Well-behaved relativity: regular black holes
aa r X i v : . [ g r- q c ] M a r Relatividade bem comportada: buracos negros regulares
J. C. S. Neves ∗ Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica,Universidade Estadual de CampinasCEP. 13083-859, Campinas, SP, Brazil
Resumo : A recente observação das ondas gravitacionais corrobora uma das mais interessantesprevisões da relatividade geral: os buracos negros. Pois as ondas gravitacionais detectadas pelacolaboração LIGO ajustam-se muito bem dentro da teoria da relatividade geral como um fenômenoproduzido pela colisão de dois buracos negros. Sendo assim, a realidade física dos buracos negrosparece ainda mais inegável hoje. Embora, uma mais contundente prova sobre a existência de buracosnegros seria dada pela observação do seu horizonte de eventos, aquilo que o define. Neste artigo,é indicado que somente o horizonte de eventos define um buraco negro. Em sua definição, não hámenção à singularidade em seu interior. Mostrar-se-á, assim, que buracos negros sem singularidadesão possíveis. Tais são hoje chamados de buracos negros regulares.
Abstract : The recent observation of gravitational waves confirms one of the most interestingpredictions in general relativity: the black holes. Because the gravitational waves detected by LIGOfit very well within general relativity as a phenomenon produced by two colliding black holes. Thenthe reality of black holes seems almost undoubted today. However, a stronger proof on the realityof black holes would be indicated by the observation of the event horizon, which is what defines it.In this article, it is indicated that only the event horizon defines a black hole. There is no mentionto the singularity in its definition. Thus, it will be shown that black holes without a singularity arepossible. Such black holes are called regular black holes.
Keywords: Buracos Negros; Ondas Gravitacionais; Relatividade Geral; Singularidade
I. INTRODUÇÃO
A colaboração LIGO (
Laser InterferometerGravitational-Wave Observatory ) anunciou o maisimpactante resultado em física no ano de 2016: a detec-ção das ondas gravitacionais [1]. Sendo uma previsãoda relatividade geral, feita logo após Albert Einsteinpublicar sua teoria, tivemos que aguardar cerca de umséculo para recebermos essa tão esperada confirmação.E tal confirmação abre as portas para uma provávelnova área na ciência, a física das ondas gravitacionais.Se a astronomia, astrofísica e cosmologia dependeramda radiação eletromagnética para se desenvolverem atéaqui, com as ondas gravitacionais um novo tipo deradiação — a radiação gravitacional — entra em cena,apresentando-nos o mundo a partir de um novo olhar ouperspectiva.Com os resultados da colaboração LIGO sobre as ondasgravitacionais, outro resultado no mesmo experimento,tão importante quanto, surge: a detecção de buracos ne-gros. Conforme relatado pela colaboração, a detecçãodas primeiras ondas gravitacionais foi possível pois foramgeradas pela colisão de dois buracos negros. E buracos ∗ Electronic address: [email protected] O artigo original, escrito por Einstein em alemão, onde surge oconceito de ondas gravitacionais na teoria da relatividade geral,é a ref. [2]. Veja também [3], onde comentários sobre a recentedetecção das ondas gravitacionais são feitos na
Revista Brasileirade Ensino de Física . negros são uma previsão da teoria da relatividade geraltão antiga quanto as ondas gravitacionais. O primeirodeles foi proposto ainda em 1916. Foi o físico alemãoKarl Schwarzschild [4] quem o propôs, num famoso ar-tigo à academia prussiana de ciências, onde as equaçõesdo campo gravitacional (então recentemente propostaspor Einstein na relatividade geral) de uma massa pontualno vácuo foram resolvidas. A solução hoje é conhecidacomo solução de Schwarzschild, em homenagem ao seuautor. Tal solução pôde ser interpretada (e foi depois)como descrevendo um objeto astrofísico compacto, cujocampo gravitacional gerado por sua massa impede quemesmo a sua luz emitida escape para o exterior: nasceentão o conceito de buraco