Language
Country/Area
No result found
Inverse Streuung: Wie löst dieses wunderbare mathematische Werkzeug die KDV -Gleichung?
In der mathematischen Welt wird die Korteweg -De -VRIES (KDV) -Abgleichen häufig verwendet, um das Verhalten flacher Wasserwellen zu beschreiben.Diese partielle Differentialgleichung ist nicht nur ein Modell für integrierte Gleichungen, sondern erregt auch, dass er aufgrund seiner vielfältigen Lösungen, einschließlich Lösungen für isolierte Wellen, auffällt.Diese Gleichung wurde erstmals 1877 von Joseph Valentin Boussinesq eingeführt und anschließend 1895 von Diederik Korteweg und Gustav de Vries wiederentdeckt und gab die einfachste Lösung.
Was an dieser Gleichung Besonderes ist, ist, dass seine nichtlinearen Merkmale zwar allgemeine teilweise Differentialgleichungen oft schwer zu bewältigen, eine große Anzahl klarer Lösungen zeigt.
1965 vertiefen Norman Zabusky und Krsukal ihr Verständnis dieser Gleichung durch Computersimulationen, und die 1967 entwickelte anschließende inverse Streutransformation lieferte eine neue Methode zur Lösung der KDV -Gleichung.Inverse Streuung, entwickelt von Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal und Robert Miura, ist das zentrale mathematische Instrument zur Lösung solcher Gleichungen.
Definition der KDV -Gleichung
Die KDV -Gleichung befindet sich in der Form:
∂tϕ + ∂x³ Uhr - 6 Hatxϕ = 0, x ∈ R, t ≥ 0
Hier repräsentiert ∂xholes den Dispersionseffekt, während der nichtlineare Term 6ϕ∂xϕ der Konvektionsbegriff ist.Diese Gleichung liefert ein mathematisches Modell, das flache Wasserwellen beschreibt, wobei ϕ die Verschiebung von der Wasseroberfläche bis zur Gleichgewichtshöhe darstellt.
isolierte Wellenlösung
Ein faszinierendes Merkmal der KDV -Gleichung ist die isolierte Wellenlösung, insbesondere eine isolierte Wellenlösung.Diese Art von Lösung kann geschrieben werden als:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Hier repräsentiert f (x) die Lösung, die eine feste Wellenform über die Zeit aufrechterhält.Beim Austausch seiner Variablen kann festgestellt werden, dass solche Lösungen als Bewegung von Partikeln mit großen Massen in einem bestimmten Potential angesehen werden können.
Wenn a = 0 und c> 0, erreicht die potenzielle Funktion bei F = 0 ein lokales Maximum, und das Verhalten dieser Lösung beschreibt die typischen Eigenschaften isolierter Wellen.
Mehrfach isolierte Wellenlösung
Aus weiteren Forschungen zu einzelnen isolierten Wellenlösungen können wir n isolierte Wellenlösungen erhalten.Diese Lösung kann geschrieben werden:
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
a (x, t) Hier ist eine Matrix, deren Komponenten eine Reihe reduzierter positiver Parameter beinhalten.Diese Lösungen werden über einen langen Zeitraum in n verschiedene isolierte Wellen zerlegt und zeigen die erstaunlichen Verwendungen und Eigenschaften der KDV -Gleichung.
Übungspunkte
KDV -Gleichung hat auch unendliche Bewegungsintegrale, die bestimmten Funktionen entsprechen und im Laufe der Zeit unverändert bleiben.Diese können deutlich ausgedrückt werden als:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²xϕ, ...) dx
Die Existenz dieser Bewegungsmengen macht die KDV-Gleichung nicht nur die Mathematik, sondern hat auch eine wichtige Bedeutung für die Physik.
<