (5.3.10)Wegen x = px (1 − p ) + (1 − p ) xp gilt ebenfalls f¨ur beliebiges n ∈ N k x + n (1 − p ) xp k = k px (1 − p ) + ( n + 1)(1 − p ) xp k , was analog zur ersten H¨alfte von (5.3.10) die Gleichung k x + n (1 − p ) xp k = max (cid:0) k px (1 − p ) k , ( n + 1) k (1 − p ) xp k (cid:1) (5.3.11)nach sich zieht. Aus (5.3.10) und der Abgeschlossenheit von αS folgt k x + n (1 − p ) xp k ≤ α = max (cid:0) , n k (1 − p ) xp k (cid:1) , und wegen (5.3.11)max (cid:0) k px (1 − p ) k , ( n + 1) k (1 − p ) xp k (cid:1) ≤ max (cid:0) , n k (1 − p ) xp k (cid:1) . (5.3.12)Im Falle k (1 − p ) xp k 6 = 0 g¨abe es ein n ∈ N mit ( n + 1) k (1 − p ) xp k ≥ k px (1 − p ) k und n k (1 − p ) xp k ≥
1, sodass aus (5.3.12) der Widerspruch( n + 1) k (1 − p ) xp k ≤ n k (1 − p ) xp k folgte.Mit (i) und (ii) haben wir x = px (1 − p ) ∈ pA (1 − p ) gezeigt. Weiters gilt k px i (1 − p ) k ≤ k p k k x i k k − p k ≤ , also px i (1 − p ) ∈ S . Da die Einheitskugel abgeschlossen ist, erhalten wir x ∈ S und schließlich x = px (1 − p ) ∈ pS (1 − p ). Satz 5.3.7.
F¨ur ein a ∈ A sind die Translationen x ax und x xa schwach-*-stetig.Beweis. Im gesamten Beweis bezeichne p ∈ A \ { , } eine Projektion.68i) Die Mengen pSp und (1 − p ) S (1 − p ) sind schwach-*-kompakt und die R¨aume pAp und (1 − p ) A (1 − p ) sind schwach-*-abgeschlossen :Zun¨achst gilt p ( A + ∩ S ) p = { x ∈ A sa ∩ S : 0 ≤ x ≤ p } : F¨ur y ∈ A + ∩ S ist x = pyp ∈ p ( A + ∩ S ) p selbstadjungiert und liegt wegen k x k = k pyp k ≤ k y k ≤ S . Außerdem gelten wegen Lemma 2.1.13 die beiden Ungleichungsketten 0 ≤ y ≤k y k ≤ p p ≤ pyp ≤ p p = p . Aus 0 ≤ x ≤ p f¨ur ein x ∈ A sa ∩ S folgtumgekehrt 0 ≤ (1 − p ) x (1 − p ) ≤ (1 − p ) p (1 − p ) = 0, also (1 − p ) x (1 − p ) = 0 bzw. (cid:13)(cid:13) x / (1 − p ) (cid:13)(cid:13) = k (1 − p ) x (1 − p ) k = 0. Wir erhalten x (1 − p ) = x / (cid:0) x / (1 − p ) (cid:1) = 0bzw. x = xp . Durch Adjungieren folgt px = x und insgesamt x = pxp ∈ p ( A + ∩ S ) p .Die gerade nachgewiesene Gleichheit l¨asst sich auch durch p ( A + ∩ S ) p = A + ∩ ( p − A + ) ∩ A sa ∩ S ausdr¨ucken, womit diese Menge abgeschlossen und, da in S enthalten, sogar kompakt ist.Daraus folgt, dass M := (cid:0) p ( A + ∩ S ) p − p ( A + ∩ S ) p (cid:1) + i (cid:0) p ( A + ∩ S ) p − p ( A + ∩ S ) p (cid:1) als Bild des Kompaktums ( p ( A + ∩ S ) p ) × ( p ( A + ∩ S ) p ) × ( p ( A + ∩ S ) p ) × ( p ( A + ∩ S ) p )unter der stetigen Funktion( x , x , x , x ) T ( x − x ) + i ( x − x )ebenfalls kompakt ist. Aus der Inklusion (2.1.3) in Bemerkung 2.1.6(ii) folgt pSp ⊆ M .Umgekehrt gilt f¨ur y ∈ M sicher pyp = y und folglich M ⊆ pAp . Außerdem gilt mitdemselben Argument wie in (5.3.13) die Inklusion pSp ⊆ S . Zusammen erhalten wir pSp = pSp ∩ S ⊆ M ∩ S ⊆ pAp ∩ S ( ∗ ) = pSp ; (5.3.14)die Gleichheit ( ∗ ) folgt dabei aus (5.3.13) und aus der Tatsache, dass man ein pxp ∈ pAp ∩ S auch als p ( pxp ) p ∈ pSp schreiben kann. Damit ist pSp = M ∩ S kompakt. Folglich ist pAp ∩ S = pSp insbesondere abgeschlossen, sodass sich pAp nach dem Satz von Banach-Dieudonn´e ebenfalls als abgeschlossen herausstellt. Durch Betrachten der Projektion ˜ p :=1 − p ergibt sich der Rest aus dem schon Bewiesenen.(ii) Die Mengen pS (1 − p ) und (1 − p ) Sp sind schwach-*-kompakt und die R¨aume pA (1 − p ) und (1 − p ) Ap sind schwach-*-abgeschlossen :Wir betrachten nur pS (1 − p ) bzw. pA (1 − p ), da die ¨ubrige Aussage daraus wieder durchBetrachten von ˜ p := 1 − p folgt.Genauso wie die Gleichheit ( ∗ ) in (5.3.14) zeigt man pA (1 − p ) ∩ S = pS (1 − p ) . (5.3.15)Aufgrund des Satzes von Banach-Dieudonn´e gen¨ugt es f¨ur den zweiten Teil der Aussagedaher, die Abgeschlossenheit von pS (1 − p ) nachzuweisen. Diese Abgeschlossenheit istauch f¨ur die Kompaktheitsaussage ausreichend, da pS (1 − p ) dann eine abgeschlosseneTeilmenge des Kompaktums S und somit selbst kompakt ist.69efiniert man die Menge N := p ( A sa ∩ S )(1 − p ) + ip ( A sa ∩ S )(1 − p ) , so zeigt man auf ¨ahnliche Weise wie in (5.3.14) die Gleichung pS (1 − p ) = N ∩ S. (5.3.16)Daraus folgt pS (1 − p ) ⊆ N = p ( A sa ∩ S )(1 − p ) + ip ( A sa ∩ S )(1 − p ) ⊆ ( p ( A sa ∩ S )(1 − p )) + i ( p ( A sa ∩ S )(1 − p )) . (5.3.17)Nach Lemma 5.3.6 und (5.3.13) gilt p ( A sa ∩ S )(1 − p ) ⊆ pS (1 − p ) ⊆ S, sodass die beiden Summanden in der zweiten Zeile von (5.3.17) abgeschlossene Teilmen-gen von S und daher kompakt sind. Somit ist auch ihre Summe kompakt und folglichabgeschlossen. Wir schließen auf pS (1 − p ) ⊆ ( p ( A sa ∩ S )(1 − p )) + i ( p ( A sa ∩ S )(1 − p )) ⊆ ( pS (1 − p )) + i ( pS (1 − p )) . Die Tatsache (5.3.16) liefert weiters pS (1 − p ) ⊆ S = S , sodass wir pS (1 − p ) ⊆ (cid:0) pS (1 − p ) + ipS (1 − p ) (cid:1) ∩ S = (cid:0) p ( S + iS )(1 − p ) (cid:1) ∩ S. erhalten. Eine analoge ¨Uberlegung zu ( ∗ ) in (5.3.14) liefert, dass diese Menge in pS (1 − p )enthalten ist. Also ist pS (1 − p ) tats¨achlich abgeschlossen.(iii) Die Mengen pS , (1 − p ) S , Sp und S (1 − p ) sind schwach-*-kompakt und die R¨aume pA , (1 − p ) A , Ap und A (1 − p ) sind schwach-*-abgeschlossen :Wie in Beweisschritt (ii) haben wir nur die Abgeschlossenheit der Mengen pS , (1 − p ) S , Sp und S (1 − p ) zu zeigen. Zun¨achst betrachten wir pS .Wegen px = pxp + px (1 − p ) f¨ur jedes x ∈ S sowie der trivialen Inklusion pS ⊆ S gilt pS ⊆ (cid:0) pSp + pS (1 − p ) (cid:1) ∩ S . Ist umgekehrt x := pyp + pz (1 − p ) ∈ S mit y, z ∈ S gegeben,so gilt x = px ∈ pS und daher (cid:0) pSp + pS (1 − p ) (cid:1) ∩ S ⊆ pS . Wir erhalten insgesamt pS = (cid:0) pSp + pS (1 − p ) (cid:1) ∩ S. (5.3.18)Die beiden Summanden sind nach (i) und (ii) kompakt, sodass es auch ihre Summe ist.Aus (5.3.18) folgt die Abgeschlossenheit von pS .Die Operation . ∗ ist als stetige Involution ein Hom¨oomorphismus, sodass mit pS auch Sp = ( pS ) ∗ abgeschlossen ist. Die Abgeschlossenheit von (1 − p ) S bzw. S (1 − p ) folgtschließlich aus jener von pS bzw. Sp durch Betrachten von ˜ p := 1 − p .(iv) Die R¨aume (1 − p ) Ap + A (1 − p ) und (1 − p ) A + pAp sind schwach-*-abgeschlossen :Wie bisher reicht es, die Schnitte mit S zu betrachten, wobei wir mit dem ersten Raumbeginnen. Dazu behaupten wir zun¨achst (cid:0) (1 − p ) Ap + A (1 − p ) (cid:1) ∩ S = (cid:0) (1 − p ) Sp + S (1 − p ) (cid:1) ∩ S. (5.3.19) Siehe auch (5.3.13). x := (1 − p ) yp + z (1 − p ) ∈ S mit y, z ∈ A gegeben. Esgilt (1 − p ) xp = (1 − p ) yp sowie x (1 − p ) = z (1 − p ) und daher x = (1 − p ) xp + x (1 − p ) ∈ (1 − p ) Sp + S (1 − p ) . Nach den Beweisschritten (ii) und (iii) ist die rechte Seite von (5.3.19) als Kompaktumabgeschlossen, sodass eine erneute Anwendung des Satzes von Banach-Dieudonn´e die ersteAussage zeigt.F¨ur die zweite Aussage beweist man ganz analog (cid:0) (1 − p ) A + pAp (cid:1) ∩ S = (cid:0) (1 − p ) S + pSp (cid:1) ∩ S und argumentiert auf dieselbe Weise.(v) Die Funktionen x pxp , x px (1 − p ) und x px sind schwach-*-stetig :Wir beweisen zun¨achst die Zerlegung A = pAp ∔ (cid:0) (1 − p ) Ap + A (1 − p ) (cid:1) . Die Summe dieserbeiden Unterr¨aume ist sicher ganz A , denn es gilt x = pxp + (cid:0) (1 − p ) xp + x (1 − p ) (cid:1) f¨urbeliebiges x ∈ A . F¨ur x ∈ pAp ∩ (cid:0) (1 − p ) Ap + A (1 − p ) (cid:1) gilt pyp = x = (1 − p ) z p + z (1 − p )mit gewissen y, z , z ∈ A . Daraus folgt x = pyp = p ( pyp ) p = pxp = p (cid:0) (1 − p ) z p + z (1 − p ) (cid:1) p = 0 . Nach den Beweisschritten (i) und (iv) k¨onnen wir Lemma 1.1.7 anwenden, um die Stetig-keit der Projektion auf pAp zu erhalten. Aus der expliziten Darstellung x = pxp + (cid:0) (1 − p ) xp + x (1 − p ) (cid:1) sehen wir, dass diese Projektion genau x pxp ist, womit die erste Aussage gezeigt ist.Weiters gilt A = pA (1 − p ) ∔ (cid:0) (1 − p ) A + pAp (cid:1) : Einerseits kann man jedes x ∈ A in derForm x = px (1 − p ) + (cid:0) (1 − p ) x + pxp (cid:1) schreiben, andererseits folgt aus py (1 − p ) = x = (1 − p ) z + pz p mit y, z , z ∈ A die Gleichung x = py (1 − p ) = p (cid:0) py (1 − p ) (cid:1) (1 − p ) = px (1 − p ) = p (cid:0) (1 − p ) z + pz p (cid:1) (1 − p ) = 0 . Wieder wegen Lemma 1.1.7 ist die Funktion x px (1 − p ) stetig, da sie die Projektionauf pA (1 − p ) bez¨uglich dieser Zerlegung ist.Schließlich folgt die Stetigkeit der Summe x pxp + px (1 − p ) = px dieser beidenFunktionen.