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Das Geheimnis des Hilbertraums im Kern neu entdecken: Warum ist er attraktiver als der traditionelle Raum des inneren Produkts?
Kernelmethoden werden zunehmend in den Bereichen Statistik und maschinelles Lernen eingesetzt. Diese Methode basiert hauptsächlich auf der Annahme eines inneren Produktraums und verbessert die Vorhersageleistung durch Modellierung der Ähnlichkeitsstruktur der Eingabeproben. Wenn wir über traditionelle Methoden wie Support Vector Machines (SVM) sprechen, erfolgten die ursprünglichen Definitionen dieser Methoden und ihrer Regularisierungsverfahren nicht aus einer Bayes'schen Perspektive. Aus bayesianischer Sicht bringt das Verständnis der Hintergründe dieser Methoden jedoch wichtige Erkenntnisse.
Die Einführung von Kernelmethoden verbessert nicht nur die Leistung verschiedener Lernmaschinen, sondern bietet auch eine neue Perspektive für die theoretischen Grundlagen des maschinellen Lernens.
Die Eigenschaften des Kernels sind vielfältig und nicht notwendigerweise semidefinit, was bedeutet, dass die Struktur dahinter über den traditionellen inneren Produktraum hinausgehen und sich dem allgemeineren wiederholten Kernel-Hilbert-Raum (RKHS) zuwenden kann. In der Bayesschen Wahrscheinlichkeitstheorie werden Kernelmethoden zu einer Schlüsselkomponente von Gaußschen Prozessen, wobei die Kernelfunktion als Kovarianzfunktion bezeichnet wird. In der Vergangenheit wurden Kernelmethoden traditionell für überwachte Lernprobleme verwendet, die normalerweise einen vektorähnlichen Eingaberaum und einen skalarähnlichen Ausgaberaum beinhalten. In den letzten Jahren wurden diese Methoden erweitert, um Multi-Output-Probleme wie Multi-Task-Learning bewältigen zu können.
Analyse von überwachten Lernproblemen
Die Hauptaufgabe des überwachten Lernens besteht darin, die Ausgabe eines neuen Eingabepunkts basierend auf den Eingabe- und Ausgabedaten des Trainingssatzes zu schätzen. Wenn wir beispielsweise einen neuen Eingabepunkt x' haben, müssen wir einen Skalarwertschätzer _f(x') lernen, und diese Schätzung basiert auf einem Trainingssatz S. Dieser Trainingssatz besteht aus n Eingabe-Ausgabe-Paaren, dargestellt durch S = (X, Y) = (x1, y1), …, (xn, yn). Eine gängige Schätzmethode ist die Verwendung einer symmetrischen und positiven bivariaten Funktion k(⋅, ⋅), die oft als Kernelfunktion bezeichnet wird.
Die Herausforderung beim überwachten Lernen besteht darin, effektiv aus bekannten Input-Output-Paaren zu lernen und dieses Lernen auf unbekannte Datenpunkte anzuwenden.
Regularisierungsperspektive
Im regularisierten Rahmen besteht die Hauptannahme darin, dass die Menge der Funktionen F in einem sich wiederholenden Hilbert-Kernelraum Hk enthalten ist. Die Eigenschaften des sich wiederholenden Hilbert-Kernelraums machen ihn noch attraktiver. Erstens stellt die „repetitive“ Eigenschaft hier sicher, dass wir jede Funktion durch eine lineare Kombination von Kernelfunktionen ausdrücken können. Zweitens liegen diese Funktionen an gegebenen Punkten im Bereich der Abgeschlossenheit linearer Kombinationen, was bedeutet, dass wir lineare und verallgemeinerte lineare Modelle konstruieren können. Drittens kann die quadratische Norm dieses Raums verwendet werden, um die Komplexität einer Funktion zu messen.
Der wiederholte Kernel-Hilbert-Raum bietet nicht nur Flexibilität bei der Funktionsdarstellung, sondern auch einen praktikablen Rahmen für die Balance zwischen der Modellkomplexität.
Kostenvoranschlag exportieren
Die explizite Form des Schätzers wird durch Lösen eines Minimierungsverfahrens der Regularisierungsfunktion erhalten. Diese Regularisierungsfunktion besteht aus zwei Hauptteilen: Einerseits berücksichtigt sie den mittleren quadrierten Vorhersagefehler, andererseits ist sie eine Norm, die die Modellkomplexität über die Regularisierungsparameter steuert. Der Regularisierungsparameter λ legt fest, wie stark Komplexität und Instabilität im sich wiederholenden Hilbert-Kernelraum bestraft werden.
Auf diese Weise können wir nicht nur gültige Schätzungen erhalten, sondern auch das Risiko einer Überanpassung erheblich reduzieren.
Basierend auf der Kombination dieser Theorien wird die Schätzmethode des wiederholten Kernel-Hilbert-Raums übernommen, die einen Übergang von der traditionellen Sichtweise zur Bayes'schen Perspektive ermöglicht. Unabhängig davon, ob es sich um eine Regularisierung oder eine Bayes-Inferenz handelt, können wir letztendlich annähernd gleichwertige Schätzer erhalten. Diese wechselseitige Beziehung zeigt zweifellos das Potenzial von Kernelmethoden bei der Entwicklung einer vielfältigen Familie von Modellen des maschinellen Lernens.
Werden diese Methoden angesichts der zunehmenden Daten- und Rechenleistung in der Zukunft zu wichtigen Meilensteinen in der Entwicklung des maschinellen Lernens?
