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Matemáticas increíblemente largas: ¿Por qué la prueba de grupos simples finitos requiere un artículo de 100.000 páginas?
En la historia de las matemáticas, el teorema de clasificación de grupos finitos simples se denomina comúnmente el "gran teorema". Su aparición supuso una revolución considerable en el desarrollo de la teoría de grupos. El teorema establece que todos los grupos finitos simples son cíclicos o alternos, o pertenecen a una amplia clase infinita llamada tipos de Lie, o a uno de veintiséis casos especiales, los llamados grupos esporádicos. Encontré su figura en. La complejidad de esta demostración es asombrosa y un gran número de matemáticos han hecho esfuerzos incansables por demostrarla. Cuando se publicó en 2004, la literatura pertinente ya superaba las 100.000 páginas.
En esencia, los grupos simples son los componentes básicos de todos los grupos finitos, y su función es similar a la de los números primos en los números naturales. Sin embargo, una característica de los grupos simples es que estos "bloques de construcción" no siempre identifican de forma única a un grupo, ya que puede haber muchos grupos no isomorfos diferentes que tengan todos la misma serie de combinaciones. Daniel Gorenstein y su equipo están trabajando ahora para simplificar y revisar esta prueba masiva.
"La clasificación de grupos finitos simples es un logro único en matemáticas, que ha tenido un profundo impacto en muchas ramas de las matemáticas".
Enunciado del teorema de clasificación
El teorema de clasificación tiene valor práctico en muchas áreas de las matemáticas, porque cuando se trata de problemas que involucran la estructura de grupos finitos, el estudio a menudo puede reducirse al problema de las propiedades de los grupos finitos simples. Gracias a la derivación de este teorema de clasificación, algunos problemas relacionados pueden incluso resolverse examinando cada grupo simple y cada grupo espontáneo.
Sin embargo, en la década de 1960, Gorenstein anunció en 1983 que se había completado la clasificación de los grupos simples finitos, pero esto fue prematuro debido a un malentendido de algunas evidencias importantes. La pieza faltante no fue cubierta oficialmente hasta 2004, con la publicación de una prueba de 1.221 páginas realizada por Aschbacher y Smith.
Descripción general de la certificación
El proceso de prueba se puede dividir en varias partes principales. Por ejemplo, en la clasificación de grupos de pequeño orden 2, la mayoría de los grupos son grupos de tipo Lie de pequeño orden, más cinco grupos alternantes, siete grupos de tipo característico 2 y nueve grupos espontáneos. En particular, cuando el orden 2 es 0, dichos grupos son resolubles, un resultado relacionado con el teorema de Feit-Thompson.
En cuanto a la clasificación de los grupos pequeños de segundo orden, debemos considerar muchas situaciones: no solo hay 26 grupos espontáneos, sino también 16 grupos de tipo Lie y muchos otros comportamientos peculiares de los grupos de pequeño orden, que deben ser considerado en diferentes Tratar cada caso uno por uno. Según la descomposición de segundo orden del grupo, es necesario dividirlo en un grupo de tipo elemento y un grupo de tipo característico 2.
"Este enorme proceso de clasificación es como una dura maratón de matemáticas, y cada detalle debe ser cuidadosamente elaborado".
Historia de la prueba
En 1972, Gorenstein inició un proyecto de varios años para completar la clasificación de grupos finitos simples. El proyecto constaba de 16 pasos y se centraba en las propiedades y la estructura de los distintos tipos de grupos. A medida que avanza el trabajo, se ha completado básicamente la clasificación de la mayoría de los grupos, pero todavía hay un pequeño número de grupos que necesitan una discusión y confirmación más profunda.
En 1985 se había completado la primera generación de pruebas, pero como eran demasiado engorrosas, la comunidad matemática comenzó a revisar el proceso de prueba. Esta prueba, denominada de segunda generación, pretende replantear este enorme teorema de una forma más concisa y clara. La mayoría de los miembros relevantes tienen una gran experiencia y conocimientos, lo que allana el camino para nuevas pruebas.
Aunque el progreso ha sido lento, el proyecto ya cuenta con diez volúmenes y se espera que llegue finalmente a las cinco mil páginas. Esta longitud se debe en parte al hecho de que la nueva prueba utiliza un estilo más relajado en lugar del formalismo ordenado en el que se basaba la prueba anterior.
Al final, este movimiento de clasificación se convirtió en un hito importante en la comunidad matemática y proporcionó una base sólida para el desarrollo matemático futuro. Entonces, ¿qué impacto profundo tiene esta enorme prueba matemática en nuestra comprensión de las matemáticas?