negro, termo popularizadopor John Wheeler nos anos de 1950. A solução ou métrica de Schwarzschild tem massa, si-metria esférica e não possui carga elétrica. É tambémuma boa aproximação para descrever objetos astrofísi-cos sem ou com pouca rotação sobre o seu próprio eixo,como o nosso Sol. Objetos imersos num espaço-tempo va-zio, sem conteúdo de matéria. Uma similar solução, mascom carga elétrica, foi proposta, independentemente, porHans Reissner [6] e Gunnar Nordström [7] pouco tempodepois. Esta é conhecida como métrica de Reissner-Nordström ou buraco negro de Reissner-Nordström. E, Cf. o artigo [5] sobre os 100 anos da solução de Schwarzschildpublicado recentemente na
Revista Brasileira de Ensino de Fí-sica . Solução ou métrica, dentro da relatividade geral, são sinônimos. assim como o buraco negro de Schwarzschild, não temum movimento de rotação, apresentando, então, a sime-tria esférica. Somente em 1963 Roy Kerr [8] propôs umamétrica com rotação ou, de forma equivalente, com sime-tria axial — nascia então o primeiro buraco negro comrotação no vácuo, a primeira solução das equações deEinstein com tal característica.Seja no buraco negro de Schwarzschild, ou no deReissner-Nordström, ou no de Kerr, temos um problema“aparentemente” sem solução. E um problema nada pe-queno. As soluções citadas apresentam uma limitaçãoà teoria de Einstein ou, pelo menos, suas próprias limi-tações. Tais buracos negros apresentam aquilo que ficouconhecido como uma singularidade. Nesse contexto, umasingularidade significa uma falha, uma “fissura” nas equa-ções e soluções da relatividade geral. No interior dessesburacos negros, a singularidade significa o não funciona-mento das soluções. Por exemplo, no centro do buraconegro de Schwarzschild, quando a coordenada radial é r = 0 , a métrica ou solução que o descreve diverge, equantidades físicas e matemáticas tornam-se incalculá-veis, assumem um valor “infinito”, ou seja, tendem aoinfinito. Em Reissner-Nordström, por ter carga elétrica,pode-se descrever o conteúdo de matéria/energia dessasolução (conteúdo dado por um campo eletromagnéticoque permeia o espaço-tempo) com o uso de um tensor,o chamado tensor energia-momento. E algumas compo-nentes desse tensor, quando r = 0 , divergem. Isto é,dependem da coordenada radial na forma ∼ /r .Foi somente na década de sessenta do século passadoquando uma possível solução começou a surgir para oproblema das singularidades no contexto da teoria rela-tividade geral. O russo Andrei Sakharov, num trabalhosobre a formação de estruturas num universo jovem [9],obteve um resultado interessante: conforme a matéria seaglomera, devido à gravitação, a densidade de energianão diverge no interior desse aglomerado de matéria, quepode ser uma galáxia em formação. Como veremos naseção III, a não divergência ou não ocorrência de umasingularidade somente é satisfeita caso o espaço-tempo,no interior desse aglomerado, seja um espaço-tempo co-nhecido como de Sitter, em homenagem ao seu criador,o holandês Willem de Sitter. Pouco tempo após o resul-tado de Sakharov, o inglês James Bardeen [10] utiliza-oe constrói a primeira métrica de buraco negro sem singu-laridade. A solução ou métrica de Bardeen tem simetriaesférica, não possui carga e difere da solução de Schwarzs-child por possuir uma massa que não é uma constante m mas uma função m ( r ) , que depende da coordenada ra- Digo no contexto da relatividade geral porque há uma suspeitade que uma teoria quântica da gravidade, uma teoria do campogravitacional quantizado, poderia resolver o problema das singu-laridades em gravitação. Mas uma teoria completa, confiável ebem aceita pelos físicos em geral ainda não foi apresentada. Mas,como veremos, mesmo no contexto einsteiniano, o da relatividadegeral, é possível resolver tal problema. dial. Sendo assim, a massa, que na solução de Schwarzs-child é pontual e localizada no centro do buraco, em Bar-deen espalha-se por todo espaço-tempo. Mas a função m ( r ) não pode ser uma qualquer. Deve necessariamentefazer com que a métrica de Bardeen seja, no