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Comment cette technique mathématique rend-elle les problèmes NP-difficiles facilement résolubles ?
Dans le domaine des mathématiques, de nombreux problèmes sont si difficiles à calculer que les gens ne peuvent plus respirer. Que peut-on faire pour briser ces barrières NP-dures ? Récemment, des mathématiciens ont mené des recherches approfondies sur une technologie clé, à savoir la « technologie de relaxation ». Le cœur de cette technique est d’assouplir les contraintes entières et de transformer le problème en un problème de programmation linéaire qui peut être résolu avec un algorithme en temps polynomial.
L'assouplissement des restrictions sur les problèmes de nombres entiers améliore considérablement la résolution du problème et ouvre de nouvelles façons de relever divers défis informatiques.
Par exemple, considérons un « problème de couverture définie ». Dans ce problème, étant donné un ensemble d’ensembles, nous devons en sélectionner un sous-ensemble pour couvrir tous les éléments, et le nombre d’ensembles sélectionnés doit être aussi petit que possible. Ce problème peut être formalisé sous la forme d'un programme entier 0-1, où chaque variable représente si l'ensemble est sélectionné. En relâchant les contraintes et en changeant le choix des variables de 0 et 1 en nombres réels entre 0 et 1, nous pouvons résoudre le problème plus facilement.
La technologie de relaxation simplifie le problème d'optimisation complexe d'origine, élimine la difficulté de calcul inhérente et permet à la solution d'émerger.
Lorsque nous résolvons ce type de programme linéaire détendu, il arrive parfois que la solution que nous obtenons soit un nombre entier, ce qui signifie que nous résolvons également le problème entier d'origine. Bien que cette situation soit rare, il est néanmoins garanti que la solution assouplie est au moins aussi bonne que la solution entière et peut nous fournir des informations précieuses sur le problème initial.
Dans un exemple spécifique, supposons qu'il y ait trois ensembles F = {{a, b}, {b, c}, {a, c}}. Le programme correspondant de nombres entiers 0-1 pour la couverture minimale d'ensembles conçue pour ces ensembles nécessiterait de minimiser le nombre de variables indicatrices. Cet exemple montre l'importance de la relaxation linéaire dans le processus de résolution, car grâce à différentes solutions, nous pouvons non seulement trouver la limite inférieure de la solution entière, mais également donner une espérance de solution plus précise.
Chaque fois que nous effectuons une opération de relaxation, nous posons les bases de la solution suivante et nous approchons progressivement de la véritable solution optimale.
En ce qui concerne la qualité de la solution, les techniques de relaxation fournissent de précieuses limites supérieures et inférieures sur les solutions des programmes entiers. Nous examinons généralement « l’écart entier », qui est une mesure de l’écart entre la solution entière originale et sa relaxation. Si l’écart est plus petit, nous sommes plus sûrs que la solution au problème initial est correctement saisie.
En plus de servir de base aux algorithmes d'approximation, cette technique est également utilisée dans des méthodes de branchement et de liaison plus complexes. Lorsqu'une solution non entière est trouvée, l'algorithme divise le problème en sous-problèmes plus petits pour effectuer une recherche dans un cadre plus restreint.
Une telle méthode de branchement et de liaison nous donne l'espoir de trouver des solutions entières proches de la solution optimale, et peut encore faire preuve de courage même face à des problèmes NP-difficiles.
De plus, la « méthode du plan de coupe » est également une technique puissante. Elle nous aide à trouver des solutions entières plus précises en trouvant des plans de coupe pour exclure les solutions en dehors de l'enveloppe convexe de la solution relaxée. Cela montre également que l’utilisation de ces méthodes ne se limite pas à des problèmes spécifiques et que les mêmes idées peuvent être largement appliquées à une variété de défis informatiques.
En combinant ces techniques, les mathématiciens se montrent très prometteurs dans la résolution de problèmes NP-difficiles. Grâce à une combinaison de techniques de relaxation, de branchement et de délimitation et d’autres méthodes, nous sommes sur le point de résoudre des problèmes autrefois considérés comme insurmontables. Mais ces méthodes apportent-elles souvent des solutions idéales ?
