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Le charme du théorème de Banach : comment trouver le point fixe exact ?
Le calcul de points fixes est le processus permettant de trouver des points fixes exacts ou approximatifs d'une fonction donnée. Dans sa forme la plus courante, une fonction donnée satisfait aux conditions du théorème du point fixe de Brouwer : c'est-à-dire que la fonction est continue et mappe les d-cubes unitaires sur elle-même. Le théorème du point fixe de Brouwer garantit que la fonction a un point fixe, mais sa démonstration n'est pas constructive.
Cela a conduit à la création de divers algorithmes conçus pour calculer des points fixes approximatifs et sont largement utilisés en économie, en théorie des jeux et en analyse de systèmes dynamiques.
Avant de discuter des points fixes, il est nécessaire de comprendre quelques définitions de base. L'intervalle unitaire est noté E := [0, 1], et le cube unitaire de dimension d est noté E^d. Une fonction continue f définie sur E^d est une application de E^d sur elle-même. On suppose souvent que cette fonction est non seulement continue, mais aussi continue de Lipschitz, c'est-à-dire qu'il existe une constante L telle que pour tout x et y, |f(x) - f(y)| ≤ L ⋅ |x - et |.
Un point fixe x est un point dans E^d tel que f(x) = x. Selon le théorème du point fixe de Brouwer, toute fonction continue possède un point fixe de E^d à elle-même.
Bien que pour les fonctions générales, il soit impossible de calculer exactement le point fixe car il peut s'agir de n'importe quel nombre réel, l'algorithme de calcul du point fixe cherche à se rapprocher du point fixe. Les normes habituelles sont les suivantes :
Critère résiduel : étant donné un paramètre approximatif ε > 0, un point fixe ε-résiduel est défini comme un point x tel que |f(x) - x| ≤ ε.
Critère absolu : pour un paramètre donné δ > 0, un point fixe δ-absolu est un point x tel que |x - x₀| ≤ δ, où x₀ est n'importe quel point fixe.
Norme relative : la condition est |x - x₀|/|x₀| ≤ δ, x₀ satisfait f(x₀) = x₀.
Pour les fonctions continues Lipschitz, le critère absolu est plus fort que le critère résiduel. Cela devient particulièrement important si f est une fonction continue Lipschitzienne qui satisfait à la définition.
L'étape la plus élémentaire de l'algorithme de calcul en virgule fixe est l'interrogation de valeur. Étant donné tout x dans E^d, l'algorithme fournit la valeur f(x) de la fonction f par un oracle. La précision du point fixe approximatif dépend de la précision de l'oracle. Cependant, pour ces différentes méthodes de calcul, il existe de nombreux types basés sur la continuité Lipschitzienne, y compris des algorithmes dérivés du célèbre théorème du point fixe de Banach.
Bien entendu, pour les fonctions de contraction, le calcul des points fixes est évidemment beaucoup plus simple. Selon le théorème du point fixe de Banach, chaque fonction de contraction qui satisfait la condition de Brouwer possède un point fixe unique. L'algorithme d'itération en virgule fixe est l'un des premiers algorithmes. L'erreur après t itérations diminue de façon exponentielle, de sorte que le nombre d'itérations généralement requis pour un point fixe relatif delta dans un espace à d dimensions peut être exprimé sous forme de rapport logarithmique.
Lorsque d augmente, l'algorithme de Banach montre clairement sa supériorité, notamment en termes de complexité de calcul aux points fixes, et fournit une solution pratique pour résoudre des problèmes dans un espace de grande dimension.
Dans le cas de fonctions différentiables, la méthode de Newton peut souvent accélérer considérablement les calculs si l'algorithme peut évaluer ses dérivées. Cependant, pour les fonctions générales avec une constante de Lipschitz supérieure à 1, la difficulté de calculer le point fixe augmente considérablement, ce qui implique un nombre infini de requêtes d'évaluation et devient un défi épineux.
Bien que le calcul des fonctions unidimensionnelles soit relativement simple, pour les fonctions bidimensionnelles et de dimension supérieure, la recherche et le calcul de points fixes deviennent extrêmement difficiles. De nos jours, de nombreuses méthodes basées sur l'évaluation de fonctions ont été proposées. Par exemple, l'algorithme développé par Herbert Scarfe en 1967 en fait partie. En formant un « ensemble original » entièrement étiqueté, la fixation ε-résiduelle est obtenue par approximation ponctuelle.
Avec des recherches approfondies sur les calculs en virgule fixe, la complexité des algorithmes associés et les inspirations correspondantes deviennent de plus en plus abondantes. Avec des applications dans différents domaines, trouver ces points fixes de manière plus efficace et précise reste un défi majeur en mathématiques et en informatique.
En explorant ces mystères mathématiques, nous ne pouvons nous empêcher de nous demander : dans la vraie vie, pouvons-nous également appliquer des principes mathématiques similaires pour trouver des points fixes afin de résoudre des problèmes ?
