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La mayor simetría del universo: ¿qué es el espacio de Sitter de n dimensiones?
En física matemática, un espacio de Sitter n-dimensional (normalmente denotado como dSn) es una variedad de Lorentz simétrica máxima con curvatura escalar positiva constante. Es el análogo del análisis de Lorentz de la esfera n-dimensional (n-esfera) y puede considerarse como un modelo matemático simple pero profundo que describe la estructura del universo. La principal aplicación del espacio de Sitter en la relatividad general es que proporciona una base matemática consistente con la expansión acelerada del universo observada.
El espacio de De Sitter es la solución de vacío de la ecuación de campo de Einstein bajo la constante cosmológica positiva, correspondiente a la densidad de energía de vacío positiva y la presión negativa.
El espacio De Sitter y el espacio anti-de Sitter también llevan el nombre de Willem de Sitter. Es profesor de astronomía en la Universidad de Leiden y trabajó estrechamente con Albert Einstein en la década de 1920 para estudiar la estructura espacio-temporal de nuestro universo. El descubrimiento independiente del espacio de Sitter también se atribuye a Tullio Levi-Civita.
Definición y propiedades del espacio de Sitter
Un espacio de Sitter se puede definir como una subvariedad incrustada en un espacio de salto generalizado con métricas estándar. Más específicamente, el espacio de Sitter n-dimensional describe una variedad de una capa de hiperboloides, y el espacio de salto estándar se define como:
Aquí, el llamado hiperboloide satisface la siguiente ecuación:
Entre ellos, α es una constante distinta de cero y la unidad es la longitud. La métrica inducida del espacio de Sitter se introduce a partir de la métrica de salto ambiental, tiene firma lorentziana y no es degenerada.
El grupo de transformación isométrica del espacio de Sitter es el grupo de Lorentz O(1, n), lo que significa que tiene n(n + 1)/2 estrellas de Kiel independientes.
La curvatura constante es una propiedad intrínseca de todo espacio máximamente simétrico. El tensor de curvatura de Riemann que posee el espacio de Sitter se puede expresar como:
R_{ρσμν} = \frac{1}{\alpha^2}(g_{ρμ}g_{σν} - g_{ρν}g_{σμ})
Esto muestra que el espacio de De Sitter es una variedad de Einstein porque su tensor de curvatura de Riemann está relacionado métricamente. Esto significa que el espacio de De Sitter es una solución de vacío a las ecuaciones de Einstein, y el valor específico de la constante cosmológica varía según la dimensión en la que se encuentra.
Sistemas de coordenadas y sus aplicaciones
El espacio de De Sitter se puede expresar en un sistema de coordenadas estático y estas expresiones se pueden utilizar para estudiar la dinámica efectiva:
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
x_1 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \cosh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
Bajo tal sistema de coordenadas, la forma de la métrica de De Sitter muestra la franquicia de la expansión del universo:
Cabe señalar que existe un horizonte cósmico ubicado en r = α.
Resumen
El espacio de De Sitter, como modelo matemático que explica la estructura del universo, no sólo nos permite comprender las propiedades del universo en expansión, sino que también allana el camino para futuras investigaciones cosmológicas. Su simetría y sus propiedades físicas reflejan los profundos conocimientos de la física actual. ¿De qué manera afectará nuestra comprensión del universo? Sigue siendo una cuestión en la que vale la pena reflexionar.
