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Warum ist R² größer als 1 oder kleiner als 0? Die Mathematik dahinter!
In der Statistik ist R-Quadrat (R²) eine weit verbreitete Metrik zur Beurteilung der Vorhersagekraft eines Regressionsmodells. Das Grundkonzept von R² besteht darin, zu erklären, wie effektiv die Variable die Variation der abhängigen Variable erklärt. Es ist jedoch verwirrend, dass wir häufig Fälle sehen, in denen R² 1 überschreitet oder unter 0 fällt. Daher ist es notwendig, sich eingehender mit der Mathematik dahinter zu befassen.
R² ist ein Maß für die Anpassungsgüte eines Modells und sollte idealerweise zwischen 0 und 1 liegen. Wenn diese Metrik nicht in diesen Bereich passt, weist dies normalerweise darauf hin, dass ein Problem mit dem Modell vorliegt.
Grundlegende Erklärung zu R²
Laut Definition ist R² der Anteil der Variation, der erklärt wird. Bei einer sehr guten Modellanpassung liegt R² nahe 1, was darauf hinweist, dass das Modell die Ergebnisse der Dehnungszahl sehr gut vorhersagen kann. Wenn R² 0 ist, bedeutet dies, dass das Modell die Variation nicht erklären kann und die Vorhersageleistung dem Mittelwert entspricht.
Warum ist R² kleiner als 0
In bestimmten Fällen kann R² kleiner als 0 sein. Dies geschieht normalerweise, wenn die vorhergesagten Ergebnisse schlechter sind als die beobachteten Ergebnisse. Dies kann beispielsweise passieren, wenn das von Ihnen verwendete Modell nicht richtig zu den Daten passt oder keinen Achsenabschnittsterm enthält. Zu diesem Zeitpunkt ist R² negativ, was bedeutet, dass die Vorhersageergebnisse der Modellanpassung nicht so gut sind wie die bei Verwendung des Durchschnittswerts der Daten.
Wenn R² kleiner als 0 ist, deutet dies darauf hin, dass das gewählte Modell möglicherweise ungeeignet ist oder dass sogar eine einfachere Vorhersage aus dem Modell, wie etwa die Verwendung des Mittelwerts, aussagekräftiger sein könnte.
Warum R² größer als 1 ist
Dass R² 1 überschreitet, kommt eher selten vor, kann aber bei einigen Anwendungen des Modells vorkommen. Dies hängt hauptsächlich mit der gewählten Anpassungsmethode und der Komplexität des Modells zusammen. Wenn beispielsweise falsche Berechnungen verwendet oder Einschränkungen unangemessen angewendet werden, kann es dazu kommen, dass der R²-Wert eines Modells außerhalb des erwarteten Bereichs liegt. Dies ist häufig die Folge der Wahl des falschen mathematischen Modells oder falscher Annahmen.
Inkrementeller Effekt und Modell-Überanpassung
R² nimmt tendenziell nicht ab, wenn mehr Variablen in das Modell aufgenommen werden, wodurch es wahrscheinlich wird, dass viele Modelle überangepasst sind. Aus diesem Grund kann es zwar so aussehen, als ob sich R² durch das Hinzufügen von Variablen verbessert, die tatsächliche Vorhersagekraft erhöht sich dadurch jedoch nicht. Um dieses Phänomen zu vermeiden, ist es ideal, das angepasste R² zu verwenden, das die Anzahl der Variablen im Modell berücksichtigt und so die Schätzung präziser macht.
Das angepasste R² berücksichtigt die Anzahl der Variablen und spiegelt daher die wahre Vorhersagekraft des Modells besser wider, wenn zukünftig Variablen hinzugefügt werden.
So interpretieren Sie R² richtig
R² kann zum Vergleichen der Leistung verschiedener Modelle verwendet werden. Sich bei der Entscheidungsfindung ausschließlich auf diese einzelne Metrik zu verlassen, ist allerdings nicht ausreichend. Der Kontext verschiedener Modelle, die Art der Daten und andere statistische Tests sollten alle umfassend berücksichtigt werden. Selbst wenn beispielsweise der R²-Wert hoch ist, müssen wir dennoch mögliche Fehler in den Modellannahmen korrigieren, um irreführende Schlussfolgerungen zu vermeiden.
AbschlussR² ist ein sehr wertvolles Werkzeug beim Modellbau, sein Wert muss jedoch mit Vorsicht interpretiert werden. In einigen Fällen liegt dieser Indikator möglicherweise außerhalb des Normalbereichs. Daher müssen die zugrunde liegenden Gründe und Dateneigenschaften genauer untersucht werden. Wie können wir diese statistischen Indikatoren richtig verwenden und verstehen, um ein genaueres Modell zu erstellen?