(vi) Die Translationen x ax und x xa sind schwach-*-stetig :Wir zeigen als Erstes, dass f¨ur jedes schwach-*-stetige Funktional ϕ das ebenfalls lineareFunktional ψ ( x ) := ϕ ( ax ) schwach-*-stetig auf S ist.71azu sei ǫ > n , Projektionen p j und Skalare λ j ∈ C , j = 1 , . . . , n , mit (cid:13)(cid:13)(cid:13) a − P nj =1 λ j p j (cid:13)(cid:13)(cid:13) ≤ ǫ . Sei ( x i ) i ∈ I ein Netzaus S , das gegen x konvergiert. Wegen der Abgeschlossenheit von S gilt x ∈ S . NachBemerkung 5.1.6(iii) ist ϕ ein beschr¨anktes Funktional und es gilt | ϕ ( a ( x i − x )) | ≤ (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ a − n X j =1 λ j p j ( x i − x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) + (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ n X j =1 λ j p j ( x i − x ) (cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ k ϕ k (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) a − n X j =1 λ j p j (cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13)(cid:13) k x i − x k | {z } ≤ + n X j =1 | λ j | | ϕ ( p j ( x i − x )) |≤ k ϕ k ǫ + n X j =1 | λ j | | ϕ ( p j ( x i − x )) | −→ k ϕ k ǫ, da die Abbildungen y ϕ ( p j y ) wegen (v) stetig sind. Hier ist zu beachten, dass die F¨alle p j = 0 , i ∈ I | ϕ ( a ( x i − x )) | ≤ k ϕ k ǫ . Da ǫ beliebig war, gilt lim i ∈ I | ϕ ( a ( x i − x )) | =0 bzw. lim i ∈ I ψ ( x i ) = lim i ∈ I ϕ ( ax i ) = ϕ ( ax ) = ψ ( x ) . Somit ist ψ tats¨achlich auf S stetig. Nach Korollar 1.1.5 bzw. Bemerkung 5.1.6(ii) ist ψ auf ganz A stetig. Da der Zielraum A der Abbildung x ax die initiale Topologiebez¨uglich aller schwach-*-stetigen linearen Funktionale ϕ tr¨agt, erhalten wir die Stetigkeitvon x ax . Wegen xa = ( a ∗ x ∗ ) ∗ und der Stetigkeit von . ∗ folgt daraus auch die zweiteAussage. 72 apitel 6 Der Satz von Sakai
Dieses Kapitel enth¨alt trotz seiner K¨urze die Hauptaussage der gesamten Arbeit, n¨amlich denSatz von Sakai. Dieser besagt, dass die in Kapitel 5 eingef¨uhrten W ∗ -Algebren tats¨achlich diein Definition 4.2.7 eingef¨uhrten Von-Neumann-Algebren hilbertraumfrei axiomatisieren. Mitanderen Worten ist jede W ∗ -Algebra isometrisch isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra.In [7] wird gezeigt, dass dieser isometrische Isomorphismus stetig bez¨uglich der schwach-*-Topologien ist. Wir werden zus¨atzlich beweisen, dass auch die Umkehrabbildung schwach-*-stetig ist, sodass der isometrische Isomorphismus ein Hom¨oomorphismus bez¨uglich der schwach-*-Topologien ist. Somit k¨onnen wir wie beim Satz von Gelfand-Naimark f¨ur C ∗ -Algebren voneiner vollst¨andigen Axiomatisierung sprechen, da der Isomorphismus die komplette Strukturder W ∗ -Algebra, n¨amlich die algebraische, die vom Pr¨adualraum induzierte topologische unddie Normstruktur, auf die Von-Neumann-Algebra ¨ubertr¨agt. Wir werden ganz ¨ahnlich wie inKapitel 3 beim Satz von Gelfand-Naimark vorgehen, indem wir eine sogenannte treue W ∗ -Darstellung konstruieren. Es ist jedoch zu beachten, dass Stetigkeits¨uberlegungen bez¨uglich derschwach-*-Topologien eine wesentlich gr¨oßere Rolle einnehmen werden als in Kapitel 3, da wirdie Isometrie und damit die k·k -Stetigkeit aus der algebraischen Strukturvertr¨aglichkeit ableitenkonnten; siehe Satz 3.2.3. W ∗ -Algebren Notation 6.1.1.
Bezeichne A wie im letzten Kapitel eine W ∗ -Algebra und T w ∗ = T w ∗ ,A dieschwach-*-Topologie auf A . Definition 6.1.2.
Eine schwach-*-abgeschlossene ∗ -Unteralgebra B ≤ A nennen wir W ∗ -Unter-algebra.In Bemerkung 5.1.1 kann man L ( H ) durch P D ( A ), den Raum L b ( H ) durch A und A durch B sowie den isometrischen Isomorphismus θ : L b ( H ) → L ( H ) ′ durch j A : A → P D ( A ) ′ ersetzen,um zu zeigen, dass eine W ∗ -Unteralgebra B ≤ A f¨ur sich genommen ebenfalls eine W ∗ -Algebraist . Dabei ist P D ( B ) gegeben durch P D ( A ) /M mit dem Linksannihilator M := ⊥ ( j A ( B )). Alsisometrischen Isomorphismus j B : B → P D ( B ) ′ kann man τ − ◦ j A | B w¨ahlen, mit der analogzu (5.1.1) definierten Abbildung τ . Daher existieren auf B zwei kanonische W ∗ -Topologien,n¨amlich die schwach-*-Topologie T w ∗ ,B und die Spurtopologie ( T w ∗ ,A ) | B . Es ist eine wesentlicheTatsache, dass diese beiden Topologien gleich sind. In dieser Situation folgt die σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A ))-Abgeschlossenheit von j A ( B ) nicht mithilfe eines Analogonsvon Satz 4.1.4 aus der T w ∗ ,A -Abgeschlossenheit von B , sondern schlicht aus der Definition der schwach-*-Topologie T w ∗ ,A . Diese Topologie ist n¨amlich so konstruiert, dass j A ein schwach-*-Hom¨oomorphismus wird. emma 6.1.3. Ist B eine W ∗ -Unteralgebra von A , so gilt T w ∗ ,B = ( T w ∗ ,A ) | B .Beweis. Die Topologie T w ∗ ,A ist die initiale Topologie bez¨uglich j A : A → P D ( A ) ′ , wenn derZielraum P D ( A ) ′ die schwach-*-Topologie tr¨agt. Somit ist die Spurtopologie ( T w ∗ ,A ) | B die initia-le Topologie bez¨uglich j A ◦ ι B → A : B → P D ( A ) ′ , wobei ι B → A die Inklusionsabbildung B → A , b b bezeichnet. Mit den Bezeichnungen nach Definition 6.1.2 ist weiters T w ∗ ,B die initialeTopologie bez¨uglich j B = τ − ◦ j A | B = τ − ◦ j A ◦ ι B → A als Abbildung B → P D ( B ) ′ = ( P D ( A ) /M ) ′ . Dabei ist ( P D ( A ) /M ) ′ ebenfalls mit der schwach-*-Topologie versehen. Die schwach-*-Topologie auf dem Dualraum eines Banachraums X istwieder als initiale Topologie definiert, n¨amlich bez¨uglich der Menge ι X ( X ) von Funktionalen,wobei ι X : X → X ′′ die kanonische Einbettung x ( x ′
7→ h x, x ′ i ) bezeichnet. Wenden wir dieseTatsache auf X = P D ( A ) bzw. X = P D ( B ) an, so erhalten wir aufgrund der Assoziativit¨atdes Bildens initialer Topologien( T w ∗ ,A ) | B = T init (cid:0)(cid:8) ι P D ( A ) ( ρ ) ◦ j A ◦ ι B → A : ρ ∈ P D ( A ) (cid:9)(cid:1) (6.1.1)sowie T w ∗ ,B = T init (cid:0)(cid:8) ι P D ( B ) ( ρ B ) ◦ τ − ◦ j A ◦ ι B → A : ρ B ∈ P D ( B ) (cid:9)(cid:1) = T init (cid:0)(cid:8) ι P D ( B ) ( π ( ρ )) ◦ τ − ◦ j A ◦ ι B → A : ρ ∈ P D ( A ) (cid:9)(cid:1) . (6.1.2)Dabei liegen jeweils Mengen von Abbildungen von B in die mit der euklidischen Topologieversehenen komplexen Zahlen C vor. Außerdem bezeichnet π die kanonische Faktorisierungs-abbildung P D ( A ) → P D ( A ) /M = P D ( B ). Um die Aussage des Lemmas zu zeigen, gen¨ugtes folglich, die Gleichheit der beiden Mengen skalarwertiger Abbildungen in (6.1.1) und (6.1.2)nachzuweisen.Dazu sei zun¨achst an die explizite Definition von τ erinnert: τ : ( ( P D ( A ) /M ) ′ → j A ( B ) f f ◦ π Mit diesen Informationen und Definitionen berechnen wir f¨ur beliebige Elemente ρ ∈ P D ( A )und b ∈ B (cid:10) b, ι P D ( B ) ( π ( ρ )) ◦ τ − ◦ j A (cid:11) = (cid:10) τ − ◦ j A ( b ) , ι P D ( B ) ( π ( ρ )) (cid:11) = (cid:10) π ( ρ ) , τ − ( j A ( b )) (cid:11) = (cid:10) ρ, τ − ( j A ( b )) ◦ π (cid:11) = (cid:10) ρ, τ ( τ − ( j A ( b ))) (cid:11) = h ρ, j A ( b ) i = (cid:10) j A ( b ) , ι P D ( A ) ( ρ ) (cid:11) = (cid:10) b, ι P D ( A ) ( ρ ) ◦ j A (cid:11) = (cid:10) b, ι P D ( A ) ( ρ ) ◦ j A ◦ ι B → A (cid:11) . Daraus ergibt sich ι P D ( B ) ( π ( ρ )) ◦ τ − ◦ j A = ι P D ( A ) ( ρ ) ◦ j A ◦ ι B → A und infolge die Gleichheit der Mengen in (6.1.1) und (6.1.2).Die Begriffe eines ∗ -Algebrenhomomorphismus und einer Darstellung werden als N¨achstes umeine Stetigkeitsbedingung erweitert. Wegen der Unterscheidung zwischen der schwachen Opera-tortopologie T w und der ultraschwachen Operatortopologie T uw = T w ∗ ,L b ( H ) geschieht dies aufzwei verschiedene Weisen. 74 efinition 6.1.4. (i) Sei B eine weitere W ∗ -Algebra. Ein ∗ -Algebrenhomomorphismus Φ : A → B heißt W ∗ -Homomorphismus , wenn er T w ∗ ,A |T w ∗ ,B -stetig ist. Ein bijektiver W ∗ -Homomorphismus,der zus¨atzlich ein Hom¨oomorphismus bez¨uglich der schwach-*-Topologien ist, heißt W ∗ -Isomorphismus .(ii) Einen W ∗ -Homomorphismus Φ : A → L b ( H ), also einen T w ∗ ,A |T uw -stetigen ∗ -Algebren-homomorphismus, nennt man W ∗ -Darstellung . Dabei heißt Φ treu , wenn Φ injektiv ist.(iii) Ist Φ : A → L b ( H ) ein ∗ -Homomorphismus, der T w ∗ ,A |T w -stetig ist, so heißt Φ Von-Neumann-Darstellung . Im Falle der Injektivit¨at heißt Φ dabei treu .Man beachte, dass der Begriff der Von-Neumann-Darstellung schw¨acher als der einer W ∗ -Darstellung A → L b ( H ) ist, da T w gr¨ober als T uw ist.Zun¨achst beweisen wir ein Analogon von Satz 3.2.3. Satz 6.1.5.
