Language
Country/Area
No result found
Le secret des combinaisons linéaires : comment déterminer si les vecteurs sont indépendants ?
Dans la théorie de l'espace vectoriel, un ensemble de vecteurs est appelé « linéairement indépendant » si aucune combinaison linéaire non triviale ne peut égaler le vecteur zéro. Au contraire, s’il existe une telle combinaison linéaire, cet ensemble de vecteurs est appelé « dépendance linéaire ». Ces concepts jouent un rôle important dans la définition de la dimensionnalité, puisque la dimensionnalité d'un espace vectoriel peut être déterminée par son nombre maximum de vecteurs linéairement indépendants.
Si au moins un vecteur dans un ensemble de vecteurs peut être exprimé comme une combinaison linéaire d'autres vecteurs, alors cet ensemble de vecteurs doit être linéairement dépendant.
Plus précisément, supposons qu'une série de vecteurs v1, v2, ..., vk provienne de l'espace vectoriel V. Cet ensemble de vecteurs appelés dépendance linéaire. Lorsqu'il y a des scalaires a1, a2, ..., ak qui ne sont pas tous nuls, tels que
a1v1 + a2v2 + ... + ak Cela est vrai lorsque vk = 0. En d’autres termes, si un scalaire est différent de zéro, il s’ensuit qu’au moins un vecteur peut être représenté par une combinaison linéaire d’autres vecteurs. En revanche, si la seule solution est que tous les scalaires soient nuls, alors l’ensemble des vecteurs est linéairement indépendant.
Dans le cas de dimensions infinies, tant que plusieurs sous-ensembles finis non vides sont linéairement indépendants, cet ensemble de vecteurs est un ensemble linéairement indépendant.
De plus, dans le cas de deux vecteurs : si et seulement si un vecteur est un multiple scalaire de l'autre vecteur, les deux vecteurs sont linéairement dépendants. Si deux vecteurs sont indépendants, ils ne peuvent pas être des multiples scalaires l’un de l’autre. Plus précisément, si un vecteur est un vecteur nul, alors l’ensemble des vecteurs doit être linéairement dépendant, puisque le vecteur zéro peut être formé par n’importe quelle combinaison linéaire de vecteurs.
Le vecteur zéro ne peut apparaître dans aucun ensemble de vecteurs linéairement indépendants.
Pour expliquer à travers un exemple géométrique : considérons les vecteurs u et v, qui s'ils sont indépendants définissent un plan. Cependant, si le troisième vecteur w est dans le même plan que u et v, alors les trois vecteurs présentent une dépendance linéaire. Cela signifie que les trois vecteurs ne sont pas nécessaires pour décrire le plan, puisque seuls u et v suffiront. Si nous en déduisons, n vecteurs linéairement indépendants dans un espace à n dimensions peuvent définir de manière unique un point dans l’espace.
Évaluer l’indépendance linéaire des vecteurs n’est pas toujours intuitif. Par exemple, en géolocalisation, si une personne demande les coordonnées d'un lieu, on peut dire « Il est situé à trois milles au nord et quatre milles à l'est d'ici ». C'est une description suffisante de l'emplacement. Le vecteur « nord » ici est linéairement indépendant du vecteur « est », et le vecteur « nord-est » de cinq milles formé par le vecteur « nord » de trois milles et le vecteur « est » de quatre milles est une combinaison linéaire du vecteur « nord » de trois milles. deux premiers vecteurs. Cela le rend redondant.
Comment évaluer l’indépendance d’un ensemble de vecteurs est un problème toujours difficile. En examinant les combinaisons linéaires et leurs composants une par une, la relation entre elles peut être jugée plus clairement. Mais existe-t-il un moyen plus simple ou plus intuitif de comprendre et d’évaluer l’indépendance linéaire des vecteurs ?
