Language
Country/Area
No result found
Rahasia kombinasi linear: Bagaimana menentukan apakah vektor bersifat independen?
Dalam teori ruang vektor, sekumpulan vektor disebut bebas linier jika tidak ada kombinasi linier tak-trivial dari vektor-vektor tersebut yang sama dengan vektor nol. Sebaliknya, jika kombinasi linier tersebut ada, sekumpulan vektor disebut "bergantung linier". Konsep-konsep ini memainkan peran penting dalam definisi dimensi, karena dimensi ruang vektor dapat ditentukan oleh jumlah maksimum vektor bebas linier yang dimilikinya.
Sekumpulan vektor harus bergantung linier jika setidaknya satu di antaranya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya.
Secara khusus, misalkan sekumpulan vektor v1, v2, ..., vk berasal dari ruang vektor V. Kumpulan vektor ini disebut ketergantungan linier. Bila terdapat skalar yang tidak semuanya nol a1, a2, ..., ak sehingga
a1v1 + a2v2 + ... + ak vk = 0. Dengan kata lain, jika terdapat skalar yang tidak semuanya nol, maka dapat disimpulkan bahwa setidaknya satu vektor dapat direpresentasikan oleh kombinasi linear dari vektor-vektor lainnya. Sebaliknya, jika satu-satunya solusi adalah solusi yang semua skalarnya adalah nol, maka himpunan vektor tersebut bersifat bebas linear.
Dalam kasus berdimensi tak terhingga, selama beberapa himpunan bagian berhingga yang tidak kosong bersifat bebas linear, maka himpunan vektor ini merupakan himpunan bebas linear.
Selain itu, untuk kasus dua vektor: kedua vektor tersebut bergantung secara linier jika dan hanya jika satu vektor merupakan kelipatan skalar dari vektor lainnya. Jika dua vektor bersifat independen, maka keduanya tidak dapat menjadi kelipatan skalar satu sama lain. Lebih khusus lagi, jika satu vektor merupakan vektor nol, maka himpunan vektor tersebut harus bergantung secara linier, karena vektor nol dapat dibentuk oleh kombinasi vektor linier apa pun.
Vektor nol tidak dapat muncul dalam himpunan vektor independen linier mana pun.
Untuk menjelaskan dengan contoh geometris: perhatikan vektor u dan v, yang jika independen mendefinisikan sebuah bidang. Namun, jika vektor ketiga w terletak pada bidang yang sama dengan u dan v, maka ketiga vektor tersebut menjadi bergantung secara linier. Ini berarti bahwa ketiga vektor tersebut tidak diperlukan untuk menggambarkan bidang tersebut, karena hanya u dan v yang diperlukan. Jika kita simpulkan hal ini, n vektor linear independen dalam ruang n-dimensi dapat secara unik mendefinisikan suatu titik dalam ruang tersebut.
Menilai independensi linear vektor tidak selalu intuitif. Misalnya, dalam geolokasi, jika seseorang menanyakan koordinat suatu tempat, mereka dapat mengatakan "Tempat itu terletak tiga mil di utara sini dan empat mil di timur." Ini cukup untuk menggambarkan lokasi tersebut. Di sini vektor "Utara" dan vektor "Timur" bersifat linear independen, dan vektor "Timur Laut" sejauh 5 mil yang dibentuk oleh vektor "Utara" sejauh 3 mil dan "Timur" sejauh 4 mil merupakan kombinasi linear dari dua vektor pertama. Ini membuatnya menjadi redundan.
Cara mengevaluasi independensi sekumpulan vektor selalu menjadi masalah yang menantang. Dengan memeriksa kombinasi linear dan komponennya satu per satu, kita dapat menentukan hubungan di antara keduanya dengan lebih jelas. Namun, apakah ada cara yang lebih mudah atau lebih intuitif untuk memahami dan mengevaluasi independensi linear vektor?