Sei B (i) eine W ∗ -Algebra oder(ii) B = L b ( H ) und sei Φ : A → B ein injektiver ∗ -Homomorphismus, der(i) T w ∗ ,A |T w ∗ ,B -stetig oder(ii) T w ∗ ,A |T w -stetig (d. h. eine treue Von-Neumann-Darstellung)ist. Dann ist ran Φ eine W ∗ -Unteralgebra von B , also im Fall (ii) eine Von-Neumann-Algebra.Außerdem ist Φ − : ran Φ → A jedenfalls ein W ∗ -Homomorphismus.Beweis. Wir setzen C := ran Φ. Nach dem Satz von Banach-Dieudonn´e gen¨ugt es f¨ur die ersteAussage zu zeigen, dass C ∩ S B abgeschlossen bez¨uglich T w ∗ ,B ist. Gem¨aß Satz 3.2.3 ist Φisometrisch, woraus C ∩ S B = Φ( S A ) folgt. In Fall (i) erhalten wir, dass C ∩ S B als stetiges Bildeines Kompaktums T w ∗ ,B -kompakt und daher T w ∗ ,B -abgeschlossen ist. In Fall (ii) erhalten wiranalog die T w -Abgeschlossenheit von Φ( S A ). Daraus folgt die Abgeschlossenheit bez¨uglich derSpurtopologie ( T w ) | S B = ( T uw ) | S B ; vgl. Korollar 4.1.5(ii). Aus der T uw -Abgeschlossenheit von S B erhalten wir Φ( S A ) T uw ⊆ S B . Daraus ergibt sich die BeziehungΦ( S A ) = Φ( S A ) ( T uw ) | SB = Φ( S A ) T uw ∩ S B = Φ( S A ) T uw , (6.1.3)und somit die gew¨unschte Abgeschlossenheit bez¨uglich T uw = T w ∗ ,B .F¨ur die zweite Aussage gilt zun¨achst einmal, dass Φ − : C → A genau dann T w ∗ ,C |T w ∗ ,A -stetig ist, wenn j A ◦ Φ − : C → P D ( A ) ′ stetig bez¨uglich T w ∗ ,C | σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) ist. Dieswiederum ist – unter Verwendung der Notation aus Lemma 6.1.3 – genau dann der Fall, wenndie Verkettungen ι A ( ρ ) ◦ j A ◦ Φ − : C → C f¨ur alle ρ ∈ P D ( A ) stetig bez¨uglich T w ∗ ,C |T C sind.Da es sich dabei um lineare Funktionale handelt, haben wir nach einem bekannten Satz derFunktionalanalysis die T w ∗ ,C -Abgeschlossenheit der Kerneker (cid:0) ι A ( ρ ) ◦ j A ◦ Φ − (cid:1) = ( j A ◦ Φ − ) − (ker ι A ( ρ )) = Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) (cid:1) zu untersuchen. Dazu betrachten wir den SchnittΦ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) (cid:1) ∩ S B = Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) ∩ S A (cid:1) . ι A ( ρ ) ist trivialerweise σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A ))-abgeschlossen, womit das j − A -Bild da-von wegen der Hom¨oomorphie T w ∗ ,A -abgeschlossen ist. Die Einheitskugel S A ist T w ∗ ,A -kompakt,sodass j − A (ker ι A ( ρ )) ∩ S A ebenfalls T w ∗ ,A -kompakt ist. In Fall (i) folgt daraus die T w ∗ ,B -Kompaktheit, insbesondere Abgeschlossenheit, von Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) ∩ S A (cid:1) . Eine Anwendungdes Satzes von Banach-Dieudonn´e liefert die Abgeschlossenheit von Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) (cid:1) bez¨uglich T w ∗ ,B . Da C bez¨uglich T w ∗ ,B abgeschlossen ist, ist dies analog zu (6.1.3) gleichbedeutend zurAbgeschlossenheit bez¨uglich ( T w ∗ ,B ) | C . Nach Lemma 6.1.3 stimmt jene Topologie mit T w ∗ ,C ¨uberein, sodass die behauptete Aussage unmittelbar folgt. In Fall (ii) erhalten wir auf analogeWeise die T w -Abgeschlossenheit von Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) ∩ S A (cid:1) . Aus der Inklusion T uw ⊇ T w ergibtsich T uw -Abgeschlossenheit. Da die ultraschwache Operatortopologie mit T w ∗ ,B ¨ubereinstimmt,erhalten wir wie in Fall (i) die Abgeschlossenheit von Φ (cid:0) j − A (ker ι A ( ρ )) (cid:1) bez¨uglich ( T w ∗ ,B ) | C = T w ∗ ,C .Formuliert man diesen Satz etwas um, so ergeben sich sehr pr¨agnante Aussagen ¨uber injek-tive W ∗ -Homomorphismen. Ein weiteres Argument liefert einen interessanten Zusammenhangzwischen treuen W ∗ -Darstellungen und Von-Neumann-Darstellungen. Korollar 6.1.6. (i) Ist B eine W ∗ -Algebra und Φ : A → B ein bijektiver W ∗ -Homomorphismus, so ist Φ auchein Hom¨oomorphismus, wenn man A und B mit den jeweiligen schwach-*-Topologienversieht. Mit anderen Worten ist Φ ein W ∗ -Isomorphismus.(ii) Ist B eine W ∗ -Algebra und Φ : A → B ein injektiver W ∗ -Homomorphismus, so ist ran Φ eine W ∗ -Unteralgebra von B . Außerdem sind A und ran Φ isomorph als W ∗ -Algebren(d. h. es existiert ein W ∗ -Isomorphismus von A auf ran Φ ).(iii) Eine treue Von-Neumann-Darstellung Φ : A → L b ( H ) ist auch eine treue W ∗ -Darstellung.In diesem Fall ist ran Φ eine zu A als W ∗ -Algebra isomorphe Von-Neumann-Algebra.Beweis. Die Aussage (i) folgt unmittelbar aus Satz 6.1.5(i), zum Beweis von (ii) kombinierenwir (i) mit Satz 6.1.5(i).F¨ur Aussage (iii) gilt nach Satz 6.1.5(ii), dass ran Φ eine Von-Neumann-Algebra ist, also f¨ursich eine W ∗ -Algebra, wobei noch Φ − : ran Φ → A ein W ∗ -Homomorphismus ist. Klarerwei-se ist Φ − injektiv, sodass Satz 6.1.5(i), angewandt auf Φ − , die T w ∗ ,A |T w ∗ , ran Φ -Stetigkeit von (cid:0) Φ − (cid:1) − = Φ liefert. Aus Lemma 6.1.3 folgt T w ∗ , ran Φ = ( T w ∗ ,L b ( H ) ) | ran Φ , womit wegen elemen-tarer topologischer Sachverhalte die Abbildung Φ : A → L b ( H ) auch T w ∗ ,A |T w ∗ ,L b ( H ) -stetig ist.Mit anderen Worten ist Φ : A → L b ( H ) eine treue W ∗ -Darstellung. Die Isomorphieaussage folgtaus (ii).Damit k¨onnen wir – erneut in Analogie zu Kapitel 3 – nach einer treuen Von-Neumann-Darstellung fragen, um die in unserer Versch¨arfung des Satzes von Sakai behauptete W ∗ -Isomorphie von A und einer Von-Neumann-Algebra zu beweisen. Es w¨are sicherlich nat¨urlicher,eine treue W ∗ -Darstellung zu suchen; die Stetigkeit bez¨uglich der schwachen Operatortopologiewird sich aber als wesentlich leichter handhabbar herausstellen. Daher kann unser Vorgehenals weiteres Beispiel f¨ur den freien Wechsel zwischen den drei Operatortopologien auf L b ( H )gesehen werden. Wegen Satz 3.2.3 ist dieser ∗ -Algebrenisomorphismus automatisch isometrisch, sodass A und ran Φ auchisometrisch isomorph sind. .2 Beweis des Satzes Wir wollen erneut die GNS-Konstruktion f¨ur positive Funktionale ben¨utzen. Wegen der zus¨atz-lichen topologischen Struktur auf einer W ∗ -Algebra ist relativ klar, dass wir uns dabei auf dieschwach-*-stetigen Funktionale beschr¨anken m¨ussen. Im Folgenden verwenden wir die Notationaus Kapitel 3. Lemma 6.2.1.
Die von einem schwach-*-stetigen, positiven Funktional ϕ induzierte GNS-Dar-stellung Φ ϕ : A → L b ( H ϕ ) ist eine Von-Neumann-Darstellung.Beweis. Die zu zeigende T w ∗ ,A |T w -Stetigkeitsbedingung ist zur Stetigkeit aller Funktionale f x,y : ( A → C a (Φ ϕ ( a ) x, y ) H ϕ ¨aquivalent. Wegen Korollar 1.1.5 und Bemerkung 5.1.6(ii) gen¨ugt der Beweis der Stetigkeit derEinschr¨ankung auf die Einheitskugel S . Da nach Konstruktion der Pr¨ahilbertraum A/N ϕ dichtin H ϕ ist, gibt es Folgen ( x n ) n ∈ N = (˜ x n + N ϕ ) n ∈ N bzw. ( y n ) n ∈ N = (˜ y n + N ϕ ) n ∈ N aus A/N ϕ , diegegen x bzw. y konvergieren. Insbesondere ist ( x n ) n ∈ N als konvergente Folge auch beschr¨ankt,d. h. k x n k H ϕ ≤ C f¨ur alle n ∈ N . Die Funktionale f x n ,y n erf¨ullen f¨ur beliebiges a ∈ S wegen k Φ ϕ k ≤ | f x,y ( a ) − f x n ,y n ( a ) | = (cid:12)(cid:12)(cid:12) (Φ ϕ ( a )( x − x n ) , y ) H ϕ + (Φ ϕ ( a ) x n , y − y n ) H ϕ (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ (cid:12)(cid:12)(cid:12) (Φ ϕ ( a )( x − x n ) , y ) H ϕ (cid:12)(cid:12)(cid:12) + (cid:12)(cid:12)(cid:12) (Φ ϕ ( a ) x n , y − y n ) H ϕ (cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ k Φ ϕ k k a k k x − x n k H ϕ k y k H ϕ + k Φ ϕ k k a k k x n k H ϕ k y − y n k H ϕ ≤ k x − x n k H ϕ k y k H ϕ + C k y − y n k H ϕ . (6.2.1)Dieser Ausdruck konvergiert f¨ur n → ∞ gegen 0 und ist von a unabh¨angig, sodass f x n ,y n auf S gleichm¨aßig gegen f x,y konvergiert. Wegen f x n ,y n ( a ) = (Φ ϕ ( a )(˜ x n + N ϕ ) , ˜ y n + N ϕ ) H ϕ = ( a ˜ x n + N ϕ , ˜ y n + N ϕ ) H ϕ = ϕ (( a ˜ x n ) ∗ ˜ y n ) = ϕ (˜ x ∗ n a ∗ ˜ y n )ist die Funktion f x n ,y n als Verkettung der Operation . ∗ , der multiplikativen Translationen b ˜ x ∗ n b und b b ˜ y n sowie des Funktionals ϕ schwach-*-stetig; siehe Korollar 5.3.2 und Satz 5.3.7.Damit ist f x,y als gleichm¨aßiger Grenzwert stetiger Abbildungen selbst stetig auf S .Nun sind wir in der Lage, die angestrebte treue Von-Neumann-Darstellung zu definieren. Dazubetrachten wir die Menge S w ∗ ( A ) aller schwach-*-stetigen Zust¨ande auf A und die von ihneninduzierten GNS-Darstellungen Φ ϕ : A → L b ( H ϕ ). Analog zum Beweis des Satzes von Gelfand-Naimark definieren wir die direkte Summe H := L ϕ ∈S w ∗ ( A ) H ϕ und die Abbildung Φ : A → L b ( H ) unter Verwendung von (3.2.3). Klarerweise handelt es sich dabei um eine Darstellung(im Sinne von Definition 3.2.1), die wir die universelle W ∗ -Darstellung nennen . Der Satz vonSakai bekommt die folgende Form: Satz 6.2.2 (Sakai) . Die universelle W ∗ -Darstellung Φ von A ist eine treue Von-Neumann- und W ∗ -Darstellung. Insbesondere ist A isomorph als W ∗ -Algebra zu einer Von-Neumann-Algebra. Man beachte, dass sich diese Aussage auf die Normtopologie von H ϕ bezieht, weshalb Folgen ausreichendsind. Dass es sich dabei um eine W ∗ -Darstellung handelt, wird aber erst der Satz von Sakai zeigen. eweis. Der Beweis gliedert sich in zwei Teile. Wir m¨ussen zeigen, dass Φ eine Von-Neumann-Darstellung ist und dass Φ treu ist. Diese Tatsachen gemeinsam mit Korollar 6.1.6 liefern danndie Aussage.Mit vollkommen analoger Begr¨undung zum Beweis von Lemma 6.2.1 gen¨ugt es f¨ur den erstenTeil zu zeigen, dass die Funktionale f x,y ( a ) := (Φ( a ) x, y ) H = P ϕ ∈S w ∗ ( A ) (Φ ϕ ( a ) x ϕ , y ϕ ) H ϕ auf S stetig sind, wobei x, y ∈ H beliebig zu w¨ahlen sind. Die Menge Y := (cid:8) ( x ϕ ) ϕ ∈S w ∗ ( A ) ∈ H : x ϕ = 0 nur f¨ur endlich viele ϕ ∈ S w ∗ ( A ) (cid:9) ist in H dicht, sodass Folgen ( x n ) n ∈ N , ( y n ) n ∈ N aus Y existieren mit x n → x und y n → y . DieAbsch¨atzung (6.2.1) zeigt, dass die Funktionenfolge f x n ,y n | S gleichm¨aßig gegen f x,y | S konver-giert. Somit gen¨ugt es, die Stetigkeit der Funktionale f x n ,y n zu zeigen. Anders formuliert k¨onnenwir uns auf den Fall x = ( x ϕ ) ϕ ∈S w ∗ ( A ) , y = ( y ϕ ) ϕ ∈S w ∗ ( A ) ∈ Y beschr¨anken. Nach Definition von Y gibt es endliche Mengen F x , F y ∈ E ( S w ∗ ( A )) mit x ϕ = 0 f¨ur alle ϕ / ∈ F x und y ϕ = 0 f¨ur alle ϕ / ∈ F y . Die Menge F := F x ∪ F y ist klarerweise ebenfalls endlich und es gilt x ϕ = 0 = y ϕ f¨urjedes ϕ / ∈ F . Wir erhalten f x,y ( a ) = X ϕ ∈ F (Φ ϕ ( a ) x ϕ , y ϕ ) H ϕ . Die einzelnen Summanden sind T w ∗ ,A -stetig, da die Φ ϕ Von-Neumann-Darstellungen sind, womitauch deren endliche Summe stetig ist.F¨ur den zweiten Teil sei Φ( a ) = 0, also Φ ϕ ( a ) = 0 f¨ur alle ϕ ∈ S w ∗ ( A ). Setzen wir Elementeder Form b + N ϕ in Φ ϕ ( a ) = 0 ein, so erhalten wir ab + N ϕ = 0, also ab ∈ N ϕ , f¨ur alle b ∈ A . Das bedeutet ϕ (( ab ) ∗ ab ) = 0 f¨ur beliebiges ϕ ∈ S w ∗ ( A ). Durch n¨otigenfalls erforderlichesSkalieren gilt dies sogar f¨ur alle schwach-*-stetigen, positiven Funktionale. Aus Korollar 5.3.3folgt ( ab ) ∗ ( ab ) = 0 und daher ab = 0. Setzen wir b = a ∗ , so ergibt sich k a k = k a ∗ k = k aa ∗ k / = 0 . Bemerkung . Nach Lemma 6.1.3 ist die schwach-*-Topologie auf einer Von-Neumann-Algebra genau die Spurtopologie der ultraschwachen Operatortopologie. Bei unserem abstraktenund axiomatischen Zugang zu Von-Neumann-Algebren kann daher die ultraschwache Topologieam ehesten als kanonische Wahl unter den Operatortopologien angesehen werden. Es sei daranerinnert, dass in Definition 4.2.7 alle drei Operatortopologien T s , T w , T uw gleichberechtigt sind.78 apitel 7 Eindeutigkeit
