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Verstehen Sie wirklich, was Durchschnitt ist? Was ist der mysteriöse Unterschied zwischen arithmetischem Mittel und geometrischem Mittel?
In der Alltagssprache ist ein Durchschnitt eine einzelne Zahl oder ein einzelner Wert, der einen Datensatz am besten repräsentiert. Der Durchschnitt, der am häufigsten als der repräsentativste einer Liste von Zahlen angesehen wird, ist das arithmetische Mittel, also die Summe aller Zahlen geteilt durch die Anzahl der Zahlen. Beispielsweise ist der arithmetische Mittelwert der Zahlen 2, 3, 4, 7 und 9 5. Je nach Kontext kann die repräsentativste Statistik ein anderes Maß für die zentrale Tendenz sein, beispielsweise der Median oder das geometrische Mittel.
In manchen Fällen, etwa beim Durchschnitt der persönlichen Einkommen, wird häufig der Median verwendet, weil dieser verhindert, dass das Einkommen einiger weniger vermögender Personen den arithmetischen Gesamtmittelwert nach oben zieht.
Eine der universellen Eigenschaften von Durchschnittswerten besteht darin, dass, wenn alle Zahlen in einer Zahlenmenge gleich sind, ihr Durchschnitt auch dieser Zahl entspricht. Diese Eigenschaft ist allen Durchschnittstypen gemeinsam. Eine weitere allgemeine Eigenschaft ist die Monotonie: Wenn zwei Zahlenmengen, A und B, gleich lang sind und jede Zahl in A mindestens so groß ist wie die entsprechende Zahl in B, dann ist der Mittelwert von A mindestens so groß wie das von B.
Darüber hinaus erfüllen alle Durchschnittswerte die Eigenschaft der linearen Homogenität: Wenn eine Gruppe von Zahlen mit derselben positiven Zahl multipliziert wird, ändern sich ihre Durchschnittswerte im gleichen Verhältnis. Bei einigen Arten von gewichteten Durchschnittswerten, etwa dem gewichteten arithmetischen Mittelwert oder dem gewichteten geometrischen Mittelwert, werden den Elementen in der Zahlenliste vor der Berechnung des Durchschnittswerts unterschiedliche Gewichte zugewiesen. Die meisten Durchschnittstypen sind permutationsunempfindlich. Dies bedeutet, dass alle Zahlen bei der Berechnung ihres Durchschnitts gleich behandelt werden, unabhängig von ihrer Position in der Liste.
Unterschiede zwischen arithmetischem Mittel, geometrischem Mittel und harmonischem Mittel
Das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel werden zusammen als pythagoräisches Mittel bezeichnet. Neben diesen Mittelwerten werden zur Schätzung der zentralen Tendenz häufig auch der Modus und der Median verwendet.
Der Modus ist die am häufigsten vorkommende Zahl in einer Liste, während der Median die Zahl in der Mitte ist, nachdem die Zahlen sortiert wurden.
Beispielsweise ist in der Zahlenliste 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4 das Muster 3, während die sortierte Liste 1, 3, 7, 13 die arithmetische Summe von 3 und 7 aufweist. Im Durchschnitt sind das 5.
Verschiedene Arten der Mittelwertbildung
Obwohl andere Arten von Durchschnittswerten, wie etwa τ-te Quantile, nicht unbedingt Durchschnittswerte sind, können sie als Lösungen für Optimierungsprobleme betrachtet werden. Zu komplexeren Durchschnittswerten zählen dreifache Mittelwerte, dreifache Mediane und standardisierte Mittelwerte.
In der Finanzwelt ist die durchschnittliche prozentuale Rendite eine spezielle Art der Mittelwertbildung, die im Wesentlichen eine Anwendung des geometrischen Mittels ist. Bei jährlichen Renditen wird die Kennzahl als durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) bezeichnet. Wenn Ihre Kapitalrendite beispielsweise im ersten Jahr um -10 % und im zweiten Jahr um +60 % gesunken ist, können Sie die CAGR ermitteln, indem Sie die Gleichung für die Gesamtrendite lösen.
Gleitender Durchschnitt
Gleitende Durchschnitte sind ein gängiges Werkzeug bei der Datenanalyse und werden verwendet, um Zeitreihen, wie etwa tägliche Börsenkurse oder jahrelange Temperaturdaten, zu glätten. Normalerweise wählt man einen Wert für n und erstellt dann eine neue Reihe, indem man den arithmetischen Durchschnitt der ersten n Werte nimmt und dann zur nächsten Position übergeht, um so eine geglättete Datenreihe zu erstellen.
Die einfache Form des gleitenden Durchschnitts besteht in der Bildung des arithmetischen Mittels. Bei komplexeren Formen kommt jedoch eine gewichtete Mittelwertbildung zum Einsatz, um unterschiedliche zyklische Verhaltensweisen zu verstärken oder abzuschwächen.
Fazit
Das Verständnis der verschiedenen Arten von Durchschnittswerten und ihrer Anwendung ist der Grundstein für die Beherrschung der Datenanalyse. Ist den Leuten völlig klar, welchen Durchschnitt sie bei der Analyse und Interpretation von Daten verwenden?
