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La più grande simmetria nell'universo: cos'è lo spazio di De Sitter n-dimensionale?
In fisica matematica, uno spazio di de Sitter n-dimensionale (solitamente indicato con dSn) è una varietà lorentziana massimamente simmetrica con curvatura scalare positiva costante. È l'analogo dell'analisi di Lorentz della sfera n-dimensionale (n-sfera) e può essere considerato un modello matematico semplice ma profondo che descrive la struttura dell'universo. La principale applicazione dello spazio di De Sitter nella relatività generale è che fornisce una base matematica coerente con l'espansione accelerata osservata dell'universo.
Lo spazio di De Sitter è la soluzione del vuoto dell'equazione di campo di Einstein sotto la costante cosmologica positiva, corrispondente alla densità di energia del vuoto positiva e alla pressione negativa.
Anche lo spazio De Sitter e lo spazio anti-de Sitter prendono il nome da Willem de Sitter. È professore di astronomia all'Università di Leiden e ha lavorato a stretto contatto con Albert Einstein negli anni '20 per studiare la struttura spazio-temporale del nostro universo. La scoperta indipendente dello spazio de Sitter è attribuita anche a Tullio Levi-Civita.
Definizione e proprietà dello spazio di de Sitter
Uno spazio di de Sitter può essere definito come una sottovarietà incorporata in uno spazio leapfrog generalizzato con metriche standard. Più specificamente, lo spazio di De Sitter n-dimensionale descrive una varietà di uno strato di iperboloidi e lo spazio di salto standard è definito come:
ds^2 = -dx_0^2 + \sum_{i=1}^{n} dx_i^2
Qui, il cosiddetto iperboloide soddisfa la seguente equazione:
-x_0^2 + \sum_{i=1}^{n} x_i^2 = \alpha^2
Tra questi, α è una costante diversa da zero e l'unità è la lunghezza. La metrica indotta dello spazio di de Sitter è introdotta dalla metrica del salto ambientale, ha firma lorentziana e non è degenere.
Il gruppo di trasformazione isometrica dello spazio di de Sitter è il gruppo di Lorentz O(1, n), il che significa che ha n(n + 1)/2 stelle di Kiel indipendenti.
La curvatura costante è una proprietà intrinseca di ogni spazio massimamente simmetrico. Il tensore di curvatura Riemanniano posseduto dallo spazio di de Sitter può essere espresso come:
R_{ρσμν} = \frac{1}{\alpha^2}(g_{ρμ}g_{σν} - g_{ρν}g_{σμ})
Ciò dimostra che lo spazio di de Sitter è una varietà einsteiniana perché il suo tensore di curvatura riemanniano è metricamente correlato. Ciò significa che lo spazio di de Sitter è una soluzione nel vuoto delle equazioni di Einstein, e il valore specifico della costante cosmologica varia in base alla dimensione in cui si trova.
Sistemi di coordinate e loro applicazioni
Lo spazio di De Sitter può essere espresso in un sistema di coordinate statiche e tali espressioni possono essere utilizzate per studiare la dinamica effettiva:
x_0 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \sinh\sinistra(\frac{1}{\alpha} t\destra)
x_1 = \sqrt{\alpha^2 - r^2} \cosh\left(\frac{1}{\alpha} t\right)
Sotto un tale sistema di coordinate, la forma della metrica di de Sitter mostra il margine di espansione dell'universo:
ds^2 = -\left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{r^2}{\alpha^2 }\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega_{n-2}^2
Va notato che esiste un orizzonte cosmico situato in r = α.
Riepilogo
Lo spazio di De Sitter, in quanto modello matematico che spiega la struttura dell'universo, non solo ci consente di comprendere le proprietà dell'universo in espansione, ma apre anche la strada alla futura ricerca cosmologica. La sua simmetria e le sue proprietà fisiche riflettono le profonde intuizioni della fisica odierna. In che modo influenzerà la nostra comprensione dell'universo è ancora una questione su cui vale la pena riflettere.
