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Die Magie der approximativen Bayes’schen Berechnung: Wie erhält man genaue Parameter in komplexen Modellen?
Approximate Bayes'sche Berechnung (ABC) ist eine Berechnungsmethode, die auf der Bayes'schen Statistik basiert und zur Schätzung der Posteriorverteilung von Modellparametern dient. Bei allen modellbasierten statistischen Schlussfolgerungen spielt die Likelihood-Funktion eine zentrale Rolle, da sie die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung von Daten unter einem bestimmten statistischen Modell ausdrückt und so den Grad quantifiziert, in dem die Daten einen bestimmten Parameterwert unterstützen. Für einfache Modelle ist es normalerweise möglich, eine analytische Formel für die Likelihood-Funktion abzuleiten. Für komplexere Modelle kann es jedoch schwierig sein, analytische Formeln zu erhalten, oder die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion kann übermäßig teuer sein. Die ABC-Methode umgeht die Auswertung der Likelihood-Funktion und erweitert dadurch den Bereich statistischer Inferenzmodelle, die berücksichtigt werden können.
Die ABC-Methode verfügt über eine solide mathematische Grundlage, erfordert jedoch zwangsläufig einige Annahmen und Näherungen, und die Auswirkungen dieser Annahmen müssen sorgfältig bewertet werden.
Darüber hinaus erhöht der breitere Anwendungsbereich von ABC auch die Herausforderungen bei der Parameterschätzung und Modellauswahl. In den letzten Jahren hat ABC im Bereich der Biowissenschaften zunehmend an Aufmerksamkeit gewonnen, insbesondere bei der Analyse von Themen wie Populationsgenetik, Ökologie, Epidemiologie und Systembiologie.
Verlauf
Die ersten Ideen für ABC stammen aus den 1980er Jahren. Als Donald Rubin 1984 die Interpretation bayesianischer Aussagen diskutierte, beschrieb er einen hypothetischen Stichprobenmechanismus zur Gewinnung von Stichproben aus der hinteren Verteilung. Bei diesem Schema handelt es sich eher um ein konzeptionelles Gedankenexperiment, um zu demonstrieren, was bei der Ableitung der Posteriorverteilung von Parametern geschieht.
Im Laufe der Zeit entwickelte sich die ABC-Methode weiter. Peter Diggle und Richard Grattan schlugen 1984 die Verwendung von Systemsimulationsschemata zur Approximation der Wahrscheinlichkeitsfunktion vor, insbesondere wenn ihre analytische Form nicht durchführbar ist. Ihr Schema basiert auf der Definition eines Gitters im Parameterraum und der Durchführung mehrerer Simulationen für jeden Gitterpunkt, um die Wahrscheinlichkeit anzunähern.
ABC gilt als eine Bayes'sche Version der Inferenz, und eine Reihe von Monte-Carlo-basierten Methoden wurden eingeführt, um Stichproben aus der ABC-Posterior-Verteilung zu ziehen.
Daher verändert die ABC-Methode nicht nur die Art und Weise der Parameterschätzung, sondern eröffnet auch neue Horizonte in den Bereichen Biologie, Umwelt und Systemwissenschaften.
Motivation der ABC-Methode
Eine übliche Form der ABC-Methode steht in engem Zusammenhang mit dem Bayes-Theorem. Der Satz von Bayes verknüpft explizit die Beziehung zwischen der bedingten Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Parameterwerts und der Wahrscheinlichkeit, die den Daten gegeben ist. In vielen Anwendungen wird die Auswertung der Likelihood-Funktion oft rechenintensiv, was die ABC-Methode motiviert.
Der ABC-Ablehnungsalgorithmus ist der Kern aller ABC-basierten Methoden. Diese Grundform beginnt mit der zufälligen Stichprobe einer Reihe von Parameterpunkten basierend auf einer vorherigen Verteilung. Simuliert für ausgewählte Parameterwerte den Datensatz gemäß dem angegebenen statistischen Modell. Weicht der generierte Datensatz zu stark von den beobachteten Daten ab, wird der Parameterwert verworfen.
Zusammenfassende Statistiken
Die Wahrscheinlichkeit, einen Datensatz zu generieren, der die Anforderungen erfüllt, nimmt mit zunehmender Dimensionalität der Daten ab, was die Recheneffizienz der grundlegenden ABC-Methode erheblich verringert. Eine gängige Praxis besteht darin, zusammenfassende Statistiken zu verwenden, um hochdimensionale Datensätze zu ersetzen.
Dieser Ansatz führt zu keinem Fehler, wenn die Angemessenheit der zusammenfassenden Statistiken für die Modellparameter erfüllt ist, da Angemessenheit per Definition bedeutet, dass alle Informationen über die Parameter in den Daten von den zusammenfassenden Statistiken erfasst werden.
Dies macht ABC zu einer effizienten und effektiven Wahl, wenn es um die Ableitung komplexer Modelle geht.
Beispiel
Zum Beispiel kann ein bistabiles System durch ein Hidden-Markov-Modell (HMM) beschrieben werden, das Messrauschen unterliegt. Solche Modelle werden häufig in einer Vielzahl biologischer Systeme eingesetzt. Am Beispiel des Verhaltens des Drosophila Sonic Hedgehog-Transkriptionsfaktors (Shh) kann dieses durch HMM modelliert werden. Das Modell besteht aus zwei Zuständen A und B und die Übergangswahrscheinlichkeit ist als Parameter θ definiert. Basierend auf diesem Modell zur posterioren Inferenz von Parametern zeigt die ABC-Methode ihre Praktikabilität.
Abschließend erinnert uns die Analyse der Wirksamkeit dieser Methoden daran, welche Auswirkungen das approximative Bayes'sche Rechnen auf zukünftige Forschung und praktische Anwendungen im sich entwickelnden Bereich der statistischen Inferenz haben wird und wie wir uns an diese Veränderungen anpassen sollten?