seu núcleo,um espaço-tempo do tipo de Sitter. Com essa exigência,o espaço-tempo no interior do buraco negro é regulari-zado, sendo então chamado de buraco negro regular . Istoé, um objeto compacto, com um horizonte de eventos esem uma singularidade. O buraco negro de Bardeen foio primeiro exemplo de um buraco negro sem uma singu-laridade. E, como veremos, há outros tantos. Porquematematicamente a definição de um buraco negro nãoenvolve a noção de singularidade.Neste artigo, apresenta-se uma definição matemáticade buraco negro na secção II, com um olhar para as sin-gularidades ou para a sua ausência em tal definição. Emseguida, a seção III trata da métrica de Bardeen e outrassoluções de buracos negros regulares. Os comentários fi-nais são apresentados na seção IV. Adotaremos, ao longodeste trabalho, as unidades geométricas: G = c = 1 ,sendo G a constante gravitacional universal, e c é a velo-cidade da luz no vácuo. II. MATEMÁTICA DOS BURACOS NEGROS
Matematicamente, buracos negros podem ser definidoscom a utilização de conjuntos. Para isso, é necessárioo conhecimento da chamada estrutura causal do espaço-tempo. Em geometria diferencial — a área da matemá-tica responsável pelo surgimento da teoria da relatividadegeral —, o espaço-tempo é definido como uma variedade(generalização de superfície) equipada com uma métricalorentziana (as métricas de Schwarzschild, Bardeen e ou-tras tantas na relatividade geral são métricas lorentzianasporque possuem um determinado número de elementospositivos e negativos em sua diagonal principal, quandosão escritas na forma matricial). A métrica — indicadapelo tensor simétrico g µν — dá a medida, o comprimentode vetores e fornece-nos a descrição matemática de umespaço-tempo. Para o cálculo, por exemplo, de distânciasnum espaço-tempo qualquer (distâncias infinitesimais en-tre dois eventos), usa-se o elemento de linha, ds , que estárelacionado à métrica por ds = g µν dx µ dx ν = g tt dt + g rr dr + g θθ dθ + g φφ dφ , (1)com dx µ e dx ν fazendo o papel de infinitésimos de umacoordenada qualquer (neste trabalho, usaremos as coor-denadas esféricas, x µ = { t, r, θ, φ } , sendo t a coordenadatemporal, e métricas somente com simetria esférica, ou Cf. [11] para uma revisão mais profunda sobre o tema de buracosnegros regulares. Usaremos aqui o caminho indicado por um dos textos mais in-fluentes em relatividade geral, o livro de Robert Wald [12]. seja, tais quando escritas como uma matriz apresentamsomente os seus termos diagonais não nulos). Na relativi-dade geral, as trajetórias dos corpos são classificadas emtrês tipos: do tipo tempo, do tipo espaço e do tipo luz.E quando somente a interação gravitacional é levada emconta, tais trajetórias são chamadas de geodésicas. Umcorpo que viaja a uma velocidade abaixo da velocidadeda luz (sendo esse corpo até mesmo um observador) temtrajetória do tipo tempo. Aquele que viaja mais rápidodo que a luz tem a trajetória do tipo espaço. Por fim, aluz percorre uma trajetória do tipo luz, também chamadade trajetória do tipo nula. No que se refere ao elementode linha, i.e., à distância infinitesimal entre dois eventosnum desses três tipos de curvas, para uma trajetória dotipo tempo ds < , para uma do tipo espaço ds > , epara uma trajetória do tipo luz ds = 0 em nossa conven-ção. Outra forma de definir tais curvas ou trajetóriasutiliza os seus vetores tangentes. Um vetor qualquer v tem o quadrado de sua norma definido pela métrica narelatividade geral: v = g µν v µ v ν , (2)sendo v µ suas componentes. Na trajetória do tipo tempo,o seu vetor tangente tem norma ao quadrado negativa;na do tipo espaço, o seu vetor tangente tem norma aoquadrado positiva; por fim, o vetor tangente a uma tra-jetória do tipo luz tem norma ao quadrado nula.