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¿Qué es el diseño de bloques? ¿Cuál es su misterioso papel en las matemáticas?
En el diseño combinatorio matemático, un diseño de bloques es una estructura de incidencia que consta de un conjunto y sus subconjuntos (llamados bloques), que se seleccionan para cumplir ciertas condiciones con el fin de hacer que todo el conjunto de bloques se comporte de forma simétrica y equilibrada. El diseño de blockchain tiene una amplia gama de aplicaciones, incluido el diseño experimental, la geometría finita, la química física, las pruebas de software, la criptografía y la geometría algebraica. En términos generales, cuando hablamos de diseños de bloques, normalmente nos referimos a diseños de bloques incompletos balanceados (BIBD), que son un tipo especial de 2 diseños que históricamente han sido los más estudiados, utilizados principalmente en diseño experimental.
El diseño de bloques demuestra la combinación y disposición de elementos, abriendo muchos aspectos misteriosos de las matemáticas.
Conceptos básicos del diseño de bloques
Matemáticamente, si un diseño está equilibrado (hasta t), significa que todos los t subconjuntos del conjunto original aparecen en un número igual de bloques. Cuando no se especifica t, generalmente se supone que t=2, lo que significa que cada par de elementos aparece en el mismo número de bloques y el diseño está equilibrado por pares. Para t=1, cada elemento aparece en el mismo número de bloques (esto se llama número de réplicas) y el diseño se denomina diseño regular. Además, los diseños en los que todos los bloques tienen el mismo tamaño se denominan uniformes o correctos. Los diseños analizados en este artículo son todos homogéneos, y los diseños de bloques cuya base no es homogénea se denominan diseños equilibrados por pares (PBD).Diseño uniforme regularizado
El diseño "equilibrado" más básico (t=1) se denomina configuración táctica o diseño 1. En geometría, la estructura de incidencia correspondiente se denomina configuración. Este diseño es uniforme y regular: cada bloque contiene k elementos y cada elemento está contenido en r bloques. Existe una relación entre el número de elementos v en un diseño y el número de bloques b, que es el número total de ocurrencias del elemento, porbk = vr. Toda matriz binaria con sumas de filas y columnas constantes es la matriz de incidencia para un diseño de bloque uniforme regular.
Diseño uniforme equilibrado por pares (diseño 2 o BIBD)
Dado un conjunto finito X (los elementos se llaman puntos) y números enteros k, r, λ ≥ 1, un diseño B, llamado diseño de 2 (o BIBD), será el conjunto de subconjuntos de k elementos de X, llamado Bloque. En este diseño, cualquier x en X está contenido en r bloques, y cualesquiera dos puntos diferentes x e y en X también están contenidos en λ bloques. Esta condición implica que no es necesario que ninguna x esté contenida en r bloques en X, como se puede ver en la derivación anterior. Podemos llamar a este diseño un diseño (v, k, λ) o un diseño (v, b, r, k, λ).
Diseño de simetría 2 (SBIBD)Debido a la existencia de un equilibrio imperfecto, el diseño de bloques revela el misterio y la belleza de las matemáticas combinatorias.
Cuando el número de bloques y puntos en los dos diseños es igual, el diseño se denomina diseño simétrico. Este tipo de diseño cumple los requisitos de los otros 2 diseños con el menor número de bloques, y en diseños simétricos, r=k y b=v. Entre ellos, dos bloques diferentes se intersecan en el punto λ. El teorema de Ryser proporciona las condiciones para el diseño simétrico.
Ejemplos y aplicaciones
Un diseño único (6,3,2) tiene 10 bloques y cada elemento se repite 5 veces. Utilizando la notación 0-5, estos bloques son los siguientes tripletes: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. La matriz de incidencia correspondiente es una matriz binaria de tamaño v×b. Estos ejemplos de diseño de bloques no sólo son ricos y diversos, sino que también abarcan una variedad de campos, desde las matemáticas hasta las aplicaciones prácticas.
Entonces, ¿puede el desarrollo y la aplicación del diseño de bloques proporcionarnos nuevas formas de pensar en sistemas complejos?
