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Le secret caché de la mécanique lagrangienne : pourquoi est-elle plus simple que la méthode de Newton ?
Dans le domaine de la physique, la mécanique lagrangienne est un énoncé de la mécanique classique basé sur le principe de l'action en régime permanent. Cette méthode a été proposée pour la première fois par le mathématicien et astronome italo-français Joseph-Louis Lagrange en 1760 et développée plus avant dans son livre de 1788 Mécanique analytique. La mécanique lagrangienne décrit un système mécanique comme une paire (M, L), où M représente l'espace de configuration et L est une fonction lisse, communément appelée fonction lagrangienne.
Le concept fondamental de Lagrange est l'énergie, et non la force, ce qui rend les formules mathématiques permettant de traiter des systèmes complexes plus abstraites et simplifiées.
Par rapport à l'opérabilité des lois du mouvement de Newton, la mécanique lagrangienne choisit d'utiliser l'énergie comme composant de base. En donnant à chaque objet des coordonnées généralisées indépendantes, un nouveau cadre mathématique a été créé qui a rendu les équations de Lagrange robustes à des problèmes plus complexes. Dans certaines situations, les lois de Newton peuvent sembler difficiles à appliquer. Par exemple, lors du calcul de la situation dans laquelle un anneau roule sur un plan horizontal tandis qu'une bille glisse à l'intérieur, les contraintes variables de l'anneau et le mouvement de la bille par rapport à l'anneau rendent extrêmement difficile l'utilisation des lois de Newton.
En général, la mécanique newtonienne convient à de nombreux problèmes, mais dans certains cas, elle peut être complexe et difficile à contrôler. La solution de Lagrange offrait un changement élégant, passant du calcul direct des forces au calcul des différences dans les énergies cinétiques et potentielles du système, soit essentiellement la somme du comportement du système dynamique.
Les équations de la mécanique lagrangienne nous permettent de ne pas considérer les effets des contraintes variables dans le temps, et seule l'essence de la dynamique émerge.
Étant donné que les équations de mouvement de Newton nécessitent généralement trois équations pour chaque particule pour expliquer son mouvement, dans le cadre lagrangien, le nombre d'équations est considérablement réduit en raison de la prise en compte de la réduction des coordonnées généralisées. Dans la plupart des cas, ce changement rend la solution non seulement efficace mais aussi plus intuitive. L’essence de la mécanique lagrangienne réside dans sa généralité, ce qui signifie que de nombreux systèmes physiques peuvent être abstraits et analysés à l’aide d’un cadre mathématique unifié.
Le rôle des fonctions lagrangiennes
La fonction lagrangienne L est définie comme la différence entre l'énergie cinétique T et l'énergie potentielle V dans le système, exprimée par L = T - V. Cette idée guide chaque trajectoire du mouvement d’un objet et stimule notre quête d’une compréhension plus approfondie de la physique. De cette façon, nous pouvons résumer l’idée centrale de la mécanique lagrangienne en une phrase : la réalisation du mouvement est celle qui a la plus petite action parmi tous les chemins possibles.
Pour de nombreux systèmes physiques, les simplifier en particules ponctuelles et prendre en compte leur masse et leur forme peut réduire considérablement la complexité.
Dans l'application de la mécanique lagrangienne, lorsque nous sommes dans un système composé de N masses m1, m2…, mN, la vitesse et la position de chaque particule seront décrites avec précision par son vecteur de position. De plus, l’énergie cinétique totale d’un tel système serait la somme des énergies cinétiques des particules massives individuelles, rendant la conversion énergétique globale clairement visible. Contrairement aux équations de Newton, Lagrange a utilisé l’énergie cinétique et l’énergie potentielle pour capturer les changements dans l’ensemble du système, réduisant ainsi la complexité de la résolution directe des forces.
De la mécanique newtonienne à la mécanique lagrangienne
La mécanique newtonienne est basée sur les lois du mouvement, qui décrivent la relation entre la masse, l'accélération et les forces externes. Pour une particule de masse constante, son mouvement suit la deuxième loi du mouvement de Newton F = ma.
Cependant, lorsque la quantité de données augmente et que les relations du système deviennent plus complexes, les équations de Lagrange deviennent plus précieuses. Dans le cas général, le cadre mathématique lagrangien intègre efficacement le mouvement de plusieurs particules en établissant des coordonnées généralisées pour les objets, nous permettant d'arrêter de nous soucier des contraintes à chaque instant et de nous concentrer sur le comportement global.
Par conséquent, la découverte de la mécanique lagrangienne a non seulement changé la façon dont nous traitons les problèmes physiques, mais nous a également permis d’acquérir une compréhension plus approfondie des connexions intrinsèques entre les choses. Tout cela signifie que face à une complexité croissante, « l’énergie » nous fournit une toute nouvelle clé pour percer de nombreux mystères qui étaient hors de portée dans le passé.
Dans les recherches futures en physique, devrions-nous réévaluer notre compréhension de la mécanique de base et réfléchir au lien profond entre Lagrange et Newton ?