É importante ter em mente os três tipos de trajetóriasacima citados para compreender a estrutura do espaço-tempo. Pois, num espaço-tempo simples como o espaço-tempo plano (também conhecido como espaço-tempo deMinkowski ), os três tipos de trajetórias têm uma origeme um destino definidos. As do tipo tempo originam-se noinfinito passado do tipo tempo ( i − ) e destinam-se ao in-finito futuro do tipo tempo ( i + ). Da mesma forma, ascurvas ou trajetórias do tipo luz — seus infinitos passadoe futuro do tipo luz são I − e I + , respectivamente. Já astrajetórias do tipo espaço têm o infinito do tipo espaço i .Sendo assim, num espaço plano, a origem e o destino doscorpos (com as suas respectivas trajetórias) estão deter-minados. Mas quando um buraco negro está presente,como veremos, muda-se essa estrutura de infinitos ou aestrutura causal do espaço-tempo. E para a visualização Pode-se inverter o sinal de ds para curvas do tipo tempo e espaçoalterando a assinatura da métrica, que é dada pela quantidadede elementos positivos e negativos em sua diagonal principal. Vale a pena mostrar a simplicidade do elemento de linha de Min-kowski: ds = − dt + dr + r ( dθ + sin θdφ ) . Nesse ponto, a visão einsteiniana assemelha-se à aristotélica.Aristóteles em
Do Céu considera que cada corpo tem o seu lugarnatural, seja ele fogo, ar, água ou terra. Sendo que a trajetóriaou o movimento dos 4 elementos é dirigida aos seus lugares na-turais na ausência de forças externas. O elemento terra, abaixo,onde fica o planeta Terra; o fogo fica acima (ou logo abaixo domundo sub-lunar), e a água e o ar ocupam o espaço intermediárioentre a Terra e o mundo sub-lunar. da estrutura causal de espaços-tempo quaisquer, foramdesenvolvidos os diagramas de Carter-Penrose. De formaresumida e sem complicações, os diagramas de Carter-Penrose “trazem” o infinito para o finito. Pois numa fi-nita folha de papel são desenhados os infintos como retase pontos. Na Fig. 1 são mostrados os diagramas doespaço-tempo de Minkowski e de um espaço-tempo queapresenta um buraco negro em formação. Os infinitos dotipo luz são retas, já os infinitos do tipo tempo e espaçosão pontos. Com os já conhecidos tipos de infinito, podemos definirum buraco negro, que será indicado por B , para espaços-tempo que são assintoticamente planos, i.e., no “infinito”esses espaços-tempo são descritos como o espaço-tempode Minkowski. O espaço-tempo todo, que inclui a regiãointerna e externa ao buraco negro, será indicado por M .Tanto B , M e os infinitos acima descritos podem ser vis-tos como conjuntos. Em particular, M é o conjunto detodos os eventos. Um outro conjunto é necessário paraa nossa definição: o conjunto J − ( I + ) . Tal conjuntorefere-se a todas as curvas que atingem o infinito luz, I + , ou seja, os elementos desse conjunto têm uma rela-ção causal com esse infinito futuro, podem afetá-lo numfuturo, mesmo que seja num tempo futuro infinito. Dessaforma, J − ( I + ) é chamado de passado causal do infinitofuturo do tipo luz. Sendo assim, um buraco negro terácomo definição B = M − J − ( I + ) . (3)Como podemos ver na equação (3), a definição de umburaco negro (ou a sua região correspondente) exclui doespaço-tempo as trajetórias cujos destinos são o infinitodo tipo tempo e do tipo luz e esses dois tipos de infinito.As curvas do tipo tempo e luz do conjunto B não podeminfluenciar, mesmo que num tempo infinito, I + (e se nãopodem influenciar I + , podem menos ainda influenciar i + ). Ou seja, o buraco negro, a região do espaço-tempoque o define, está desconectado causalmente dos infinitosfuturos do tipo tempo e luz, não podendo influenciá-los .E B é limitado por uma membrana de mão única — ofamoso horizonte de eventos, uma superfície do tipo luzque pode ser definida como H = ˙ J − ( I + ) ∩ M , (4)onde ˙ J − ( I + ) é definido como o contorno do conjunto J − ( I + ) . Sendo assim, dentro do horizonte de eventos(indicado na Fig. 1 por H , uma reta diagonal, e todasas diagonais nos diagramas são superfícies do tipo luz)não há a possibilidade de corpos, sejam em trajetóriasdo tipo tempo ou luz, alcançarem o infinito. Ou seja,estão confinados no buraco negro, como podemos ver na Para uma introdução e maior compreensão sobre os diagramasde Carter-Penrose, cito o artigo [13] e o já muito utilizado livrode Sean Carroll [14], que apresenta o tema no capítulo 5.
