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Die Geheimwaffe der Optimierung: Wissen Sie, wie die eindimensionale Liniensuche die beste Lösung findet?
Bei Optimierungsproblemen war die Frage, wie sich das lokale Minimum einer Funktion effektiv finden lässt, schon immer ein Thema von großer Bedeutung. Als grundlegende iterative Methode zur Lösung dieses Problems ist die eindimensionale Liniensuchtechnologie zweifellos zu einer Geheimwaffe auf dem Gebiet der Optimierung geworden. Diese Methode ist nicht nur auf einfache Situationen mit einer Variablen anwendbar, sondern kann auch auf komplexe Situationen mit mehreren Variablen ausgeweitet werden und hilft Forschern und Ingenieuren, geeignetere Lösungen zu finden.
Bei einer eindimensionalen Liniensuche wird zunächst eine Abstiegsrichtung ermittelt und dann eine Schrittweite berechnet, um die Bewegungsweite in dieser Richtung zu ermitteln.
Lassen Sie uns zunächst das Grundkonzept der 1D-Liniensuche verstehen. Angenommen, wir haben eine eindimensionale Funktion f und sie ist unimodal, was bedeutet, dass sie in einem Intervall [a, z] nur ein lokales Minimum x* enthält. In diesem Fall ist die Funktion f zwischen [a, x*] streng abnehmend und zwischen [x*, z] streng zunehmend.
Um diesen Minimumpunkt zu finden, können verschiedene Methoden verwendet werden, darunter Methoden nullter und erster Ordnung. Methoden nullter Ordnung verwenden keine Ableitungen, sondern basieren ausschließlich auf der Auswertung von Funktionen. Darunter wird häufig die Dreipunktsuchmethode verwendet. Diese Methode wählt zwei Punkte b und c aus und schränkt den Suchbereich schrittweise ein, indem sie die Größe von f(b) und f(c) vergleicht. Wenn f(b) ≤ f(c), dann muss das Minimum in [a, c] liegen, andernfalls in [b, z].
Diese Methode der schrittweisen Reduzierung erfordert zwei Funktionsauswertungen. Obwohl jede Reduzierung etwa 1/2 beträgt, ist die Konvergenzgeschwindigkeit linear und die Konvergenzrate beträgt etwa 0,71. Wenn b und c so gewählt werden, dass die Längen der Intervalle a, b, c und z gleich sind, wird das Suchintervall in jeder Iteration um 2/3 reduziert und die Konvergenzrate auf etwa 0,82 verbessert.
Die Fibonacci-Suche und die Golden-Section-Suche sind ebenfalls Varianten der Nullordnungssuchmethode, erfordern jedoch beide nur eine Funktionsauswertung, sodass die Konvergenzeffizienz höher ist und die Konvergenzrate etwa 0,618 beträgt, was höher ist als bei der Nullordnungssuchmethode. Bestellmethode. Das Beste.
Zur weiteren Verdeutlichung nehmen Methoden erster Ordnung an, dass die Funktion f stetig differenzierbar ist, was bedeutet, dass wir nicht nur den Wert der Funktion auswerten, sondern auch ihre Ableitungen berechnen können. Eine gängige Suchmethode ist beispielsweise die binäre Suche. Wenn wir bei jeder Iteration den Mittelpunkt c des Intervalls finden können, indem wir den Wert der Ableitung f'(c) überprüfen, können wir die Position des Minimums bestimmen.
Wenn jedoch eine superlineare Konvergenz erforderlich ist, müssen wir Methoden zur Kurvenanpassung verwenden. Diese Methoden passen den bekannten Funktionswert mit einem Polynom an und finden dann den Minimalwert der angepassten Funktion als neuen Arbeitspunkt. Erwähnenswert ist das Newton-Verfahren, das Ableitungen erster und zweiter Ordnung verwendet und quadratisch konvergiert, wenn der Anfangspunkt nahe einem nicht-entarteten lokalen Minimum liegt.
Kurvenanpassungsmethoden verfügen über superlineare Konvergenzeigenschaften, wenn der Anfangspunkt nahe einem lokalen Minimum liegt, was sie in vielen Anwendungsszenarien leistungsstark macht.
Obwohl bei mehreren Dimensionen der spezifische Berechnungsprozess komplizierter wird, kann bei Vorhandensein mehrerer Dimensionen immer noch eine eindimensionale Liniensuche durchgeführt werden. Es findet zunächst eine Abstiegsrichtung und bestimmt dann die Schrittgröße für eine effiziente Optimierung. Oft können solche Modelle mit anderen Methoden wie beispielsweise simuliertem Abkühlen kombiniert werden, um das Risiko zu vermeiden, in lokalen Minima hängen zu bleiben.
Durch diese Methoden kann die Optimierung eine höhere Leistung erzielen und uns auch helfen, die Mechanismen hinter mathematischen Modellen besser zu verstehen. Bei dem Bestreben, die beste Lösung zu finden, sei es in der wissenschaftlichen Forschung oder in kommerziellen Anwendungen, hat die eindimensionale Liniensuche ihren unverzichtbaren Wert bewiesen.
Haben Sie sich schon einmal gefragt, welche weiteren innovativen Möglichkeiten es in Zukunft geben wird, bestehende Leinensuchtechniken zu verbessern?
