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Les origines de la révolution logique : comment la déduction naturelle remet-elle en cause les fondements des mathématiques ?
Dans les domaines des mathématiques et de la logique, la déduction naturelle a déclenché une révolution qui a bouleversé les systèmes logiques antérieurs qui reposaient sur des postulats. Cette méthode de raisonnement met l'accent sur le fait de partir de prémisses et de conduire naturellement à des conclusions grâce à des règles d'inférence, ce qui contraste fortement avec le système de style de Hilbert avec des postulats comme noyau. Ce nouveau cadre logique remet non seulement en question la compréhension traditionnelle des fondements mathématiques, mais change également la compréhension qu'a la communauté universitaire du processus de raisonnement.
L'origine de la déduction naturelle
Le développement de la déduction naturelle remonte au début du 20e siècle, lorsque de profonds doutes ont surgi à propos du système traditionnel de postulats publics. La méthode publique utilisée par les mathématiciens Norbert Widgenstein et Bertrand Russell dans leur livre Principia Mathematica a suscité de nombreuses controverses. À la recherche d'une manière de raisonner plus naturelle, le mathématicien polonais Alexander Jaskovsky a dirigé en 1926 une série de séminaires qui ont ouvert la voie au développement de la déduction naturelle.
La méthode de déduction naturelle permet au processus de raisonnement de se dérouler en douceur, permettant aux conclusions d'émerger naturellement.
L'évolution des capacités de raisonnement
Les réformes de Yaskovsky ont introduit de nouvelles notations qui ont abouti à différents styles de raisonnement, notamment le style Whittaker (Fitch) et le style Suppes-Lemmon. Ces styles mettent l'accent sur la cohérence logique des prémisses plutôt que sur la dérivation isolée basée sur des axiomes. En 1933, la mathématicienne allemande Hilde Gentzen a proposé indépendamment la méthode moderne de déduction naturelle dans le but d'établir l'auto-cohérence de la théorie numérique. Bien qu'il n'ait pas été en mesure de prouver directement le théorème d'élimination des coupures requis, il a proposé un système alternatif, le calcul de séquence, dans lequel il a prouvé cet important théorème.
Diverses méthodes d'annotation
Les différentes notations de déduction naturelle peuvent remettre en question la lisibilité des preuves. Cependant, ces changements offrent également une perspective plus riche et une plus grande flexibilité pour répondre aux différents besoins académiques. Par exemple, la méthode d'annotation de preuve arborescente de Gentzen utilise clairement des lignes de raisonnement pour révéler la relation entre les prémisses et les conclusions, tandis que la règle des boîtes imbriquées de Yaskovsky présente une structure de raisonnement plus complexe.
Chaque méthode d'annotation affecte virtuellement notre compréhension et notre expression du raisonnement logique.
Structure logique du raisonnement
La structure logique du raisonnement est continuellement étudiée en profondeur dans la déduction naturelle. Ici, le raisonnement peut être vu comme partir d’un ensemble de prémisses et appliquer continuellement des règles d’inférence pour tirer une conclusion. La clé de ce processus est de savoir comment définir et appliquer diverses règles d'inférence. Du raisonnement intuitif à la dérivation de formules, ce processus fait que l’argumentation mathématique n’est plus une simple déduction de postulats.
Cohérence et exhaustivité
Dans le contexte de la logique, la cohérence signifie qu'il est impossible de dériver une contradiction à partir d'aucune hypothèse, tandis que l'exhaustivité signifie que tous les théorèmes ou leurs opposés peuvent être prouvés par le système de raisonnement. Ces concepts ne sont pas seulement liés à la structure interne du système logique, mais aussi étroitement liés au modèle mathématique spécifique. De nombreux logiciens se consacrent à vérifier la force des règles d'inférence pour s'assurer qu'elles n'introduisent pas de connaissances au-delà des prémisses.
Résumé : L'influence de la méthode de déduction naturelle
La naissance de la déduction naturelle n'est pas seulement une innovation dans les outils logiques, mais aussi un changement profond dans la promotion de la recherche fondamentale en mathématiques. Ce changement remet en question la compréhension et la pratique fondamentales du raisonnement logique des mathématiciens et encourage une façon de penser plus naturelle et intuitive. Alors que la déduction naturelle continue d’être utilisée en mathématiques, en informatique et dans d’autres domaines, nous ne pouvons nous empêcher de nous demander : cette révolution de la logique changera-t-elle une fois de plus notre compréhension de la vérité et du raisonnement ?