Fig. 1, onde o observador B é incapaz de enviar sinais deluz para a região externa ao buraco negro.No caso do buraco negro de Schwarzschild (e todosaqueles conhecidos na relatividade geral que são métricasou soluções de um espaço-tempo vazio ou com no máximoum campo eletromagnético) ou mesmo aquele ilustradona Fig. 1, os corpos que seguem uma trajetória do tipotempo e do tipo luz, necessariamente, inexoravelmente,dirigem-se à singularidade localizada em r = 0 . Somentecorpos que viajam acima da velocidade da luz poderiamescapar ou cruzar o horizonte de eventos para a regiãoexterna ao buraco negro.Para espaços-tempo estacionários (ou seja, que não va-riam com o tempo) com simetria esférica, a forma doelemento de linha (1) apresenta-se explicitamente como ds = − f ( r ) dt + dr f ( r ) + r (cid:0) dθ + sin θdφ (cid:1) . (5)No caso específico do buraco negro de Schwarzschild, g tt = − f ( r ) = − (1 − m/r ) , com m fazendo o papelda massa do buraco negro. Sendo assim, fica claro dizerque há uma singularidade nesse espaço-tempo ou nessamétrica. O limite lim r → f ( r ) = lim r → (cid:18) − mr (cid:19) = −∞ (6)não é definido. A métrica de Schwarzschild diverge naorigem do sistema de coordenadas. E tal divergência nãodiz respeito ao uso de um sistema de coordenadas par-ticular (em nosso caso, o esférico). Com outro sistemade coordenadas, pode-se notar que a singularidade em r = 0 permanece. Já a singularidade em r = 2 m , quetambém faz a equação (5) divergir, desparece com a es-colha de outro sistema de coordenadas. O raio r = 2 m em Schwarzschild tem um significado especial. Não de-nota uma singularidade física, mas o raio do horizontede eventos. Sendo assim, não diverge, não faz a métricasofrer dessa “patologia”.Por singularidade, então, pode-se dizer: um ponto, nocaso r = 0 para os exemplos discutidos (Schwarzschild,Reissner-Nordström e o da Fig. 1), que não faz parte de M , o espaço-tempo. A métrica (5), como vimos, divergeem r = 0 . Além disso, para esse mesmo ponto, quandose calcula escalares ou grandezas geométricas, tem-se oseu caráter singular reiterado. Por exemplo, o escalarde Kretschmann, K , construído a partir do conhecidotensor de Riemann ( R αβµν ), é escrito para a métrica deSchwarzschild como K = R αβµν R αβµν = 48 mr . (7) Em Reissner-Nordström, f ( r ) = 1 − mr + Q r , sendo Q a cargaelétrica do buraco negro. i + i − i r = 0 I − I + AB (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1) r = 0 i + i i − I − I + H Figura 1: Diagramas de Carter-Penrose ou diagramas con-forme do espaço-tempo de Minkowski (em cima) e de umespaço-tempo que denota a formação de um buraco negro(embaixo). No espaço-tempo de Minkowski, as curvas têmos seus respectivos destinos ( i , i + e I + ) e origens ( i , i − e I − ), indicados pelos três tipos de infinitos. Sendo assim, osdiagramas conforme ilustram os três tipos de infinitos usandoretas e pontos. Em Minkowski, os três tipos de curvas (dotipo espaço, tempo e luz) seguem os seus caminhos “natu-rais”. Mas quando um buraco negro está presente a situaçãoé diferente. Na figura embaixo, o horizonte de eventos de umburaco negro é indicado por H . Dentro dele, um observadorB emite sinais de luz (que seguem curvas do tipo luz) que nãoatingem o infinto I + . Tais sinais dirigem-se diretamente àsingularidade, indicada pela linha com formato de serra em r = 0 . Na região externa ao buraco, o observador A podeenviar sinais para dentro do buraco ou para o infinto I + . Nafigura que descreve o buraco negro, a parte escura representaa matéria aglutinando-se para formá-lo. Tal aglutinação éconhecida como colapso gravitacional. Então fica claro, a partir da equação (7), que o limite de K para r → não é finito. A chamada singularidadeapresenta-se como incomensurabilidade, como uma limi-tação da descrição dada pela métrica de Schwarzschild.Como pôde-se ver, na definição genérica de um buraconegro assintoticamente plano, dada pela equação (3), nãohá a menção à singularidade. Somente quando utiliza-mos o caso particular do buraco negro de Schwarzschildhouve uma menção. Mas como veremos, dentro do bu-raco negro de Bardeen, as trajetórias do tipo tempo eluz dirigem-se ao centro do sistema de coordenadas semuma singularidade. Temos, então, uma região do espaço-tempo diferente, um pedaço do espaço-tempo semelhanteao espaço-tempo de Sitter. Nascem os buracos negros re-gulares. III. BURACOS NEGROS REGULARES
