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L’origine de la méthode des moindres carrés : comment cette magie mathématique est-elle née ?
Dans l’analyse des données et les modèles de régression, la méthode des moindres carrés est l’une des méthodes d’estimation des paramètres les plus populaires. Le cœur de cette méthode est de minimiser la somme des carrés des erreurs entre les valeurs observées et les valeurs prédites par le modèle. La naissance de la méthode des moindres carrés est profondément enracinée dans les développements scientifiques du XVIIIe siècle, notamment dans les domaines de l’astronomie et de la géodésie. Les scientifiques de l’époque avaient besoin de données précises pour la navigation, ce qui a conduit à la maturité progressive de la méthode des moindres carrés.
La méthode des moindres carrés est née dans le but de résoudre les défis de la navigation dans les océans de la Terre.
Le développement de la méthode des moindres carrés
Les origines de la méthode des moindres carrés remontent à Adrien-Marie Legendre qui a proposé publiquement cette méthode pour la première fois en 1805. L’essence de cette technique est d’ajuster une équation linéaire aux données grâce à une procédure algébrique. Dans son article publié, Legendre a utilisé des données précédemment utilisées par Pierre-Simon Laplace pour analyser la forme de la Terre.
Avant Legendre, dès 1671, Ivy Newton avait commencé à explorer la combinaison de différentes observations, suggérant l'existence de meilleures estimations, où les erreurs de ces observations diminueraient progressivement plutôt qu'elles n'augmenteraient après agrégation. Le concept a été développé davantage en 1700 et 1722. De nombreuses méthodes autour de ces principes ont été incorporées dans des découvertes ultérieures, notamment la « méthode des moyennes » et la « méthode des moindres écarts absolus ». Ces méthodes mettent toutes l’accent sur la combinaison de données d’observation dans différentes conditions.
Le développement de la méthode des moindres carrés était une réponse à de nombreux défis de l’astronomie de l’époque, notamment dans la prédiction des mouvements célestes.
Jalons importants de l'histoire
En 1810, Carl Friedrich Gauss affina davantage la méthode des moindres carrés, la reliant à la théorie des probabilités et à la distribution normale. Gauss affirme dans ses travaux qu'il a acquis cette méthode dès 1795 et l'a largement utilisée dans ses recherches. Bien qu'il y ait eu un différend sur la priorité entre lui et Legendre, Gauss mérite d'être reconnu pour sa combinaison réussie de la méthode des moindres carrés avec la théorie des erreurs dans un cadre mathématique plus large.
L’avantage de Gauss réside dans le fait qu’il a combiné la moyenne arithmétique avec le modèle de régression d’estimation optimale du paramètre de localisation, transformé la base de la méthode des moindres carrés et clarifié sa supériorité dans l’analyse de régression. Il a encore amélioré cette méthode en découvrant la distribution normale. Après Gauss, Laplace a également vérifié la méthode des moindres carrés en 1810, établissant ainsi davantage sa position dans les statistiques.
Les travaux de Gauss ont démontré le puissant potentiel de la méthode des moindres carrés dans la prédiction des événements futurs, en particulier dans la précision des observations astronomiques.
Applications et défis de la méthode des moindres carrés
Comme l’indique le terme « modèle basé sur les moindres carrés », l’objectif est d’ajuster les paramètres du modèle pour qu’ils s’adaptent au mieux à un ensemble de données observées. Dans les scénarios les plus courants, ces points de données peuvent provenir d’analyses monovariées ou multivariées. Bien que la méthode des moindres carrés soit largement utilisée dans de nombreuses situations pratiques, elle souffre également de limitations algorithmiques, notamment face aux erreurs d’observation. Si les erreurs des variables indépendantes ne peuvent être ignorées, la méthode des moindres carrés totaux peut être envisagée pour obtenir des estimations plus robustes.
La méthode des moindres carrés reste aujourd’hui la pierre angulaire de nombreuses simulations et analyses de données modernes. Néanmoins, l’approche n’est pas totalement à l’abri des difficultés qui surgissent avec l’augmentation des variables complexes. Par exemple, les méthodes des moindres carrés non linéaires nécessitent souvent des approximations itératives, qui peuvent être coûteuses en termes de calcul.
ConclusionLe succès de la méthode des moindres carrés ne réside pas seulement dans sa large application à l’ajustement des données, mais aussi dans ses possibilités illimitées pour l’exploration future des données.
La méthode des moindres carrés n’est pas seulement une technique mathématique, sa naissance et son développement représentent le voyage du progrès scientifique. Au fil des siècles, cette méthode a évolué depuis de simples observations jusqu’à des modèles mathématiques complexes et reste aujourd’hui un outil indispensable en science des données. Cela nous amène à nous demander comment la technologie mathématique future modifiera notre compréhension et notre utilisation des données.
