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Verborgener statistischer Schatz: Warum ist die gewöhnliche lineare Regression ein Sonderfall des allgemeinen linearen Modells?
In der modernen Statistik ermöglicht das Konzept linearer Modelle den Forschern, die Beziehungen zwischen Variablen zu verstehen und vorherzusagen. Darunter wird das allgemeine lineare Modell (GLM) häufig in der multivariaten Regressionsanalyse verwendet, während die multiple lineare Regression ein Sonderfall dieser Theorie ist. Also, was ist die Verbindung zwischen den beiden?
Das allgemeine lineare Modell ist eine sparsame Möglichkeit, mehrere multivariate Regressionsmodelle gleichzeitig darzustellen. Dies bedeutet, dass es sich nicht um ein unabhängiges statistisches lineares Modell handelt. Kurz gesagt können wir verschiedene multivariate Regressionsmodelle in der folgenden Form schreiben:
Y = X * B + U
Hier ist Y eine Matrix, die die Daten mehrerer gemessener Variablen enthält, X die Beobachtungsmatrix unabhängiger Variablen, B die Parametermatrix und U die Unsicherheits- oder Fehlermatrix. Es ist erwähnenswert, dass diese Fehler im Allgemeinen als unkorreliert zwischen den Beobachtungen angesehen werden und einer multivariaten Normalverteilung folgen. Wenn diese Fehler keiner multivariaten Normalverteilung folgen, können wir ein verallgemeinertes lineares Modell (GLM) verwenden, um die Annahmen zu Y und U zu lockern.
Die Kernbedeutung des allgemeinen linearen Modells besteht darin, dass es eine Vielzahl verschiedener statistischer Modelle wie ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA usw. kombiniert, wodurch es mehr als eine abhängige Variable verarbeiten und eine umfassendere Analyse ermöglichen kann. In diesem Sinne ist die gewöhnliche lineare Regression ein Sonderfall des allgemeinen linearen Modells, das heißt, sie ist auf den Fall einer abhängigen Variable beschränkt.
Die gewöhnliche lineare Regression ist ein mit der einfachen linearen Regression verwandtes Modell, das sich auf die Auswirkungen mehrerer unabhängiger Variablen auf eine einzelne abhängige Variable konzentriert.
Konkret lautet das Basismodell der gewöhnlichen linearen Regression: Yi = β0 + β1 * Xi1 + β2 * Xi2 + ... + βp * Xip + εi. Wenn wir mit dieser Formel n Beobachtungen und p unabhängige Variablen betrachten, ist Yi die i-te Beobachtung der abhängigen Variable, während Xik die entsprechende Beobachtung der unabhängigen Variable darstellt, βj der zu schätzende Parameter ist und εi der i-te unabhängige und identisch verteilte Normalfehler ist.
Wenn beim allgemeinen linearen Modell mehr als eine abhängige Variable vorhanden ist, betreten wir den Bereich der multivariaten Regression. In diesem Fall werden für jede abhängige Variable entsprechende Regressionsparameter geschätzt, sodass es sich rechnerisch eigentlich um eine Reihe standardmäßiger multipler linearer Regressionen handelt, die alle dieselben erklärenden Variablen verwenden.
Das allgemeine lineare Modell geht davon aus, dass die Residuen einer bedingten Normalverteilung folgen, während das verallgemeinerte lineare Modell diese Annahme lockert, um eine Vielzahl anderer Verteilungen zuzulassen.
Bei genauerer Betrachtung besteht ein wichtiger Unterschied zwischen allgemeinen linearen Modellen und verallgemeinerten linearen Modellen (GLMs) darin, dass GLMs eine größere Bandbreite an Residuenverteilungen zulassen und aus der Familie der Exponentialverteilungen wählen können, wie z. B. binäre logistische Regression, Poisson-Regression usw. Die Bedeutung dieser Kritik liegt darin, dass Forscher bei unterschiedlichen Arten von Ergebnisvariablen das jeweils geeignete Modell auswählen können, um den besten Vorhersageeffekt zu erzielen.
Beispielsweise kann man die Anwendung allgemeiner linearer Modelle bei der Analyse von Gehirnscandaten sehen, wobei Y aus den Daten der Gehirnscans bestehen könnte und X die Variablen im experimentellen Design wären. Diese Tests werden üblicherweise univariat durchgeführt (in diesem Kontext als massenunivariate Analyse bezeichnet) und häufig in Studien zur statistischen parametrischen Abbildung verwendet.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die gewöhnliche lineare Regression mit dem allgemeinen linearen Modell als Familie und seinen Sonderfällen verwandt ist und sich darauf konzentriert, wie man von einfachen Beobachtungen zu komplexen multivariaten Beziehungen gelangt. Mit der Weiterentwicklung statistischer Analysetechniken wird das Verständnis der in diesen Modellen verborgenen Schätze ein integraler Bestandteil der Forschungsarbeit sein. Angesichts eines solchen Entwicklungstrends sollten wir uns jedoch vielleicht fragen: Haben Sie diese statistischen Werkzeuge zur Unterstützung Ihrer Forschung und Entscheidungsfindung vollständig ausgenutzt?