So erfolgreich der Begriff der W ∗ -Algebren dabei ist, Von-Neumann-Algebren zu axiomatisieren,so unbefriedigend erscheint die Definition. Eine W ∗ -Algebra ist ja eine C ∗ -Algebra, die (alsBanachraum) isometrisch isomorph zum Dualraum eines Banachraums ist. Davon ausgehendhaben wir die schwach-*-Topologie auf A definiert, sodass die gesamte Theorie an die Wahldes Pr¨adualraums und des isometrischen Isomorphismus ankn¨upft. Legt die Struktur von A diese beiden Objekte nicht in ausreichender Weise fest, so w¨are es denkbar, dass ein weitererBanachraum samt isometrischem Isomorphismus existiert, der eine andere schwach-*-Topologieauf A induziert. Dies w¨are nicht nur ¨asthetisch unvorteilhaft, sondern k¨onnte die Analyse von W ∗ -Algebren erschweren – f¨ur die ”gleiche“ W ∗ -Algebra k¨onnte die G¨ultigkeit einer Aussagedavon abh¨angen, welche Topologie man betrachtet. F¨ur Banachr¨aume
P D ( A ) und P D ( A ) sowie isometrische Isomorphismen j : A → P D ( A ) ′ und j : A → P D ( A ) ′ ist klarerweise j ◦ j − ein isometrischer Isomorphismus zwischen P D ( A ) ′ und P D ( A ) ′ . Es ist zu zeigen, dass auch P D ( A ) und P D ( A ) isometrisch isomorph sind, wobei derIsomorphismus P D ( A ) → P D ( A ) mit den Abbildungen j und j in gewisser Weise vertr¨aglichsein muss. Es w¨are ja auch m¨oglich, dass es zu einem festen Pr¨adualraum zwei verschiedene iso-metrische Isomorphismen gibt, die verschiedene schwach-*-Topologien induzieren. Dass bereitsder erste Schritt alles andere als trivial ist, zeigt das folgende Beispiel.
Beispiel 7.1.1.
Der Raum c ( N , C ) der konvergenten, komplexwertigen Folgen und der Raum c ( N , C ) der komplexwertigen Nullfolgen, beide versehen mit der Supremumsnorm k ( x n ) n ∈ N k ∞ := sup n ∈ N | x n | , haben bis auf isometrische Isomorphie den gleichen Dualraum. Es gilt n¨amlich( c ( N , C ) , k·k ∞ ) ′ ∼ = ( ℓ ( N , C ) , k·k ) ∼ = ( c ( N , C ) , k·k ∞ ) ′ (7.1.1)mit dem Raum ℓ ( N , C ) der absolut summierbaren Folgen. Dabei sind die Isomorphismen79 ( N , C ) → c ( N , C ) ′ bzw. ℓ ( N , C ) → c ( N , C ) ′ durch j : ( ℓ ( N , C ) → c ( N , C ) ′ ( y n ) n ∈ N (cid:16) ( x n ) n ∈ N P ∞ n =1 x n y n (cid:17) sowie j : ( ℓ ( N , C ) → c ( N , C ) ′ ( y n ) n ∈ N (cid:16) ( x n ) n ∈ N (lim n →∞ x n ) · y + P ∞ n =1 x n y n +1 (cid:17) gegeben. Wir zeigen zun¨achst, dass j isometrisch ist. Ist y = ( y n ) n ∈ N ∈ ℓ ( N , C ), so zeigtdirektes Nachrechnen k j ( y ) k ≤ k y k . F¨ur die umgekehrte Ungleichung sei α n ∈ C mit | α n | = 1und α n y n = | y n | . Die Folge x := ( x n ) n ∈ N definiert durch x n := ( α n , n ≤ N , sonstist f¨ur N ∈ N klarerweise in c ( N , C ) enthalten mit k x k ∞ = 1. Daraus folgt k j ( y ) k ≥ h x, j ( y ) i = N X n =1 α n y n = N X n =1 | y n | . Lassen wir in dieser Ungleichung N gegen ∞ streben, so erhalten wir k j ( y ) k ≥ ∞ X n =1 | y n | = k y k , (7.1.2)womit die Isometrie von j gezeigt ist. F¨ur den Nachweis der Surjektivit¨at sei ϕ ∈ c ( N , C ) ′ gegeben. Wir definieren y n := h e n , ϕ i , wobei e n := ( δ nk ) k ∈ N die n -te kanonische Folge ist.Setzen wir y := ( y n ) n ∈ N und davon ausgehend α n sowie x wie oben, so folgt ¨ahnlich wie in(7.1.2) die Absch¨atzung k ϕ k ≥ P ∞ n =1 | y n | . Insbesondere erhalten wir y ∈ ℓ ( N , C ). Aus derLinearit¨at von ϕ und j ( y ) ergibt sich, dass die beiden Funktionale auf span { e n : n ∈ N } , alsoauf jenen Folgen mit nur endlich vielen Eintr¨agen ungleich 0, ¨ubereinstimmen. Dieser Raum istdicht in c ( N , C ), sodass wir wegen der Stetigkeit ϕ = j ( y ) erhalten.F¨ur j argumentieren wir analog. Um die Isometrie nachzuweisen, ist wieder nur k j ( y ) k ≥ k y k f¨ur alle y = ( y n ) n ∈ N ∈ ℓ ( N , C ) zu zeigen. Dazu sei α n definiert wie oben. Wir betrachten x n := ( α n +1 , n ≤ Nα , sonstund bemerken x = ( x n ) n ∈ N ∈ c ( N , C ) mit lim n →∞ x n = α und k x k ∞ = 1. Es gilt also k j ( y ) k ≥ h x, j ( y ) i = α y + N X n =1 α n +1 y n +1 + α ∞ X n = N +1 y n +1 = N +1 X n =1 | y n | + α ∞ X n = N +2 y n . Der Grenz¨ubergang N → ∞ liefert auch hier die gew¨unschte Ungleichung k j ( y ) k ≥ k y k . ZumBeweis der Surjektivit¨at sei ϕ ∈ c ( N , C ) ′ beliebig. Klarerweise ist die Einschr¨ankung von ϕ auf c ( N , C ) in c ( N , C ) ′ enthalten, sodass wir nach dem Obigen ϕ | c ( N , C ) = j ( z ) f¨ur eine Folge z = ( z n ) n ∈ N ∈ ℓ ( N , C ) schreiben k¨onnen. Wir definieren e := (1 , , . . . ) ∈ c ( N , C ) und damit80 := h e, ϕ i . F¨ur x = ( x n ) n ∈ N ∈ c ( N , C ) liegt die Folge x − (lim k →∞ x k ) · e in c ( N , C ). Darausfolgt h x, ϕ i = (cid:28) x − (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · e, ϕ (cid:29) + (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · h e, ϕ i = (cid:28) x − (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · e, j ( z ) (cid:29) + (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · h e, ϕ i = ∞ X n =1 (cid:18) x n − lim k →∞ x k (cid:19) z n + (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · γ == ∞ X n =1 x n z n + (cid:18) lim k →∞ x k (cid:19) · γ − ∞ X n =1 z n ! . Somit k¨onnen wir y := γ − P ∞ n =1 z n und y n +1 := z n setzen, um ϕ = j ( y ) zu erhalten. Wirhaben also (7.1.1) gezeigt.Allerdings sind c ( N , C ) und c ( N , C ) nicht isometrisch isomorph: Die konstante Folge e =(1 , , . . . ) ist ein Extremalpunkt der Einheitskugel in c ( N , C ), im Raum c ( N , C ) hat die Ein-heitskugel hingegen keine Extremalpunkte.In unserer Argumentation werden wir ausgehend von A anstelle des schwer fassbaren Pr¨adual-raums den Dualraum untersuchen. Als Motivation daf¨ur kann die Tatsache dienen, dass sichf¨ur eine herk¨ommliche schwach-*-Topologie σ ( X ′ , X ) in Banachr¨aumen der Pr¨adualraum X ausdem Dualraum zur¨uckgewinnen l¨asst. Es gilt n¨amlich ( X ′ , σ ( X ′ , X )) ′ = ι ( X ) mit der kanoni-schen Einbettung ι : X → X ′′ . Dabei werden wir zeigen, dass man die schwach-*-Stetigkeiteines Funktionals ϕ : A → C auch ohne direkte Bezugnahme auf die Topologie und damit denPr¨adualraum charakterisieren kann, n¨amlich ¨uber die Ordnungsstruktur auf A . Direkt gelingtdies allerdings nur f¨ur positive Funktionale, sodass wir anschließend noch ein Zerlegungsresultatf¨ur Funktionale verwenden.Bis auf Weiteres halten wir einen Pr¨adualraum
P D ( A ) und einen isometrischen Isomorphismus j : A → P D ( A ) ′ fest und betrachten die davon ausgehend definierte schwach-*-Topologie T w ∗ auf A .F¨ur das erste Ziel sind noch einige Vorarbeiten notwendig. Zun¨achst definieren wir eine weitereTopologie auf A . Dazu verwenden wir nochmals den allerersten Schritt der Konstruktion deruniversellen ( W ∗ -)Darstellung, n¨amlich die Verbindung zwischen positiven Funktionalen undSeminormen, vgl. Lemma 3.1.3(iv). Definition 7.1.2. (i) Sei ϕ ein schwach-*-stetiges, positives Funktional auf A . Die Seminorm α ϕ auf A seidefiniert durch α ϕ ( x ) := ϕ ( x ∗ x ) / .(ii) Die von der Familie { α ϕ : ϕ ist schwach-*-stetig und positiv } von Seminormen erzeugtelokalkonvexe Topologie auf A heißt die q-Topologie , in Zeichen T q,A oder k¨urzer T q .Bevor wir fortfahren, ist zu kl¨aren, dass die Familie von Seminormen aus dieser Definitionseparierend ist. Dies ergibt sich unmittelbar aus Korollar 5.3.3: Ist n¨amlich ϕ ( x ∗ x ) / = 0 f¨uralle schwach-*-stetigen und positiven Funktionale ϕ , so folgt aus dem Korollar x ∗ x = 0 unddaraus k x k = k x ∗ x k / = 0.Es sei noch betont, dass auch bei der q-Topologie P D ( A ) und j in die Definition eingehen; wirunterdr¨ucken diese Abh¨angigkeit allerdings zwecks ¨ubersichtlicherer Notation.81 emerkung . Die Konstruktion der q-Topologie verwendet eine andere Sichtweise auf dieGNS-Konstruktion als bei der universellen ( W ∗ -)Darstellung; vgl. Bemerkung 3.2.6. Es wirktn¨amlich nicht A auf einem Hilbertraum H , sondern wir betrachten die Konstruktion des zu-grundeliegenden Hilbertraums H . Auch dabei waren die Seminormen α ϕ der Ausgangspunkt –um einen Hilbertraum zu erhalten, haben wir zus¨atzlich nach dem isotropen Anteil faktorisiert,was f¨ur die q-Topologie nicht notwendig war.Ein wesentlicher Zwischenschritt ist es zu zeigen, dass der Dualraum ( A, T q ) ′ mit ( A, T w ∗ ) ′ ¨ubereinstimmt; mit anderen Worten sind genau die schwach-*-stetigen Funktionale auch be-z¨uglich der q-Topologie stetig. Das entscheidende Hilfsmittel dazu ist die Mackey-Topologie;siehe Definition 1.1.11. Da wir die Mackey-Topologie zur schwach-*-Topologie auf A ben¨otigen,gehen wir analog zur Definition von T w ∗ vor und definieren die Mackey-Topologie auf A mithilfevon j und der Mackey-Topologie τ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )). Definition 7.1.4.
