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Die größte Symmetrie im Universum: Was ist der n-dimensionale De-Sitter-Raum?
In der mathematischen Physik ist ein n-dimensionaler De-Sitter-Raum (normalerweise mit dSn bezeichnet) eine maximal symmetrische Lorentzsche Mannigfaltigkeit mit konstanter positiver Skalarkrümmung. Es ist das Lorentz-Analyse-Analogon der n-dimensionalen Sphäre (n-Sphäre) und kann als einfaches, aber tiefgreifendes mathematisches Modell angesehen werden, das die Struktur des Universums beschreibt. Die Hauptanwendung des De-Sitter-Raums in der Allgemeinen Relativitätstheorie besteht darin, dass er eine mathematische Grundlage liefert, die mit der beobachteten beschleunigten Expansion des Universums übereinstimmt.
Der De-Sitter-Raum ist die Vakuumlösung von Einsteins Feldgleichung unter der positiven kosmologischen Konstante, die einer positiven Vakuumenergiedichte und einem negativen Druck entspricht.
Der De-Sitter-Raum und der Anti-de-Sitter-Raum sind ebenfalls nach Willem de Sitter benannt. Er ist Professor für Astronomie an der Universität Leiden und arbeitete in den 1920er Jahren eng mit Albert Einstein zusammen, um die Raum-Zeit-Struktur unseres Universums zu untersuchen. Auch die eigenständige Entdeckung des de Sitter-Raums wird Tullio Levi-Civita zugeschrieben.
Definition und Eigenschaften des De-Sitter-Raums
Ein de Sitter-Raum kann als eine Untermannigfaltigkeit definiert werden, die in einen verallgemeinerten Leapfrog-Raum mit Standardmetriken eingebettet ist. Genauer gesagt beschreibt der n-dimensionale De-Sitter-Raum eine Mannigfaltigkeit einer Schicht von Hyperboloiden, und der Standardsprungraum ist definiert als:
ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^{n} dx_i^2
Hier erfüllt das sogenannte Hyperboloid die folgende Gleichung:
-x_0^2 + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \alpha^2
Dabei ist α eine Konstante ungleich Null und die Einheit ist die Länge. Die induzierte Metrik des De-Sitter-Raums wird aus der Umgebungssprungmetrik eingeführt, hat eine Lorentzsche Signatur und ist nicht degeneriert.
Die isometrische Transformationsgruppe des De-Sitter-Raums ist die Lorentz-Gruppe O(1, n), was bedeutet, dass sie n(n + 1)/2 unabhängige Kiel-Sterne hat.
Konstante Krümmung ist eine intrinsische Eigenschaft jedes maximal symmetrischen Raums. Der Riemannsche Krümmungstensor des De-Sitter-Raums kann wie folgt ausgedrückt werden:
R_{ρσμν} = \frac{1}{\alpha^2}(g_{ρμ}g_{σν} - g_{ρν}g_{σμ})
Dies zeigt, dass der De-Sitter-Raum eine Einsteinsche Mannigfaltigkeit ist, da sein Riemannscher Krümmungstensor metrisch verwandt ist. Das bedeutet, dass der De-Sitter-Raum eine Vakuumlösung für Einsteins Gleichungen ist und der spezifische Wert der kosmologischen Konstante je nach der Dimension variiert, in der er sich befindet.
Koordinatensysteme und ihre Anwendungen
Der De-Sitter-Raum kann in einem statischen Koordinatensystem ausgedrückt werden, und solche Ausdrücke können zur Untersuchung effektiver Dynamiken verwendet werden:
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
x_1 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \cosh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
Unter einem solchen Koordinatensystem zeigt die Form der De-Sitter-Metrik das Ausmaß der Expansion des Universums:
ds^2 = -\left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2 }\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2
Es ist zu beachten, dass es bei r = α einen kosmischen Horizont gibt.
Zusammenfassung
Der De-Sitter-Raum als mathematisches Modell, das die Struktur des Universums erklärt, ermöglicht uns nicht nur, die Eigenschaften des expandierenden Universums zu verstehen, sondern ebnet auch den Weg für zukünftige kosmologische Forschung. Seine Symmetrie und physikalischen Eigenschaften spiegeln die tiefgreifenden Erkenntnisse der heutigen Physik wider. In welcher Weise es unser Verständnis des Universums beeinflussen wird, ist immer noch eine Frage, über die es nachzudenken lohnt.
