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Der Reiz der Maximum-Likelihood-Schätzung: Wie lässt man die Daten sprechen?
In der Statistik ist die Maximum-Likelihood-Schätzung (MLE) eine Methode zur Schätzung der Parameter einer hypothetischen Wahrscheinlichkeitsverteilung anhand beobachteter Daten. Diese Methode maximiert eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, um sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten unter dem angenommenen statistischen Modell maximiert wird. Der Punkt im Parameterraum, an dem die Wahrscheinlichkeitsfunktion ihren Maximalwert erreicht, ist die Maximum-Likelihood-Schätzung. Diese Logik ist nicht nur intuitiv, sondern auch flexibel und hat sich daher zu einem gängigen Mittel der statistischen Inferenz entwickelt.
Durch die Maximum-Likelihood-Schätzung werden die Daten nicht länger verstummt, sondern durch Parameteranpassung werden die in den Daten verborgenen Informationen erweckt.
Das Grundprinzip der Maximum-Likelihood-Schätzung besteht darin, eine Reihe von Beobachtungen als Zufallsstichproben aus einer unbekannten gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung zu betrachten. Ziel ist es, die Parameterwerte zu bestimmen, die die höchste gemeinsame Wahrscheinlichkeit für die Beobachtung der Daten ergeben.
Wir stellen die Parameter, die die gemeinsame Zuordnung steuern, als Vektor θ = [θ1, θ2, ..., θk dar. ], sodass es in eine Parameterfamilie {f(⋅; θ) | θ ∈ Θ} fällt, wobei Θ der Parameterraum ist, eine endlichdimensionale Teilmenge des euklidischen Raums.
Wenn wir die gemeinsame Dichte y = (y1, y2, ..., yn) auf den beobachteten Daten auswerten Stichprobe Wenn , können wir eine reellwertige Funktion erhalten, die als Wahrscheinlichkeitsfunktion Ln(θ) = Ln(θ; y) bezeichnet wird. Für unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen ist die Likelihood-Funktion das Produkt der univariaten Dichtefunktionen.
Der Zweck der Maximum-Likelihood-Schätzung besteht darin, den Parameterwert zu finden, der die Likelihood-Funktion im Parameterraum minimiert.
Dieser Prozess ist intuitiv verständlich. Der Schlüssel zur Maximum-Likelihood-Schätzung besteht darin, Parameterwerte auszuwählen, die das Auftreten der beobachteten Daten am wahrscheinlichsten machen. Ein rechnerisch üblicher Ansatz besteht darin, den natürlichen Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsfunktion zu verwenden, die sogenannte Log-Likelihood.
Durch Berechnung der sogenannten Wahrscheinlichkeitsfunktion können wir den maximal möglichen Wert finden. Für einige Modelle können diese Gleichungen explizit gelöst werden, aber im Allgemeinen gibt es keine Lösung in geschlossener Form, sodass man sich auf numerische Optimierung verlassen muss, um die Maximum-Likelihood-Schätzung zu finden.
In der Datenanalyse ist MLE nicht nur eine mathematische Formel, sondern die Kunst, Daten sprechen zu lassen.
Neben der numerischen Optimierung ist es auch wichtig zu beachten, dass es für endliche Stichproben mehrere Lösungen geben kann. Ob die von uns gefundene Lösung tatsächlich ein (lokales) Maximum ist, hängt von der Matrix der Ableitungen zweiter Ordnung ab, die als Hesse-Matrix bezeichnet wird.
Normalerweise kann die Maximum-Likelihood-Schätzung auch der Bayesschen Inferenz entsprechen. Unter einer gleichmäßigen Vorverteilung kann MLE die Maximum-a-posteriori-Schätzung (MAP) approximieren. Dies ist insbesondere dann wichtig, wenn statistische Inferenzen durchgeführt und Modelle erstellt werden.
Die Magie der Maximum-Likelihood-Schätzung liegt in ihrer Fähigkeit, nicht nur die Daten selbst zu charakterisieren, sondern auch eine aussagekräftige Grundlage für die Entscheidungsfindung zu bieten. Daher nimmt MLE sowohl in der Wirtschaftswissenschaft als auch in der Medizin oder in anderen wissenschaftlichen Forschungsbereichen eine unverzichtbare Stellung ein.
Schließlich müssen wir bedenken, dass die Macht der Daten darin liegt, sie zu verstehen. Haben wir die Daten voll ausgenutzt, um die Geschichten dahinter zu erklären?