Das Mengensystem T τ,A := (cid:8) j − ( O ) : O ∈ τ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) (cid:9) – oder k¨ur-zer T τ – bezeichnet man als Mackey-Topologie auf A . Bemerkung . (i) Da j sowohl als Abbildung j : ( A, T w ∗ ) → (cid:0) P D ( A ) ′ , σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) (cid:1) als auch als Abbildung j : ( A, T τ ) → (cid:0) P D ( A ) ′ , τ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) (cid:1) ein Hom¨oomorphismus ist, vererbt sich der Satz von Mackey-Arens, Satz 1.1.13, von dergew¨ohnlichen Mackey-Topologie auf die Mackey-Topologie T τ,A ; vgl. Bemerkung 5.1.6(ii)f¨ur analoge Aussagen ¨uber die schwach-*-Topologie auf A .(ii) Ein Netz ( x i ) i ∈ I aus A konvergiert genau dann gegen x ∈ A bez¨uglich der Mackey-Topologie T τ , wenn ( j ( x i )) i ∈ I bez¨uglich τ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) gegen j ( x ) konvergiert. Ex-plizit bedeutet das, dass f¨ur alle ǫ > σ ( P D ( A ) , P D ( A ) ′ ) kompakten Mengen C ⊆ P D ( A ) ein i ∈ I existiert, sodass f¨ur jedes ρ ∈ C und i < i die Ungleichung |h ρ, j ( x i ) − j ( x ) i| < ǫ gilt.Wir wollen Konvergenz bez¨uglich T τ ohne Verweis auf den Pr¨adualraum charakterisieren. Diekonjugierte Abbildung j ′ : P D ( A ) ′′ → ( A, T ( k·k )) ′ ist ebenfalls ein isometrischer Isomorphis-mus. Mit dieser Notation gilt h ρ, j ( x i ) − j ( x ) i = h j ( x i − x ) , ι ( ρ ) i = (cid:10) x i − x, j ′ ( ι ( ρ )) (cid:11) . (7.1.3)Wir erhalten, dass Konvergenz bez¨uglich der Mackey-Topologie auf A ¨aquivalent ist zur gleich-gradig schwachen Konvergenz (vgl. Bemerkung 1.1.12) auf den j ′ ◦ ι -Bildern der bez¨uglich σ ( P D ( A ) , P D ( A ) ′ ) kompakten Teilmengen von P D ( A ). Es ist wohlbekannt bzw. leicht zupr¨ufen, dass die kanonische Einbettung ι : P D ( A ) → P D ( A ) ′′ betrachtet als Abbildung ι : (cid:0) P D ( A ) , σ ( P D ( A ) , P D ( A ) ′ ) (cid:1) → (cid:0) ι ( P D ( A )) , σ ( P D ( A ) ′′ , P D ( A ) ′ ) | ι ( P D ( A )) (cid:1) (7.1.4)ein Hom¨oomorphismus ist. Somit durchlaufen die Bilder ι ( C ) f¨ur σ ( P D ( A ) , P D ( A ) ′ )-kompakteMengen C genau die σ ( P D ( A ) ′′ , P D ( A ) ′ )-kompakten Teilmengen von ι ( P D ( A )). Es geht alsoum die Frage, welche Mengen als j ′ -Bilder davon auftreten.82 otation 7.1.6. Im Folgenden bezeichnet A stets den Dualraum von A bez¨uglich der schwach-*-Topologie, d. h. A := ( A, T w ∗ ) ′ .Da sich herausstellen wird, dass die schwach-*-Topologie eindeutig bestimmt ist, wird auch A nicht vom gew¨ahlten Pr¨adualraum abh¨angen; siehe Korollar 7.1.20. Daher muss der Pr¨adual-raum nicht durch die Notation reflektiert werden. Lemma 7.1.7. (i) Die Einschr¨ankung von j ′ auf ι ( P D ( A )) ist ein Hom¨oomorphismus j ′ | ι ( P D ( A )) : (cid:0) ι ( P D ( A )) , σ ( P D ( A ) ′′ , P D ( A ) ′ ) | ι ( P D ( A )) (cid:1) → (cid:16) A , σ ( A , A ) (cid:17) . (ii) Ein Netz ( x i ) i ∈ I aus A konvergiert genau denn gegen x ∈ A bez¨uglich der Mackey-Topologieauf A , wenn das Netz auf den kreisf¨ormigen, konvexen und σ ( A , A ) -kompakten Teilmen-gen von A gleichgradig schwach konvergiert.Beweis. (i) Bisher wissen wir nur, dass j ′ bijektiv ist als Abbildung vom gesamten Bidualraum P D ( A ) ′′ in den Dualraum von A bez¨uglich der Normtopologie; f¨ur das Lemma betrachtenwir die Einschr¨ankung von j ′ auf ι ( P D ( A )) und den Dualraum bez¨uglich der schwach-*-Topologie auf A .Daher zeigen wir zun¨achst, dass die Einschr¨ankung j ′ | ι ( P D ( A )) tats¨achlich nach A abbil-det. Nach Definition der schwach-*-Topologie auf A ist ein Funktional ϕ : A → C genaudann T w ∗ -stetig, wenn ϕ ◦ j − stetig bez¨uglich σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) ist. F¨ur ρ ∈ P D ( A )gilt j ′ ( ι ( ρ )) ◦ j − = ι ( ρ ) ◦ j ◦ j − = ι ( ρ ) , (7.1.5)womit die Behauptung gezeigt ist.Aus (7.1.5) folgt auch die Surjektivit¨at von j ′ | ι ( P D ( A )) : Ist ϕ ein schwach-*-stetiges Funk-tional auf A , so ist ϕ ◦ j − ein σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A ))-stetiges Funktional. Somit gilt ϕ ◦ j − = ι ( ρ ) f¨ur ein ρ ∈ P D ( A ) oder anders formuliert ϕ = j ′ ( ι ( ρ )).Da j ′ als Abbildung von P D ( A ) ′′ in den Dualraum von A bez¨uglich der Normtopologieein isometrischer Isomorphismus ist, ist j ′ und insbesondere die Einschr¨ankung j ′ | ι ( P D ( A )) injektiv.F¨ur die Hom¨oomorphie-Eigenschaft sei ( ι ( ρ i )) i ∈ I ein Netz in ι ( P D ( A )) und x ∈ A beliebig.Es gilt (cid:10) x, j ′ ( ι ( ρ i )) (cid:11) = h x, ι ( ρ i ) ◦ j i = h j ( x ) , ι ( ρ i ) i . Da j surjektiv ist, folgt daraus, dass ( j ′ ( ι ( ρ i ))) i ∈ I genau dann bez¨uglich σ ( A , A ) gegen0 konvergiert, wenn ( ι ( ρ i )) i ∈ I bez¨uglich σ ( P D ( A ) ′′ , P D ( A ) ′ ) | ι ( P D ( A )) gegen 0 konvergiert.Dies ist ¨aquivalent dazu, dass j ′ | ι ( P D ( A )) ein Hom¨oomorphismus bez¨uglich der oben ange-gebenen Topologien ist.(ii) Folgt sofort aus (i) und den Bemerkungen vor diesem Lemma.Mit der Topologie σ ( A , A ) auf A wird es m¨oglich, Abbildungen, die Funktionale auf A liefern,auf Stetigkeit zu ¨uberpr¨ufen. Ein Beispiel f¨ur eine derartige Operation ist die folgende Definition,die wir zun¨achst f¨ur beliebige, nicht notwendigerweise schwach-*-stetige Funktionale einf¨uhren.83 efinition 7.1.8. Sei ϕ ein Funktional auf A und a ∈ A . Das Funktional L a ϕ ist definiertdurch ( L a ϕ )( x ) := ϕ ( ax ).Vor dem Hintergrund von 7.1.7(ii) wird das folgende Stetigkeitsresultat sehr n¨utzlich sein. Lemma 7.1.9.
Sei ϕ ein schwach-*-stetiges Funktional auf A . Die Funktion a L a ϕ ist stetigals Abbildung ( A, T w ∗ ) → ( A , σ ( A , A )) . Insbesondere ist L rS ϕ := { L a ϕ : a ∈ rS } f¨ur jedes r > kompakt bez¨uglich σ ( A , A ) .Beweis. Da sowohl die Translation x ax als auch ϕ schwach-*-stetig sind, gilt L a ϕ ∈ A .Gelte nun a i → a bez¨uglich T w ∗ f¨ur ein Netz ( a i ) i ∈ I . Wieder wegen der Stetigkeit einer Trans-lation, diesmal von b bx f¨ur festes x ∈ A , gilt a i x → ax , sodass aus der schwach-*-Stetigkeitvon ϕ die Konvergenz h x, L a i ϕ i = ϕ ( a i x ) → ϕ ( ax ) = h x, L a ϕ i folgt. Somit ist die behauptete Stetigkeit gezeigt.Die zweite Aussage ergibt sich sofort aus der T w ∗ -Kompaktheit der Menge rS .Zur Bestimmung des Dualraums ( A, T q ) ′ werden wir das folgende Konzept verwenden. Definition 7.1.10.
