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Chemins cachés dans les graphiques : comment trouver des chemins hamiltoniens uniques ?
Dans le domaine mathématique de la théorie des graphes, un chemin hamiltonien (ou chemin traçable) est un chemin dans un graphe non orienté ou orienté qui visite chaque sommet exactement une fois. Un cycle hamiltonien (ou circuit hamiltonien) est un chemin cyclique qui visite chaque sommet exactement une fois. Par conséquent, la discussion autour des chemins hamiltoniens n'est pas seulement un mystère pour les passionnés de mathématiques, mais aussi un sujet important en sciences de l'information et en théorie informatique, car le problème de la détermination de l'existence de tels chemins et cycles est un problème NP-complet, ce qui signifie que c'est-à-dire qu'il ne peut être résolu dans un délai raisonnable.
Les chemins et cycles hamiltoniens ont attiré une attention considérable en raison de leur importance dans les applications pratiques, telles que la navigation des robots, les problèmes de transport et la conception de circuits.
Le chemin hamiltonien doit son nom à William Rowan Hamilton, qui a inventé le « jeu icosien » (maintenant appelé le casse-tête hamiltonien) pour trouver un cycle hamiltonien dans le graphe d'arête d'un dodécaèdre. Bien que Hamilton ait résolu ce problème en utilisant le calcul icosien, cette solution ne peut pas être généralisée au cas de graphes arbitraires. En fait, bien avant ses recherches, de nombreux mathématiciens avaient étudié les caractéristiques des cycles hamiltoniens dans les polyèdres.
Tout graphique contenant un chemin hamiltonien est appelé un graphe traçable. S'il existe un chemin hamiltonien passant par chaque paire de points, alors le graphique est appelé un graphe hamiltonien connexe. Cependant, les boucles qui peuvent être formées par un cycle hamiltonien ne peuvent s'étendre qu'entre des sommets adjacents.
Un graphe complet (plus de deux sommets) est un graphe qui contient nécessairement un cycle hamiltonien. Chaque schéma de circuit est également hamiltonien.
Un graphe avec un cycle hamiltonien est généralement appelé graphe hamiltonien, et tout cycle hamiltonien peut être converti en chemin hamiltonien en supprimant une arête. Mais tous les graphes biconnectés ne sont pas forcément hamiltoniens. L’étude des chemins hamiltoniens est courante depuis le XVIIIe siècle et remonte même aux premiers jours des mathématiques indiennes.
Par exemple, dans le diagramme du cavalier sur l'échiquier, le problème des patrouilles de cavaliers a été discuté dès le IXe siècle dans les mathématiques indiennes. Au fil du temps, le concept a été développé davantage en Europe, avec Abraham de Moivre et Leonhard Euler discutant tous deux du problème des patrouilles de chevaliers.
La diversité des cycles hamiltoniens a permis aux mathématiciens de mener des études plus approfondies sur leurs propriétés, telles que la densité des graphes, la ténacité et les sous-graphes interdits.
Dans les recherches actuelles, le théorème de Bondy-Chvátal fournit une caractérisation optimale du degré du sommet par rapport au graphe hamiltonien, ce qui permet d'effectuer rapidement la plupart des déterminations d'hamiltonianité. Ces théories ne se limitent pas à des jugements aléatoires, mais sont également étroitement liées à la structure et aux caractéristiques de divers graphes, nous permettant de comprendre plus clairement quel type de connectivité peut permettre l'établissement de chemins ou de circuits hamiltoniens dans des graphes de propriétés différentes.
Selon les recherches existantes, toute décomposition des arêtes d'un graphe hamiltonien G peut former un cycle hamiltonien. Une application plus notable dans la pratique est le polynôme du cycle hamiltonien, qui est la description graphique requise dans le graphe orienté pondéré du cycle hamiltonien. Si ce polynôme n'est pas toujours nul dans certaines circonstances, on peut en déduire que le polynôme illustré est celui de Hamilton.
Lorsque l’existence des cycles hamiltoniens est devenue un point difficile à explorer, les mathématiciens ont commencé à réfléchir à des algorithmes plus efficaces pour résoudre de tels problèmes. Bien que de nombreuses avancées aient été réalisées en théorie, la manière de trouver un chemin hamiltonien efficace dans la pratique reste un mystère non résolu.
Que ce soit en mathématiques ou dans d’autres domaines d’application, la discussion sur les chemins hamiltoniens et leur existence continue de s’approfondir. Il ne s’agit pas seulement d’un défi mathématique, mais aussi d’un sujet important qui favorise le progrès de l’informatique et de la pensée logique. Pouvez-vous trouver le chemin hamiltonien caché dans ces graphiques complexes ?
