Language
Country/Area
No result found
Senjata rahasia optimasi: Tahukah Anda cara menemukan solusi terbaik melalui pencarian garis satu dimensi?
Dalam masalah optimasi, cara menemukan minimum lokal suatu fungsi secara efektif selalu menjadi topik yang sangat diperhatikan. Sebagai metode iteratif dasar untuk memecahkan masalah ini, teknologi pencarian garis satu dimensi tidak diragukan lagi telah menjadi senjata rahasia di bidang optimasi. Metode ini tidak hanya berlaku untuk situasi variabel tunggal yang sederhana, tetapi juga dapat diperluas ke situasi multivariabel yang kompleks, membantu para peneliti dan insinyur menemukan solusi yang lebih tepat.
Pencarian garis satu dimensi pertama-tama menemukan arah penurunan dan kemudian menghitung ukuran langkah untuk menentukan seberapa jauh harus bergerak ke arah itu.
Pertama-tama, mari kita pahami konsep dasar pencarian garis 1D. Misalkan kita memiliki fungsi satu dimensi f, dan itu unimodal, yang berarti bahwa dalam beberapa interval [a, z], ia hanya berisi satu minimum lokal x*. Dalam hal ini, fungsi f benar-benar menurun antara [a, x*] dan benar-benar meningkat antara [x*, z].
Untuk menemukan titik minimum ini, beberapa metode berbeda dapat digunakan, termasuk metode orde nol dan orde pertama. Metode orde nol tidak menggunakan turunan, tetapi hanya mengandalkan evaluasi fungsi. Di antara metode tersebut, metode pencarian tiga titik digunakan secara luas. Metode ini memilih dua titik b dan c, dan secara bertahap mempersempit rentang pencarian dengan membandingkan ukuran f(b) dan f(c). Jika f(b) ≤ f(c), maka minimum harus berada di [a, c]; jika tidak, harus berada di [b, z].
Metode reduksi bertahap ini memerlukan dua evaluasi fungsi, meskipun setiap reduksi sekitar 1/2, sehingga kecepatan konvergensi bersifat linier dan laju konvergensi sekitar 0,71. Jika b dan c dipilih sehingga panjang interval a, b, c, dan z sama, interval pencarian akan dikurangi 2/3 di setiap iterasi, dan laju konvergensi akan ditingkatkan menjadi sekitar 0,82.
Pencarian Fibonacci dan pencarian golden section juga merupakan varian dari metode pencarian orde nol, tetapi keduanya hanya memerlukan satu evaluasi fungsi, sehingga efisiensi konvergensi lebih tinggi, dan tingkat konvergensi sekitar 0,618, yang lebih tinggi daripada metode orde nol. Yang terbaik.
Untuk lebih memperjelas, metode orde pertama mengasumsikan bahwa fungsi f dapat dibedakan secara kontinu, yang berarti bahwa kita tidak hanya dapat mengevaluasi nilai fungsi, tetapi juga menghitung turunannya. Misalnya, pencarian biner adalah metode pencarian umum. Pada setiap iterasi, jika kita dapat menemukan titik tengah c dari interval, dengan memeriksa nilai turunan f'(c), kita dapat menentukan lokasi minimum.
Namun, jika konvergensi superlinear diperlukan, kita perlu menggunakan metode pemasangan kurva. Metode ini memasang nilai fungsi yang diketahui dengan polinomial dan kemudian menemukan nilai minimum dari fungsi yang dipasang sebagai titik operasi baru. Kita harus menyebutkan metode Newton, yang menggunakan turunan orde pertama dan kedua dan konvergen secara kuadratik ketika titik awal mendekati minimum lokal non-degenerasi.
Metode pemasangan kurva memiliki sifat konvergensi superlinier ketika titik awal mendekati minimum lokal, yang membuatnya ampuh dalam banyak skenario aplikasi.
Ketika beberapa dimensi terlibat, meskipun proses perhitungan spesifik menjadi lebih rumit, pencarian garis satu dimensi masih dapat dilakukan dengan adanya beberapa dimensi. Pertama-tama ia menemukan arah penurunan dan kemudian menentukan ukuran langkah untuk pengoptimalan yang efisien. Sering kali, model tersebut dapat dikombinasikan dengan metode lain seperti simulasi anil untuk mengatasi risiko terjebak dalam minimum lokal.
Melalui metode ini, pengoptimalan dapat mencapai kinerja yang lebih tinggi dan juga membantu kita lebih memahami mekanisme di balik model matematika. Dalam keinginan untuk menemukan solusi terbaik, baik dalam penelitian ilmiah atau aplikasi komersial, pencarian garis satu dimensi telah menunjukkan nilainya yang tak tergantikan.
Pernahkah Anda bertanya-tanya cara inovatif apa lagi yang akan ada untuk meningkatkan teknik pencarian garis yang ada di masa mendatang?
