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Le charme de l’équation de Schrödinger indépendante du temps : savez-vous comment elle explique le comportement des particules ?
Dans le domaine de la mécanique quantique, l'équation de Schrödinger indépendante du temps (TISE) est un outil de base utilisé pour décrire le comportement des particules dans un champ potentiel spécifique. Parmi eux, le problème de l'énergie potentielle à pas unidimensionnel est un système idéalisé utilisé pour simuler les ondes de matière incidentes, réfléchies et transmises. Cet article explorera en profondeur comment cette équation nous aide à comprendre le comportement des particules en potentiel d'échelon et à révéler les mystères quantiques impliqués.
Équation de Schrödinger et fonction potentielle
L'équation de Schrödinger indépendante du temps peut être exprimée comme suit :
H ^ ψ(x) = [ - ℏ² / (2m) d² / dx² + V(x) ] ψ(x) = E ψ(x)
Ici, H est l'hamiltonien, ℏ est la constante de Planck réduite, m est la masse de la particule et E est l'énergie de la particule. Pour une énergie potentielle à échelons unidimensionnelle, la fonction potentielle est généralement exprimée comme une fonction à échelons de Heaviside :
V(x) = { 0 , x < 0; V0 , x ≥ 0 }
Cela signifie que lorsque x est inférieur à 0, la particule n'a pas de potentiel, et lorsque x est supérieur ou égal à 0, la particule se déplace sous l'influence du potentiel V0. Une telle configuration nous permet d’analyser le comportement des particules dans différentes régions et pose les bases de nos recherches.
Solution
Dans un potentiel d'échelon, l'espace est divisé en deux régions : x < 0 et x > 0. Dans les deux régions, l’énergie potentielle est constante, ce qui signifie que les particules sont quasi libres dans ces régions. Ici, les solutions à l'équation de Schrödinger peuvent être exprimées comme les superpositions des ondes se déplaçant vers la gauche et vers la droite, ce qui peut s'écrire comme suit :
ψ₁(x) = (A→ e^(ik₁x) + A← e^(-ik₁x)) x < 0
ψ₂(x) = (B→ e^(ik₂x) + B← e^(-ik₂x)) x > 0
Ici, A et B représentent l'amplitude de l'onde, les flèches directionnelles représentent la direction du mouvement, et k₁ et k₂ sont les nombres d'onde correspondant respectivement à différentes énergies.
Conditions aux limites
Les coefficients A et B de la fonction d'onde doivent être déterminés en fonction des conditions aux limites à x=0. Afin d'assurer la continuité de la fonction d'onde et de ses dérivées à la frontière, il est nécessaire de poser les conditions suivantes :
ψ₁(0) = ψ₂(0)
dψ₁/dx|_{x=0} = dψ₂/dx|_{x=0}
De telles conditions aux limites fournissent des contraintes explicites sur nos coefficients, nous permettant de calculer les probabilités de réflexion (R) et de transmission (T).
Transmission et réflexion
En mécanique quantique, nous pouvons voir un contraste avec la situation classique. Une particule peut être réfléchie ou téléportée lorsqu'elle entre en contact avec un potentiel de marche. En supposant que l'énergie de la particule E est supérieure à V0, la particule incidente du côté gauche A peut être réfléchie (A←) ou transmise (B→).
R = (k₁ - k₂)/( k₁ + k₂ )
T = 2√(k₁*k₂)/(k₁ + k₂)
Ces formules révèlent la nature de l'interaction des particules quantiques avec le potentiel, en particulier leur comportement lorsque l'énergie des particules est supérieure au potentiel, ce qui rend le calcul de la probabilité de transmission et de réflexion particulièrement intéressant.
Analyse approfondie
L'analyse ne se limite pas au cas ci-dessus. Lorsque l'énergie est inférieure à la hauteur de la marche (E < V0), la fonction d'onde à droite va décroître de manière exponentielle. Ce comportement n'apparaît pas en physique classique. De plus, lorsque l’énergie est supérieure à la hauteur de la marche, les résultats de la transmission et de la réflexion sont contraires aux idées classiques, ce qui a conduit à l’exploration de phénomènes tels que le paradoxe de Klein.
Application et extension
Le modèle de potentiel à échelons est principalement utilisé dans les manuels d'introduction à la mécanique quantique pour aider les étudiants à comprendre plusieurs concepts importants tels que la régularisation des fonctions d'onde, les conditions aux limites, les amplitudes d'entrée/réflexion/transmission et leurs probabilités. De plus, des variantes de ce problème trouvent également leur place dans la physique des interfaces métalliques supraconductrices, où les quasiparticules se dispersent sur des potentiels d'appariement avec une forme en escalier, ce qui présente des similitudes mathématiques avec le problème du potentiel en escalier en question.
Avec le développement de la mécanique quantique, l’équation de Schrödinger indépendante du temps reste l’un des outils importants pour explorer le monde microscopique. Alors que notre compréhension des phénomènes quantiques s’approfondit, vous demandez-vous également comment ces phénomènes affectent les lois de la physique dans notre vie quotidienne ?
