Language
Country/Area
No result found
Metode hamburan terbalik: Bagaimana alat matematika yang luar biasa ini menyelesaikan persamaan KDV?
Di dunia matematika, persamaan Korteweg -De Vries (KDV) banyak digunakan untuk menggambarkan perilaku gelombang air dangkal.Persamaan diferensial parsial ini tidak hanya model untuk persamaan terintegrasi, tetapi juga membangkitkan yang menyerang karena solusi beragamnya, termasuk solusi untuk gelombang terisolasi.Persamaan ini pertama kali diperkenalkan oleh Joseph Valentin Boussinesq pada tahun 1877, dan kemudian ditemukan kembali oleh Diederik Korteweg dan Gustav de Vries pada tahun 1895 dan memberikan solusi paling sederhana.
Apa yang istimewa dari persamaan ini adalah bahwa meskipun karakteristik nonliniernya membuat persamaan diferensial parsial umum seringkali sulit ditangani, itu menunjukkan sejumlah besar solusi yang jelas.
Pada tahun 1965, Norman Zabusky dan Krsukal memperdalam pemahaman mereka tentang persamaan ini melalui simulasi komputer, dan transformasi hamburan terbalik berikutnya yang dikembangkan pada tahun 1967 memberikan metode baru untuk menyelesaikan persamaan KDV.Hamburan terbalik, dikembangkan oleh Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal dan Robert Miura, adalah alat matematika inti untuk menyelesaikan persamaan tersebut.
Definisi Persamaan KDV
Persamaan KDV ada dalam bentuk:
∂tϕ + ∂x³ϕ - 6ϕ∂xϕ = 0, x ∈ R, t ≥ 0
Di sini, ∂x³ϕ mewakili efek dispersi, sedangkan istilah nonlinier 6ϕ∂xϕ adalah istilah konveksi.Persamaan ini memberikan model matematika yang menggambarkan gelombang air dangkal, di mana ϕ mewakili perpindahan dari permukaan air ke ketinggian kesetimbangan.
Solusi Gelombang Terisolasi
Salah satu fitur yang menarik dari persamaan KDV adalah solusi gelombang yang terisolasi, terutama solusi gelombang yang terisolasi.Solusi semacam ini dapat ditulis sebagai:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Di sini, F (x) mewakili solusi yang mempertahankan bentuk gelombang tetap dari waktu ke waktu.Saat bertukar variabelnya, dapat ditemukan bahwa solusi semacam itu dapat dianggap sebagai pergerakan partikel massa besar dalam potensi tertentu.
Jika a = 0 dan c> 0, fungsi potensial mencapai maksimum lokal pada f = 0, dan perilaku solusi ini menggambarkan karakteristik khas gelombang terisolasi.
Beberapa Solusi Gelombang Terisolasi
Dari penelitian lebih lanjut tentang solusi gelombang terisolasi tunggal, kita dapat memperoleh solusi gelombang yang terisolasi.Solusi ini dapat ditulis:
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
A (x, t) Berikut adalah matriks yang komponennya melibatkan serangkaian parameter positif yang berkurang.Solusi ini akan terurai menjadi gelombang terisolasi yang berbeda dalam jangka waktu yang lama, menunjukkan penggunaan dan karakteristik yang luar biasa dari persamaan KDV.
Poin Latihan
Persamaan KDV juga memiliki jumlah integral gerak yang tak terbatas, yang sesuai dengan fungsi spesifik dan tetap tidak berubah dari waktu ke waktu.Ini dapat dengan jelas dinyatakan sebagai:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²xϕ, ...) dx
Keberadaan jumlah gerak ini membuat persamaan KDV tidak hanya menarik perhatian dalam matematika, tetapi juga memiliki signifikansi penting dalam fisika.
<