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Das Geheimnis der Wurzelortskurvenanalyse: Wie kann man die Polbewegung eines Systems grafisch untersuchen?
In den Bereichen Kontrolltheorie und Stabilitätsanalyse ist die Wurzelortsanalyse eine grafische Methode, die darauf abzielt, die Änderungen in der Wurzel des Systems bei der Änderung eines bestimmten Systemparameters (normalerweise die Verstärkungsänderung im Rückkopplungssystem) zu untersuchen. Diese Technologie basiert auf der von Walter R. Evans entwickelten klassischen Kontrolltheorie und kann die Stabilität des Systems effektiv beurteilen.
Das Wurzelortskurvendiagramm stellt die Änderung der Pole der Übertragungsfunktion im geschlossenen Regelkreis auf der komplexen S-Ebene dar.
Der Wurzelort kann nicht nur zur Beurteilung der Systemstabilität verwendet werden, sondern hilft auch dabei, das Dämpfungsverhältnis (ζ) und die Eigenfrequenz (ωn) des Rückkopplungssystems zu bestimmen. Durch Zeichnen einer geraden Linie mit einem festen Dämpfungsverhältnis, die vom Ursprung ausgeht, und eines Bogens mit einer festen Eigenfrequenz, die vom Ursprung ausgeht, kann dann ein Punkt ausgewählt werden, um die erforderliche Systemverstärkung K zu bestimmen. Auf diese Weise kann der Konstrukteur die erforderliche Stabilität und dynamische Leistung annähern, die in verschiedenen Steuerungslehrbüchern ausführlich besprochen wird.
Die Definition des Wurzelorts ist die grafische Darstellung der geschlossenen Pole auf der komplexen S-Ebene des Systems unter Änderung spezifischer Parameterwerte.
Mit Blick auf den gesamten Prozess können Steuerungsingenieure mit dem Root Locuster das Systemverhalten grafisch identifizieren und vorhersagen. Die Wurzelortskurvenmethode ist besonders effektiv, wenn das entworfene Rückkopplungssystem offensichtlich dominante Polpaare aufweist. In realen Anwendungen erfüllen viele Systeme diese Annahme möglicherweise nicht vollständig. Daher ist es wichtig, nach Abschluss des Entwurfs eine Simulationsverifizierung durchzuführen, um sicherzustellen, dass die tatsächlichen Anforderungen erfüllt werden.
Prinzip der Wurzelortsanalyse
Das Funktionsprinzip der Wurzelortsanalyse basiert auf den Winkel- und Amplitudenbedingungen des Instruments. Wenn ein Rückkopplungssystem vorhanden ist, das Eingangssignal X(s) und das Ausgangssignal Y(s) ist, kann die Vorwärtspfad-Übertragungsfunktion als < ausgedrückt werden code>G (s), die Rückkopplungspfad-Übertragungsfunktion ist H(s). Die Übertragungsfunktion im geschlossenen Regelkreis lautet T(s) = Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s)).
Das bedeutet, dass die Pole der geschlossenen Schleife relativ zu den Wurzeln der charakteristischen Gleichung
1 + G(s)H(s) = 0sind.
Wenn das System keine reine Verzögerung hat, kann das Produkt von G(s)H(s) natürlich in Form eines rationalen Polynoms ausgedrückt werden. Durch eine solche Analyse, kombiniert mit Vektortechnologie zur Berechnung der Winkel jedes Pols und Nullpunkts, können wir Einblicke in das Verhalten und den Dynamikbereich des Systems gewinnen.
Zeichnung des Wurzelorts
Beim Zeichnen des Wurzelorts müssen Sie zunächst die Pole und Nullstellen der offenen Schleife markieren und den Teil der realen Achse links von allen Polen und Nullstellen markieren. Weitere Analyse: Wenn die Anzahl der Pole P minus die Anzahl der Nullstellen Z, wird eine Asymptote mit einer Anzahl von P-Z erhalten. Diese Asymptote schneidet den Schwerpunkt auf der realen Achse und der Außenwinkel kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
φ_l = 180° + (l - 1) * 360° / (P - Z),α = Re(ΣP - ΣZ) / (P - Z)
Zusätzlich muss die Phase des Testpunkts bestätigt werden, um den Abflugwinkel und den Eintrittspunkt herauszufinden. Diese Prozesse demonstrieren vollständig die Leistungsfähigkeit und das Anwendungspotenzial der Root-Locus-Methode und veranlassen uns, die Stabilität des Systems eingehender zu untersuchen.
Schlussfolgerung
Das Zeichnen und Analysieren von Wurzelorten ermöglicht es Steuerungssystemingenieuren, wichtige Informationen aus komplexen Vorgängen zu extrahieren. Dies ist nicht nur eine theoretische Diskussion, sondern auch eine wesentliche Fähigkeit in der Praxis. Kann uns die Wurzelortsanalyse angesichts zukünftiger technischer Herausforderungen dabei helfen, tiefere Geheimnisse der Systemdynamik aufzudecken?