Sei ϕ ein lineares Funktional auf A .(i) Das adjungierte Funktional ist definiert durch ϕ ∗ ( x ) := ϕ ( x ∗ ).(ii) Im Falle ϕ ∗ = ϕ heißt ϕ selbstadjungiert .(iii) Die linearen FunktionaleRe ϕ := ( ϕ + ϕ ∗ ) / ϕ := ( ϕ − ϕ ∗ ) / i heißen Real- und
Imagin¨arteil von ϕ .Analog zu Lemma 1.2.7 gilt: Lemma 7.1.11. ϕ ∗ , Re ϕ und Im ϕ sind lineare Funktionale auf A , wobei ϕ = Re ϕ + i Im ϕ .Ist ϕ schwach-*-stetig, so auch ϕ ∗ , Re ϕ und Im ϕ .Beweis. Die erste Aussage ist klar, die zweite folgt aus der schwach-*-Stetigkeit von . ∗ ; sieheKorollar 5.3.2. Lemma 7.1.12.
Es gilt ( A, T q ) ′ = ( A, T w ∗ ) ′ .Beweis. Sei zun¨achst ϕ ein T q -stetiges Funktional auf A . Um die schwach-*-Stetigkeit von ϕ zuzeigen, gen¨ugt es nach dem Satz von Mackey-Arens, Satz 1.1.13 bzw. Bemerkung 7.1.5(i), dieStetigkeit bez¨uglich T τ nachzuweisen. Nach Korollar 1.1.14 wiederum gen¨ugt es, die T τ -Stetigkeitauf der Einheitskugel S zu zeigen. Sei dazu ( x i ) i ∈ I ein bez¨uglich der Mackey-Topologie T τ gegen x konvergentes Netz in S . Wenn wir zeigen, dass ( x i ) i ∈ I auch bez¨uglich der q-Topologie gegen x konvergiert, dann folgt ϕ ( x i ) → ϕ ( x ) und somit die behauptete Stetigkeit. F¨ur jedes schwach-*-stetige und positive Funktional ψ auf A gilt α ψ ( x i − x ) = ψ (cid:0) ( x i − x ) ∗ ( x i − x ) (cid:1) / = (cid:0) ( L ( x i − x ) ∗ ψ )( x i − x ) (cid:1) / . Aus der Dreiecksungleichung folgt ( x i − x ) ∗ = x ∗ i − x ∗ ∈ S , sodass wir L ( x i − x ) ∗ ψ ∈ L S ψ unddaher 0 ≤ α ψ ( x i − x ) ≤ sup κ ∈ L S ψ (cid:0) κ ( x i − x ) (cid:1) / = sup κ ∈ L S ψ κ ( x i − x ) ! / L S ψ kompakt bez¨uglich σ ( A , A ), sodass die rechte Seitenach Lemma 7.1.7(ii) gegen 0 konvergiert. Somit ist x i T q −→ x gezeigt.F¨ur die Umkehrung sei ϕ schwach-*-stetig. Wir zeigen die Stetigkeit von ϕ bei 0 bez¨uglich der q-Topologie. Im gesamten restlichen Beweis sei dazu ( x i ) i ∈ I ein Netz in A , das bez¨uglich T q gegen0 konvergiert. Im Spezialfall eines positiven ϕ impliziert die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung,Lemma 3.1.3(iii), | ϕ ( x i ) | = | ϕ (1 · x i ) | ≤ ϕ (1) / ϕ ( x ∗ i x i ) / = ϕ (1) / α ϕ ( x i ) , sodass wir die Konvergenz ϕ ( x i ) → T q -Stetigkeit von Re ϕ und Im ϕ zu zeigen. Nach Lemma 7.1.11 sind Real- undImagin¨arteil von ϕ ebenfalls schwach-*-stetig, sodass wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheitannehmen k¨onnen, dass ϕ selbstadjungiert ist. Außerdem k¨onnen wir ϕ = 0 annehmen. Wirbetrachten die Menge M := { a ∈ A sa ∩ S : ϕ ( a ) = k ϕ k} und zeigen als Erstes M = ∅ . Da S bez¨uglich T w ∗ kompakt ist, existiert ein b ∈ S mit | ϕ ( b ) | =max x ∈ S | ϕ ( x ) | = k ϕ k . Durch Betrachten eines geeigneten Vielfachen λb f¨ur λ in der komplexenEinheitskreislinie k¨onnen wir ϕ ( b ) > ϕ ∗ = ϕ gilt ϕ ( b ∗ ) = ϕ ∗ ( b ) = ϕ ( b ).Daraus folgt ϕ (Re b ) = 12 ( ϕ ( b ) + ϕ ( b ∗ )) = 12 ( ϕ ( b ) + ϕ ( b )) = Re ϕ ( b ) = ϕ ( b ) = k ϕ k . (7.1.6)Das Element Re b ∈ A sa ∩ S liegt somit in M . Weiters ist M als T w ∗ -abgeschlossene Teilmenge von S kompakt bez¨uglich T w ∗ und hat daher nach dem Satz von Krein-Milman einen Extremalpunkt,den wir mit a bezeichnen. Wir behaupten, dass a sogar ein Extremalpunkt von ganz A sa ∩ S ist. Ist n¨amlich a = ( c + d ) / c, d ∈ A sa ∩ S , so erhalten wir Re ϕ ( c ) = ϕ (Re c ) = ϕ ( c ) wiein (7.1.6), also ϕ ( c ) ∈ R . Analog gilt auch ϕ ( d ) ∈ R . Daraus folgt ϕ ( c ) ≤ | ϕ ( c ) | ≤ k ϕ k · k c k ≤ k ϕ k und genauso ϕ ( d ) ≤ k ϕ k . Wir erhalten k ϕ k = ϕ ( a ) = ϕ ( c ) + ϕ ( d )2 ≤ k ϕ k , was nur f¨ur ϕ ( c ) = k ϕ k = ϕ ( d ) m¨oglich ist. Es folgt c, d ∈ M und weiter c = a = d , da a einExtremalpunkt von M ist. Nach Satz 2.2.4 ist a unit¨ar, sodass a = a ∗ a = 1 gilt. Außerdem istdie Abbildung x a x ein isometrischer Isomorphismus; siehe (2.2.4) im Beweis von Satz 2.2.4.Setzen wir ψ := L a ϕ , so erhalten wir ein schwach-*-stetiges Funktional mit k ψ k = k ϕ k . Wegen a ∈ M gilt ψ (1) = ϕ ( a ) = k ϕ k = k ψ k , sodass ψ nach Korollar 3.1.6 ein positives Funktional ist. Wir sch¨atzen ϕ ( x i ) ¨ahnlich wie obenmit der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung und unter nochmaliger Verwendung von a = 1 ab: ϕ ( x i ) = ϕ ( a x i ) = ψ ( a x i ) ≤ ψ ( a ) / ψ ( x ∗ i x i ) / = ψ (1) / α ψ ( x i )Daraus folgt ϕ ( x i ) →
0, also die T q -Stetigkeit von ϕ . Man beachte, dass wir ϕ ( b ∗ ) = ϕ ( b ) in Lemma 3.1.4 nur f¨ur positive Funktionale gezeigt haben. p i = p i m¨oglichist, da die Multiplikation nicht simultan stetig ist. Lemma 7.1.13. (i) Ist ( x i ) i ∈ I ein gleichm¨aßig beschr¨anktes und bez¨uglich T w ∗ gegen konvergentes Netz po-sitiver Elemente, so gilt auch x i → .(ii) Ist ( p i ) i ∈ I ein monoton wachsendes Netz von Projektionen, so ist p := sup i ∈ I p i ebenfallseine Projektion.Beweis. (i) Sei ( x i ) i ∈ I ein Netz mit den vorausgesetzten Eigenschaften, wobei C > k x i k ≤ C f¨ur alle i ∈ I gilt. Wir verwenden die Notation aus dem Beweis vonSatz 5.3.4, also bezeichnet E die Menge der schwach-*-stetigen, positiven Funktionale auf A . Da alle x i in der kompakten Menge C S enthalten sind, gen¨ugt es wie im Beweis vonSatz 5.3.4 zu zeigen, dass das Netz ( x i ) i ∈ I bez¨uglich der schwachen Topologie σ ( A, E )gegen 0 konvergiert. Mit anderen Worten ist die Konvergenz ϕ ( x i ) → positiven Funktionale ϕ zu zeigen.Aus Lemma 2.1.13(iii) folgt x i ≤ k x i k ≤ C , sodass wir mit Lemma 2.1.13(ii)0 ≤ x i = ( x / i ) ∗ x i x / i ≤ ( x / i ) ∗ Cx / i = Cx i erhalten. Da ϕ ein positives Funktional ist, folgt0 ≤ ϕ ( x i ) ≤ ϕ ( Cx i ) = Cϕ ( x i ) → . (ii) Da A sa bez¨uglich T w ∗ abgeschlossen ist, haben wir nur p = p zu zeigen. Die Elemente x i := p − p i sind positiv und konvergieren gegen 0, da aus Satz 5.3.4 die Konvergenz p i → p folgt. Außerdem sind sie wegen k x i k ≤ x i → p i = p i erhalten wir x i = p − pp i − p i p + p i , sodass die Stetigkeit der Translationen x px und x xp die Gleichung p = lim i ∈ I pp i + p i p − p i = p + p − p bzw. p = p liefert.Nun k¨onnen wir die bereits angek¨undigte Charakterisierung der schwach-*-stetigen, positivenFunktionale durch die Vertr¨aglichkeit mit der Ordnungsstruktur beweisen. Satz 7.1.14.