Como foi dito na Introdução, os primeiros passos paraa construção de soluções das equações de Einstein semsingularidades foram dados na década de sessenta do sé-culo passado. Sakharov [9], por exemplo, a partir deum estudo sobre a formação de estruturas num universojovem em expansão, mostrou que se a densidade de ener-gia da matéria, ρ , e a pressão da mesma, p , relacionam-secomo p = − ρ, (8)que é a equação de estado da métrica de Sitter, a aglo-meração da matéria bariônica não produz a divergênciade ρ . Ou seja, com a aglomeração da matéria devido àgravitação, a densidade de energia não diverge no inte-rior dessa formação. Mas isso somente ocorre no caso emque o espaço-tempo, em seu interior, é do tipo de Sitter.O espaço-tempo do tipo de Sitter está entre os maissimples da relatividade geral. Simples em sua forma,pois sua métrica somente difere do espaço-tempo de Min-kowski pela adição do termo conhecido como constantecosmológica, Λ . Esta é a famosa constante que Einsteinadicionou às suas equações do campo gravitacional comintuito de obter um universo estático em grandes esca-las. Com a observação da expansão cósmica na décadade 1920 por Hubble e sua equipe, não sendo o universomais considerado estático em grandes escalas, Einsteinteve que descartar a sua constante. Mas essa teimosaconstante retorna na física em 1998 com a observaçãoda expansão acelerada do universo [15, 16]. No modelocosmológico mais simples, a constante cosmológica é acausa da expansão acelerada do tecido do espaço-tempo,é a origem da chamada energia escura.Retornemos à solução de Sitter. Como uma soluçãoda relatividade geral, é simplesmente a solução que des-creve um espaço-tempo com simetria esférica, vácuo (semconteúdo de matéria ordinária, ou escura, ou radiação) e constante cosmológica. Sua forma matemática é ds = − (cid:18) − Λ3 r (cid:19) dt + dr (cid:0) − Λ3 r (cid:1) + r (cid:0) dθ + sin θdφ (cid:1) . (9)Como já dissemos, Λ é a constante cosmológica, quepode ser positiva ou negativa: quando positiva, o espaço-tempo é de Sitter; quando negativa, é anti-de Sitter. Nãoapenas na física de buracos negros a solução de Sitter éimportante. Em cosmologia, a chamada fase inflacioná-ria, onde o universo teve uma expansão acelerada logodepois do suposto big bang , é descrita como um pe-ríodo onde o espaço-tempo é quase de Sitter ( p ≃ − ρ ).Já o espaço-tempo anti-de Sitter é importante para a,hoje muito estudada, correspondência AdS-CFT ( Con-forme Field Theory in anti-de Sitter Spacetime ).Agora que temos uma ideia do que é um espaço-tempode Sitter, podemos entender o que foi dito acima sobre osburacos negros regulares. Retornemos à métrica (5) comsimetria esférica, a que descreve um buraco negro sem ro-tação. Tal solução descreve tanto a solução de Schwarzs-child quanto a de Bardeen: quando a massa do buraconegro é constante, f ( r ) = 1 − m/r , temos Schwarzschild;quando f ( r ) = 1 − m ( r ) /r , e a função m ( r ) tem umaforma determinada, ou seja, é uma função representadapela equação m ( r ) = M r ( r + e ) , (10)temos o buraco negro regular de Bardeen. Na equação(10), M e e são constantes: a primeira é interpretadacomo um parâmetro de massa, e a segunda, como vere-mos, é tida como um tipo de carga. A adoção de umafunção para a massa — ao invés de considerá-la uma cons-tante — produz algumas diferenças entre as soluções deBardeen e Schwarzschild. Não apenas no que diz res-peito ao problema da singularidade. Em