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Vom Kreis zur Ellipse: Wie zeigen Tisos lokale Verformungen von Karten?
In der Kartografie ist die Tissotscher Indikatrix ein mathematisches Werkzeug, das erstmals 1859 und 1871 vom französischen Mathematiker Nicolas-Auguste Tissot vorgeschlagen wurde. Dieses Konzept wird hauptsächlich zur Beschreibung lokaler Verformungen verwendet, die durch Kartenprojektionen verursacht werden. Der Kern des Tisos-Indikators besteht darin, einen Kreis mit infinitesimalem Radius aus einem gekrümmten geometrischen Modell (wie der Erde) zu projizieren und dann die auf der Karte auftretenden Änderungen zu beobachten.
„Tissot hat bewiesen, dass ein Kreis nach der Projektion kein Kreis mehr ist, sondern sich in eine Ellipse verwandelt.“
Warum müssen wir den Tissot-Index zur Analyse von Kartenverformungen verwenden? Da Verformungen auf einer Karte unvermeidlich sind, zeigt der Tissot-Indikator, wie diese Verformungen in verschiedenen Gebieten variieren. Normalerweise wird an jedem angezeigten Schnittpunkt der Längen- und Breitengrade ein Fadenkreuz eingezeichnet, um die Beobachtung der lokalen Verformung der Karte zu erleichtern. Diese Diagramme regen nicht nur zum Nachdenken über die Genauigkeit der Karte an, sondern bieten auch eine Grundlage für Berechnungen, um den Grad der Verformung an jedem Punkt genau darzustellen.
Die Entwicklung und Anwendung der Tissot-Theorie
Tissots Theorie wurde im Rahmen der Kartenanalyse entwickelt, bei der die Erde üblicherweise durch geometrische Modelle in Form einer Kugel oder Ellipse dargestellt wurde. Der Tisuo-Indikator kann die lineare, Winkel- und Flächenverformung der Karte effektiv anzeigen. Unter linearer Verformung versteht man die Längenänderung einer unendlich kurzen Linie im Erdmodell bei der Projektion auf die Karte. Weicht das Verhältnis ihrer Länge von 1 ab, ist von einer Verformung auszugehen.
„Verschiedene Kartenprojektionen haben einzigartige Möglichkeiten, Winkel und Flächen beizubehalten, was zu unterschiedlichen Formen und Ausrichtungen ihrer jeweiligen Indizes führt.“
Der Tissot-Index kann nicht nur lineare Verformungen beschreiben, sondern auch Flächen- und Winkelverformungen unter verschiedenen Projektionen anzeigen. Bei konservativen Winkelprojektionen (wie etwa konformen Projektionen) sind die Indizes an jedem Punkt kreisförmig und ihre Größe variiert je nach geografischem Standort. Bei einer konservativen Flächenprojektion (wie etwa der flächentreuen Projektion) haben alle Indizes die gleiche Fläche, aber ihre Form und Ausrichtung variieren dennoch je nach Position.
Berechnung und mathematischer Hintergrund des Extraktionsindex
Die Berechnung des Tissot-Index basiert auf der Theorie der Differentialgeometrie und konzentriert sich auf die dreidimensionalen Koordinaten von Punkten auf der Erdoberfläche. In der Praxis variieren häufig verwendete Parameter wie Skalierungsfaktor und Winkelverzerrung je nach Projektionsmethode. Diese Daten stehen in direktem Zusammenhang mit der durch die Projektion verursachten Verformung. Durch die Berechnung der Verlustrate können die Forscher an jedem Punkt der Karte die konkrete Veränderung von einem Kreis zu einer Ellipse ermitteln.
„Eine gut berechnete Extraktionsmetrik ist von entscheidender Bedeutung, da sie uns hilft, die destruktiven und lokalen Deformationen zu verstehen, die die Karte aufweist.“
Bei nicht-konservativen Projektionen sind die Krümmungsänderungen nicht mehr festgelegt; diese Änderungen eröffnen jedoch völlig neue Richtungen in der kartografischen Forschung. Der Tissot-Index beschreibt diesen Wandel und jede seiner Ellipsen enthält ein tiefes Verständnis der Eigenschaften von Kartenprojektionen. Gibt es andere Grafiken oder Konzepte, die uns helfen können, das Phänomen der Kartenverformung besser zu verstehen?
