Language
Country/Area
No result found
L'arme secrète de l'optimisation : savez-vous comment la recherche de ligne unidimensionnelle trouve la meilleure solution ?
Dans les problèmes d'optimisation, la manière de trouver efficacement le minimum local d'une fonction a toujours été un sujet de grande préoccupation. En tant que méthode itérative de base pour résoudre ce problème, la technologie de recherche de lignes unidimensionnelles est sans aucun doute devenue une arme secrète dans le domaine de l’optimisation. Cette méthode convient non seulement aux situations simples à variable unique, mais peut également être étendue à des situations complexes à plusieurs variables, aidant ainsi les chercheurs et les ingénieurs à trouver des solutions plus appropriées.
Une recherche de ligne 1D trouve d'abord une direction de descente, puis calcule la taille du pas pour déterminer la distance à parcourir dans cette direction.
Commençons par comprendre les concepts de base de la recherche linéaire unidimensionnelle. Supposons que nous ayons une fonction f unidimensionnelle et qu'elle soit unimodale, ce qui signifie que dans un intervalle [a, z], elle ne contient qu'un seul minimum local x*. Dans ce cas, la fonction f est strictement décroissante entre [a, x*] et strictement croissante entre [x*, z].
Pour trouver ce point minimum, plusieurs approches différentes peuvent être adoptées, notamment les méthodes d'ordre zéro et les méthodes du premier ordre. Les méthodes d'ordre zéro n'utilisent pas de dérivées, mais reposent uniquement sur l'évaluation de fonctions. Parmi eux, la méthode de recherche en trois points est largement utilisée. Cette méthode réduit progressivement la plage de recherche en sélectionnant deux points b et c et en comparant les tailles de f(b) et f(c). Si f(b) ≤ f(c), alors la valeur minimale doit être comprise entre [a, c] sinon, elle doit être parmi [b, z].
Cette méthode de réduction étape par étape, bien que chaque réduction soit d'environ 1/2, nécessite deux évaluations de fonction, donc la vitesse de convergence est linéaire et le taux de convergence est d'environ 0,71. Si b et c sont sélectionnés de telle sorte que les longueurs des intervalles a, b, c et z soient égales, l'intervalle de recherche sera réduit de 2/3 à chaque itération et le taux de convergence sera augmenté à environ 0,82.
La recherche de Fibonacci et la recherche du nombre d'or sont également des variantes de la méthode de recherche d'ordre zéro, mais elles ne nécessitent qu'une seule évaluation de fonction, donc l'efficacité de convergence est plus élevée et les taux de convergence sont tous deux d'environ 0,618, ce qui est le plus élevé du monde. méthode d'ordre zéro.
Pour illustrer davantage, les méthodes du premier ordre supposent que la fonction f est continuellement différentiable, ce qui signifie que nous pouvons non seulement évaluer la valeur de la fonction, mais également calculer ses dérivées. Par exemple, la dichotomie est une méthode de recherche courante. À chaque itération, si nous pouvons trouver le milieu de l'intervalle c, en détectant la valeur de la dérivée f'(c), nous pouvons déterminer l'emplacement du minimum.
Cependant, si une convergence superlinéaire est requise, nous devons utiliser des méthodes d'ajustement de courbe. Ces méthodes ajustent les valeurs de fonction connues avec des polynômes, puis trouvent la valeur minimale de la fonction ajustée comme nouveau point de fonctionnement. Je dois mentionner la méthode de Newton, qui utilise des dérivées premières et secondes et a une convergence quadratique lorsque le point initial est proche d'un minimum local non dégénéré.
Les méthodes d'ajustement de courbe ont des propriétés de convergence superlinéaire lorsque le point initial est proche du minimum local, ce qui les rend puissamment applicables dans de nombreux scénarios d'application.
Lorsque plusieurs dimensions sont impliquées, même si le processus de calcul spécifique devient plus compliqué, la recherche de ligne unidimensionnelle peut toujours être effectuée en présence de plusieurs dimensions. Il trouve d'abord une direction descendante, puis détermine la taille du pas pour une optimisation efficace. Souvent, ces modèles peuvent être combinés avec d’autres méthodes telles que le recuit simulé pour éviter le risque de rester bloqué dans les minima locaux.
Grâce à ces méthodes, l'optimisation peut atteindre des performances supérieures et nous aider à mieux comprendre le mécanisme derrière le modèle mathématique. Pour le désir de trouver la meilleure solution, qu'il s'agisse de recherche scientifique ou d'applications commerciales, la recherche linéaire unidimensionnelle a démontré sa valeur indispensable.
Avez-vous déjà réfléchi à d'autres moyens innovants d'optimiser la technologie de recherche en ligne existante à l'avenir ?