Schwarzschild,há uma superfície do tipo luz importante como vimos: ohorizonte de eventos. Tal superfície, que funciona comouma membrana de mão única, pode apresentar-se em do-bro no buraco negro de Bardeen. Dependendo da relaçãoentre M e e há a possibilidade de um horizonte internoe um horizonte externo (sendo o último um horizonte deeventos como no buraco negro de Schwarzschild).Ora, para observar o desparecimento da singularidadee a solução desse “terrível” problema com a adoção daequação (10), usa-se uma aproximação para a função da Suposto pois hoje são possíveis modelos cosmológicos sem a sin-gularidade inicial ou o big bang . As cosmologias com ricochetesurgem como opções na ciência atual, são alternativas ao pro-blema das singularidades mesmo dentro da teoria da relatividadegeral. Para uma introdução, veja [17]. Já para um estudo maisprofundo, a revisão [18] é indicada. massa, para r pequeno, dada por m ( r ) ≈ M (cid:16) re (cid:17) , (11)que conduz à f ( r ) ≈ − Cr , (12)sendo C = 2 M/e uma constante positiva. Com essaaproximação obtida para f ( r ) , substituindo-a na equação(5), a métrica de Sitter é obtida para valores pequenos de r . Ou seja, com o uso da função de massa de Bardeen, amétrica (5) que descreve um buraco negro esférico apre-senta um núcleo, uma região interna, do tipo de Sitter.Uma região para valores pequenos da coordenada radial r onde o espaço-tempo apresenta-se como de Sitter.O simples “truque” matemático feito por Bardeen (asubstituição de m por uma determinada função de massa)tornou a métrica (5) regular, removeu a singularidade si-tuada na origem do sistema de coordenadas r = 0 , fa-zendo deste ponto um ponto qualquer de M . A regulari-dade da solução de Bardeen fica clara quando se observadiretamente a métrica ou se calcula escalares. Por exem-plo, o escalar de Kretschmann para a métrica de Bardeenexemplifica a sua regularidade: lim r → K = lim r → R αβµν R αβµν = 96 (cid:18) Me (cid:19) . (13)Nesse caso, ao contrário do escalar de Kretschmann damétrica de Schwarzschild, dado pela equação (7), o li-mite para r tendendo a zero é finito. E, igualmente, amétrica também apresenta-se regular, sendo lim r → ds finito. Sendo assim, o buraco negro de Bardeen mostra-secomo regular, sem possuir uma singularidade na origemdo sistema de coordenadas. E mostra-se como buraco ne-gro, acima de tudo, por possuir, no mínimo, um horizontede eventos.Décadas após a sua publicação, a métrica de Bardeenfoi (e continua sendo) alvo de investigações. Em [19]mostra-se que o buraco negro de Bardeen tem uma ori-gem, isto é, pode-se interpretá-lo como uma solução exatadas equações do campo gravitacional. E exata, nessecaso, significa uma solução com uma fonte determinada.Na solução de Bardeen, a fonte — de acordo com Ayon-Beato e Garcia, que interpretaram e como um tipo decarga, i.e., um monopolo magnético — vem de uma ele-trodinâmica não linear. Com uma eletrodinâmica nãolinear acoplada à relatividade geral, ideia expressa pelaação S = Z dv (cid:18) π R − π L ( F ) (cid:19) , (14)sendo R o escalar de Ricci, e L ( F ) é uma complicada den- sidade lagrangiana não linear, as equações de Einsteinsão obtidas com um tensor energia-momento não nulo.Tal tensor descreve uma eletrodinâmica não linear comofonte da solução de Bardeen (quando o segundo termo daequação (14) é nulo, as equações de Einstein são obtidasno vácuo assim como as suas soluções sem conteúdo dematéria, como a de Minkowski e a de Schwarzschild).Mas as pesquisas em buracos negros regulares vãoalém. Hoje há outras soluções ou métricas regulares dis-poníveis na literatura. Sean Hayward [20], por exemplo,construiu uma solução regular, similar à de Bardeen, comoutra função m ( r ) com o intuito de descrever a formaçãoe evaporação de buracos negros regulares. Há tambémas soluções com simetria axial, as que descrevem bura-cos negros regulares com rotação. Nosso trabalho [21]tratou desse tema, e buracos negros regulares com rota-ção foram obtidos, além disso, com a adoção da famosaconstante cosmológica e uma função de massa geral, queabrange as funções utilizadas por Bardeen e Hayward. Enão apenas no contexto da relatividade geral buracos ne-gros regulares são estudados. Mesmo em teorias que sãopropostas para substituir a gravitação einsteiniana ou afísica de hoje, como a gravidade quântica em loops ou osmundos branas, buracos negros regulares são previstos. IV. COMENTÁRIOS FINAIS
