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N'ayez plus peur des chiffres ! Savez-vous ce qu'est la méthode numérique probabiliste ?
Dans le monde actuel des mathématiques et des mathématiques computationnelles, les méthodes numériques probabilistes, en tant que domaine de recherche interdisciplinaire, ont progressivement attiré l'attention des gens. Ce domaine combine les mathématiques appliquées, les statistiques et l’apprentissage automatique et s’articule autour du calcul de l’incertitude. Dans les méthodes numériques probabilistes, les tâches d'analyse numérique courantes, telles que l'intégration numérique, l'algèbre linéaire, l'optimisation, la simulation et la résolution d'équations différentielles, sont considérées comme des problèmes d'inférence statistique, probabiliste ou bayésienne.
Les méthodes numériques sont des algorithmes utilisés pour approximer les solutions à des problèmes mathématiques, notamment la résolution de systèmes d'équations linéaires, le calcul d'intégrales, la résolution d'équations différentielles et la minimisation de fonctions de plusieurs variables.
Les algorithmes numériques traditionnels sont basés sur des méthodes déterministes, tandis que les algorithmes numériques probabilistes considèrent ce processus comme un problème d'estimation ou d'apprentissage et le mettent en œuvre dans le cadre de l'inférence probabiliste. Cela signifie que nous pouvons utiliser une distribution a priori pour décrire le problème de calcul dans lequel nous nous trouvons, et utiliser la distribution a priori pour comparer les nombres calculés (tels que les produits matrice-vecteur, les gradients d'optimisation, les valeurs de fonction intégrale, etc.) avec la cible. quantité. La relation est supposée et la distribution postérieure est renvoyée en sortie.
En fait, de nombreux algorithmes numériques classiques peuvent être réinterprétés dans un cadre probabiliste, comme la méthode du gradient conjugué, la méthode de Nordsieck, la règle d'intégration gaussienne et la méthode quasi-Newton. L’avantage de ces techniques est qu’elles fournissent non seulement des estimations d’erreur structurées, mais utilisent également l’inférence bayésienne hiérarchique pour définir et contrôler les hyperparamètres internes.
Les méthodes numériques probabilistes permettent de combiner des données provenant de plusieurs sources d’information, supprimant ainsi efficacement les boucles imbriquées dans les calculs.
Tâches numériques
Intégration
En matière d'intégration numérique, les méthodes numériques probabilistes ont développé de nombreuses techniques, dont la plus célèbre est la méthode d'intégration bayésienne. Dans ce processus, la valeur intégrée d’une fonction est estimée en l’évaluant à une série donnée de points. Dans ce cas, le choix d'une distribution a priori et son conditionnement sur les données observées donnent la distribution postérieure, qui est particulièrement utile pour les fonctions coûteuses en termes de calcul.
Optimisation
En optimisation mathématique, les méthodes numériques probabilistes ont également été étudiées en profondeur. L'optimisation bayésienne est une méthode générale basée sur l'inférence bayésienne. Ces algorithmes aident à trouver des minima ou des maxima en maintenant une croyance probabiliste sur la fonction objective pour guider la sélection ultérieure des observations.
Optimisation locale
Dans l'optimisation stochastique dans le contexte de l'apprentissage profond, des techniques numériques probabilistes ont été utilisées pour étudier de nombreuses questions importantes telles que l'ajustement du taux d'apprentissage, la sélection de mini-lots, etc., pour parvenir à une prise de décision automatique en modélisant explicitement ces incertitudes.
Algèbre linéaire
Dans les applications d'algèbre linéaire, les algorithmes numériques probabilistes se concentrent principalement sur la résolution de systèmes d'équations linéaires de la forme A x = b. Ces méthodes sont généralement de nature itérative, collectant des informations par le biais de multiplications répétées de matrices et de vecteurs.
Equations différentielles ordinaires
Pour les équations différentielles ordinaires, une variété de méthodes numériques probabilistes ont été développées, qui peuvent être divisées en méthodes basées sur la randomisation et la régression par processus gaussien, qui peuvent traiter efficacement les problèmes de valeur initiale et de valeur limite.
Équations aux dérivées partielles
De même, les progrès technologiques ont conduit à des avancées dans les méthodes numériques probabilistes pour les équations aux dérivées partielles qui exploitent les propriétés de la régression du processus gaussien.
Contexte historique et domaines connexes
Le développement des méthodes numériques probabilistes ne s’est pas fait du jour au lendemain, mais il est étroitement lié à d’autres domaines des mathématiques tels que la complexité de l’information, la théorie des jeux et la théorie de la décision statistique. De la fin du XIXe siècle au début du XXe siècle, l’intersection entre probabilités et analyse numérique a commencé à recevoir de l’attention. Les contributions de nombreux mathématiciens, d’Henri Poincaré à Albert Suldin en passant par Mike Larkin, ont ouvert la voie au développement de ce domaine.
Lorsque nous sommes confrontés à des données complexes, avez-vous déjà pensé à appliquer des méthodes numériques probabilistes pour améliorer votre efficacité informatique ?
