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Was ist Blockdesign? Welche mysteriöse Rolle spielt es in der Mathematik?
Im mathematischen kombinatorischen Design ist Blockdesign eine Inzidenzstruktur, die eine Menge und ihre Teilmengen (Blöcke genannt) umfasst. Die Auswahl dieser Teilmengen erfüllt bestimmte Bedingungen, damit sich die gesamte Blockmenge symmetrisch und ausgewogen verhält. Das Blockdesign hat ein breites Anwendungsspektrum, darunter experimentelles Design, endliche Geometrie, physikalische Chemie, Softwaretests, Kryptographie, algebraische Geometrie und andere Bereiche. Im Allgemeinen bezieht sich das erwähnte Blockdesign in der Regel auf das Balanced Incomplete Block Design (BIBD), ein spezielles 2-Design, das historisch gesehen der am intensivsten untersuchte Typ war und hauptsächlich in experimentellen Designs verwendet wird.
Das Blockdesign zeigt die Kombination und Anordnung von Elementen und eröffnet so viele mysteriöse Aspekte der Mathematik.
Grundkonzepte des Blockdesigns
Mathematisch gesehen bedeutet ein ausgewogenes Design (bis zu t), dass alle t Teilmengen der ursprünglichen Menge in einer gleichen Anzahl von Blöcken vorkommen. Wenn t nicht angegeben ist, wird normalerweise angenommen, dass t=2, was bedeutet, dass jedes Elementpaar in der gleichen Anzahl von Blöcken vorkommt und das Design paarweise ausgeglichen ist. Für t=1 erscheint jedes Element in der gleichen Anzahl von Blöcken (dies wird als Anzahl der Wiederholungen bezeichnet), und dieses Design wird als reguläres Design bezeichnet. Darüber hinaus gilt ein Design, bei dem alle Blöcke die gleiche Größe haben, als einheitlich oder korrekt. Die in diesem Artikel besprochenen Designs sind alle einheitlich und die Basis des Blockdesigns ist nicht einheitlich. Daher werden sie als paarweise ausgeglichene Designs (PBDs) bezeichnet.
Normales einheitliches Design
Das grundlegendste „ausgewogene“ Design (t=1) wird als taktische Konfiguration oder 1-Design bezeichnet. In der Geometrie werden die entsprechenden Inzidenzstrukturen als Konfigurationen bezeichnet. Dieses Design ist sowohl einheitlich als auch regelmäßig: Jeder Block enthält k Elemente und jedes Element ist in r Blöcken enthalten. Es besteht ein Zusammenhang zwischen der Anzahl v der Elemente im Design und der Anzahl der Blöcke b, der Gesamtzahl der Vorkommen des Elements, als bk = vr. Jede Binärmatrix mit konstanten Zeilen- und Spaltensummen ist eine Inzidenzmatrix mit regelmäßiger, einheitlicher Blockgestaltung.
Paired Balanced Uniform Design (2 Design oder BIBD)
Gegeben sei ein endlicher Mengenblock. In diesem Entwurf ist jedes x in X in r-Blöcken enthalten, und zwei beliebige unterschiedliche Punkte x und y in X sind ebenfalls in λ-Blöcken enthalten. Die Bedingung hier bedeutet, dass kein x in r Blöcken in X enthalten sein muss, wie aus der vorherigen Ableitung hervorgeht. Wir können diesen Entwurf einen (v, k, λ)-Entwurf oder einen (v, b, r, k, λ)-Entwurf nennen.
Aufgrund des unvollständigen Gleichgewichts zeigt das Blockdesign das Geheimnis und die Schönheit der kombinatorischen Mathematik.
Symmetrie-2-Design (SBIBD)
Wenn in allen beiden Designs die Anzahl der Blöcke und Punkte gleich ist, wird das Design als symmetrisches Design bezeichnet. Diese Art von Design erfüllt die Anforderungen der anderen beiden Designs mit der minimalen Anzahl von Blöcken, und im symmetrischen Design gilt r=k und b=v. Darunter schneiden sich zwei beliebige unterschiedliche Blöcke am λ-Punkt. Der Satz von Ryser liefert die Bedingungen für symmetrisches Design.
Beispiele und Anwendungen
Ein einzigartiges (6,3,2)-Design besteht aus 10 Blöcken und jedes Element wird 5 Mal wiederholt. Diese Blöcke werden in der Notation 0-5 dargestellt und sind das folgende Triplett: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. Die entsprechende Incidencia-Matrix ist eine binäre Matrix mit v×b. Die Beispiele für Blockdesigns sind reichhaltig und vielfältig und reichen von der Mathematik bis hin zu praktischen Anwendungen.
Kann uns die Entwicklung und Anwendung des Blockdesigns neue Denkweisen in komplexen Systemen ermöglichen?
