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¡No le tengas miedo a los números! ¿Sabes qué es el método numérico de probabilidad?
En el mundo actual de las matemáticas y las matemáticas computacionales, los métodos numéricos probabilísticos, como campo de investigación interdisciplinario, han atraído gradualmente la atención de la gente. Este campo combina matemáticas aplicadas, estadística y aprendizaje automático y gira en torno a la incertidumbre computacional. En los métodos numéricos probabilísticos, las tareas comunes de análisis numérico, como la integración numérica, el álgebra lineal, la optimización, la simulación y la solución de ecuaciones diferenciales, se tratan como problemas estadísticos, probabilísticos o de inferencia bayesiana.
Los métodos numéricos son algoritmos utilizados para aproximar la solución de problemas matemáticos, incluida la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, el cálculo de integrales, la resolución de ecuaciones diferenciales y la minimización de funciones de múltiples variables.
Los algoritmos numéricos tradicionales se basan en métodos deterministas, mientras que los algoritmos numéricos probabilísticos consideran este proceso como una estimación o un problema de aprendizaje y lo implementan dentro del marco de la inferencia probabilística. Esto significa que se puede utilizar una distribución previa para describir el problema computacional y, al comparar los números calculados (como productos matriz-vector, gradientes en optimización, valores de funciones integrales, etc.), hacer suposiciones sobre la relación y devolver la distribución posterior. como salida.
De hecho, muchos algoritmos numéricos clásicos se pueden reinterpretar bajo el marco probabilístico, como el método del gradiente conjugado, el método de Nordsieck, la regla de integración gaussiana y el método cuasi-Newton. La ventaja de estas técnicas es que no sólo proporcionan estimaciones de error estructuradas sino que también utilizan la inferencia bayesiana jerárquica para establecer y controlar los hiperparámetros internos.
Los métodos numéricos probabilísticos permiten combinar datos de múltiples fuentes de información, eliminando efectivamente los bucles anidados de los cálculos.
Tareas numéricas
Integración
En términos de integración numérica, los métodos numéricos probabilísticos han desarrollado muchas técnicas, la más famosa de las cuales es el método de integración bayesiana. En este proceso, el valor integrado de una función se estima evaluándolo en una serie dada de puntos. En este caso, elegir una distribución previa y condicionar los datos observados conduce a una distribución posterior, que es especialmente útil para funciones que son computacionalmente costosas.
Optimización
En términos de optimización matemática, los métodos numéricos probabilísticos también se han estudiado en profundidad. La optimización bayesiana es un método general basado en la inferencia bayesiana. Estos algoritmos ayudan a encontrar el mínimo o el máximo manteniendo creencias probabilísticas sobre la función objetivo para guiar la selección de observaciones posteriores.
Optimización local
En la optimización estocástica en el contexto del aprendizaje profundo, las técnicas numéricas probabilísticas han estudiado muchas cuestiones importantes, como el ajuste de la tasa de aprendizaje, la selección de mini lotes, etc., y han logrado la toma de decisiones automática modelando explícitamente estas incertidumbres.
Álgebra lineal
En aplicaciones de álgebra lineal, los algoritmos numéricos probabilísticos se centran en resolver sistemas de ecuaciones lineales de la forma A x = b. Dichos métodos suelen ser de naturaleza iterativa y recopilan información mediante multiplicaciones repetidas de matrices y vectores.
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Para ecuaciones diferenciales ordinarias, se han desarrollado una variedad de métodos numéricos probabilísticos, que se pueden dividir en métodos basados en aleatorización y regresión del proceso gaussiano, que pueden manejar eficazmente problemas de valores iniciales y valores límite.
Ecuaciones diferenciales parciales
Del mismo modo, a medida que la tecnología evoluciona, los métodos numéricos probabilísticos para ecuaciones diferenciales parciales también han mejorado y estos métodos aprovechan eficazmente las propiedades del proceso de regresión gaussiano.
Antecedentes históricos y campos relacionados
El desarrollo de métodos numéricos probabilísticos no se produjo de la noche a la mañana, sino que estuvo estrechamente relacionado con otras áreas de las matemáticas, como la complejidad de la información, la teoría de juegos y la teoría de la decisión estadística. Desde finales del siglo XIX hasta principios del XX, la intersección de la probabilidad y el análisis numérico comenzó a recibir atención. Las contribuciones de muchos matemáticos, desde Henri Poincaré hasta Albert Suldin y Mike Larkin, allanaron el camino para el desarrollo de este campo.
Cuando nos enfrentamos a datos complejos, ¿alguna vez has pensado en aplicar métodos numéricos probabilísticos para mejorar la eficiencia de tus cálculos?
