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Scattering inverso: in che modo questo meraviglioso strumento matematico risolve l'equazione KDV?
Nel mondo matematico, l'equazione di Korteweg - De Vries (KDV) è ampiamente utilizzata per descrivere il comportamento delle onde idriche poco profonde.Questa parziale equazione differenziale non è solo un modello per equazioni integrate, ma suscita anche colpire a causa delle sue diverse soluzioni, comprese le soluzioni alle onde isolate.Questa equazione fu introdotta per la prima volta da Joseph Valentin Boussinesq nel 1877, e successivamente fu riscoperta da Diederik Korteweg e Gustav de Vries nel 1895 e diede la soluzione più semplice.
Ciò che è speciale in questa equazione è che sebbene le sue caratteristiche non lineari rendano spesso le equazioni differenziali parziali generali spesso da affrontare, mostra un gran numero di soluzioni chiare.
Nel 1965, Norman Zabusky e Krsukal hanno approfondito la loro comprensione di questa equazione attraverso le simulazioni del computer e la successiva trasformazione di scattering inversa sviluppata nel 1967 forniva un nuovo metodo per risolvere l'equazione del KDV.La dispersione inversa, sviluppata da Clifford Gardner, John M. Greene, Martin Kruskal e Robert Miura, è lo strumento matematico principale per risolvere tali equazioni.
Definizione dell'equazione KDV
L'equazione KDV è nella forma:
;Qui, ∂x³ϕ rappresenta l'effetto di dispersione, mentre il termine non lineare 6ϕisoϕ è il termine di convezione.Questa equazione fornisce un modello matematico che descrive onde idriche poco profonde, in cui ϕ rappresenta lo spostamento dalla superficie dell'acqua all'altezza di equilibrio.
Soluzione d'onda isolata
Una caratteristica affascinante dell'equazione KDV è la sua soluzione di onda isolata, in particolare una soluzione di onda isolata.Questo tipo di soluzione può essere scritto come:
ϕ (x, t) = f (x - ct - a) = f (x)
Qui, f (x) rappresenta la soluzione che mantiene una forma d'onda fissa nel tempo.Durante lo scambio delle sue variabili, si può scoprire che tali soluzioni possono essere considerate come il movimento di particelle di grande massa in un potenziale particolare.
Se a = 0 e c> 0, la potenziale funzione raggiunge un massimo locale a F = 0 e il comportamento di questa soluzione descrive le caratteristiche tipiche delle onde isolate.
Soluzione d'onda isolata multipla
Da ulteriori ricerche su soluzioni a onde isolate, possiamo ottenere n soluzioni di onde isolate.Questa soluzione può essere scritta:
ϕ (x, t) = -2 ∂²/∂x² log [det a (x, t)]
A (x, t) Ecco una matrice i cui componenti comportano una serie di parametri positivi ridotti.Queste soluzioni si decompongono in n diverse onde isolate per un lungo periodo di tempo, mostrando gli usi e le caratteristiche sorprendenti dell'equazione KDV.
Punti di esercizio
L'equazione KDV ha anche una quantità infinita di integrali del movimento, che corrispondono a funzioni specifiche e rimangono invariate nel tempo.Questi possono essere chiaramente espressi come:
∫p₂n - 1 (ϕ, ∂xϕ, ∂²xϕ, ...) dx
L'esistenza di queste quantità di movimento rende l'equazione KDV non solo accattivante in matematica, ma ha anche un significato importante nella fisica.
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