Language
Country/Area
No result found
Stabilitas dalam analisis numerik: Mengapa hal ini penting untuk algoritma matematika?
Dalam bidang analisis numerik, stabilitas numerik merupakan sifat yang sangat diinginkan dari algoritma matematika. Definisi stabilitas yang tepat bergantung pada konteksnya, terutama dalam aljabar linear numerik dan algoritma untuk memecahkan persamaan diferensial biasa dan parsial melalui aproksimasi diskrit.
“Stabilitas memastikan bahwa perubahan kecil pada data masukan tidak menyebabkan fluktuasi besar pada hasil akhir.”
Dalam aljabar linear numerik, seseorang terutama tertarik pada ketidakstabilan yang muncul di dekat masalah yang hampir tunggal, seperti nilai eigen yang sangat kecil atau hampir bersamaan. Dalam algoritma numerik untuk memecahkan persamaan diferensial, yang menjadi perhatian adalah bahwa kesalahan pembulatan atau fluktuasi kecil pada data awal dapat menyebabkan penyimpangan besar antara jawaban akhir dan solusi eksak. Beberapa algoritma numerik dapat menghaluskan fluktuasi kecil dan kesalahan pada data masukan, sementara yang lain dapat memperkuat kesalahan ini. Perhitungan yang dapat dibuktikan tidak memperkuat kesalahan aproksimasi disebut stabil secara numerik.
Tugas umum dalam analisis numerik adalah memilih algoritme yang tangguh, artinya hasilnya tidak berubah drastis saat data input berubah sedikit. Fenomena sebaliknya adalah ketidakstabilan algoritme. Sering kali, algoritme melibatkan metode aproksimasi, dan dalam beberapa kasus dapat ditunjukkan bahwa algoritme akan mendekati solusi yang benar saat menggunakan bilangan riil, bukan bilangan floating point. Namun, dalam kasus ini, tidak ada jaminan bahwa algoritme akan konvergen ke solusi yang benar, karena kesalahan pembulatan atau pemotongan dalam bilangan floating point dapat diperbesar, menyebabkan penyimpangan dari solusi yang benar tumbuh secara eksponensial.
Stabilitas dalam Aljabar Linear Numerik
Dalam aljabar linear numerik, konsep stabilitas dapat diformalkan dalam beberapa cara berbeda. Definisi stabilitas maju, mundur, dan campuran yang umum digunakan sering muncul di bidang ini. Mari kita pertimbangkan masalah yang diselesaikan oleh algoritme numerik, di mana fungsi f memetakan data x ke solusi y. Hasil algoritma y* biasanya akan menyimpang dari solusi "benar" y. Alasan utama terjadinya kesalahan adalah kesalahan pembulatan dan kesalahan pemotongan.
"Kesalahan maju dari suatu algoritma adalah selisih antara hasilnya dan solusinya; kesalahan mundur adalah Δx terkecil sehingga f(x + Δx) = y*."
Kesalahan maju adalah selisih antara y* dan y; kesalahan mundur adalah Δx minimum sehingga f(x + Δx) = y*. Ada hubungan nomor kondisi antara kesalahan maju dan kesalahan mundur: ukuran kesalahan maju paling banyak adalah hasil kali nomor kondisi dan kesalahan mundur. Dalam banyak kasus, lebih wajar untuk mempertimbangkan kesalahan relatif. Ketika kesalahan mundur kecil untuk semua masukan x, kita menyebut algoritma stabil mundur. Tentu saja, "kecil" adalah istilah relatif dan definisinya akan bergantung pada konteks spesifik.
Sering kali definisi yang lebih umum tentang stabilitas numerik diberikan, yang disebut stabilitas hibrida, yang menggabungkan kesalahan maju dan kesalahan mundur. Suatu algoritme stabil jika secara mendekati menyelesaikan masalah tetangga, yaitu, terdapat Δx kecil sehingga f(x + Δx) - y* juga kecil. Oleh karena itu, algoritme stabil mundur selalu stabil. Sehubungan dengan stabilitas maju, suatu algoritme stabil maju jika kesalahan maju dibagi dengan nomor kondisi masalah relatif kecil.
Stabilitas dalam Persamaan Diferensial Numerik
Dalam menyelesaikan persamaan diferensial, stabilitas didefinisikan secara berbeda. Dalam persamaan diferensial biasa numerik, terdapat berbagai pengertian stabilitas numerik, seperti stabilitas A. Konsep-konsep ini sering dikaitkan dengan pengertian stabilitas tertentu dalam sistem dinamis, khususnya stabilitas Lyapunov. Saat menyelesaikan persamaan kaku, sangat penting untuk menggunakan metode yang stabil.
"Stabilitas terkadang dicapai dengan memperkenalkan difusi numerik, yang memastikan bahwa kesalahan pembulatan dalam perhitungan tidak terakumulasi ke tingkat yang berbahaya."
Suatu algoritma untuk memecahkan persamaan diferensial parsial dari tipe evolusi linier dianggap stabil jika perubahan total dalam solusi numerik tetap dibatasi saat ukuran langkah mendekati nol. Teorema kesetaraan Lax menyatakan bahwa jika suatu algoritma konsisten dan stabil, maka algoritma tersebut akan konvergen. Namun, untuk persamaan diferensial parsial nonlinier, definisi stabilitas jauh lebih rumit karena banyak properti dalam persamaan nonlinier tidak ada dalam padanan liniernya.
Contoh
Menghitung akar kuadrat dari 2 (sekitar 1,41421) adalah masalah yang terdefinisi dengan baik. Banyak algoritme memecahkan masalah ini dengan memulai dengan perkiraan awal x0, seperti x0 = 1,4, dan kemudian terus menghitung tebakan yang ditingkatkan x1, x2, dan seterusnya. Metode umum yang mungkin digunakan adalah metode Babilonia yang terkenal, yang memiliki rumus xk+1 = (xk + 2/xk) / 2.
Metode lainnya disebut "Metode X", dan rumusnya adalah xk+1 = (xk^2 − 2)² + xk. Beberapa iterasi dari setiap metode dicatat di bawah tabel, dan kita melihat bahwa metode Babilonia konvergen dengan cepat terlepas dari tebakan awal, sementara metode X konvergen sangat lambat pada x0 = 1,4 dan divergen ganjil pada x0 = 1,42. Oleh karena itu, metode Babilonia dianggap stabil secara numerik, sementara metode X tidak stabil secara numerik.
Stabilitas numerik juga dipengaruhi oleh jumlah digit signifikan yang disimpan oleh mesin. Mesin yang hanya menyimpan empat digit signifikan akan memberikan contoh yang baik tentang konsekuensi yang mungkin timbul dari hilangnya signifikansi. Misalnya, perhatikan fungsi ekuivalen f(x) dan g(x). Saat menghitung f(500) dan g(500), meskipun kedua fungsi tersebut sama, hasilnya akan sangat berbeda, yang menunjukkan bagaimana kesalahan kecil dapat menyebabkan variasi yang besar.
Singkatnya, numerik
