Language
Country/Area
No result found
Comment trouver la solution unique sous 3 nombres ? L'étonnante puissance du théorème du reste chinois !
Dans le monde des mathématiques, il existe un outil étonnant appelé « théorème des restes chinois ». Cette théorie révèle comment dériver de manière unique une solution à un nombre dans les contraintes de plusieurs nombres. Cette ancienne théorie mathématique est née en Chine du IIIe au Ve siècle après JC et a été proposée par le mathématicien Sun Tzu. Elle a démontré une puissance inégalée dans la résolution d’opérations modulaires majoritaires. Alors, à quels types de problèmes pratiques ce théorème peut-il nous aider à répondre ?
Le théorème chinois des restes stipule que si nous connaissons le reste d'un entier n en plusieurs entiers, alors à condition que ces entiers soient premiers entre eux, nous pouvons déterminer de manière unique le reste du produit de n par ces entiers. .
Contexte historique
Le prototype du théorème des restes chinois est apparu pour la première fois dans "Sun Zi Suan Jing" de Sun Tzu, qui décrit un problème mathématique spécifique :Si nous prenons un nombre inconnu d'objets, avec 3, 5 et 7 comme bases respectivement Calcul, les restes obtenus sont respectivement 2, 3 et 2. Alors quel est le nombre total de cet objet ? La première description de ce théorème ne constituait pas un théorème selon les normes mathématiques modernes car elle ne traitait que d'un exemple spécifique et ne fournissait pas d'algorithme général pour résoudre de tels problèmes.
À mesure que l'histoire évoluait, des mathématiciens tels qu'Alia Bhatta et Brahma Gupta ont également exploré des cas particuliers de cette théorie. Au XIIe siècle, le mathématicien italien Fibonacci a approfondi l'application de ce théorème dans son ouvrage "Livre des calculs", tandis que le mathématicien chinois Qin Jiushao a complètement résumé ce théorème dans "Neuf chapitres d'arithmétique" en 1247. théorie.
Énoncé du théorème
Le contenu de base du théorème des restes chinois est que si nous avons k entiers n1, n2,..., nk, et que ces entiers sont premiers entre eux, nous pouvons avoir des entiers a1, a2,... , ak, tel que pour tout i, 0 ≤ ai < ni, alors il existe un entier unique x qui satisfait en même temps les conditions suivantes :
x ≡ a1 (mod n1),
x ≡ a2 (mod n2),
...
x ≡ ak (mod nk)
En même temps, ce x doit également satisfaire 0 ≤ x < N, où N est le produit de n1, n2,...,nk.
Importance et application
Ce théorème a de nombreuses applications dans le calcul de grands entiers, en particulier en informatique. Face à des calculs numériques à grande échelle, le théorème chinois du reste peut transformer des calculs complexes en plusieurs calculs simples de petits nombres entiers. Ce processus est appelé calcul multimodal. Cette méthode a été largement utilisée dans le cryptage numérique, le traitement des données et les calculs d'algèbre linéaire.
Par exemple, lorsque nous devons traiter « calculer x modulo 15 » et « calculer x modulo 21 » en même temps, le théorème chinois du reste rend ces opérations plus efficaces. Nous pouvons calculer dans une plage de nombres plus petite et enfin les combiner pour obtenir le résultat souhaité.
Preuve du théorème
Pour ce théorème, les mathématiciens ont proposé diverses méthodes de preuve. Premièrement, prouver l’existence et l’unicité de la solution à travers des inégalités et des processus itératifs. En termes de méthodes spécifiques, nous pouvons déduire des solutions à plusieurs équations en résolvant deux équations de module. Ce processus montre la beauté de la logique mathématique.
De plus, garantir l'unicité de la solution est un facteur important dans ces preuves. Lorsque la forme des solutions est la même, la différence entre deux solutions différentes doit être un multiple de l'entier N. Sous la condition co-prime, la différence doit être nulle, ce qui prouve l'unicité de la solution.
Réflexions finales
L'application du théorème des restes chinois démontre le charme des mathématiques et leur importance dans le monde réel, et il s'agit toujours d'un outil de base pour des calculs numériques efficaces. Grâce à cette théorie, nous pouvons trouver des solutions simples à des calculs complexes. Comprendre la nature de cette méthode nous amène à nous demander combien de théorèmes mathématiques non découverts pourront résoudre nos problèmes à l’avenir ?
