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Das Wunder der wirbelfreien Strömung: Wie kann uns die potenzielle Strömung helfen, die Fluiddynamik zu verstehen?
In der Strömungsmechanik ist die potentielle Strömung (oder Rotationsströmung) eine Möglichkeit, die Strömung einer Flüssigkeit zu beschreiben, die dadurch gekennzeichnet ist, dass die Flüssigkeit keine Wirbel aufweist. Diese Beschreibung tritt normalerweise im Grenzbereich der verschwindenden Viskosität auf, also bei nichtviskosen Flüssigkeiten, bei denen es in der Strömung keine Wirbel gibt. Das Geschwindigkeitsfeld einer potentiellen Strömung kann als Gradient einer Skalarfunktion ausgedrückt werden, die als Geschwindigkeitspotential bezeichnet wird. Daraus ergibt sich, dass die zugrunde liegende Strömung durch ein rotationsfreies Geschwindigkeitsfeld gekennzeichnet ist, was in mehreren Anwendungen eine sinnvolle Näherung darstellt. Die Rotationseigenschaft der zugrunde liegenden Strömung ergibt sich aus der Tatsache, dass die Krümmung des Gradienten einer skalaren Größe immer gleich Null ist.
„Bei einer Rotationsströmung ist das Wirbelvektorfeld Null.“
In inkompressiblen Strömungen erfüllt das Geschwindigkeitspotential die Laplace-Gleichung, was die Anwendung der zugrunde liegenden Theorie ermöglicht. Latente Strömungen können jedoch auch zur Beschreibung kompressibler Strömungen sowie Hele-Shaw-Strömungen verwendet werden. Das Modell der latenten Strömung ist sowohl auf statische als auch auf nichtstatische Strömungsbedingungen anwendbar. Der Anwendungsbereich potenzieller Strömungen ist sehr breit und umfasst das Strömungsfeld um den aerodynamischen Flügel, Meereswellen, Wasserströmungen und elektroosmotische Strömungen.
Trotz der Vorteile der potenziellen Strömung sind Schätzungen der potenziellen Strömung nicht anwendbar, wenn die Strömung (oder ein Teil davon) starke Wirbeleffekte aufweist. In den Strömungsregionen, in denen Wirbel bekanntermaßen wichtig sind, wie z. B. Nachläufen und Grenzschichten, kann die Theorie der latenten Strömung keine vernünftigen Strömungsvorhersagen liefern. Glücklicherweise kann jedoch davon ausgegangen werden, dass bestimmte große Bereiche der Strömung rotationsfrei sind, weshalb latente Strömungen so weit verbreitet sind. Die Annahme einer potentiellen Strömung gilt beispielsweise für Strömungen um Flugzeuge, Grundwasserströmungen, Akustik und Wasserwellen.
„Das Merkmal des Potentialflusses ist seine Nichtrotation, was ihn rechnerisch einfacher macht.“
Beschreibung und Eigenschaften potenzieller Flüsse
Im Potentialfluss oder nichtrotierenden Fluss ist das Wirbelvektorfeld Null, d. h. ω ≡ ∇ × v = 0, wobei v(x, t) das Geschwindigkeitsfeld und ω(x, t) das ist Wirbelfeld. Jedes Vektorfeld ohne Curl kann als Gradient einer Skalarfunktion wie φ(x, t) ausgedrückt werden, die als Geschwindigkeitspotential bezeichnet wird. Da die Krümmung des Gradienten immer Null ist, erhalten wir v = ∇φ. Das Geschwindigkeitspotential ist nicht eindeutig, da dem Geschwindigkeitspotential eine beliebige Zeitfunktion f(t) zugeordnet werden kann, ohne die zugehörige physikalische Größe v zu beeinflussen.
Die Eigenschaften des Potentialflusses sind so, dass der Zyklus Γ um jede einfache zusammenhängende Kontur C Null ist. Dies kann durch den Satz von Stokes bewiesen werden: Γ ≡ ∮C v · dl = ∫ω · df = 0, wobei dl das Linienelement auf der Kontur und df das Flächenelement auf jeder von der Kontur umschlossenen Oberfläche ist.
In mehrfach zusammenhängenden Räumen (z. B. um die Kontur eines festen Objekts oder einer ringförmigen Kontur in drei Dimensionen) oder in Gegenwart konzentrierter Wirbel (z. B. sogenannte Rotations- oder Punktwirbel oder in Rauch). Ringe ), muss der Zyklus Γ nicht Null sein. Beim Umgeben einer Kontur um einen sich selbst verlängernden Vollzylinder, Γ = Nκ, wobei κ die zyklische Konstante ist, gehört dieses Beispiel zu einem zweifach zusammenhängenden Raum.
Inkompressibler Stream
Im Fall einer inkompressiblen Strömung, wie einer Flüssigkeit oder eines Gases mit niedriger Machzahl, weist die Geschwindigkeit v einen gewissen Divergenzgrad auf, d. h. ∇ · v = 0. Zu diesem Zeitpunkt erfüllt φ unter der Annahme v = ∇φ die Laplace-Gleichung ∇²φ = 0. Da es sich bei den Lösungen der Laplace-Gleichung um harmonische Funktionen handelt, stellt jede harmonische Funktion eine mögliche Strömungslösung dar.
„In einer inkompressiblen Strömung wird die potentielle Strömung vollständig durch ihre Kinematik bestimmt.“
Der Potentialfluss erfüllt tatsächlich die gesamte Navier-Stokes-Gleichung, nicht nur die Euler-Gleichung, da der Viskositätsterm immer gleich Null ist. Faktoren, die dazu führen, dass eine potenzielle Strömung die notwendigen Randbedingungen nicht erfüllt, insbesondere in der Nähe fester Grenzen, machen sie für die Darstellung des gewünschten Strömungsfeldes unwirksam. Wenn der Potentialfluss die erforderlichen Bedingungen erfüllt, kann er eine Lösung der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen sein.
Wenn der Potenzialfluss es uns ermöglicht, das grundlegende Verständnis der Strömungsmechanik zu überprüfen, kann er dann zu neuem Denken und Aufklärung führen?
