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El encanto de la estimación de máxima verosimilitud: ¿cómo dejar que los datos hablen?
En estadística, la estimación de máxima verosimilitud (EMV) es un método para estimar los parámetros de una distribución de probabilidad hipotética a partir de datos observados. Este método maximiza una función de probabilidad para garantizar que la probabilidad de los datos observados se maximice bajo el modelo estadístico asumido. El punto en el espacio de parámetros donde la función de verosimilitud alcanza su valor máximo es la estimación de máxima verosimilitud. Esta lógica no sólo es intuitiva sino también flexible y, por lo tanto, se ha convertido en un medio convencional de inferencia estadística.
La estimación de máxima verosimilitud hace que los datos ya no estén silenciados, sino que despierta la información oculta en ellos a través del ajuste de parámetros.
El principio básico de la estimación de máxima verosimilitud es considerar un conjunto de observaciones como muestras aleatorias de alguna distribución de probabilidad conjunta desconocida. El objetivo es determinar los valores de los parámetros que dan la mayor probabilidad conjunta de observar los datos.
Representamos los parámetros que controlan la asignación conjunta como un vector θ = [θ1, θ2, ..., θk ] de modo que cae dentro de una familia de parámetros {f(⋅; θ) | θ ∈ Θ}, donde Θ es el espacio de parámetros, un subconjunto de dimensión finita del espacio euclidiano.
Cuando evaluamos la densidad conjunta y = (y1, y2, ..., yn) sobre los datos observados muestra Cuando , podemos obtener una función de valor real, que se llama función de verosimilitud Ln(θ) = Ln(θ; y). Para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas, la función de verosimilitud es el producto de las funciones de densidad univariadas.
El propósito de la estimación de máxima verosimilitud es encontrar el valor del parámetro que minimiza la función de verosimilitud en el espacio de parámetros.
Este proceso se puede entender intuitivamente. La clave para la estimación de máxima verosimilitud es seleccionar valores de parámetros que hagan que los datos observados tengan la mayor probabilidad de ocurrir. Desde el punto de vista computacional, un enfoque común es utilizar el logaritmo natural de la función de verosimilitud, llamado log-verosimilitud.
Calculando lo que se llama la función de verosimilitud, podemos encontrar el valor máximo posible. Para algunos modelos, estas ecuaciones se pueden resolver explícitamente, pero en general no existe una solución de forma cerrada, por lo que hay que recurrir a la optimización numérica para encontrar la estimación de máxima verosimilitud.En el análisis de datos, MLE no es sólo una fórmula matemática, sino el arte de dejar que los datos hablen.
Además de la optimización numérica, también es importante tener en cuenta que, para muestras finitas, puede haber múltiples soluciones. Que la solución que hemos identificado sea efectivamente un máximo (local) depende de la matriz de derivadas de segundo orden, denominada matriz hessiana.
Por lo general, la estimación de máxima verosimilitud también puede corresponder a la inferencia bayesiana. En una distribución previa uniforme, la estimación máxima a posteriori (MAP) puede aproximarse a la estimación máxima a posteriori (MAP). Esto es especialmente importante cuando se realizan inferencias estadísticas y se construyen modelos.
La magia de la estimación de máxima verosimilitud reside en su capacidad no sólo de caracterizar los datos en sí, sino también de proporcionar una base significativa para la toma de decisiones. Por lo tanto, ya sea en economía, medicina o en cualquier otra investigación científica, la MLE ocupa una posición indispensable.
Por último, debemos reflexionar sobre el hecho de que el poder de los datos reside en el proceso de comprensión de los mismos. ¿Hemos hecho un uso pleno de los datos para explicar las historias que hay detrás de ellos?
