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Est-ce que vous comprenez vraiment ce qu'est la moyenne ? Quelle est la mystérieuse différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique ?
Dans le langage courant, une moyenne est un nombre ou une valeur unique qui représente le mieux un ensemble de données. La moyenne la plus souvent considérée comme la plus représentative d'une liste de nombres est la moyenne arithmétique, qui est la somme de tous les nombres divisée par le nombre de nombres. Par exemple, la moyenne arithmétique des nombres 2, 3, 4, 7 et 9 est 5. Selon le contexte, la statistique la plus représentative peut être une autre mesure de tendance centrale, telle que la médiane ou la moyenne géométrique.
Dans certains cas, comme pour la moyenne des revenus personnels, la médiane est souvent utilisée car elle empêche les revenus de quelques personnes riches de faire grimper la moyenne arithmétique globale.
L’une des propriétés universelles des moyennes est que si tous les nombres d’un ensemble de nombres sont identiques, alors leur moyenne sera également égale à ce nombre. Cette propriété est partagée par tous les types de moyennes. Une autre propriété générale est la monotonie : si deux ensembles de nombres, A et B, ont la même longueur, et que chaque nombre de A est au moins aussi grand que le nombre correspondant de B, alors la moyenne de A sera au moins aussi grande que celui de B.
De plus, toutes les moyennes satisfont la propriété d’homogénéité linéaire : si un groupe de nombres est multiplié par le même nombre positif, alors leurs moyennes changeront dans la même proportion. Pour certains types de moyennes pondérées, telles que la moyenne arithmétique pondérée ou la moyenne géométrique pondérée, les éléments de la liste de nombres reçoivent des poids différents avant que la moyenne ne soit calculée. La plupart des types de moyennes sont insensibles à la permutation, ce qui signifie que tous les nombres sont traités de manière égale lors du calcul de leur moyenne, quelle que soit leur position dans la liste.
Différences entre la moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique
La moyenne arithmétique, la moyenne géométrique et la moyenne harmonique sont collectivement appelées la moyenne pythagoricienne. Outre ces moyennes, le mode et la médiane sont également souvent utilisés pour estimer la tendance centrale.
Le mode est le nombre le plus courant dans une liste, tandis que la médiane est le nombre au milieu après le tri des nombres.
Par exemple, dans la liste des nombres 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, le motif est 3, tandis que la liste triée 1, 3, 7, 13 a la somme arithmétique de 3 et 7. En moyenne, c'est 5.
Différents types de calcul de moyenne
Bien que d’autres types de moyennes telles que les τ-ième quantiles ne soient pas nécessairement des moyennes, elles peuvent être considérées comme des solutions aux problèmes d’optimisation. Les moyennes plus complexes incluent les moyennes triples, les médianes triples et la moyenne standardisée.
En finance, le rendement moyen en pourcentage est un type particulier de moyenne qui est essentiellement une application de la moyenne géométrique. Lorsque les rendements sont annuels, la mesure est appelée taux de croissance annuel composé (TCAC). Par exemple, si vous avez enregistré un rendement de -10 % sur votre investissement la première année et un rendement de +60 % la deuxième année, vous pouvez trouver le TCAC en résolvant l’équation du rendement total.
Moyenne mobile
Les moyennes mobiles sont un outil courant dans l'analyse des données et sont utilisées pour lisser les séries chronologiques, telles que les cours boursiers quotidiens ou les années de température. Les gens choisissent généralement une valeur pour n, puis créent une nouvelle série en prenant la moyenne arithmétique des n premières valeurs, puis en passant à la position suivante pour créer une série de données lissées.
La forme simple de la moyenne mobile consiste à prendre la moyenne arithmétique, mais des formes plus complexes impliquent une moyenne pondérée pour améliorer ou atténuer différents comportements cycliques.
Conclusion
Comprendre les différents types de moyennes et où elles s’appliquent est la pierre angulaire de la maîtrise de l’analyse des données. Les gens sont-ils pleinement conscients de la moyenne qu’ils utilisent lorsqu’ils analysent et interprètent les données ?
