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Le mystère de l'analyse du lieu des racines : comment explorer graphiquement le mouvement des pôles d'un système ?
Dans le domaine de la théorie du contrôle et de l'analyse de la stabilité, l'analyse du lieu des racines est une méthode graphique qui vise à explorer la racine d'un système en fonction des changements d'un certain paramètre du système (généralement le gain dans un système de rétroaction). Cette technique est dérivée de la théorie de contrôle classique développée par Walter R. Evans et peut déterminer efficacement la stabilité du système.
Le graphique du lieu des racines montre la variation des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sur le plan s complexe.
Le lieu racinaire peut non seulement être utilisé pour déterminer la stabilité du système, mais également aider à concevoir le rapport d'amortissement (ζ) et la fréquence naturelle (ωn) du système de rétroaction. En traçant des lignes droites de rapport d'amortissement fixe, rayonnant à partir de l'origine, et des arcs de fréquence naturelle fixe rayonnant à partir de l'origine, un point peut être sélectionné pour déterminer le gain système requis K. De cette manière, le concepteur peut atteindre la stabilité et les performances dynamiques requises, qui sont décrites en détail dans divers manuels de contrôle.
La définition du lieu racinaire est la représentation graphique des pôles en boucle fermée du système sur le plan s complexe sous différentes valeurs de paramètres spécifiques.
Dans l’ensemble, l’analyseur de locus racinaire permet aux ingénieurs de contrôle d’identifier et de prédire graphiquement le comportement d’un système. La méthode du lieu racinaire est particulièrement efficace lorsque le système de rétroaction conçu possède des paires de pôles dominants évidentes. Dans les applications réelles, de nombreux systèmes ne répondent pas entièrement à cette hypothèse. Il est donc important de procéder à une vérification par simulation une fois la conception terminée pour s'assurer que les exigences réelles sont respectées.
Principes de l'analyse du locus racinaire
Le principe de fonctionnement de l'analyse du locus racinaire est basé sur les conditions angulaires et d'amplitude de l'instrument. S'il existe un système de rétroaction avec un signal d'entrée X(s) et un signal de sortie Y(s), alors la fonction de transfert du chemin direct peut être exprimée comme G ( s), et la fonction de transfert du chemin de rétroaction est H(s). La fonction de transfert en boucle fermée est alors T(s) = Y(s) / X(s) = G(s) / (1 + G(s)H(s)).
Cela signifie que les pôles en boucle fermée par rapport aux racines de l'équation caractéristique sont
1 + G(s)H(s) = 0.
Bien sûr, lorsqu'il n'y a pas de retard pur dans le système, le produit de G(s)H(s) peut être exprimé sous la forme d'un polynôme rationnel. Grâce à cette analyse, combinée à des techniques vectorielles pour calculer les angles des pôles et des zéros, nous pouvons obtenir un aperçu du comportement et de la dynamique du système.
Dessin des locus racinaires
Lorsque vous tracez le lieu des racines, vous devez d'abord marquer les pôles et les zéros de la boucle ouverte et marquer la partie de l'axe réel à gauche de tous les pôles et zéros. Une analyse plus poussée montre que lorsque le nombre de pôles P est soustrait du nombre de zéros Z, nous obtenons une asymptote de quantité P-Z. Cette asymptote coupera l'axe réel au centre de gravité, et l'angle extérieur peut être calculé par la formule suivante :
φ_l = 180° + (l - 1) * 360° / (P - Z),α = Re(ΣP - ΣZ) / (P - Z)>>
De plus, la phase du point de test doit être confirmée pour trouver l'angle de départ et le point d'entrée. Ces processus démontrent pleinement la puissance et le potentiel d’application de la méthode du locus racinaire et nous conduisent à explorer plus en profondeur la stabilité du système.
Conclusion
Le traçage et l'analyse des lieux de racines permettent aux ingénieurs en systèmes de contrôle d'extraire des informations clés à partir de calculs complexes. Il ne s'agit pas seulement d'une discussion théorique, mais également d'une compétence essentielle dans la pratique. Face aux défis technologiques futurs, l’analyse du locus racinaire peut-elle nous aider à découvrir les mystères les plus profonds de la dynamique des systèmes ?