Ein positives Funktional ϕ auf A ist genau dann schwach-*-stetig, wenn f¨ur allemonoton wachsenden, gleichm¨aßig beschr¨ankten Netze ( x i ) i ∈ I aus positiven Elementen ϕ (sup i ∈ I x i ) = sup i ∈ I ϕ ( x i ) (7.1.7) gilt. eweis. Sei zun¨achst ϕ schwach-*-stetig. Nach Satz 5.3.4 ist ein monoton wachsendes undgleichm¨aßig beschr¨anktes Netz ( x i ) i ∈ I bez¨uglich T w ∗ -konvergent mit lim i ∈ I x i = sup i ∈ I x i . We-gen der Positivit¨at von ϕ gilt f¨ur i j die Ungleichung ϕ ( x j − x i ) ≥
0, also ϕ ( x i ) ≤ ϕ ( x j ).Folglich ist ( ϕ ( x i )) i ∈ I ein monoton wachsendes Netz in [0 , + ∞ ). Dieses Netz ist außerdem auf-grund von | ϕ ( x i ) | ≤ k ϕ k · k x i k ebenfalls gleichm¨aßig beschr¨ankt. Somit ist es konvergent, wobeilim ϕ ( x i ) = sup i ∈ I ϕ ( x i ) ist. Aus der schwach-*-Stetigkeit folgt ϕ (sup i ∈ I x i ) = ϕ (lim i ∈ I x i ) = lim i ∈ I ϕ ( x i ) = sup i ∈ I ϕ ( x i ) , also (7.1.7).Gelte umgekehrt die Bedingung (7.1.7) f¨ur alle monoton wachsenden und gleichm¨aßig be-schr¨ankten Netze ( x i ) i ∈ I . Zun¨achst zeigen wir, dass es eine bez¨uglich ≤ maximale Projektion p gibt, f¨ur die die Abbildung x ϕ ( xp ) schwach-*-stetig ist. Dazu betrachten wir die durch ≤ halbgeordnete Menge M := { p ∈ A : p Projektion , x ϕ ( xp ) schwach-*-stetig } und verwenden das Lemma von Zorn. Wegen 0 ∈ M ist M nicht leer. Ist K eine ≤ -Kette in M , so betrachten wir die Kette als Netz ( q ) q ∈K , wobei die Richtung auf K durch die Ordnung ≤ gegeben ist. Dieses Netz besteht aus positiven Elementen und ist monoton wachsend sowiegleichm¨aßig beschr¨ankt, da Projektionen stets k q k ≤ p := sup q ∈K q = lim q ∈K q , das wegen Lemma 7.1.13 eine Projektion ist. Sobald dieschwach-*-Stetigkeit von x ϕ ( xp ) gezeigt ist, folgt p ∈ M , womit die Kette K eine obereSchranke in M hat und das Lemma von Zorn anwendbar ist. Daf¨ur gen¨ugt es nach Korollar 1.1.5bzw. Bemerkung 5.1.6, die Stetigkeit auf S zu zeigen. F¨ur x ∈ S und q ∈ K gilt nach der Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung, Lemma 3.1.3(iii) | ϕ ( xp ) − ϕ ( xq ) | = | ϕ ( x ( p − q )) | = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ (cid:16) x ( p − q ) / ( p − q ) / (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12) = (cid:12)(cid:12)(cid:12) ϕ (cid:16)(cid:0) ( p − q ) / x ∗ (cid:1) ∗ ( p − q ) / (cid:17)(cid:12)(cid:12)(cid:12) ≤ ϕ (cid:16)(cid:0) ( p − q ) / x ∗ (cid:1) ∗ (cid:0) ( p − q ) / x ∗ (cid:1)(cid:17) / ϕ ( p − q ) / = ϕ ( x ( p − q ) x ∗ ) / ϕ ( p − q ) / . Wegen Lemma 2.1.13(v) gilt k p − q k ≤
1, sodass wir k x ( p − q ) x ∗ k ≤ | ϕ ( xp ) − ϕ ( xq ) | ≤ k ϕ k / ϕ ( p − q ) / (7.1.8)erhalten. Aus der Voraussetzung (7.1.7) folgt ϕ ( p ) = sup q ∈K ϕ ( q ). Da die nichtnegativen Zah-len ϕ ( q ) f¨ur q ∈ K monoton wachsend sind, stimmt dieses Supremum mit dem Grenzwertlim q ∈K ϕ ( q ) ¨uberein. Es gilt alsolim q ∈K ϕ ( p − q ) = ϕ ( p ) − lim q ∈K ϕ ( q ) = 0 , sodass die rechte Seite von (7.1.8) gegen 0 konvergiert. Folglich konvergieren die Funktionen x ϕ ( xq ) f¨ur q ∈ K gleichm¨aßig in S gegen x ϕ ( xp ). Dies zeigt die gesuchte Stetigkeit auf S und damit auf A , sodass die maximale Projektion p tats¨achlich existiert.Wir zeigen p = 1, indem wir das Gegenteil auf einen Widerspruch f¨uhren. Wegen p ≤ − p >
0. Nach Korollar 5.3.3(ii) gibt es ein schwach-*-stetiges, positives Funktional Diese Abbildung stimmt nicht mit L p ϕ ¨uberein! mit ψ (1 − p ) = 0. Da ψ positiv ist, muss ψ (1 − p ) > ϕ gilt auch ϕ (1 − p ) ≥
0. Indem wir ψ mit einer geeigneten positiven Zahl multiplizieren, k¨onnenwir ϕ (1 − p ) < ψ (1 − p ) (7.1.9)annehmen. Als N¨achstes zeigen wir, dass es eine Projektion p gibt mit 0 = p ≤ − p und ϕ ( p ) < ψ ( p ) f¨ur alle Projektionen 0 = p ≤ p . (7.1.10)Erneut nehmen wir das Gegenteil an, womit es f¨ur alle Kandidaten 0 = p ′ ≤ − p eineProjektion p mit 0 = p ≤ p ′ und ϕ ( p ) ≥ ψ ( p ) (7.1.11)gibt. Wir wollen nochmals das Lemma von Zorn anwenden, diesmal auf die Menge N := { p ∈ A : p Projektion , p ≤ − p , ϕ ( p ) ≥ ψ ( p ) } . Aus (7.1.11) f¨ur p ′ = 1 − p folgt N = ∅ . Ist K eine Kette in N , so betrachten wir das Supremum p := sup q ∈K q und schließen wie oben, dass p eine Projektion ist. Direkt nach Definition giltaußerdem p ≤ − p , sodass wir nur noch ϕ ( p ) ≥ ψ ( p ) zu zeigen haben, um p ∈ N nach-zuweisen. Die Funktionale ϕ und ψ erf¨ullen beide die Bedingung (7.1.7): F¨ur ϕ gilt dies nachVoraussetzung, f¨ur das schwach-*-stetige ψ nach dem allerersten Teil des Beweises. Daraus folgt ϕ ( p ) = ϕ (cid:0) sup q ∈K q (cid:1) = sup q ∈K ϕ ( q ) ≥ sup q ∈K ψ ( q ) = ψ (cid:0) sup q ∈K q (cid:1) = ψ ( p ) , sodass wir p ∈ N erhalten und daher das Lemma von Zorn anwendbar ist. Sei q ein maximalesElement von N . Da 1 − p wegen (7.1.9) nicht in N enthalten ist, gilt q < − p bzw.1 − p − q >
0. Wir behaupten, dass dieses Element eine Projektion ist, wobei es gen¨ugt, p + q als solche zu identifizieren. Die Selbstadjungiertheit ist klar, f¨ur die Idempotenz berechnen wir( p + q ) = p + q + p q + q p . (7.1.12)Aus 0 ≤ q ≤ − p folgt mit Lemma 2.1.13(ii)0 = p p ≤ p q p ≤ p (1 − p ) p = 0 , (7.1.13)also p q p = 0. Wir erhalten k q p k = k ( q p ) ∗ ( q p ) k / = k p q p k / = 0 . Damit folgt auch p q = ( q p ) ∗ = 0, sodass p + q tats¨achlich eine Projektion ist. Die Annahme(7.1.11) f¨ur p ′ = 1 − p − q liefert eine Projektion 0 = q ≤ − p − q mit ϕ ( q ) ≥ ψ ( q ). Eineanaloge Rechnung zu (7.1.12) und (7.1.13) ausgehend von 0 ≤ q ≤ − q zeigt, dass q + q eineProjektion ist. Außerdem gilt q + q ≤ − p und ϕ ( q + q ) ≥ ψ ( q + q ), sodass wir q + q ∈ N erhalten. Dies widerspricht der Maximalit¨at von q , sodass die Annahme (7.1.11) falsch gewesensein muss. Somit gibt es tats¨achlich eine Projektion 0 = p ≤ − p mit (7.1.10). Lassen wirauch p = 0 zu, so folgt also ϕ ( p ) ≤ ψ ( p ) f¨ur s¨amtliche Projektionen p ≤ p .Als Zwischenschritt beweisen wir nun, dass sogar ϕ ( a ) ≤ ψ ( a ) f¨ur alle positiven Elemente a von B := p Ap gilt. Da die Translationen x p x und x xp schwach-*-stetig sind (oder auchdirekt nach dem ersten Beweisschritt von Satz 5.3.7), ist B schwach-*-abgeschlossen in A undsomit selbst eine W ∗ -Algebra. Eine Projektion in p ∈ B ist nat¨urlich auch eine Projektion in88 . Außerdem gilt p ≤ k p k ≤ p ∈ B gilt p = p pp , sodass wirmit Lemma 2.1.13(ii) die sch¨arfere Absch¨atzung p = p pp ≤ p p = p erhalten. Alle Projektionen in B erf¨ullen also p ≤ p und daher ϕ ( p ) ≤ ψ ( p ). F¨ur Linearkombi-nationen b = P nk =1 γ k p k von Projektionen in B mit nichtnegativen Koeffizienten γ k gilt dieselbeUngleichung ϕ ( b ) ≤ ψ ( b ). Wegen der Zusatzaussage von Korollar 5.3.5, angewandt in B , lassensich alle positiven Elemente von B als Grenzwerte bez¨uglich k·k von derartigen Linearkombina-tionen schreiben. Da ϕ und ψ als positive Funktionale stetig bez¨uglich der Normtopologie sind(siehe Lemma 3.1.3(i)), folgt tats¨achlich ϕ ( a ) ≤ ϕ ( a ) f¨ur alle 0 ≤ a ∈ B = p Ap .Um unsere urspr¨ungliche Annahme 1 − p > p + p ∈ M , was derMaximalit¨at von p widerspricht. Eine weitere Variante der Rechnungen (7.1.12) und (7.1.13),diesmal ausgehend von 0 ≤ p ≤ − p , zeigt, dass p + p eine Projektion ist. Folglich ist derBeweis abgeschlossen, wenn wir die schwach-*-Stetigkeit der Abbildung x ϕ ( x ( p + p )) = ϕ ( xp ) + ϕ ( xp )gezeigt haben. Wegen p ∈ M ist x ϕ ( xp ) stetig. F¨ur x ϕ ( xp ) zeigen wir die Stetigkeitbez¨uglich der q-Topologie; dies reicht nach Lemma 7.1.12 aus. Nach einem schon wiederholtverwendeten, einfachen Resultat der Funktionalanalysis m¨ussen wir nur die T q -Stetigkeit bei 0zeigen. Sei also ( x i ) i ∈ I ein Netz in A , das bez¨uglich der q-Topologie gegen 0 konvergiert. Mitder Cauchy-Schwarz’schen Ungleichung, Lemma 3.1.3(iii), erhalten wir | ϕ ( x i p ) | = | ϕ (1 · x i p ) | ≤ ϕ (1) / ϕ ( p x ∗ i x i p ) / . Das Element p x ∗ i x i p liegt in B und ist positiv, sodass der obige Zwischenschritt ϕ ( p x ∗ i x i p ) ≤ ψ ( p x ∗ i x i p )liefert. Kombinieren wir diese beiden Absch¨atzungen, so folgt | ϕ ( x i p ) | ≤ ϕ (1) / ψ ( p x ∗ i x i p ) / . Das Funktional κ ( x ) := ψ ( p xp ) ist schwach-*-stetig und positiv, da wegen Lemma 2.1.13(ii)f¨ur a ≥ p ap ≥ ψ ein positives Funktional ist. Daraus ergibt sich | ϕ ( x i p ) | ≤ ϕ (1) / α κ ( x i ) → , also ϕ ( x i p ) → T q -Stetigkeit.Somit haben wir p = 1 auf einen Widerspruch gef¨uhrt. Also gilt 1 ∈ M , woraus die schwach-*-Stetigkeit von ϕ folgt.Da die Bedingung (7.1.7) keinerlei Verweis auf die schwach-*-Topologie oder den Pr¨adualraumenth¨alt, erhalten wir als unmittelbares Korollar die folgende Aussage, die einen wichtigen Schrittin Richtung Eindeutigkeit des Pr¨adualraums darstellt. Korollar 7.1.15.
Sei
P D ( A ) ein weiterer Pr¨adualraum von A und j : A → P D ( A ) ′ einisometrischer Isomorphismus. Bezeichnet T (1) w ∗ die ausgehend von P D ( A ) und j gebildeteschwach-*-Topologie, so ist ein positives Funktional ϕ auf A genau dann T w ∗ -stetig, wenn es T (1) w ∗ -stetig ist. ϕ in der Form ϕ = ( ϕ − ϕ ) + i ( ϕ − ϕ )mit schwach-*-stetigen und positiven Funktionalen ϕ k f¨ur k = 1 , . . . , C ∗ -Algebren aus (2.1.2) in Bemerkung 2.1.6 ist keinZufall. Wir werden n¨amlich in unserem Beweis, abweichend von [7, 1.14.3 Theorem], dieseDarstellung verwenden.Da jede W ∗ -Algebra A nach dem Satz von Sakai, Satz 6.2.2, isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist, wird es gen¨ugen, den Fall einer Von-Neumann-Algebra zu betrachten. Wir bestim-men zun¨achst die schwach-*-stetigen Funktionale. Lemma 7.1.16.
