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Sai una cosa? Questo test ci aiuta a fare una scelta informata tra due modelli concorrenti!
In statistica, il test del rapporto di verosimiglianza è un metodo di verifica delle ipotesi utilizzato per confrontare la bontà di adattamento di due modelli statistici concorrenti. Di questi due modelli, uno è un modello di massimizzazione dell'intero spazio dei parametri, mentre l'altro è un modello ottenuto dopo determinate restrizioni. Quando i dati osservati supportano il modello più ristretto (ovvero l'ipotesi nulla), le due verosimiglianze non dovrebbero differire molto a causa dell'errore di campionamento.
Quindi, lo scopo del test del rapporto di verosimiglianza è verificare se questo rapporto di verosimiglianza è significativamente diverso da uno o, più equivalentemente, se il suo logaritmo naturale è significativamente diverso da zero.
Questo test, noto anche come test di Wilks, è il primo dei tre metodi tradizionali di verifica delle ipotesi; gli altri due sono il test del moltiplicatore di Lagrange e il test di Wald. I due possono essere visti come approssimazioni del test del rapporto di verosimiglianza e sono asintoticamente equivalenti. Nei modelli senza parametri sconosciuti, l'uso del test del rapporto di verosimiglianza può essere giustificato utilizzando il lemma di Neyman-Pearson. Vale la pena ricordare che il lemma mostra che tra tutti i test in competizione, questo test ha il più alto potere di rilevamento.
Definizione generale
Supponiamo di avere un modello statistico con spazio parametrico Θ. L'ipotesi nulla di solito afferma che il parametro θ è in un sottoinsieme specificato Θ0, mentre l'ipotesi alternativa afferma che θ è in Θ0 Complemento di . Vale a dire che l'ipotesi alternativa sostiene che θ appartiene a Θ \ Θ0. Se l'ipotesi nulla è vera, la formula di calcolo per la statistica del test del rapporto di verosimiglianza è:
λLR = −2 ln [
supθ∈Θ0 L(θ)/supθ∈Θ L(θ)]
Qui sup significa supremo. Poiché tutte le verosimiglianze sono positive, i rapporti di verosimiglianza hanno valori compresi tra zero e uno, poiché il massimo vincolato non può superare il massimo non vincolato. La statistica del test del rapporto di verosimiglianza è spesso espressa come differenza di verosimiglianza logaritmica:
λLR = −2 [
ℓ(θ0)−ℓ(θ^)]
In questo caso, la chiave del test del rapporto di verosimiglianza è il test reciproco tra diversi modelli. Se i modelli sono annidati (vale a dire, il modello più complesso può essere trasformato in uno più semplice imponendo restrizioni ai suoi parametri), allora molte statistiche di test comuni possono essere viste come test analoghi del rapporto di verosimiglianza logaritmica. Tra questi rientrano, tra gli altri, il test Z, il test F, il test G e il test del chi quadrato di Pearson.
Caso ipotetico semplice
Nel test di ipotesi semplice contro semplice, la distribuzione dei dati è completamente specificata sia per l'ipotesi nulla che per quella alternativa. Pertanto, è possibile utilizzare una variante del test del rapporto di verosimiglianza, ad esempio:
Λ(x) =
L(θ0 | x)/L(θ1 | x)
Se Λ > c, allora non rifiutare l'ipotesi nulla H0; se Λ < c, allora rifiutare l'ipotesi nulla H0< /codice>. In questo caso, il lemma di Neyman-Pearson dimostra ulteriormente che questo test del rapporto di verosimiglianza è il più potente di tutti i test di livello alfa.
Comprendere il test del rapporto di verosimiglianza
Il rapporto di verosimiglianza è una funzione dei dati ed è un indicatore delle prestazioni di un modello rispetto a un altro. Se il valore del rapporto di verosimiglianza è piccolo, significa che la probabilità del risultato osservato nell'ipotesi nulla è molto più bassa di quella nell'ipotesi alternativa, rifiutando quindi l'ipotesi nulla. Al contrario, un elevato rapporto di verosimiglianza indica che il risultato osservato è quasi altrettanto probabile sia con l'ipotesi nulla che con l'ipotesi alternativa, quindi l'ipotesi nulla non può essere rifiutata.
Esempio reale
Supponiamo di avere n campioni da una distribuzione normale. Vogliamo verificare se la media μ della popolazione è un valore dato μ0. In questo momento, l'ipotesi nulla può essere espressa come H0: μ = μ0, e l'ipotesi alternativa è H1: μ ≠ μ0. Dopo i calcoli corrispondenti, si può ottenere l'espressione del rapporto di verosimiglianza:
λLR = n ln [ 1 +
t^2 / (n - 1)]
Quindi, la distribuzione specifica viene utilizzata per guidare le inferenze successive.
Distribuzione asintotica: teorema di Wilkes
Sebbene la distribuzione esatta del rapporto di verosimiglianza sia difficile da determinare in molti casi, il teorema di Wilkes afferma che se l'ipotesi nulla è vera e la dimensione del campione n tende a infinito, allora la statistica del test sarà seguono asintoticamente una distribuzione chi-quadrato. Ciò ci consente di calcolare il rapporto di verosimiglianza e di confrontarlo con il livello di significatività desiderato.
È possibile migliorare ulteriormente il processo di scelta tra modelli statistici attraverso altri metodi?