Ao contrário do que se pode pensar, um buraco negronão precisa necessariamente conter uma singularidade.Como vimos, na definição matemática de um buraco ne-gro, apenas o horizonte de eventos é mencionado comoaquilo que lhe é inerente. Ou seja, para que um objetoastrofísico seja reconhecido como buraco negro, apenas amembrana de mão única, o horizonte de eventos, deve serlevada em conta. Como uma consequência dos trabalhosde Andrei Sakharov e seus colaboradores, o expedientepara construir matematicamente os buracos negros semuma singularidade surge já em 1968 com James Bardeen.Os resultados da Sakharov mostravam a possibilidade deevitar o problema das singularidades mesmo no contextoda relatividade geral por meio de um tipo de espaço-tempo: o espaço-tempo do tipo de Sitter. Com isso, comtal espaço-tempo no interior de um buraco negro, é pos-sível evitar o aparecimento de uma singularidade no in-terior de um objeto astrofísico, assim como fez Bardeen.Surgem, então, os buracos negros sem uma singularidadeou os buracos negros regulares — tema atual na físicahoje. A expressão para L ( F ) é se (cid:16) √ e F √ e F (cid:17) , com F = F µν F µν . F µν faz o papel do tensor eletromagnético, enquanto s é uma constante dada por | e | / M . Em mundos branas, o nosso trabalho [22] discute buracos negrosregulares com ou sem rotação.
V. AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer à FAPESP (Fundação de Am-paro à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo apoio fi- nanceiro (processo número 2013/03798-3). [1] B. P. Abbott, R. Abbott, T. D. Abbott, M. R. Aber-nathy, F. Acernese, K. Ackley, C. Adams, T. Adams, P.Addesso, R. X. Adhikari et al. (LIGO Scientific Collabo-ration and Virgo Collaboration), Phys. Rev. Lett. ,061102 (2016).[2] A. Einstein, Sitzungsber. K. Preuß. Akad. Wiss. , 688(1916).[3] M. Cattani e J.M.F. Bassalo, Rev. Bras. Ensino Fís. ,e4202 (2016).[4] K. Schwarzschild, Sitzungsber. K. Preuß. Akad. Wiss. , 189 (1916).[5] A. Saa, Rev. Bras. Ensino Fís. , e4201 (2016).[6] H. Reissner, Annalen der Physik , 106 (1916).[7] G. Nordström, Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. , 1238(1918).[8] R.P. Kerr, Phys. Rev. Lett. , 26 (1963).[9] A.D. Sakharov, Sov. Phys. JETP , 241 (1966).[10] J.M. Bardeen, in: Conference Proceedings of GR5 (Tbi-lisi, URSS, 1968), p. 174.[11] S. Ansoldi, arXiv:0802.0330 .[12] R.M. Wald,
General Relativity (The University of Chi-cago Press, Chicago, 1984).[13] C.H. Coimbra-Araújo, Rev. Bras. Ensino Fís. , e3305 (2016).[14] S. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introductionto General Relativity (Addison Wesley, San Francisco,2004).[15] Adam G. Riess, Alexei V. Filippenko, Peter Challis, Ale-jandro Clocchiatti, Alan Diercks, Peter M. Garnavich,Ron L. Gilliland, Craig J. Hogan, Saurabh Jha, RobertP. Kirshner et al. (Supernova Search Team Collabora-tion), Astron. J. , 1009 (1998).[16] S. Perlmutter, G. Aldering, G. Goldhaber, R. A. Knop,P. Nugent, P. G. Castro, S. Deustua, S. Fabbro, A. Goo-bar, D. E. Groom et al. (Supernova Cosmology Project),Astrophys. J. , 565 (1999).[17] M. Novello,
Do Big Bang ao Universo Eterno (Zahar,Rio de Janeiro, 2010), 2 a ed.[18] M. Novello e S.E.P. Bergliaffa, Phys. Rep. , 127(2008).[19] E. Ayon-Beato e A. Garcia, Phys. Lett. B , 149(2000).[20] S.A. Hayward, Phys. Rev.Lett. , 031103 (2006).[21] J.C.S. Neves and A. Saa, Phys. Lett. B , 44 (2014).[22] J.C.S. Neves, Phys. Rev. D92