Language
Country/Area
No result found
Qu’est-ce que la conception par blocs ? Quel est son rôle mystérieux en mathématiques ?
Dans la conception combinatoire mathématique, la conception de blocs est une structure d'incidence qui comprend un ensemble et ses sous-ensembles (appelés blocs). La sélection de ces sous-ensembles répond à certaines conditions afin que l'ensemble de blocs se comporte de manière symétrique et équilibrée. La conception de blocs a un large éventail d'applications, notamment la conception expérimentale, la géométrie finie, la chimie physique, les tests de logiciels, la cryptographie, la géométrie algébrique et d'autres domaines. D'une manière générale, la conception en blocs mentionnée fait généralement référence à la conception en blocs incomplets équilibrés (BIBD), qui est une conception spéciale 2 qui a historiquement été le type le plus étudié de manière intensive et est principalement utilisée dans les conceptions expérimentales.
La conception des blocs montre la combinaison et la disposition des éléments, ouvrant ainsi de nombreux aspects mystérieux des mathématiques.
Concepts de base de la conception de blocs
Mathématiquement, si une conception est équilibrée (jusqu'à t), cela signifie que tous les t sous-ensembles de l'ensemble d'origine se produisent dans un nombre égal de blocs. Lorsque t n'est pas spécifié, on suppose généralement que t = 2, ce qui signifie que chaque paire d'éléments apparaît dans le même nombre de blocs et que la conception est équilibrée par paire. Pour t=1, alors chaque élément apparaît dans le même nombre de blocs (c'est ce qu'on appelle le nombre de répétitions), et ce dessin est appelé dessin régulier. De plus, un dessin dans lequel tous les blocs ont la même taille est dit uniforme ou correct. Les conceptions discutées dans cet article sont toutes uniformes et la base de la conception en blocs n'est pas uniforme, c'est pourquoi elles sont appelées conceptions équilibrées par paires (PBD).
Conception uniforme régulière
La conception "équilibrée" la plus basique (t=1) est appelée configuration tactique ou conception 1. En géométrie, les structures d'incidence correspondantes sont appelées configurations. Cette conception est à la fois uniforme et régulière : chaque bloc contient k éléments, et chaque élément est contenu dans r blocs. Il existe une relation entre le nombre v d'éléments dans la conception et le nombre de blocs b, le nombre total d'occurrences de l'élément, comme bk = vr. Chaque matrice binaire avec des sommes de lignes et de colonnes constantes est une matrice d'incidence de conception de blocs uniformes et régulières.
Conception uniforme équilibrée par paires (conception 2 ou BIBD)
Étant donné un bloc d'ensemble fini. Dans cette conception, tout x dans X est contenu dans r blocs, et deux points distincts x et y dans X sont également contenus dans λ blocs. La condition ici signifie qu'il n'est pas nécessaire que x soit contenu dans r blocs dans X, comme le montre la dérivation précédente. Nous pouvons appeler cette conception une conception (v, k, λ) ou une conception (v, b, r, k, λ).
En raison de l'existence d'un équilibre imparfait, la conception des blocs montre le mystère et la beauté des mathématiques combinatoires.
Conception Symétrie 2 (SBIBD)
Dans les 2 conceptions, lorsque le nombre de blocs et de points est égal, la conception est appelée conception symétrique. Ce type de conception répond aux exigences des 2 autres conceptions avec le nombre minimum de blocs, et dans la conception symétrique, r=k et b=v. Parmi eux, deux blocs différents se croisent au point λ. Le théorème de Ryser fournit les conditions d'une conception symétrique.
Exemples et applications
Un design (6,3,2) unique comporte 10 blocs et chaque élément est répété 5 fois. Représentés sous la notation 0-5, ces blocs sont le triplet suivant : 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. La matrice d'incidence correspondante est une matrice binaire avec v×b. Les exemples de conceptions de blocs sont riches et variés, allant des mathématiques aux applications pratiques.
Alors, le développement et l'application de la conception par blocs peuvent-ils nous offrir de nouvelles façons de penser dans les systèmes complexes ?
