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Fonctions qui ne peuvent pas être définies à l’aide de polynômes : pourquoi sont-elles si spéciales ?
Dans le monde des mathématiques, les fonctions peuvent être divisées en différents types en fonction de leurs propriétés, et l'une des catégories les plus fascinantes est celle des fonctions qui ne peuvent pas être définies à l'aide de polynômes, souvent appelées fonctions transcendantes. Les propriétés de ces fonctions leur font jouer un rôle important dans l’analyse et les applications mathématiques, mais pourquoi sont-elles si spéciales ?
Les fonctions transcendantales sont des fonctions qui ne satisfont aucune équation polynomiale valide et dont les coefficients ne peuvent être exprimés qu'à l'aide d'opérations élémentaires.
Par exemple, les fonctions exponentielles, logarithmiques, trigonométriques et hyperboliques sont toutes des fonctions transcendantes, distinctes des fonctions algébriques qui peuvent être représentées par des polynômes. Historiquement, le concept de ces fonctions transcendantes est apparu pour la première fois dans l'Antiquité, comme les fonctions sinus et cosinus utilisées par Hipparque en Grèce et les mathématiciens indiens. La représentation de ces fonctions a encore évolué avec le développement des mathématiques.
Les fonctions logarithmiques et exponentielles sont les fonctions transcendantes les plus courantes. Les fonctions exponentielles sont notées comme exp(x) = e^x. Bien que ces fonctions ne puissent pas être obtenues par un nombre fini d'opérations algébriques, elles sont largement utilisées en informatique, en physique et en ingénierie.
Par exemple, la représentation en série infinie de la fonction exponentielle peut être utilisée pour se connecter à la fonction logarithme naturel, la rendant ainsi plus flexible en termes de calcul.
Dans le développement des mathématiques, Euler, dans les années 1700, a clarifié davantage la relation entre ces fonctions ayant des caractéristiques différentes. Lawsky estime que l'introduction de ces fonctions nous permet d'acquérir plus de connaissances sur les opérations mathématiques, en particulier lors de l'exécution de sommes infinies et d'opérations limites. Les caractéristiques des fonctions transcendantes permettent aux mathématiciens d'explorer le contenu non algébrique, y compris les logarithmes.
La définition des fonctions transcendantes ne se limite pas aux fonctions univariées, mais peut également être étendue aux cas multivariés. Dans ce contexte, il est important de noter que toutes les fonctions transcendantes ne participent pas à la même structure d'équation, mais certaines fonctions telles que la fonction gamma et la fonction zêta sont appelées fonctions transcendantes et leurs caractéristiques sont plus uniques. impliqués dans les équations différentielles algébriques générales.
Mais même ainsi, les fonctions transcendantes ont toujours leurs domaines d’application spécifiques, notamment la physique, l’ingénierie et d’autres domaines des mathématiques appliquées.
En raison de ces propriétés des fonctions transcendantes, le concept d’« ensembles exceptionnels » est également exploré en mathématiques. Si une fonction algébrique donne également des résultats algébriques à certaines valeurs algébriques, alors ces valeurs spéciales forment l'ensemble d'exceptions de la fonction. Cela révèle la diversité de la théorie mathématique dans certains cas particuliers, comme lorsque les fonctions exponentielles sont strictement définies comme des nombres transcendants.
Bien que le défi et le caractère unique des fonctions transcendantes aient attiré des milliers de mathématiciens à explorer, pour les gens ordinaires, comprendre la relation entre l'existence de ces fonctions et la nature des mathématiques peut être un problème difficile.
En fin de compte, pouvons-nous accepter ces fonctions déroutantes et trouver leur influence et leur valeur dans nos vies ?