Sei A ≤ L b ( H ) eine Von-Neumann-Algebra und θ : ( L b ( H ) , T uw ) → (cid:0) L ( H ) ′ , σ ( L ( H ) ′ , L ( H )) (cid:1) der kanonische lineare Hom¨oomorphismus aus Satz 4.1.4, also θ ( T ) = tr( .T ) . Dann sind dieschwach-*-stetigen Funktionale auf A gegeben durch alle Funktionale der Form ϕ = tr( S. ) | A f¨urSpurklasseoperatoren S ∈ L ( H ) . Zu gegebenem ϕ ist der Operator S dabei bis auf Elementedes Linksannihilators ⊥ ( θ ( A )) = (cid:8) S ∈ L ( H ) : tr( ST ) = 0 f¨ur alle T ∈ A (cid:9) eindeutig bestimmt.Beweis. Nach Lemma 6.1.3 ist die schwach-*-Topologie auf A die Spurtopologie der schwach-*-Topologie auf L b ( H ). Diese ist genau die ultraschwache Operatortopologie T uw ; siehe Bemer-kung 5.1.6(i).Jedes Funktional der Form tr( S. ) | A ist als Einschr¨ankung eines gem¨aß Lemma 4.2.2 bez¨uglich T uw stetigen Funktionals stetig bez¨uglich ( T uw ) | A .Sei umgekehrt ϕ schwach-*-stetig auf A , also stetig bez¨uglich ( T uw ) | A . Nach dem Satz von Hahn-Banach gibt es eine Fortsetzung zu einem T uw -stetigen Funktional f auf L b ( H ). Lemma 4.2.2liefert einen Spurklasseoperator S ∈ L ( H ) mit f = tr( S. ). Wir erhalten ϕ = tr( S. ) | A . DieEindeutigkeitsaussage folgt direkt aus der Definition von ⊥ ( θ ( A )).Das n¨achste Lemma verkn¨upft die Positivit¨at von Spurklasseoperatoren mit der Positivit¨at desinduzierten Funktionals. Lemma 7.1.17.
F¨ur einen positiven Spurklasseoperator S ist auch das Funktional ϕ = tr( S. ) positiv.Beweis. Wir m¨ussen tr( ST ) ≥ T ∈ L b ( H ) mit T ≥ R ) ≥ R . Ist E eine Ortho-normalbasis von H , so gilttr( R ) = X e ∈ E ( Re, e ) = X e ∈ E ( R / R / e, e ) = X e ∈ E ( R / e, R / e ) ≥ . (7.1.14)F¨ur einen positiven Operator T ∈ A folgt 0 = S / S / ≤ S / T S / aus Lemma 2.1.13(ii). Wirbehaupten, dass S / T und S / Hilbert-Schmidt-Operatoren sind; siehe Definition 1.3.4. Dazu90erwenden wir Lemma 1.3.6 und zeigen, dass das Quadrat des Betrags der beiden Operatorenein Spurklasseoperator ist. F¨ur S / gilt (cid:12)(cid:12)(cid:12) S / (cid:12)(cid:12)(cid:12) = S ∈ L ( H )und f¨ur S / T berechnen wir (cid:12)(cid:12)(cid:12) S / T (cid:12)(cid:12)(cid:12) = ( S / T ) ∗ ( S / T ) = T ∗ ST, was nach Lemma 1.3.8(ii) ebenfalls ein Spurklasseoperator ist. Somit k¨onnen wir Lemma 1.3.11mit S / anstelle von S und S / T anstelle von T anwenden und erhalten nach (7.1.14)tr( ST ) = tr (cid:16) S / (cid:16) S / T (cid:17)(cid:17) = tr (cid:16)(cid:16) S / T (cid:17) S / (cid:17) ≥ . Nach diesen Vorbereitungen k¨onnen wir das Zerlegungsresultat beweisen.
Satz 7.1.18.
Ist ϕ ein schwach-*-stetiges Funktional auf der W ∗ -Algebra A , so existierenschwach-*-stetige und positive Funktionale ϕ , . . . , ϕ mit ϕ = ( ϕ − ϕ ) + i ( ϕ − ϕ ) . Insbesondere ist der Raum A der schwach-*-stetigen Funktionale genau die lineare H¨ulle derschwach-*-stetigen und positiven Funktionale.Beweis. Wir nehmen zun¨achst an, dass A ≤ L b ( H ) eine Von-Neumann-Algebra ist. Nach Lem-ma 7.1.16 gibt es einen Spurklasseoperator S ∈ L ( H ) mit ϕ = tr( S. ) | A . Nun betrachten wir S als Element der C ∗ -Algebra L b ( H ) und schreiben S in der Form S = (cid:0) (Re S ) + − (Re S ) − (cid:1) + i (cid:0) (Im S ) + − (Im S ) − (cid:1) (7.1.15)f¨ur Operatoren (Re S ) ± , (Im S ) ± ∈ L b ( H ), vgl. (2.1.2) in Bemerkung 2.1.6(ii). Diese Operatorensind sogar Spurklasseoperatoren, wobei wir nur (Re S ) ± behandeln: Es folgt Re S ∈ L ( H )direkt aus der Definition Re S = ( S + S ∗ ) / L ( H ) auch | Re S | ein Spurklasseoperator ist. Darauserhalten wir nach Gleichung (2.1.5) in Bemerkung 2.1.9(Re S ) ± = 12 ( | Re S | ± Re S ) ∈ L ( H ) . Mit den Funktionalen ϕ := tr((Re S ) + . ) | A , ϕ := tr((Re S ) − . ) | A , ϕ := tr((Im S ) + . ) | A , ϕ := tr((Im S ) − . ) | A folgt die Behauptung aus (7.1.15) sowie Lemma 7.1.17 mit der Beobachtung, dass Einschr¨an-kungen positiver Funktionale wieder positiv sind.Sei nun A eine allgemeine W ∗ -Algebra. Nach dem Satz von Sakai, Satz 6.2.2, gibt es eineVon-Neumann-Algebra B ≤ L b ( H ) und einen W ∗ -Isomorphismus Φ : A → B , also einenisometrischen Isomorphismus, der gleichzeitig ein Hom¨oomorphismus bez¨uglich der schwach-*-Topologien ist. Ist ϕ schwach-*-stetig auf A , so ist folglich ψ := ϕ ◦ Φ − schwach-*-stetig auf B . Nach dem oben Bewiesenen kann man ψ darstellen in der Form ψ = ( ψ − ψ ) + i ( ψ − ψ )91it schwach-*-stetigen und positiven Funktionalen ψ k auf B . Als isometrischer Isomorphismusbildet Φ positive Elemente in A auf positive Elemente in B ab, sodass auch die Funktionale ϕ k := ψ k ◦ Φ positiv sind. Da Φ ein schwach-*-Hom¨oomorphismus ist, sind die ϕ k auch schwach-*-stetig und es gilt ϕ = ( ϕ − ϕ ) + i ( ϕ − ϕ ) . Die Zusatzaussage folgt unmittelbar daraus, dass eine Linearkombination schwach-*-stetigerFunktionale selbst schwach-*-stetig ist.
Bemerkung . Es sei nicht verschwiegen, dass man mit einer anderen Konstruktion eineZerlegungsaussage erhalten kann, f¨ur die sogar ein Eindeutigkeitsresultat gilt. F¨ur ein selbstad-jungiertes Funktional ϕ kann man die positiven Funktionale ϕ und ϕ n¨amlich auf eindeutigeArt so w¨ahlen, dass k ϕ k = k ϕ k + k ϕ k gilt; siehe [7, Theorem 1.14.3].Der Schritt von der Von-Neumann-Algebra hin zu einer allgemeinen W ∗ -Algebra fußt entschei-dend auf der Erweiterung des Satzes von Sakai, dass nicht nur Φ, sondern auch Φ − schwach-*-stetig ist. Da wir keine Eindeutigkeitsaussage ben¨otigen, haben wir den Beweis in der obigen,transparenteren Form gef¨uhrt.Damit erhalten wir die folgende Verallgemeinerung von Korollar 7.1.15: Korollar 7.1.20.
Sei
P D ( A ) ein weiterer Pr¨adualraum von A und j : A → P D ( A ) ′ einisometrischer Isomorphismus. Bezeichnet T (1) w ∗ die ausgehend von P D ( A ) und j gebildeteschwach-*-Topologie, so ist ein beliebiges Funktional ϕ auf A genau dann T w ∗ -stetig, wennes T (1) w ∗ -stetig ist.Beweis. Wenden wir Satz 7.1.18 sowohl in ( A, T w ∗ ) als auch in (cid:16) A, T (1) w ∗ (cid:17) an, so folgt mitKorollar 7.1.15 (cid:0) A, T w ∗ (cid:1) ′ = span { ϕ : ϕ ist T w ∗ -stetig und positiv } = span n ϕ : ϕ ist T (1) w ∗ -stetig und positiv o = (cid:16) A, T (1) w ∗ (cid:17) ′ . Dieses Korollar zeigt, dass die schwach-*-stetigen Funktionale vom gew¨ahlten Pr¨adualraumunabh¨angig sind, was die etwas ungenaue Schreibweise aus Notation 7.1.6 rechtfertigt.
Zum Abschluss kommen wir zum zentralen Ergebnis dieses Kapitels, n¨amlich der Eindeutigkeitdes Pr¨adualraums und der schwach-*-Topologie.
Satz 7.2.1.
Sei
P D ( A ) ein weiterer Pr¨adualraum von A und j : A → P D ( A ) ′ ein isome-trischer Isomorphismus. Bezeichne außerdem T (1) w ∗ die ausgehend von P D ( A ) und j gebildeteschwach-*-Topologie. Dann sind die beiden Pr¨adualr¨aume isometrisch isomorph, also existierteine lineare und isometrische Bijektion χ : P D ( A ) → P D ( A ) . Außerdem gilt T w ∗ = T (1) w ∗ .Beweis. Wir betrachten nochmals den Hom¨oomorphismus j ′ | ι ( P D ( A )) : (cid:0) ι ( P D ( A )) , σ ( P D ( A ) ′′ , P D ( A ) ′ ) | ι ( P D ( A )) (cid:1) → (cid:16) A , σ ( A , A ) (cid:17) j ′ | ι ( P D ( A )) : ι ( P D ( A )) → A eine lineare Bijektion. Da diekanonische Abbildung ι : P D ( A ) → P D ( A ) ′′ injektiv ist, ist die Komposition j ′ ◦ ι : P D ( A ) → A (7.2.1)ebenfalls eine lineare Bijektion, genauso wie die analog gebildete Funktion j ′ ◦ ι : P D ( A ) → A . (7.2.2)Es sei nochmals explizit darauf hingewiesen, dass der Dualraum A in (7.2.1) bez¨uglich T w ∗ gebildet wird, wohingegen in (7.2.2) mit T (1) w ∗ gearbeitet wird. Nach Korollar 7.1.20 stimmen diebeiden Dualr¨aume aber ¨uberein. Somit k¨onnen wir die lineare Bijektion χ := ( j ′ ◦ ι ) − ◦ ( j ′ ◦ ι ) : P D ( A ) → P D ( A )betrachten. Da die konjugierten Abbildungen j ′ und j ′ wegen der Isometrie von j und j genausowie die kanonischen Abbildungen ι und ι isometrisch sind, ist χ der gesuchte isometrischeIsomorphismus.F¨ur die Gleichheit der schwach-*-Topologien T w ∗ und T (1) w ∗ sei daran erinnert, dass diese Topo-logien als initiale Topologie bez¨uglich j : A → (cid:0) P D ( A ) ′ , σ ( P D ( A ) ′ , P D ( A )) (cid:1) bzw. analog f¨ur j und P D ( A ) definiert sind. Die schwach-*-Topologie auf P D ( A ) ′ bzw. P D ( A ) ′ ist ebenfalls eine initiale Topologie, n¨amlich bez¨uglich aller Funktionale der Form ι ( ρ ) : P D ( A ) ′ → C bzw. ι ( ρ ) : P D ( A ) ′ → C mit ρ ∈ P D ( A ) bzw. ρ ∈ P D ( A ). Dadas Bilden einer initialen Topologie bekanntermaßen assoziativ ist, ist die schwach-*-Topologie T w ∗ bzw. T (1) w ∗ die initiale Topologie bez¨uglich s¨amtlicher Verkettungen ι ( ρ ) ◦ j = j ′ ( ι ( ρ )) bzw. ι ( ρ ) ◦ j = j ′ ( ι ( ρ )). Diese Kompositionen durchlaufen nach den obigen ¨Uberlegungen beidedie gleiche Menge, n¨amlich den Dualraum A . Somit stimmen beide schwach-*-Topologien mitder initialen Topologie bez¨uglich aller schwach-*-stetigen Funktionale ¨uberein und sind folglichgleich. Man beachte, dass man diese Funktionale nach den S¨atzen 7.1.18 und 7.1.14 ohne Bezugnahme auf dieTopologie beschreiben kann. iteraturverzeichnis [1] Conway, J. B. : A course in functional analysis . Springer-Verlag, New York, Zweite Aufl.,1990.[2]
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