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Diffusion inverse: comment ce merveilleux outil mathématique résout-il l'équation KDV?
Dans le monde mathématique, l'équation de Korteweg - de Vries (KDV) est largement utilisée pour décrire le comportement des ondes d'eau peu profonde.Cette équation différentielle partielle n'est pas seulement un modèle pour les équations intégrées, mais aussi la frappe en raison de ses diverses solutions, y compris des solutions aux vagues isolées.Cette équation a été introduite pour la première fois par Joseph Valentin Boussinesq en 1877, puis redécouverte par Diederik Korteweg et Gustav de Vries en 1895 et a donné la solution la plus simple.
Ce qui est spécial dans cette équation, c'est que bien que ses caractéristiques non linéaires rendent les équations différentielles partielles générales souvent difficiles à gérer, elle montre un grand nombre de solutions claires.
En 1965, Norman Zabusky et Krsukal ont approfondi leur compréhension de cette équation à travers des simulations informatiques, et la transformation de diffusion inverse ultérieure développée en 1967 a fourni une nouvelle méthode pour résoudre l'équation KDV.La diffusion inverse, développée par Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal et Robert Miura, est l'outil mathématique de base pour résoudre de telles équations.
Définition de l'équation KDV
L'équation KDV est sous la forme:
∂tϕ + ∂x³ϕ - 6ϕ∂xϕ = 0, x ∈ R, t ≥ 0
Ici, ∂x³ϕ représente l'effet de dispersion, tandis que le terme non linéaire 6ϕ∂xϕ est le terme de convection.Cette équation fournit un modèle mathématique décrivant des ondes d'eau peu profondes, où ϕ représente le déplacement de la surface de l'eau à la hauteur d'équilibre.
Solution d'ondes isolées
Une caractéristique fascinante de l'équation KDV est sa solution d'onde isolée, en particulier une solution d'onde isolée.Ce type de solution peut être écrit comme:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Ici, F (x) représente la solution qui maintient une forme d'onde fixe dans le temps.Lors de l'échange de ses variables, on peut constater que de telles solutions peuvent être considérées comme le mouvement des particules de grande masse dans un potentiel particulier.
Si a = 0 et c> 0, la fonction potentielle atteint un maximum local à f = 0, et le comportement de cette solution décrit les caractéristiques typiques des ondes isolées.
Solution d'onde isolée multiple
D'après des recherches supplémentaires sur les solutions d'ondes isolées uniques, nous pouvons obtenir n solutions d'ondes isolées.Cette solution peut être écrite:
ϕ (x, t) = -2 ∂² / ∂x² log [det a (x, t)]
a (x, t) Voici une matrice dont les composants impliquent une série de paramètres positifs réduits.Ces solutions se décomposeront en n différentes vagues isolées sur une longue période, montrant les utilisations et les caractéristiques étonnantes de l'équation KDV.
Points d'exercice
L'équationKDV a également une quantité infinie d'intégrales de mouvement, qui correspondent à des fonctions spécifiques et restent inchangées au fil du temps.Ceux-ci peuvent être clairement exprimés comme:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²xϕ, ...) dx
L'existence de ces quantités de mouvement rend l'équation KDV non seulement accrocheuse en mathématiques, mais a également une importance importante en physique.
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