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Wussten Sie schon? Dieser Test kann uns helfen, eine fundierte Entscheidung zwischen zwei konkurrierenden Modellen zu treffen!
In der Statistik ist der Likelihood-Quotienten-Test ein Verfahren zum Testen von Hypothesen, mit dem die Anpassungsgüte zweier konkurrierender statistischer Modelle verglichen wird. Von diesen beiden Modellen ist eines ein Maximierungsmodell des gesamten Parameterraums und das andere ein Modell, das nach bestimmten Einschränkungen erhalten wurde. Wenn die beobachteten Daten das eingeschränktere Modell (d. h. die Nullhypothese) stützen, sollten die beiden Wahrscheinlichkeiten aufgrund von Stichprobenfehlern nicht sehr unterschiedlich sein.
Der Zweck des Likelihood-Quotienten-Tests besteht daher darin, zu prüfen, ob sich dieses Likelihood-Quotienten signifikant von eins unterscheidet oder, gleichwertiger, ob sich sein natürlicher Logarithmus signifikant von null unterscheidet.
Dieser Test, auch als Wilks-Test bekannt, ist die älteste der drei traditionellen Methoden zum Testen von Hypothesen. Die anderen beiden sind der Lagrange-Multiplikatortest und der Wald-Test. Die beiden können als Näherungen an den Likelihood-Ratio-Test betrachtet werden und sind asymptotisch äquivalent. In Modellen ohne unbekannte Parameter kann die Verwendung des Likelihood-Ratio-Tests mit dem Neyman-Pearson-Lemma gerechtfertigt werden. Erwähnenswert ist, dass das Lemma zeigt, dass dieser Test unter allen konkurrierenden Tests die höchste Erkennungsleistung hat.
Allgemeine Definition
Angenommen, wir haben ein statistisches Modell mit dem Parameterraum Θ. Die Nullhypothese besagt normalerweise, dass der Parameter θ in einer angegebenen Teilmenge Θ0 liegt, während die Alternativhypothese besagt, dass θ in Θ0 liegt. 's Komplement. Das heißt, die Alternativhypothese besagt, dass θ zu Θ \ Θ0 gehört. Wenn die Nullhypothese wahr ist, lautet die Berechnungsformel für die Likelihood-Ratio-Teststatistik:
λLR = −2 ln [
supθ∈Θ0 L(θ)/supθ∈Θ L(θ)]
Hier bedeutet sup Supremum. Da alle Wahrscheinlichkeiten positiv sind, haben die Wahrscheinlichkeitsverhältnisse Werte zwischen null und eins, da das eingeschränkte Maximum das uneingeschränkte Maximum nicht überschreiten kann. Die Teststatistik des Likelihood-Ratio wird häufig als Log-Likelihood-Differenz ausgedrückt:
λLR = −2 [
ℓ(θ0)−ℓ(θ^)]
Der Schlüssel zum Likelihood-Ratio-Test ist hier der gegenseitige Test verschiedener Modelle. Wenn die Modelle verschachtelt sind (d. h. das komplexere Modell kann durch die Auferlegung von Einschränkungen seiner Parameter in ein einfacheres umgewandelt werden), können viele gängige Teststatistiken als analoge Log-Likelihood-Ratio-Tests betrachtet werden. Hierzu gehören unter anderem der Z-Test, der F-Test, der G-Test und der Chi-Quadrat-Test von Pearson.
Einfacher hypothetischer Fall
Beim Test einfacher versus einfacher Hypothesen wird die Verteilung der Daten sowohl unter der Nullhypothese als auch unter der Alternativhypothese vollständig angegeben. Daher kann eine Variation des Likelihood-Ratio-Tests verwendet werden, beispielsweise:
Λ(x) =
L(θ0 | x)/L(θ1 | x)
Wenn Λ > c, dann lehne die Nullhypothese H0 nicht ab; wenn Λ < c, dann lehne die Nullhypothese H0< /code>. In diesem Fall zeigt das Neyman-Pearson-Lemma außerdem, dass dieser Likelihood-Quotienten-Test der stärkste aller Alpha-Level-Tests ist.
Den Likelihood-Quotienten-Test verstehen
Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis ist eine Funktion der Daten und ein Indikator für die Leistung eines Modells im Vergleich zu einem anderen. Wenn der Wert des Wahrscheinlichkeitsverhältnisses klein ist, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit des beobachteten Ergebnisses unter der Nullhypothese viel geringer ist als unter der Alternativhypothese, wodurch die Nullhypothese abgelehnt wird. Umgekehrt bedeutet eine hohe Wahrscheinlichkeitsquote, dass das beobachtete Ergebnis unter der Nullhypothese fast genauso wahrscheinlich ist wie unter der Alternativhypothese; die Nullhypothese kann also nicht abgelehnt werden.
Praktisches Beispiel
Angenommen, wir haben n Stichproben aus einer Normalverteilung. Wir möchten testen, ob der Mittelwert µ der Grundgesamtheit ein vorgegebener Wert µ0 ist. Zu diesem Zeitpunkt kann die Nullhypothese als H0: μ = μ0 ausgedrückt werden, und die Alternativhypothese ist H1: μ ≠ μ0. Nach den entsprechenden Berechnungen erhält man den Ausdruck des Likelihood-Verhältnisses:
λLR = n ln [ 1 +
t^2 / (n - 1)]
Anschließend wird die spezifische Verteilung zur Führung nachfolgender Schlussfolgerungen verwendet.
Asymptotische Verteilung: Satz von Wilkes
Obwohl die genaue Verteilung des Wahrscheinlichkeitsverhältnisses in vielen Fällen schwer zu bestimmen ist, besagt der Satz von Wilkes, dass, wenn die Nullhypothese wahr ist und die Stichprobengröße n gegen unendlich tendiert, dann Die Teststatistik wird folgen asymptotisch einer Chi-Quadrat-Verteilung. Dadurch können wir das Wahrscheinlichkeitsverhältnis berechnen und es mit dem gewünschten Signifikanzniveau vergleichen.
Ist es möglich, den Auswahlprozess zwischen statistischen Modellen durch andere Methoden noch weiter zu verbessern?
