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Stabilità nell'analisi numerica: perché è fondamentale per gli algoritmi matematici?
Nel campo dell'analisi numerica, la stabilità numerica è una proprietà altamente auspicabile degli algoritmi matematici. La definizione precisa di stabilità dipende dal contesto, in particolare nell'algebra lineare numerica e negli algoritmi per la risoluzione di equazioni differenziali ordinarie e parziali mediante approssimazioni discrete.
"La stabilità assicura che piccole modifiche ai dati di input non causino grandi fluttuazioni nel risultato finale."
Nell'algebra lineare numerica, si è interessati principalmente alle instabilità che si presentano in prossimità di problemi quasi singolari, come autovalori molto piccoli o quasi coincidenti. Negli algoritmi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali, il problema è che errori di arrotondamento o piccole fluttuazioni nei dati iniziali possono portare a grandi deviazioni tra la risposta finale e la soluzione esatta. Alcuni algoritmi numerici possono attenuare piccole fluttuazioni ed errori nei dati di input, mentre altri possono amplificarli. I calcoli per i quali è possibile dimostrare che non amplificano gli errori di approssimazione sono detti numericamente stabili.
Un compito comune nell'analisi numerica è scegliere algoritmi che siano robusti, ovvero che i risultati non varino drasticamente quando i dati di input cambiano leggermente. Il fenomeno opposto è l'instabilità algoritmica. Spesso un algoritmo prevede un metodo di approssimazione e, in alcuni casi, è possibile dimostrare che l'algoritmo si avvicinerà alla soluzione corretta quando si utilizzano numeri reali anziché numeri in virgola mobile. Tuttavia, in questo caso, non vi è alcuna garanzia che convergerà alla soluzione corretta, poiché gli errori di arrotondamento o troncamento nei numeri in virgola mobile potrebbero essere amplificati, causando un aumento esponenziale della deviazione dalla soluzione corretta.
Stabilità nell'algebra lineare numerica
Nell'algebra lineare numerica, il concetto di stabilità può essere formalizzato in diversi modi. In questo campo ricorrono spesso le definizioni di stabilità in avanti, all'indietro e mista, comunemente utilizzate. Consideriamo un problema risolto da un algoritmo numerico, in cui la funzione f mappa i dati x in una soluzione y. Il risultato dell'algoritmo y* solitamente si discosterà dalla soluzione "vera" y. Le cause principali dell'errore sono errori di arrotondamento e di troncamento.
“L'errore in avanti di un algoritmo è la differenza tra il suo risultato e la soluzione; l'errore all'indietro è il più piccolo Δx tale che f(x + Δx) = y*.”
L'errore in avanti è la differenza tra y* e y; l'errore all'indietro è il minimo Δx tale che f(x + Δx) = y*. Esiste una relazione tra il numero di condizione e l'errore all'indietro: la dimensione dell'errore in avanti è al massimo il prodotto del numero di condizione e dell'errore all'indietro. In molti casi è più naturale considerare gli errori relativi. Quando l'errore all'indietro è piccolo per tutti gli input x, chiamiamo l'algoritmo stabile all'indietro. Naturalmente, "piccolo" è un termine relativo e la sua definizione dipenderà dal contesto specifico.
Spesso viene data una definizione più generale di stabilità numerica, chiamata stabilità ibrida, che combina l'errore in avanti e l'errore all'indietro. Un algoritmo è stabile se risolve approssimativamente un problema vicino, cioè se esiste un piccolo Δx tale che anche f(x + Δx) - y* sia piccolo. Pertanto, un algoritmo retrostabile è sempre stabile. Per quanto riguarda la stabilità in avanti, un algoritmo è stabile in avanti se il suo errore in avanti diviso per il numero di condizione del problema è relativamente piccolo.
Stabilità nelle equazioni differenziali numeriche
Nella risoluzione delle equazioni differenziali, la stabilità è definita in modo diverso. Nelle equazioni differenziali ordinarie numeriche esistono varie nozioni di stabilità numerica, come ad esempio la A-stabilità. Questi concetti sono spesso correlati a certe nozioni di stabilità nei sistemi dinamici, in particolare alla stabilità di Lyapunov. Quando si risolvono equazioni rigide, è molto importante utilizzare un metodo stabile.
"A volte la stabilità si ottiene introducendo la diffusione numerica, che assicura che gli errori di arrotondamento nei calcoli non si accumulino a livelli pericolosi."
Un algoritmo per la risoluzione di equazioni differenziali parziali di tipo evoluzione lineare è considerato stabile se la variazione totale nella soluzione numerica rimane limitata quando la dimensione del passo si avvicina a zero. Il teorema di equivalenza di Lax afferma che se un algoritmo è coerente e stabile, convergerà. Tuttavia, per le equazioni differenziali parziali non lineari, la definizione di stabilità è molto più complicata perché molte proprietà delle equazioni non lineari non esistono nelle loro controparti lineari.
Esempio
Calcolare la radice quadrata di 2 (circa 1,41421) è un problema ben definito. Molti algoritmi risolvono questo problema partendo da un'approssimazione iniziale x0, ad esempio x0 = 1,4, e poi calcolando continuamente ipotesi migliorate x1, x2 e così via. Un metodo tipico che potrebbe essere utilizzato è il famoso metodo babilonese, la cui formula è xk+1 = (xk + 2/xk) / 2.
L'altro metodo si chiama "Metodo X" e la sua formula è xk+1 = (xk^2 − 2)² + xk. Sotto la tabella sono riportate alcune iterazioni di ciascun metodo e possiamo vedere che il metodo babilonese converge rapidamente indipendentemente dall'ipotesi iniziale, mentre il metodo X converge molto lentamente a x0 = 1,4 e diverge stranamente a x0 = 1,42. Pertanto, il metodo babilonese è considerato numericamente stabile, mentre il metodo X è numericamente instabile.
La stabilità numerica è influenzata anche dal numero di cifre significative conservate dalla macchina. Un buon esempio delle conseguenze che potrebbero derivare da una perdita di significatività sarebbe una macchina che conserva solo quattro cifre significative. Ad esempio, consideriamo le funzioni equivalenti f(x) e g(x). Nel calcolo di f(500) e g(500), nonostante le due funzioni siano uguali, si ottengono risultati completamente diversi, dimostrando come piccoli errori possano portare a grandi variazioni.
In sintesi, la stabilità numerica è fondamentale nell'analisi numerica, poiché influenza l'accuratezza e l'efficienza con cui risolviamo i problemi. Tuttavia, secondo te, che tipo di algoritmo o metodo può rimanere stabile in condizioni instabili?
