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Non ho più paura dei numeri! Sai cos'è il metodo numerico probabilistico?
Nel mondo odierno della matematica e della matematica computazionale, i metodi numerici probabilistici, come campo di ricerca interdisciplinare, hanno gradualmente attirato l'attenzione delle persone. Questo campo combina matematica applicata, statistica e apprendimento automatico e ruota attorno all’incertezza computazionale. Nei metodi numerici probabilistici, compiti comuni di analisi numerica come l'integrazione numerica, l'algebra lineare, l'ottimizzazione, la simulazione e la soluzione di equazioni differenziali sono trattati come problemi di inferenza statistica, probabilistica o bayesiana.
I metodi numerici sono algoritmi utilizzati per approssimare la soluzione di problemi matematici, tra cui la risoluzione di sistemi di equazioni lineari, il calcolo di integrali, la risoluzione di equazioni differenziali e la minimizzazione di funzioni di più variabili.
Gli algoritmi numerici tradizionali si basano su metodi deterministici, mentre gli algoritmi numerici probabilistici considerano questo processo come un problema di stima o di apprendimento e lo implementano nel quadro dell'inferenza probabilistica. Ciò significa che una distribuzione a priori può essere utilizzata per descrivere il problema computazionale e, confrontando i numeri calcolati (come prodotti matrice-vettore, gradienti di ottimizzazione, valori di funzioni integrali, ecc.) Fare ipotesi sulla relazione e restituire la distribuzione a posteriori come uscita.
In effetti, molti algoritmi numerici classici possono essere reinterpretati nel quadro probabilistico, come il metodo del gradiente coniugato, il metodo Nordsieck, la regola di integrazione gaussiana e il metodo quasi-Newton. Il vantaggio di queste tecniche è che non solo forniscono stime strutturate degli errori, ma utilizzano anche l'inferenza bayesiana gerarchica per impostare e controllare gli iperparametri interni.
I metodi numerici probabilistici consentono di combinare dati provenienti da più fonti di informazione, rimuovendo efficacemente i cicli nidificati dai calcoli.
Attività numeriche
Integrazione
In termini di integrazione numerica, i metodi numerici probabilistici hanno sviluppato molte tecniche, la più famosa delle quali è il metodo di integrazione bayesiana. In questo processo, il valore integrato di una funzione viene stimato valutandola in una determinata serie di punti. In questo caso, la scelta di una distribuzione a priori e il condizionamento sui dati osservati portano a una distribuzione a posteriori, che è particolarmente utile per funzioni computazionalmente costose.
Ottimizzazione
In termini di ottimizzazione matematica, sono stati studiati in modo approfondito anche i metodi numerici probabilistici. L'ottimizzazione bayesiana è un metodo generale basato sull'inferenza bayesiana. Questi algoritmi aiutano a trovare il minimo o il massimo mantenendo convinzioni probabilistiche sulla funzione obiettivo per guidare la successiva selezione delle osservazioni.
Ottimizzazione locale
Nell'ottimizzazione stocastica nel contesto del deep learning, le tecniche numeriche probabilistiche hanno studiato molte questioni importanti come l'aggiustamento del tasso di apprendimento, la selezione di mini-batch, ecc., e hanno ottenuto un processo decisionale automatico modellando esplicitamente queste incertezze.
Algebra lineare
Nelle applicazioni dell'algebra lineare, gli algoritmi numerici probabilistici si concentrano sulla risoluzione di sistemi di equazioni lineari della forma A x = b Tali metodi sono solitamente di natura iterativa, raccogliendo informazioni attraverso ripetute moltiplicazioni di matrice-vettore.
Equazioni differenziali ordinarie
Per le equazioni differenziali ordinarie, sono stati sviluppati una varietà di metodi numerici probabilistici, che possono essere suddivisi in metodi basati sulla randomizzazione e sulla regressione del processo gaussiano, che possono gestire efficacemente problemi relativi al valore iniziale e al limite.
Equazioni alle derivate parziali
Allo stesso modo, con l'evoluzione della tecnologia, anche i metodi numerici probabilistici per le equazioni alle derivate parziali sono migliorati e questi metodi sfruttano efficacemente le proprietà della regressione del processo gaussiano.
Contesto storico e campi correlati
Lo sviluppo di metodi numerici probabilistici non è avvenuto dall'oggi al domani, ma è stato strettamente correlato ad altre aree della matematica come la complessità dell'informazione, la teoria dei giochi e la teoria delle decisioni statistiche. Dalla fine del XIX secolo all'inizio del XX secolo, l'intersezione tra probabilità e analisi numerica cominciò a ricevere attenzione. I contributi di molti matematici, da Henri Poincaré ad Albert Suldin a Mike Larkin, aprirono la strada allo sviluppo di questo campo.
Quando ci troviamo di fronte a dati complessi, hai mai pensato di applicare metodi numerici probabilistici per migliorare la tua efficienza di calcolo?
