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La plus grande symétrie de l'univers : qu'est-ce que l'espace de Sitter à n dimensions
En physique mathématique, un espace de Sitter à n dimensions (généralement noté dSn) est une variété lorentzienne à symétrie maximale avec une courbure scalaire positive constante. Il s'agit de l'analogue de l'analyse de Lorentz de la sphère à n dimensions (n-sphère) et peut être considérée comme un modèle mathématique simple mais profond décrivant la structure de l'univers. La principale application de l’espace de De Sitter en relativité générale est qu’il fournit une base mathématique cohérente avec l’expansion accélérée observée de l’univers.
L'espace de De Sitter est la solution sous vide de l'équation du champ d'Einstein sous la constante cosmologique positive, correspondant à une densité d'énergie sous vide positive et à une pression négative.
L'espace De Sitter et l'espace anti-de Sitter portent également le nom de Willem de Sitter. Il est professeur d'astronomie à l'université de Leyde et a travaillé en étroite collaboration avec Albert Einstein dans les années 1920 pour étudier la structure espace-temps de notre univers. La découverte indépendante de l'espace de Sitter est également attribuée à Tullio Levi-Civita.
Définition et propriétés de l'espace de Sitter
Un espace de Sitter peut être défini comme une sous-variété intégrée dans un espace saute-mouton généralisé avec des métriques standard. Plus précisément, l'espace de Sitter à n dimensions décrit une variété d'une couche d'hyperboloïdes, et l'espace de saut standard est défini comme :
ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^{n} dx_i^2
Ici, ce qu'on appelle l'hyperboloïde satisfait l'équation suivante :
-x_0^2 + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \alpha^2
Parmi eux, α est une constante non nulle et l'unité est la longueur. La métrique induite de l'espace de Sitter est introduite à partir de la métrique de saut ambiante, a une signature lorentzienne et n'est pas dégénérée.
Le groupe de transformation isométrique de l'espace de Sitter est le groupe de Lorentz O(1, n), ce qui signifie qu'il possède n(n + 1)/2 étoiles de Kiel indépendantes.
La courbure constante est une propriété intrinsèque de tout espace à symétrie maximale. Le tenseur de courbure riemannien possédé par l'espace de Sitter peut être exprimé comme suit :
R_{ρσμν} = \frac{1}{\alpha^2}(g_{ρμ}g_{σν} - g_{ρν}g_{σμ})
Cela montre que l'espace de Sitter est une variété einsteinienne car son tenseur de courbure riemannien est métriquement lié. Cela signifie que l'espace de De Sitter est une solution vide aux équations d'Einstein et que la valeur spécifique de la constante cosmologique varie en fonction de la dimension dans laquelle elle se trouve.
Systèmes de coordonnées et leurs applications
L'espace de De Sitter peut être exprimé dans un système de coordonnées statiques, et de telles expressions peuvent être utilisées pour étudier la dynamique effective :
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
x_1 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \cosh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
Sous un tel système de coordonnées, la forme de la métrique de De Sitter montre la franchise de l'expansion de l'univers :
ds^2 = -\left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2 }\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2
Il est à noter qu'il existe un horizon cosmique situé à r = α.
Résumé
L'espace de De Sitter, en tant que modèle mathématique expliquant la structure de l'univers, nous permet non seulement de comprendre les propriétés de l'univers en expansion, mais ouvre également la voie à de futures recherches cosmologiques. Sa symétrie et ses propriétés physiques reflètent les profondes connaissances de la physique actuelle. La manière dont cela affectera notre compréhension de l'univers reste une question qui mérite réflexion.
