Language
Country/Area
No result found
Apa itu desain blok? Apa peran misteriusnya dalam matematika?
Dalam desain kombinatorial matematika, desain blok adalah struktur insidensi yang mencakup satu set dan subset-nya (disebut blok). Pemilihan subset ini memenuhi kondisi tertentu agar seluruh set blok berperilaku simetris dan seimbang. Desain blok memiliki berbagai macam aplikasi, termasuk desain eksperimental, geometri finit, kimia fisika, pengujian perangkat lunak, kriptografi, geometri aljabar, dan bidang lainnya. Secara umum, desain blok yang disebutkan biasanya mengacu pada desain blok tidak lengkap yang seimbang (BIBD), yang merupakan desain khusus 2 yang secara historis merupakan jenis yang paling banyak dipelajari dan terutama digunakan dalam desain eksperimental.
Desain blok menunjukkan kombinasi dan susunan elemen, yang mengungkap banyak aspek misterius matematika.
Konsep dasar desain blok
Secara matematis, jika suatu desain seimbang (hingga t), itu berarti bahwa semua t subset dari set asli muncul dalam jumlah blok yang sama. Bila t tidak ditentukan, biasanya diasumsikan bahwa t=2, yang berarti bahwa setiap pasangan elemen muncul dalam jumlah blok yang sama dan desainnya seimbang berpasangan. Untuk t=1, maka setiap elemen muncul dalam jumlah blok yang sama (ini disebut jumlah pengulangan), dan desain ini disebut desain reguler. Lebih jauh, desain yang semua bloknya berukuran sama dikatakan seragam atau benar. Semua desain yang dibahas dalam artikel ini seragam, dan dasar desain bloknya tidak seragam, sehingga disebut desain seimbang berpasangan (PBD).
Desain seragam reguler
Desain "seimbang" paling dasar (t=1) disebut konfigurasi taktis atau desain 1. Dalam geometri, struktur insidensi yang sesuai disebut konfigurasi. Desain ini seragam dan reguler: setiap blok berisi k elemen, dan setiap elemen terkandung dalam r blok. Ada hubungan antara jumlah elemen v dalam desain dan jumlah blok b, jumlah total kemunculan elemen, sebagai bk = vr. Setiap matriks biner dengan jumlah baris dan kolom konstan adalah matriks insidensi dari desain blok seragam reguler.
Desain Seragam Seimbang Berpasangan (Desain 2 atau BIBD)
Diberikan blok himpunan berhingga. Dalam desain ini, setiap x di X terkandung dalam blok r, dan setiap dua titik berbeda x dan y di X juga terkandung dalam blok λ. Kondisi di sini berarti bahwa tidak perlu bagi setiap x untuk terkandung dalam blok r di X, seperti yang dapat dilihat dari derivasi sebelumnya. Kita dapat menyebut desain ini sebagai desain (v, k, λ) atau desain (v, b, r, k, λ).
Karena adanya keseimbangan yang tidak sempurna, desain blok menunjukkan misteri dan keindahan matematika kombinatorial.
Desain Simetri 2 (SBIBD)
Dalam ke-2 desain tersebut, ketika jumlah blok dan titik sama, desain tersebut disebut desain simetris. Jenis desain ini memenuhi persyaratan dari 2 desain lainnya dengan jumlah blok minimum, dan dalam desain simetris, r=k, dan b=v. Di antara keduanya, dua blok yang berbeda berpotongan di titik λ. Teorema Ryser menyediakan kondisi untuk desain simetris.
Contoh dan aplikasi
Desain unik (6,3,2) memiliki 10 blok dan setiap elemen diulang sebanyak 5 kali. Diwakili menggunakan notasi 0-5, blok-blok ini adalah triplet berikut: 012, 013, 024, 035, 045, 125, 134, 145, 234, 235. Matriks insidensi yang sesuai adalah matriks biner dengan v×b. Contoh desain blok sangat kaya dan beragam, mulai dari matematika hingga aplikasi praktis.
Jadi, dapatkah pengembangan dan penerapan desain blok memberi kita cara berpikir baru dalam sistem yang kompleks?
